Zadania z rachunku prawdopodobieństwa I* Siedmiu pasażerów przydzielono losowo do trzech wagonów. Jakie jest prawdopodobieństwo

Transkrypt

1 Zadaia z rachuku prawdopodobieństwa I* Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie, b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie. 2. Ze zbioru elemetowego losujemy ze zwracaiem r elemetów. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że któryś elemet się powtórzył? 3. Siedmiu pasażerów przydzieloo losowo do trzech wagoów. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że i) wszyscy trafili do jedego wagou, ii) w każdym wagoie zalazło się przyajmiej dwóch z tych pasażerów? 4. Z klasy liczącej 11 chłopców i 13 dziewczyek wylosowao czteroosobową delegację. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w skład delegacji wchodzi więcej chłopców iż dziewczyek. 5. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w grze w brydża gracz N otrzymał a) wszystkie karty różej wartości; b) dokładie dwa piki; c) co ajmiej dwa piki; d) dwa piki, 3 kiery, 4 kara, 4 trefle; e) układ 4432; f) układ Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w grze w pokera talią 24 kartową gracz otrzyma z ręki a) parę b) dwie pary c) straighta d) trójkę e) fulla f) karetę g) kolor h) pokera jedakowych ciastek rozdzieloo między czwórkę dzieci w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo tego, iż a) Jacek otrzymał dokładie 1 ciastko b) Jacek otrzymał co ajmiej 1 ciastko c) każde z dzieci otrzymało co ajmiej 1 ciastko 1

2 8. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w lotto spośród 49 liczb wylosowaa będzie szóstka ie zawierająca dwu kolejych liczb. 9. a) Ile różych słów (iekoieczie sesowych) moża utworzyć permutując litery słowa MATEMATYKA? b) Jeśli wybierzemy losowo któreś z tych słów jakie jest prawdopodobieństwo tego, że litery T ie stoją obok siebie? 10. Klasa liczy 15 ucziów, a każdej lekcji do odpowiedzi jest losoway jede uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu 16 lekcji każdy uczeń będzie przepytay. 11. W szafie zajduje się par butów, a chybił trafił wybieramy z ich k butów przy czym k. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) wśród wylosowaych butów jest coajmiej jeda para, b) wśród wylosowaych butów jest dokładie jeda para. 12. a) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że przy losowym umieszczeiu N listów w N zaadresowaych kopertach żade list ie trafi do właściwego adresata? b) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dokładie k listów trafi do właściwych adresatów? 2

3 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa * - 2 (zadaia gwiazdkowe do oddaia 6 marca) 1. Daa jest przestrzeń probabilistycza (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalym i F = 2 Ω. Udowodij, że istieją liczby p ω 0, ω Ω p ω = 1 takie, że P(A) = ω A p ω dla wszystkich A F. 2. Rzucamy moetą dopóki ie wypadą dwa orły pod rząd. Zaleźć prawdopodobieństwo, że rzucimy dokładie k razy. 3. (Igła Buffoa) Igłę o długości l rzucoo w sposób losowy a płaszczyzę z zazaczoymi liiami rówoległymi. Odległość między sąsiedimi liiami wyosi d > l. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że igła przetie którąś z liii. 4* Wielokąt wypukły o średicy miejszej iż d rzucoo a płaszczyzę poliiowaą jak w poprzedim zadaiu. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wielokąt przetie którąś z liii. Co się dzieje, gdy wielokąt ie jest wypukły? 5. Na kiju długości l wybrao a chybił trafił 2 pukty i w tych puktach przełamao kij. Oblicz prawdopodobieństwo, że z otrzymaych 3 kawałków moża zbudować trójkąt. 6* Udowodij, że każde σ-ciało albo ma 2 k elemetów dla pewego k aturalego albo ma moc przyajmiej cotiuum. 7* Wykaż, że liczba σ-ciał podzbiorów zbioru {1,..., } jest rówa 1 e k 0 k k!. 8. Opisz wszystkie przestrzeie probabilistycze z przeliczalym zbiorem zdarzeń elemetarych Ω. 9. Udowodij astępujące tożsamości (lim sup A ) = lim if(a ), (lim if A ) = lim sup(a ), lim if A lim sup A, lim sup(a B ) = lim sup A lim sup B, lim sup A lim if B lim sup(a B ) lim sup A lim sup B, jeśli A A lub A A, to A = lim sup A = lim if A. 10. Wykaż, że jeśli A = (, x ) oraz x = lim sup x to lim sup A = (, x) lub (, x] oraz oba te przypadki mogą zajść. 11* Udowodij, że dla dowolych zdarzeń probabilistyczych a) P( i=1 A i ) = k=1 ( 1) k 1 1 i 1 <...<i k P(A i 1... A ik ) b*) P( i=1 A i ) m k=1 ( 1) k 1 1 i 1 <...<i k P(A i 1... A ik ) dla m ieparzystych c*) P( i=1 A i ) m k=1 ( 1) k 1 1 i 1 <...<i k P(A i 1... A ik ) dla m parzystych. 3

4 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa * - 3 (zadaia gwiazdkowe do oddaia 13 marca) 1. Udowodij, że wzór ρ(a, B) := P(A B) zadaje pseudometrykę a F spełiającą waruek trójkąta. 2* Załóżmy, że koła rozłącze B(x i, r i ) są zawarte w pewym prostokącie oraz pokrywają te prostokąt z dokładością do zbioru miary 0. Wykaż, że i r i =. 3* Udowodij, że ie istieje prawdopodobieństwo określoe a wszystkich podzbiorach Z + takie, że dla wszystkich k, P (A k ) = 1/k, gdzie A k jest zbiorem liczb podzielych przez k. 4. Z talii 24 kartowej losujemy 5 kart bez zwracaia. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowaliśmy dokładie 3 asy, jeśli wiadomo, że a) mamy coajmiej jedego asa b) mamy asa czarego koloru c) mamy asa pik d) pierwszą wylosowaą kartą jest as e) pierwszą wylosowaą kartą jest czary as f) pierwszą wylosowaą kartą jest as pik. 5. Z odcika [0, 1] wylosowao a chybił trafił dwie liczby. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że a) większa z liczb jest miejsza iż 1/2; b) większa z liczb jest miejsza iż 1/2, jeśli wiadomo, że miejsza z liczb jest większa iż 1/4; c) większa z liczb jest miejsza iż 1/2, jeśli wiadomo, że któraś z liczb jest większa iż 1/4. 6. (schemat urowy Polya) Ura zawiera b kul białych i c kul czarych. Wykoujemy kolejo astępujące doświadczeie: losujemy z ury kulę, a astępie wkładamy ją z powrotem do ury, a wraz z ią dokładamy do ury a kul tego samego koloru. Udowodij, że prawdopodobieństwo wylosowaia w -tym losowaiu kuli białej jest rówe b b+c. 7. Test a rzadką chorobę, którą dotkiętą jest jeda osoba a 5 tysięcy, daje fałszywą pozytywą odpowiedź u osoby zdrowej w 2% przypadków, a u osoby chorej zawsze daje pozytywy wyik. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba u której test przyiósł wyik pozytywy jest faktyczie chora? 8. Prawdopodobieństwo tego, że losowo wybraa rodzia ma dzieci jest rówe { αp = 1, 2,... p = 1 =1 αp = 1 αp 1 p = 0 4

5 Zakładając, że wszystkie 2 rozkładów płci dzieci w rodziie o dzieciach jest rówoprawdopodobe oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybraa rodzia ma a) coajmiej jedą córkę b) dokładie jedą córkę? c) Losowo wybraa rodzia ma przyajmiej jedą córkę, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest oa jedyaczką? 9. Dwaj gracze grają w orła i reszkę moetą symetryczą. Jeśli wypadie orzeł gracz A płaci B 1 zł., jeśli reszka to B płaci A 1 zł. Gra się kończy, gdy któryś z graczy zostaie bez pieiędzy. Na początku gry gracz A ma a zł., a B b zł. a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że grę wygra gracz A. b) Jak zmiei się to prawdopodobieństwo, jeśli moeta jest sfałszowaa tz. orzeł wypada z prawdopodobieństwem p 1/2? 10. W populacji jest 15% dyslektyków. Jeśli w teście diagostyczym uczeń popełi 6 lub więcej błędów, to zostaje uzay za dylektyka. Każdy dyslektyk a pewo popełi co ajmiej 6 błędów w takim teście, ale rówież ie-dyslektyk może popełić więcej iż 5 błędów z prawdopodobieństwem 1/10. Jasio popełił w teście 6 błędów - jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jest dyslektykiem? Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w kolejym teście popełi co ajmiej 6 błędów? 11. W Małej Większej są dwie szkoły podstawowe. Przeprowadzoe pod koiec roku szkolego egzamiy wykazały, że większy procet dziewczyek w szkole r 1 potrafi rozłożyć liczbe 2012 a czyiki pierwsze iż w szkole r 2, podobie większy procet chłopców z jedyki potrafi to zrobić iż w dwójce. Czy zaczy to, że statystycze dziecko ze szkoły r 1 lepiej wypadło w rozkładaiu 2012 od statystyczego dziecka ze szkoły r 2? 5

6 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa * - 4 (zadaia gwiazdkowe do oddaia 20 marca) 1. Załóżmy, że µ 1 i µ 2 są miarami probabibilistyczymi oraz µ 1 (A) = µ 2 (A) dla A A. i) Wykaż, że jeśli A jest π-układem, to µ 1 (A) = µ 2 (A) dla A σ(a). ii) Podaj przykład pokazujący, że teza i) ie musi być prawdziwa, gdy usuiemy założeie o tym, że A jest π-układem. 2. Dla A F zdefiiujmy A 1 = A i A 1 = A. Wykaż, że i) dla dowolego ciągu zaków ε 1,..., ε { 1, 1} zdarzeia A 1,..., A są iezależe wtedy i tylko wtedy, gdy zdarzeia A ε 1 1,..., Aε są iezależe, ii) zdarzeia A 1,..., A są iezależe wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolego ciągu zaków ε 1,..., ε { 1, 1} zachodzi P(A ε Aε ) = P(A ε 1 1 ) P(Aε ). 3. Na kartkach zapisao różych liczb rzeczywistych, astępie kartki włożoo do pudełka, wymieszao i losowao kolejo bez zwracaia. Niech A k ozacza zdarzeie, że k-ta z wylosowaych liczb jest większa od wszystkich poprzedich. Wykaż, że P(A k ) = 1/k oraz zdarzeia A 1, A 2,..., A są iezależe. 4. Rzucoo kostkami do gry. Określmy zdarzeia A k - a k-tej kostce wypadła szóstka, 1 k oraz A +1 - suma wyrzucoych oczek jest podziela przez 6. Wykaż, że dowole spośród zdarzeń A 1,..., A +1 jest iezależych, ale łączie zdarzeia A 1,..., A +1 ie są iezależe. 5. Udowodij, że w defiicji iezależości zdarzeń każde z 2 1 rówań jest iezbęde (tz. jeśli odrzucimy jedo z rówań to istieją zdarzeia zależe spełiające wszystkie pozostałe rówaia). 6. Wyzacz ajbardziej prawdopodobą liczbę sukcesów w schemacie Beroulliego. 7. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w schemacie Beroulliego w próbach i prawdopodobieństwu sukcesu w pojedyczej próbie rówym p będzie parzysta liczba sukcesów. 8. Dwaj gracze rzucają symetryczą moetą razy, jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymają tę samą liczbę orłów? 9. Rzucoo 10 razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w pierwszym rzucie wypadła szóstka, jeśli wiadomo, że a) w 10 rzutach wypadło dokładie 7 szóstek b) w 9 astępych rzutach wypadło dokładie 7 szóstek. 6

7 10. Rzucamy kostką do mometu aż wypadie piątka lub po raz trzeci szóstka. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że rzucimy dokładie razy. 11* Niech X ozacza ajdłuższą serię orłów w rzutach moetą symetryczą. Wykaż, że a) P(X a log 2 ) 0 przy dla a < 1, b) P(X a log 2 ) 1 przy dla a > Wykaż (używając metod probabilistyczych), że dla dowolych liczb całkowitych dodatich, m oraz p, q [0, 1] takich, że p + q = 1 zachodzi ierówość (1 p ) m + (1 q m ) 1. 13* Rzucamy ieskończeie wiele razy moetą symetryczą. Przez A ozaczmy zdarzeie, że w pierwszych rzutach wypadło tyle samo orłów, co reszek. Wykaż, że z prawdopodobieństwem 1 zajdzie ieskończeie wiele spośród zdarzeń A 1, A 2,.... Ile wyosi to prawdopodobieństwo, jeśli moeta ie jest symetrycza? 7

8 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa * - 5 (zadaia gwiazdkowe do oddaia 27 marca) 1. Udowodij, że z prawdopodobieństwem 1 w ciągu iezależych rzutów moetą wystąpi każdy skończoy ciąg złożoy z orłów i reszek. 2. Zdarzeia A 1, A 2,... są iezależe oraz P(A ) < 1 dla wszystkich. Wykaż, że astępujące waruki są rówoważe: i) z prawdopodobieństwem 1 zajdzie przyajmiej jedo ze zdarzeń A, ii) z prawdopodobieństwem 1 zajdzie ieskończeie wiele zdarzeń A. 3* Załóżmy, że X, Y zmiee losowe takie, że X jest σ(y )-mierzale, tz. σ(x) σ(y ). Udowodij, że istieje fukcja mierzala ϕ: R R taka, że X = ϕ(y ). 4. Zmiea losowa X ma ciągłą, ściśle rosącą dystrybuatę F. Zajdź rozkład zmieej F (X). Czy odpowiedź się zmiei, jeśli ie założymy ścisłej mootoiczości F? A w przypadku ieciągłej dystrybuaty? 5. Niech F : R [0, 1] będzie prawostroie ciągłą iemalejącą fukcją taką, że F ( ) = 1 oraz F ( ) = 0. Na odciku [0, 1] z miarą Lebesgue a skostruuj zmieą losową, która ma dystrybuatę F. 6. Zmiea losowa X ma dystrybuatę 0 dla t < F X (t) = 7 + 2t dla 0 t < t dla 1 14 t < dla t 3 7. Oblicz P(X 3 7 ), P(0 < X < ), P(X = 0), P( 14 X 3 7 ). 7. Dystrybuata zmieej losowej X ma postać 0 dla t < 0 1 F X (t) = 2t dla 0 t < 2 1 dla t 2. Zajdź dystrybuatę zmieych mi(1, X) i max(x, X 2 ). 8. a) Dla t [0, 1] i = 1, 2,... iech X (t) ozacza -tą cyfrę rozwiięcia dwójkowego liczby t (w przypadku dwu rozwiięć wybieramy to ze skończoą liczbą 1). Udowodij, że X 1, X 2,... są iezależymi zmieymi losowymi a ([0, 1], B([0, 1]),. ). b) Pokaż, że fukcje Rademachera r (x) = sg(si(2 πx)) są iezależymi zmieymi losowymi a ([0, 1], B([0, 1]),. ). 8

9 9. Niech ε 1, ε 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych takich, że P(ε i = ±1) = 1 2 (zob. zad. 5.). Dla skończoych podzbiorów A liczb całkowitych dodatich zdefiiujmy fukcje Walsha { i A w A = ε i jeśli A 1 jeśli A = a) zajdź rozkład w A b) wykaż, że w A, w B są iezależe gdy A B. Czy w A, w B, w C muszą być iezależe dla różych ideksów A, B, C? 10* Czy a odciku [0, 1] istieją dwie iestałe fukcje ciągłe, będące iezależymi zmieymi losowymi względem miary Lebesgue a? Czy odpowiedź się zmiei, jeśli będziemy chcieli dodatkowo by obie fukcje miały ciągłe pochode? 9

10 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa * - 6 (zadaia gwiazdkowe do oddaia 3 kwietia) 1. Podaj przykład zmieej o rozkładzie dyskretym, której dystrybuata jest ściśle rosąca. 2. Zmiea losowa X ma gęstość cx 2 I [0,5] (x). Zajdź liczbę c oraz dystrybuatę zmieej X. 3* Niech X będzie ieujemą iestarzejącą się zmieą losową, tz. t,s>0 P(X > s + t X > s) = P(X > t) (zakładamy, że P(X > t) > 0 dla wszystkich t). Udowodij, że X ma rozkład wykładiczy. 4. Podaj przykład zmieej X o ciągłej dystrybuacie, która ie ma rozkładu ciągłego (tz. ie ma gęstości). 5. Załóżmy, że dystrybuata F zmieej losowej X jest ciągła i kawałkami klasy C 1. Wykaż, że X ma rozkład ciągły (z gęstością g = F ). 6. Zajdź rozkład zmieej ax + b oraz e X, gdy X ma rozkład wykładiczy z parametrem λ. 7. Zajdź rozkłady zmieych bx + c, e X i X 2, gdy X ma rozkład ormaly N (a, σ 2 ). 8. Wykaż, że zmiee X 1,..., X o rozkładzie dyskretym są iezależe wtedy i tylko wtedy, gdy P(X 1 = u 1,..., X = u ) = P(X 1 = u 1 )P(X 2 = u 1 ) P(X = u ) dla dowolych u 1,..., u. 9. Wykaż, że zmiee rzeczywiste X 1,..., X o rozkładzie ciągłym z gęstościami odpowiedio g 1,..., g są iezależe wtedy i tylko wtedy, gdy wektor losowy X = (X 1,..., X ) ma gęstość g X daą wzorem g X (x 1,..., x ) = g 1 (x 1 )g 2 (x 2 ) g (x ). 10. Niech X, Y będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie geometryczym z parametrami odpowiedio p i r. Oblicz P(X < Y ). 11. Rozwiąż zadaie j.w., ale w przypadku gdy X i Y mają rozkład wykładiczy z parametrami λ i µ. 12. Niech X (j) i, 1 i j, j = 1, 2,... będą iezależymi zmieymi losowymi, a f j fukcjami mierzalymi a R j. Czy zmiee f j (X (j) 1,..., X(j) j ), j = 1, 2... muszą być iezależe? Odpowiedź uzasadij. 10

11 13. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie z dystrybuatą F. Dla ω Ω iech X 1 (ω),..., X (ω) będzie ustawieiem X 1 (ω),..., X (ω) w porządku iemalejącym X 1 (ω) X 2 (ω)... X (ω) (czyli w szczególości X 1 = mi{x 1,..., X }, X = max{x 1,..., X }. Zajdź dystrybuatę X k dla k = 1,..., (X k azywamy k-tą statystyką porządkową ciągu X 1,..., X ). 14* Niech X 1, X 2,... będzie ciągiem iezależych rzeczywistych zmieych losowych. Określmy Y := lim sup X, Z := lim if X. Udowodij, że Y i Z są zdegeerowaymi zmieymi losowymi, tz. istieją c, d R {± } takie, że P(Y = c) = P(Z = d) = Zmiee losowe X i Y są iezależe, przy czym dystrybuata X jest ciągła. Wykaż, że P(X = Y ) = Zmiea X jest iezależa od samej siebie. Wykaż, że istieje liczba c taka, że P(X = c) = Zmiea losowa X ma rozkład wykładiczy z parametrem 1. Wyzacz rozkłady zmieych X oraz {X}. Czy zmiee te są iezależe? 18. Zmiee X i Y są iezależe i mają rozkład N (0, 1). Zajdź łączy rozkład wektora losowego (X + Y, X Y ). Co moża powiedzieć o jego współrzędych? 19* Niech ε 1, ε 2,... będą iezależymi symetryczymi zmieymi losowymi Beroulliego, tz. P (ε i = ±1) = 1/2. Jaki rozkład ma zmiea X = i=1 2 i ε i? 11

12 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa * - 7 (zadaia gwiazdkowe do oddaia 10 kwietia) 1. Roztrzepaa sekretarka umieściła w sposób losowy N listów w N uprzedio zaadresowaych kopertach. Niech X ozacza liczbę listów, które trafiły do właściwej koperty. Zajdź wartość oczekiwaą i wariację X. 2. W Beer City jest 50 pubów. W każdy weeked klub miłośików piwa odwiedza 3 losowo wybrae puby. Zakładając, że cotygodiowe wybory są dokoywae iezależie oblicz wartość oczekiwaą i wariację liczby lokali odwiedzoych przyajmiej raz w ciągu 10 kolejych weekedów. 3. Ura zawiera N kul w tym b kul białych. Losujemy z ury bez zwracaia kul ( N) i defiiujemy zmieą losową X jako liczbę wylosowaych kul białych. Oblicz wartość oczekiwaą i wariację X. 4. Oblicz wartość oczekiwaą i wariację rozkładu geometryczego z parametrem p. 5. Oblicz wartość oczekiwaą i wariację rozkładu gamma Γ(α, β). 6* Rzucamy moetą dopóki liczba wyrzucoych orłów ie będzie rówa liczbie wyrzucoych reszek. Niech R ozacza liczbę wykoaych rzutów. Zajdź rozkład i wartość oczekiwaą R. 7. Zmiea X ma rozkład N (0, 1). i) Oblicz E X p dla p R. Ile wyosi ta liczba dla p aturalych parzystych, a ile dla ieparzystych? ii) Oblicz E exp(λx) dla λ R. Jak sie zmiei odpowiedź, gdy X ma rozkład N (a, σ 2 )? 8. Udowodij, że dla dowolej rzeczywistej zmieej losowej X, E X p = p t p 1 P( X t)dt Udowodij, że dla dowolych liczb rzeczywistych a 1,..., a, ( ) 4 ( E a i ε i 3 (E ) 2 ) 2, a i ε i i=1 gdzie ε 1,..., ε są iezależymi zmieymi losowymi takimi, że P(ε i = ±1) = 1/2. Wykaż, że stałej 3 ie moża poprawić. i=1 12

13 10* Niech S = i=1 a i ε i, gdzie (ε i ) są takie jak w poprzedim zadaiu. Wykaż, że dla wszystkich λ R, Ee λs e 1 2 λ2 ES 2 i wywioskuj stąd, że dla t 0, ( P S t(es 2 ) 1/2) 2e t2 /2. 11* Niech S będzie jak w poprzedim zadaiu. Wykaż, że dla dowolego p > 0 istieje liczba C p < zależa tylko od p taka, że (E S p ) 1/p C p (E S 2 ) 1/2 12. Rzeczywista zmiea losowa X spełia E X p <. Udowodij, że lim t tp P( X t) = 0. 13

14 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa * - 8 (zadaia gwiazdkowe do oddaia 17 kwietia) 1* Udowodij, że dla λ (0, 1) i dowolej ieujemej zmieej losowej X, P(X > λex) (1 λ) 2 (EX)2 EX 2. 2* Wykaż, że jeśli zdarzeia A i są parami iezależe oraz i=1 P(A i ) =, to P(lim sup A i ) = Mówimy, że zmiea losowa X jest symetrycza, jeśli zmiee X i X mają te sam rozkład. Wykaż, że astępujące waruki są rówoważe: i) X jest symetrycza, ii) X ma te sam rozkład, co εx, gdzie ε jest iezależe od X i P(ε = ±1) = 1/2, iii) Ef(X) = 0 dla dowolej ieparzystej, ograiczoej borelowskiej fukcji f. 4. Wykaż, że jeśli X i są iezależe oraz X i ma rozkład Γ(α i, β), to i=1 X i ma rozkład Γ( i=1 α i, β). 5. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe i mają rozkład N (0, 1) wykaż, że zmiea i=1 X 2 i ma rozkład Γ(/2, 2) (rozkład te azywamy też rozkładem chi kwadrat o stopiach swobody χ 2 ()). 6. Zmiee X 1, X 2, ε 1, ε 2 są iezależe, przy czym X i mają rozkład wykładiczy z parametrem λ, a P(ε i = ±1) = 1/2. Zajdź rozkład ε i X i, X 1 + X 2, X 1 X 2 oraz ε 1 X 1 + ε 2 X Zmiee X i Y są iezależe i mają rozkład jedostajy a przedziale [ 1, 1]. Jaki rozkład mają zmiee X + Y oraz X 2 + Y 2? 8. X, Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie wykładiczym z parametrami λ i µ, zajdź rozkład zmieej X/Y. 9* Niech X 1, X 2,... będzie ciągiem iezależych zmieych losowych o rozkładzie wykładiczym z parametrem λ. Zdefiiujmy oraz dla t > 0, k S 0 = 0, S k = X i, k = 1, 2,.... i=1 N t := sup{ : S t}. Wykaż, że N t ma rozkład Poissoa z parametrem λt. 14

15 10. X, Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie Cauchy ego z parametrami h 1 i h 2. Udowodij, że X +Y ma rozkład Cauchy ego z parametrem h 1 +h 2 (iaczej jeśli X, Y iezależe o stadardowym rozkładzie Cauchy ego, to h 1 X+h 2 Y (h 1 +h 2 )X). 11. X 0, X 1,... są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie z ciągłą dystrybuatą. Niech N = if{ : X > X 0 }. Zajdź rozkład N i oblicz EN. 12* Udowodij, że dla 0 < λ < 1 2 zmiea losowa S λ = =1 λ ε ma ciągłą dystrybuatę, ale ie ma rozkładu ciągłego (tz. ie ma gęstości) (ε 1, ε 2,... są iezależymi zmieymi takimi, że P(ε i = ±1) = 1/2). 15

16 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa * - 9 (zadaia gwiazdkowe do oddaia 15 maja) 1. Zmiee losowe X i Y są iezależe, przy czym X ma rozkład Beroulliego Bi(, p), Y ma rozkład Beroulliego Bi(m, p). Oblicz E(X + Y X) oraz E(X X + Y ). 2. Rzucoo kostką ajpierw raz, a astępie tyle razy ile oczek wypadło w pierwszym rzucie. Oblicz wartość oczekiwaą sumy wyrzucoych oczek oraz liczby wyrzucoych trójek. 3. W woreczku zajduje się pewa liczba moet, z których p procet jest sfałszowaa, z orłem po obu stroach. Powtarzamy razy astępujące doświadczeie - wyciągamy z woreczka moetę i ją rzucamy, a astępie zwracamy do woreczka. Niech O ozacza liczbę wyrzucoych orłów, zaś F liczbę wylosowań sfałszywaych moet. Wykaż, że E(F O) = 2p 100+p O. Ile wyosi E(O F )? 4. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe o rozkładzie wykładiczym z parametrem λ, iech S = X 1 + X X. a) 0blicz E(S X 1 ), E(S 2 X 1 ). b) Dla k wyzacz E(S S k ), E(S 2 S k ) oraz E(e S S k ). 5. Zajdź przykład zmieych losowych X, Y, które ie są iezależe, ale E(X Y ) = EX. 6. Załóżmy, że zmiee X, Y przyjmują wartości aturale oraz Oblicz E(X Y ). P(X = k, Y = l) = { 1 l2 l dla 1 k l 0 w przeciwym przypadku. 7. Wektor losowy (X, Y ) ma gęstość g(x, y). Niech f będzie fuckją borelowską taką, że E f(x) <. Wykaż, że E(f(X) Y ) = h(y ) p.., gdzie f(x)g(x,y)dx h(y) = g(x,y)dx jeśli g(x, y)dx > 0 0 w przeciwym przypadku 8. Zmiea losowa (X, Y ) ma gęstość g(x, y) = { x 3 2 e x(y+1) jeśli x > 0, y > 0 0 w przeciwym przypadku Wyzacz E(Y X), E(Y 2 X 2 ) oraz P(Y > 1 X 3 + 1). 16

17 9. Zmiee X i Y są iezależe o rozkładzie jedostajym a [0, 1]. Oblicz E(X 3 X +Y ) oraz E(max(X, Y ) mi(x, Y )). 10. Niezależe zmiee losowe X i Y mają rozkład wykładiczy z parametrem 1. Oblicz P(X B X + Y ) oraz E(si X X + Y ). 11. Zmiea losowa X ma rozkład wykładiczy z parametrem 1, zaś Y jest zmieą losową taką, że jeśli X = x, to Y ma rozkład wykładiczy z parametrem x. a) Wyzacz rozkład Y. b) Oblicz P(X > r Y ). 12* Zmiee X 1, X 2,..., X są iezależe, całkowale i mają jedakowy rozkład. Oblicz E(X 1 X 1 + X X ). 13. Dae jest σ-ciało G oraz zmiee losowe X i Y takie, że zmiea X jest mierzala względem G, a Y jest iezależa od G. Wykaż, że dla dowolej fukcji borelowskiej h takiej, że E h(x, Y ) <, gdzie H(x) = Eh(x, Y ). E(h(X, Y ) G) = H(X) p.., 14. Niech P będzie miarą probabilistyczą a (R 2, B(R 2 )) z gęstością f(x, y) względem miary Lebesgue a (czyli P(A) = A f(x, y)dxdy). Niech G = {A R : A B(R)}. Zajdź regulary rozkład warukowy P względem G. 15. Niech π będzie regularym rozkładem warukowym P względem G. Wykaż, że dla dowolej całkowalej zmieej losowej X, E(X G)(ω) = X(ω )π(dω, ω) p.. ω 16* Załóżmy, że X jest ieujemą zmieą losową a (Ω, F, P). Wykaż, że dla dowolego σ-ciała G F, a) E(X G) = 0 P(X > t G)dt p.. b) P(X > t G) t k E(X k G) p.. 17* Załóżmy, że X jest całkowalą zmieą losową, zaś σ-ciało G 2 jest iezależe od X i σ-ciała G 1. Udowodij, że E(X σ(g 1, G 2 )) = E(X G 1 ) p Zmiee losowe X, Y i Z są iezależe, przy czym X ma rozkład N (0, 1), Y jest ieujemą zmieą ograiczoą oraz P(Z = ±1) = 1/2. Oblicz E(e XY Y ) oraz E(e XY Y Z). 17

18 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa * - 10 (zadaia gwiazdkowe do oddaia 22 maja) 1. Udowodij, że lim p X p = X := esssup X. 2. Udowodij, że fukcja f(r) := r l E X 1/r jest wypukła dla r (0, ). 3* Zmiea losowa X spełia E X p < dla pewego p > 0. Wykaż, że (przyjmujemy, że e = 0). lim p 0+ (E X p ) 1/p = X 0 := exp(e l X ) 4. Dla p < 0 określmy podobie jak dla p > 0, X p = (E X p ) 1/p używając dodatkowej kowecji α = 0 dla α < 0. Wykaż, że X q X p dla < q p. 5. Dla przestrzei probabilistyczej (Ω, F, P) określmy Dla X, Y L 0 (Ω, F, P) iech L 0 (Ω, F, P) := {X : Ω R: mierzale}. d(x, Y ) := E mi(1, X Y ). Wykaż, że zbieżość w metryce d jest rówoważa zbieżości według prawdopodobieństwa. 6. Wykaż, że ciąg zmieych losowych X zbiega do X według prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego jego podciągu da się wybrać podciąg zbieży do X prawie a pewo. 7* Wykaż, że zbieżość prawie wszędzie jest iemetryzowala, tz. ie istieje metryka a L 0 (Ω, F, P), która metryzowałaby zbieżość prawie a pewo. 8. Udowodij, że dla dowolych zmieych losowych X, Y, X, Y a) jeśli X P X i X P Y to P(X = Y ) = 1 b) jeśli X P X i Y P X to lim P( X Y > ε) = 0 dla każdego ε > 0 9. Wykaż, że jeśli X P X i Y P Y, to ax + by P ax + by dla dowolych liczb rzeczywistych a, b. 10. Wykaż, że jeśli X P X i Y P Y oraz F jest fukcją ciągłą, to f(x, Y ) P f(x, Y ). 18

19 11. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe, mają te sam rozkład oraz P( X i < 1) = 1. Wykaż, że ciąg R = X 1 X 2 X zbiega do 0 p Zmiee (X ) 1 są iezależe, przy czym X ma rozkład Poissoa ze średią 1/. Zbadaj zbieżość ciągu X i) według prawdopodobieństwa; ii) prawie a pewo; iii) w L 2 i L 3/ Liczby p, q > spełiają waruek 1/p + 1/q = 1. Wykaż, że jeśli X zbiega do X w L p oraz Y zbiega do Y w L q (zakładamy, że X L p oraz Y L q ), to X Y zbiega do XY w L Zmiee X i Y są zbieże p.. do zmieych X i Y odpowiedio. Wykaż, że jeśli dla każdego, zmiea X ma te sam rozkład co zmiea Y, to zmiee X i Y mają jedakowy rozkład. 15. Niech X 1, X 2,... będzie ciągiem zmieych losowych o jedakowym rozkładzie takim, że E X <. Wykaż, że 1 max i X i P Wykaż, że jeśli zmiee X 1, X 2,... są iezależe oraz mają jedakowy rozkład taki, że EXi 2 <, to X X EX 1 wg prawdopodobieństwa. 19

20 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa * - 11 (zadaia gwiazdkowe do oddaia 5 czerwca) 1. Dae są iezależe zmiee losowe X 1, X 2,... takie, że X ma rozkład jedostajy a [, ]. Wyzacz wszystkie liczby p dla których szereg 1 X jest zbieży prawie p a pewo. 2. Załóżmy, że P(X = ) = P(X = ) = oraz P(X = 0) = dla = 1, 2,.... Wykaż, że 1 X jest zbieży p.. oraz 1 Var(X ) =. 3. Udowodij, że dla ciągu ieujemych iezależych zmieych losowych X i, i=1 X i < p.. wtedy i tylko wtedy gdy i=1 E X i 1+X i <. 4. Zmiee X i oraz ε i są iezależe przy czym P(ε i = ±1) = 1 2. Wykaż, że i=1 ε i X i jest zbieży p.. wtedy i tylko wtedy gdy i=1 X 2 i < p... 5* Z poprzediego zadaia wyika, że S = =1 1 ε jest zbieży p.w. Czy S ma rozkład ciągły? 6. Zdarzeia A 1, A 2,... są iezależe oraz p = P (A ), N = i=1 I Ai, = 1, 2,.... Udowodij, że N p 1 + p p 0 wg prawdopodobieństwa. 7* Fukcja rzeczywista f jest ciągła a [0, 1] 2. Dla x, y [0, 1] określmy ( k B f, (x, y) = f ), l ( )( ) x k (1 x) k y l (1 y) l. k l k,l=0 Udowodij, że B f, (x, y) zbiega jedostajie do f(x, y) a [0, 1] Zmiee losowe X 1, X 2,... są iezależe o wspólym rozkładzie wykładiczym z parametrem λ. Pokaż, że ciągi zmieych losowych a) X 1X 2 + X 2 X X X +1, b) X 1 + X X X1 2 + X X2 są zbieże prawie a pewo i wyzacz ich graice. 9. Day jest ciąg (X ) 1 iezależych zmieych losowych o rozkładzie Poissoa z parametrem Wykaż, że ciąg zmieych losowych X 1 X 2 X 3 + X 2 X 3 X X X +1 X +2 jest zbieży prawie a pewo i zajdź jego graicę. 20

21 10. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe, przy czym X ma rozkład jedostajy a przedziale (1/, 1]. Udowodij, że ciąg średich X 1 + X X jest zbieży prawie a pewo i oblicz jego graicę. 11. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe o wspólym rozkładzie jedostajym a [0, 2]. Czy ciąg M = (X 1 X 2 X ) 1/ jest zbieży p..? Jeśli tak, to do jakiej graicy? 12. Wykaż, że dla dowolego ciągu (X ) 1 iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie takim, że E X i < ciąg średich X 1 + X X EX 1 w L 1 przy. 13. Załóżmy, że zmiea N ma rozkład Poissoa z parametrem. Wykaż, że N / 1 w L 1 przy. 14. Oblicz graice 1 1 x 2 1 a) lim x2 dx 1... dx, 0 0 x x b) lim... x x2 dx 1... dx, 1 c) lim d) lim ( x x f e (x x ) dx 1... dx. + x x 0 ) dx 1... dx, gdzie f : [0, 1] R jest fukcją ciągłą, 21

22 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa * Dla ciągu X 1, X 2,... iezależych zmieych losowych o wspólym rozkładzie o skończoej wariacji defiiujemy średią empiryczą m i wariację empiryczą σ 2 wzorami m = X 1 + X X, σ2 = 1 (X k m ) 2. 1 Udowodij, że E m = EX 1, E σ 2 = Var(X 1 ) (tz. m i σ 2 są ieobciążoymi estymatorami średiej i wariacji) oraz m EX 1, σ 2 Var(X 1 ) prawie a pewo, gdy. 2. Day jest ciąg X 1, X 2,... iezależych zmieych losowych o wspólym rozkładzie taki, że EX i = (tz EX1 < oraz EX+ i = ). Udowodij, że X 1+X X prawie a pewo, gdy. 3. Zmiee losowe X 1, X 2,... są iezależe oraz P(X i = 1) = p, P(X i = 1) = 1 p dla pewego p (1/2, 1]. Wykaż, że X X prawie a pewo, gdy. Co się dzieje, gdy p = 1/2? 4. Udowodij ierówość maksymalą Levy ego: jeśli X 1,..., X są iezależymi symetryczymi zmieymi losowymi, to dla t > 0, gdzie S k = X X k. k=1 P( max 1 k S k t) 2P( S t), 5. Niech X, X 1, X 2,... będą iezależymi zmieymi o jedakowym rozkładzie, zaś µ R. Wykaż, że X X P µ przy wtedy i tylko wtedy, gdy przy zachodzą dwie zbieżości: i) P( X i ) 0 ii) EXI X µ. 6. Niech X będzie miało rozkład Cauchy ego. Które z rozkładów zmieych X, X/ l( X + e), X 2, X spełiają założeia mocego prawa wielkich liczb, a które słabego? 22

23 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa * Prawdopodobieństwo urodzeia chłopca wyosi 0, 517. Oszacuj prawdopodobieństwo tego, że wśród oworodków liczba chłopców ie przewyższy liczby dziewczyek. 2. Rzucamy kostką do gry aż do wystąpieia szóstki po raz 50. Oszacuj prawdopodobieństwo tego, że rzucimy co ajwyżej 400 razy. 3. Na campusie uiwersyteckim są dwie restauracja po 120 miejsc każda. Wiadomo, że codzieie 200 osób będzie chciało zjeść obiad, a wyboru restauracji dokouje losowo i iezależie. Jaka jest szasa, że w którejś restauracji zabrakie miejsc? Ile miejsc ależy przygotować w każdej restauracji, by powyższe prawdopodobieństwo było miejsze od 0,001? 4. W pewym mieście w wyborach prezydeckich głosuje osób. Zakładając, że wyborcy głosują a każdego z dwu kadydatów losowo i iezależie z prawdopodobieństwem 50% jaka jest szasa, że różica między kadydatami będzie miejsza iż 100 głosów? 5. Pewe biuro badaia opiii publiczej plauje zrobić sodaż wyborczy przed wyborami prezydeckimi. Przy założeiu losowego wyboru uczestików sodażu ile musi przepytać osób by z prawdopodobieństwem 0.95 uzyskae w sodażu wyiki poparcia dla poszczególych kadydatów róziły się od prawdziwych preferecji wyborczych ie więcej iż o 2 pukty procetowe? Jak zmiei się odpowiedź jeśli biuro bada poparcie kadydatów, których chce wybrać ie więcej iż 10% wyborców? 6. Zmiee (ε ) 1 są iezależe i P(ε = ±1) = 1/2. a) Oblicz w zależości od t, lim P(ε 1 + ε ε t ). b) Wykaż, że ciąg ε 1+ε ε ie jest zbieży prawie a pewo. 7. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe oraz P(X i = 1/2) = P(X i = 2) = 1/2. Niech R = (X 1 X 2 X ) 1/. Oblicz lim P(R t). 8. Prawdopodobieństwo wygraia w pewej loterii jest rówe W loterii zagrało 500 tysięcy osób. Jakie jest dokłade prawdopodobieństwo tego, że i) ktoś wygrał, ii) wygrała więcej iż jeda osoba? iii) Oszacuj prawdopodobieństwa z i) i ii). 9. Do pewej tabeli wpisao = liczb. Prawdopodobieństwo tego, że pojedycza liczba została błędie wpisaa wyosi 0, 005. Wprowadzoe liczby są sprawdzae przez kotrolera, który ie wychwytuje błędu z prawdopodobieństwem 0, 02. Oszacuj prawdopodobieństwo tego, że po weryfikacji tabela zawiera przyajmiej dwie błęde liczby. 23