Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I Grupę n dzieci ustawiono w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo

Transkrypt

1 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie. 2. Ze zbioru elemetowego losujemy ze zwracaiem r elemetów. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że któryś elemet się powtórzył? 3. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w grze w brydża gracz N otrzymał a) wszystkie karty różej wartości; b) dokładie dwa piki; c) co ajmiej dwa piki; d) dwa piki, 3 kiery, 4 kara, 4 trefle; e) układ 4432; f) układ Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w grze w pokera talią 24 kartową gracz otrzyma z ręki a) parę b) dwie pary c) straighta d) trójkę e) fulla f) karetę g) kolor h) pokera jedakowych ciastek rozdzieloo między czwórkę dzieci w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo tego, iż a) Jacek otrzymał dokładie 1 ciastko b) Jacek otrzymał co ajmiej 1 ciastko c) każde z dzieci otrzymało co ajmiej 1 ciastko 6. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w totolatka wylosowaa będzie szóstka ie zawierająca dwu kolejych liczb. 7. a) Ile różych słów (iekoieczie sesowych) moża utworzyć permutując litery słowa MATEMATYKA? b) Jeśli wybierzemy losowo któreś z tych słów jakie jest prawdopodobieństwo tego, że litery T ie stoją obok siebie? 8. Klasa liczy 15 ucziów, a każdej lekcji do odpowiedzi jest losoway jede uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu 16 lekcji każdy uczeń będzie przepytay. 9. W szafie zajduje się par butów, a chybił trafił wybieramy z ich k butów przy czym k. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) wśród wylosowaych butów jest coajmiej jeda para, b) wśród wylosowaych butów jest dokładie jeda para. 10. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że przy losowym umieszczeiu N listów w N zaadresowaych kopertach żade list ie trafi do właściwego adresata? 1

2 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Z przedziału [0, 1] wybrao w sposób losowy dwa pukty, które podzieliły go a trzy odciki. Jaka jest szasa, że z tych odcików da się zbudować trójkąt? 2. (Igła Buffoa) Igłę o długości l rzucoo w sposób losowy a płaszczyzę z zazaczoymi liiami rówoległymi. Odległość między sąsiedimi liiami wyosi d > l. Oblicz prawdopodobieństwo, że igła przetie którąś z liii. 3. Na ieskończoą szachowicę o boku 1 rzucoo moetę o średicy 2 3. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że moeta a) zajdzie się całkowicie we wętrzu jedego z pól b) przetie się z dwoma bokami szachowicy? 4. Załóżmy, że P(A B) = 1/2, P(A B) = 1/4, P(A \ B) = P(B \ A). Oblicz P(A) i P(B \ A). 5. Załóżmy, że A B C = Ω, P(B) = 2P(A), P(C) = 3P(A), P(A B) = P(B C) = P(A C). Wykaż, że 1/6 P(A) 1/4. 6. Załóżmy, że P(A) 2/3, P(B) 2/3, P(C) 2/3 i P(A B C) = 0. Oblicz P(A). 7. Wyzacz σ ciało geerowae przez a) dwa zbiory A i B; b) trzy zbiory A, B i C. 8. Czy istieje σ-ciało złożoe z 7-elemetów? 9. Wykaż, że dla dowolych zdarzeń A 1,..., A zachodzą ierówości i=1 ( P(A i ) P i=1 A i ) P(A i ) i=1 1 i<j P(A i A j ). 2

3 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Grupę dzieci ustawioo w sposób losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek stoi bezpośredio przed Agatką, jeśli Agatka stoi bezpośredio przed Dorotką; b) Jacek stoi przed Agatką, jeśli Agatka stoi przed Dorotką 2. Z talii 24 kartowej losujemy 5 kart bez zwracaia. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowaliśmy dokładie 3 asy jeśli wiadomo, że a) mamy coajmiej jedego asa b) mamy asa czarego koloru c) mamy asa pik d) pierwszą wylosowaą kartą jest as e) pierwszą wylosowaą kartą jest czary as f) pierwszą wylosowaą kartą jest as pik. 3. W urie zajduje się b kul białych i c kul czarych. Losujemy z ury po jedej kuli a astępie zwracamy ją do ury dokładając a kul tego samego koloru. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Pierwsza i druga wylosowaa kula będzie biała; b) Druga wylosowaa kula będzie biała; c) Za pierwszym razem wylosowao kulę białą, jeśli wiemy, że za drugim razem wylosowao kulę białą; d) W pierwszych trzech losowaiach wylosujemy kule tego samego koloru. 4. W populacji jest 15% dyslektyków. Jeśli w teście diagostyczym uczeń popełi 6 lub więcej błędów, to zostaje uzay za dylektyka. Każdy dyslektyk a pewo popełi co ajmiej 6 błędów w takim teście, ale rówież ie-dyslektyk może popełić więcej iż 5 błędów z prawdopodobieństwem 1/10. Jasio popełił w teście 6 błędów - jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jest dyslektykiem? Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w kolejym teście popełi co ajmiej 6 błędów? 5. Prawdopodobieństwo, że losowo wybraa rodzia ma dzieci jest rówe { αp = 1, 2,... p = 1 =1 αp = 1 αp 1 p = 0 Zakładając, że wszystkie 2 rozkładów płci dzieci w rodziie o dzieciach jest rówoprawdopodobe oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybraa rodzia ma a) coajmiej jedą córkę b) dokładie jedą córkę? c) Losowo wybraa rodzia ma przyajmiej jedą córkę, jakie jest prawdopodobieństwo, że jest oa jedyaczką? 6. Rzucamy dwa razy kostką. Rozważmy zdarzeia: A za pierwszym razem wypadła liczba oczek podziela przez trzy; B za drugim razem wylosowao liczbę oczek podzielą przez trzy C suma wyrzucoych oczek jest parzysta. Czy zdarzeia A, B, C są parami iezależe? Czy są iezależe? 3

4 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I W Małej Większej są dwie szkoły podstawowe. Przeprowadzoe pod koiec roku szkolego egzamiy wykazały, że większy procet dziewczyek w szkole r 1 potrafi rozłożyć liczbe 2012 a czyiki pierwsze iż w szkole r 2, podobie większy procet chłopców z jedyki potrafi to zrobić iż w dwójce. Czy zaczy to, że statystycze dziecko ze szkoły r 1 lepiej wypadło w rozkładaiu 2012 od statystyczego dziecka ze szkoły r 2? 2. Na kartkach zapisao różych liczb rzeczywistych, astępie kartki włożoo do pudełka, wymieszao i losowao kolejo bez zwracaia. Niech A k ozacza zdarzeie, że k-ta z wylosowaych liczb jest większa od wszystkich poprzedich. Wykaż, że P(A k ) = 1/k oraz zdarzeia A 1, A 2,..., A są iezależe. 3. Wyzacz ajbardziej prawdopodobą liczbę sukcesów w schemacie Beroulliego. 4. Rzucoo 10 razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w pierwszym rzucie wypadła szóstka, jeśli wiadomo, że a) w 10 rzutach wypadło dokładie 7 szóstek b) w 9 astępych rzutach wypadło dokładie 7 szóstek. 5. Rzucamy szóstką do mometu aż wypadie piątka lub po raz trzeci szóstka. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że rzucimy dokładie razy. 6. Prawdopodobieństwo tego, że w ciągu jedego dia a autostradzie będzie k wypadków jest rówe 5 k e 5 /k!, k = 1, 2,.... Prawdopodobieństwo tego, że w daym wypadku będzie uczesticzył samochód czerwoy jest 1/3. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciągu jedego dia a autostradzie będzie k wypadków z udziałem samochodów czerwoych. 7. Rzucoo symetryczymi moetami. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że otrzymaa liczba orłów jest podziela przez k dla k = 2, 3, Wykaż (używając metod probabilistyczych), że dla dowolych liczb całkowitych dodatich, m oraz p, q [0, 1] takich, że p + q + 1 zachodzi ierówość (1 p ) m + (1 p m ) Niech (Ω, F, P) będzie przestrzeią probabilistyczą modelującą schemat Beroulliego z parametrami i p. Dla 0 k przez A k określamy zdarzeie, że zaszło k sukcesów. Wykaż, że P(B A k ) dla B F ie zależy od parametru p. 10. Rzucamy ieskończeie wiele razy kostką. Udowodij, że z prawdopodobieństwem 1 wystąpi ieskończeie wiele serii złożoych z 2012 szóstek pod rząd. 4

5 11. Rzucamy ieskończeie wiele razy moetą a której orzeł wypada z prawdopodobieństwem p. Przez A ozaczmy zdarzeie, że w pierwszych rzutach wypadło tyle samo orłów, co reszek. Wykaż, że i) jeśli p 1/2, to z prawdopodobieństwem 1 zajdzie skończeie wiele spośród zdarzeń A 1, A 2,... ii*) jeśli p = 1/2, to z prawdopodobieństwem 1 zajdzie ieskończeie wiele spośród zdarzeń A 1, A 2, Dwaj gracze grają w orła i reszkę moetą symetryczą. Jeśli wypadie orzeł gracz A płaci B 1 zł., jeśli reszka, to B płaci A 1 zł. Gra się kończy, gdy któryś z graczy zostaie bez pieiędzy. Na początku gry gracz A ma a zł., a B b zł. a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że grę wygra gracz A. b) Jak zmiei się to prawdopodobieństwo, jeśli moeta jest sfałszowaa tz. orzeł wypada z prawdopodobieństwem p 1/2? 13. Rzucoo kostkami do gry. Określmy zdarzeia A k - a k-tej kostce wypadła szóstka, 1 k oraz A +1 - suma wyrzucoych oczek jest podziela przez 6. Wykaż, że dowole spośród zdarzeń A 1,..., A +1 jest iezależych, ale łączie zdarzeia A 1,..., A ie są iezależe. 14. Niech X ozacza ajdłuższą serię orłów w rzutach moetą symetryczą. Wykaż, że a) P(X a log 2 ) 0 przy dla a < 1, b) P(X a log 2 ) 1 przy dla a > Z przedziału [0, 1] losujemy dwie liczby dzielące go a trzy przedziały. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że ajkrótszy z powstałych przedziałów ma długość miejszą iż 1/5. 5

6 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Jaś i Małgosia raz w tygodiu grają w teisa. Prawdopodobieństwo, że w pojedyczym meczu zwycięży Małgosia jest rówe p (0, 1). Niech X ozacza umer meczu w którym Małgosia wygrała z Jasiem po raz k-ty. Zajdź rozkład X. 2. Rzucamy dwa razy kostką. Niech X ozacza miimum, a Y maksimum z uzyskaych liczb oczek. Zajdź rozkłady zmieych X i Y i sprawdż, że 7 X ma te sam rozkład co Y. 3. Zmiea losowa X ma dystrybuatę 0 dla t < 0 1 F X (t) = 7 + 2t dla 0 t < t dla 1 14 t < dla t 3 7. Oblicz P(X 3 7 ), P(0 < X < 3 7 ), P(X = 0), P( 1 14 X 3 7 ). 4. Dystrybuata zmieej losowej X ma postać 0 dla t < 0 1 F X (t) = 2t dla 0 t < 2 1 dla t 2. Zajdź dystrybuatę zmieych mi(1, X) i max(x, X 2 ). 5. Na pewym skrzyżowaiu zieloe światło dla pieszych świeci się przez 30 sekud, a czerwoe przez 2 miuty (ie ma światła żółtego). Pa Abacki przychodzi a skrzyżowaie w losowym momecie czasu. a) Zajdź rozkład czasu oczekiwaia przez paa Abackiego a zieloe światło. b) Pa Abacki czeka już miutę a zieloe światło. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie musiał czekać jeszcze poad pół miuty? 6. Niech F : R [0, 1] będzie prawostroie ciągłą, iemalejącą fukcją taką, że lim t F (t) = 1 oraz lim t F (t) = 0. Wykaż, że F jest dystrybutą pewej zmieej losowej. 6

7 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Z talii 52 kartowej losujemy 5 razy ze zwracaiem po jedej karcie. Niech X ozacza liczbę wyciągiętych pików, Y - kierów, a Z - waletów. Czy zmiee X i Y są iezależe? Czy zmiee X i Z są iezależe? 2. Zmiee X 1, X 2,..., X są iezależe oraz P(X i = ±1) = 1/2. i) Czy zmiee X 1 + X 2, X 1 X 2 są iezależe? ii) Czy zmiee X 1 + X 2, X 3, X 4 + X 5 X 6 są iezależe? iii) Czy zmiee X 1, X 1 X 2,..., X 1 X 2 X są iezależe? 3. Dla t [0, 1] i = 1, 2,... iech X (t) ozacza -tą cyfrę rozwiięcia dwójkowego liczby t (w przypadku dwu rozwiięć wybieramy to ze skończoą liczbą 1). Udowodij, że X 1, X 2,... są iezależymi zmieymi losowymi a ([0, 1], B([0, 1]),. ). 4. Zmiee losowe X i Y są iezależe oraz mają rozkłady geometrycze z parametrami odpowiedio p i q. Oblicz P(X Y ). 5. Zmiee losowe X i Y są iezależe oraz mają rozkłady wykładicze z parametrami odpowiedio λ i µ. Oblicz P(X Y ). 6. Zmiee losowe X i Y są iezależe, przy czym dystrybuata X jest ciągła. Wykaż, że P(X = Y ) = Zmiea X jest iezależa od samej siebie. Wykaż, że istieje liczba c taka, że P(X = c) = Załóżmy, że dystrybuata F zmieej losowej X jest ciągła i kawałkami klasy C 1. Wykaż, że X ma rozkład ciągły (z gęstością g = F ). 9. Zajdź rozkład zmieej ax +b oraz e X, gdy X ma rozkład wykładiczy z parametrem λ. 10. Zajdź rozkłady zmieych bx + c, e X i X 2, gdy X ma rozkład ormaly N (a, σ 2 ). 11. Zmiea losowa X ma rozkład wykładiczy z parametrem 1. Wyzacz rozkłady zmieych X oraz {X}. Czy zmiee te są iezależe? 12. Zmiee X i Y są iezależe i mają rozkład N (0, 1). Zajdź łączy rozkład wektora losowego (X + Y, X Y ). Co moża powiedzieć o jego współrzędych? 13. Podaj przykład zmieej X o ciągłej dystrybuacie, która ie ma rozkładu ciągłego (tz. ie ma gęstości). 14. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie z ciągłą dystrybuatą F. Dla ω Ω iech X 1 (ω),..., X (ω) będzie ustawieiem X 1 (ω),..., X (ω) w porządku rosącym X 1 (ω) X 2 (ω)... X (ω) (czyli w szczególości X 1 = mi{x 1,..., X }, X = max{x 1,..., X }. Zajdź dystrybuatę X k dla k = 1,..., (X k azywamy k-tą statystyką porządkową ciągu X 1,..., X ). 7

8 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Zmiee losowe X 1,..., X są iezależe, przy czym X i ma rozkład wykładiczy z parametrem λ i. Zajdź rozkład zmieej max{x 1,..., X }. 2. Zmiee losowe X 1,..., X są iezależe i mają rozkłady Poissoa z parametrami λ 1,..., λ. Wykaż, że X 1 + X X ma rozkład Poissoa z parametrem λ 1 + λ λ. 3. Do pewej tabeli wpisao = liczb. Prawdopodobieństwo, że pojedycza liczba została błędie wpisaa wyosi 0, 005. Wprowadzoe liczby są sprawdzae przez kotrolera, który wychwytuje błąd z prawdopodobieństwem 0, 02. Oszacuj prawdopodobieństwo tego, że po weryfikacji tabela zawiera przyajmiej dwie błęde liczby. 4. Dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) ma rozkład z gęstością g(x, y) = cxy1 {0 x y 1}. i) Zajdź stałą c. Czy zmiee X, Y są iezależe? ii) Oblicz P(X + Y 1). iii) Zajdź rozkład zmieej X/Y. Czy zmiea X/Y jest iezależa od Y? 5. X, Y są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie wykładiczym z parametrami λ i µ, zajdź rozkład zmieej X/Y. 6. Zmiee X, Y są iezależe i mają rozkład jedostajy a przedziale [ 1, 1]. Oblicz P(X 2 + Y 2 1). 7. Mówimy, że zmiea X ma rozkład Γ z parametrem r > 0 (oz. X Γ(r)), jeśli X ma gęstość g r (x) = 1 Γ(r) xr 1 e x I {x 0}, gdzie Γ(r) = x r 1 e x dx. 0 a) Wykaż, że jeśli zmiee X 1,..., X są iezależe oraz X i Γ(r i ), to X X Γ(r r ). b) Wykaż, że jeśli zmiee X 1,..., X są iezależe oraz każda z ich ma rozkład wykładiczy z parametrem λ, to X X 1 λ Γ(). (Uwaga. Rozkład aγ(r) w zależości od przyjetej kowecji się ozacza jako rozkład Γ(r, a) lub Γ(1/a, r).) c) Wykaż, że jeśli zmiee X 1,..., X są iezależe oraz X i N (0, 1), to X X 2 2Γ(/2). (Uwaga. Rozkład te występuje w wielu zastosowaiach statystyczych i się azywa rozkładem chi kwadrat o stopiach swobody.) 8. Zmiee X 1, X 2, ε 1, ε 2 są iezależe, przy czym X i mają rozkład wykładiczy z parametrem λ, a P(ε i = ±1) = 1/2. Zajdź rozkład ε i X i, X 1 X 2 oraz ε 1 X 1 + ε 2 X 2. 8

9 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Załóżmy, że P(X = 0) = P(X = 1) = 1 4 oraz P(X = 5) = 1 2. Oblicz EX,, E si(πx) i Var(X). E 1 X+1 2. Oblicz Et X dla t R i X o rozkładzie Poissoa z parametrem λ. 3. Zmiea losowa X ma gęstość g(x) = 3 8 x2 I [0,2] (x). Oblicz EX, E 1 2+X oraz Var(X 2 ). 4. Oblicz wartość oczekiwaą i wariację rozkładu geometryczego z parametrem p. 5. Zmiea losowa X ma dystrybuatę 0 dla t < 0 1 F X (t) = 2t dla 0 t < dla 1 t < 5 1 dla t 5. Oblicz E(10X + 2). 6. Roztrzepaa sekretarka umieściła w sposób losowy N listów w N uprzedio zaadresowaych kopertach. Niech X ozacza liczbę listów, które trafiły do właściwej koperty. Zajdź wartość oczekiwaą i wariację X. 7. Do klasy chodzi 20 ucziów. Nauczyciel a każdej lekcji pyta losowo wybraego uczia. Zajdź wartość oczekiwaą i wariację liczby ucziów przepytaych w ciągu 15 lekcji. 8. Każdy bok i przekątą siedmiokąta pomalowao w sposób losowy a jede z trzech kolorów (zakładamy, że kolory różych odcików są dobierae iezależie i każdy z trzech dostępych kolorów jest wybieray z jedakowym prawdopodobieństwem). Oblicz wartość oczekiwaą liczby jedobarwych trójkątów o wierzchołkach bedących wierzchołkami siedmiokąta. 9. Udowodij, że dla dowolej rzeczywistej zmieej losowej X i p > 0, E X p = p 0 t p 1 P( X t)dt. 10. Wykaż, że jeśli zmiea losowa X przyjmuje tylko wartości całkowite ieujeme, to EX = P(X k) = P(X > k). k=1 11. Niech (π(1),..., π()) ozacza losową permutację zbioru {1,..., }. Niech N ozacza ajwiększą liczbę taką, że π(k) > π(k 1) dla k N. Oblicz EN. k=0 9

10 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Zmiee X 0, X 1,... są iezależe i mają jedakowy rozkład z ciągłą dystrybuatą. Niech N := if{ : X > X 0 }. Zajdź rozkład N i oblicz EN. 2. Kij o długości 1 złamao w losowym pukcie. Oblicz wartość oczekiwaą stosuku i) długości kawałka prawego do długości lewego, ii) długości kawałka krótszego do długości kawałka dłuższego. 3. Zmiee losowe X, Y spełiają waruki Var(X) = 2, Var(Y ) = 4, Cov(X, Y ) = 1. Oblicz Var(2X 3Y ) i Cov(5X + 2Y, X 3Y ). 4. Zmiea losowa X ma wariację σ 2, wykaż, że P( X EX 4σ) Niech S = i=1 a iε i, gdzie (ε i ) są iezależymi zmieymi losowymi takimi, że P(ε i = ±1) = 1/2. Wykaż, że dla wszystkich λ R, Ee λs e 1 2 λ2 ES 2 i wywioskuj stąd, że dla t 0, ( P S t(es 2 ) 1/2) 2e t2 /2. 6. Niech S = ε 1 + ε ε, gdzie (ε i ) są jak w poprzedim zadaiu. Wykaż, że S lim sup 1 p.. 2 log oraz lim if S 2 log 1 p Zmiea losowa X spełia waruek ( ) 2 E X = 1, 2,.... Wykaż, że X <, tz. istieje liczba M < taka, że P( X > M) = Nadajik wysyła sygał X, a odbiorik odbiera sygał Z = ax + Y, gdzie a > 0, a Y jest losowym zaburzeiem iezależym od X. Załóżmy, że EX = m, Var(X) = 1, EY = 0, Var(Y ) = σ 2. Oblicz współczyik korelacji X i Z oraz regresję liiową X względem Z, tz. ajlepsze (względem wariacji) przybliżeie liiowe X za pomocą Z. 10

11 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Zmiee (ε ) 1 są iezależymi zmieymi Rademachera, tz. P(ε i = ±1) = 1/2. Wykaż, że ciąg X ie jest zbieży p... Czy jest zbieży według prawdopodobieństwa? 2. Niech (ε ) 1 będą jak w poprzedim zadaiu. Wykaż, że szereg S = =1 2 ε jest zbieży p.. i zajdź rozkład S. 3. Ciągi zmieych losowych (X ) 1 oraz (Y ) 1 są zbieże według prawdopodobieństwa odpowiedio do X i Y. Udowodij, że i) ciąg X + Y jest zbieży do X + Y według prawdododobieństwa, ii) ciąg X Y jest zbieży do XY według prawdododobieństwa. 4. Daa jest całkowala zmiea losowa X. Określamy dla 1, dla X (ω) < X (ω) = X(ω) dla X (ω) dla X (ω) >. Czy ciąg X jest zbieży prawie a pewo? Czy jest zbieży w L 1? 5. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe, mają te sam rozkład oraz P( X i < 1) = 1. Wykaż, że ciąg R = X 1 X 2 X zbiega do 0 p Zmiee X 1, X 2,... są iezależe, ieujeme, mają te sam rozkład oraz P( X i = 0) < 1. Wykaż, że ciąg =1 X = p Zmiee X 1, X 2,... są iezależe (o iekoieczie jedakowym rozkładzie). Wykaż, że i) ciąg średich 1 (X 1 + X X ) albo jest zbieży p.. albo z prawdopodobieństwem 1 jest rozbieży, ii) jeśli powyższy ciąg jest zbieży p.., to jego graica ma rozkład jedopuktowy. 11

12 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Day jest ciąg (X ) 1 iezależych zmieych losowych o rozkładzie wykładiczym z parametrem λ. i) Wykaż, że jeśli λ > 1, to z prawdopodobieństwem 1, X < log dla dużych, a jeśli λ 1, to z prawdopodobieństwem 1, X log dla ieskończeie wielu. ii) Zbadaj zbieżość według prawdopodobieństwa i prawie a pewo ciągu (X / log ) Zmiee (X ) 1 są iezależe, przy czym X ma rozkład Poissoa ze średią 1/. Zbadaj zbieżość ciągu X i) według prawdopodobieństwa; ii) prawie a pewo; iii) w L 2 i L 3/2. 3. Liczby p, q > spełiają waruek 1/p + 1/q = 1. Wykaż, że jeśli X zbiega do X w L p oraz Y zbiega do Y w L q, to X Y zbiega do XY w L Zmiee X i Y są zbieże p.. do zmieych X i Y odpowiedio. Wykaż, że jeśli dla każdego, zmiea X ma te sam rozkład co zmiea Y, to zmiee X i Y mają jedakowy rozkład. 5. Wykaż, że X P X wtedy i tylko wtedy gdy E mi( X X, 1) Niech X 1, X 2,... będzie ciągiem zmieych iezależych o jedakowym rozkładzie takim, że E X <. Wykaż, że 1 max P i X i Wykaż, że jeśli ε jest ciągiem liczb dodatich zbieżych do 0 takim, że =1 P( X X ε ) <, to X X p Jakie waruki musi spełiać zbiór T (0, ), by rodzia (X t ) t T była jedostajie całkowala, jeśli i) X t ma rozkład jedostajy a przedziale [0, t], ii) X t ma rozkład wykładiczy z parametrem t. 9. Załóżmy, że fukcja G [0, ) [0, ) spełia waruek lim t G(t) t =. Wykaż, że każda rodzia zmieych losowych (X i ) i I spełiająca waruek sup i I EG( X i ) < jest jedostajie całkowala. 12

13 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Zmiee losowe X 1, X 2,... są iezależe o wspólym rozkładzie wykładiczym z parametrem λ. Pokaż, że ciągi zmieych losowych a) X 1X 2 + X 2 X X X +1, b) X 1 + X X X1 2 + X X2 są zbieże prawie a pewo i wyzacz ich graice. 2. Day jest ciąg (X ) 1 iezależych zmieych losowych o rozkładzie Poissoa z parametrem Wykaż, że ciąg zmieych losowych X 1 X 2 X 3 + X 2 X 3 X X X +1 X jest zbieży prawie a pewo i zajdź jego graicę. 3. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe, przy czym X ma rozkład jedostajy a przedziale (1/, 1]. Udowodij, że ciąg średich X 1 + X X jest zbieży prawie a pewo i oblicz jego graicę. 4. Dae są iezależe zdarzeia A 1, A 2,.... Wykaż, że 1 A1 + 1 A A P(A 1) + P(A 2 ) P(A ) 0 według prawdopodobieństwa przy. 5. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe o wspólym rozkładzie jedostajym a [0, 2]. Czy ciąg M = (X 1 X 2 X ) 1/ jest zbieży p..? Jeśli tak, to do jakiej graicy? 6. Wykaż, że dla dowolego ciągu (X ) 1 iezależych zmieych losowych o jedakowym rozkładzie takim, że E X i < ciąg średich X 1 + X X EX 1 w L 1 przy. 7. Załóżmy, że zmiea N ma rozkład Poissoa z parametrem. Wykaż, że N / 1 w L 1 przy. 8. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe i mają rozkład jedostajy a [ 1, 1]. Czy ciąg X 1 + X X jest zbieży prawie a pewo przy? 9. Oblicz graice 1 a) lim x x2 0 x x dx 1... dx ; 1 1 b) lim x x 2 dx 1... dx ; )dx 1... dx, gdzie f : [0, 1] R jest fuk- 1 c) lim cją ciągłą. f( x1+...+x 13

14 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Załóżmy, że X, X 1, X 2,... są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie takim, że tp( X t) 0 przy t. Wykaż, że X 1 + X X E(XI X ) 0 według prawdododobieństwa. 2. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe o jedakowym rozkładzie z gęstością c (1+x 2 ) l(e+ x ). Wykaż, że (X 1 + X X )/ 0 według prawdopodobieństwa. Czy ciąg te jest zbieży prawie a pewo? 3. Udowodij twierdzeie o dwóch szeregach: jeśli (X ) 1 jest ciągiem zmieych losowych o skończoych wariacjach, takim, że zbieże są szeregi 1 EX i 1 Var(X ), to szereg 1 X jest zbieży prawie a pewo. 4. Zmiee losowe (ε ) 1 są iezależe i P(ε = ±1) = 1/2. Dla jakich ciągów (a ) szereg 1 a ε jest zbieży prawie a pewo? 5. Dae są iezależe zmiee losowe X 1, X 2,... takie, że X ma rozkład jedostajy a [, ]. Wyzacz wszystkie liczby p dla których szereg jest zbieży prawie a pewo. 1 X p 6. Prawdopodobieństwo urodzeia chłopca wyosi 0, 517. Oszacuj prawdopodobieństwo tego, że wśród oworodków liczba chłopców ie przewyższy liczby dziewczyek. 7. Rzucamy kostką do gry aż do wystąpieia szóstki po raz 50. Oszacuj prawdopodobieństwo tego, że rzucimy co ajwyżej 400 razy. 8. Na campusie uiwersyteckim są dwie restauracja po 120 miejsc każda. Wiadomo, że codzieie 200 osób będzie chciało zjeść obiad, a wyboru restauracji dokouje losowo i iezależie. Jaka jest szasa, że w którejś restauracji zabrakie miejsc? Ile miejsc ależy przygotować w każdej restauracji, by powyższe prawdopodobieństwo było miejsze od 0,001? 9. W pewym staie w wyborach prezydeckich głosuje osób. Zakładając, że wyborcy głosują a każdego z dwu kadydatów losowo i iezależie z prawdopodobieństwem 50% jaka jest szasa, że różica między kadydatami będzie miejsza iż 100 głosów? 10. Agata rzuciła moetą 100 razy i uzyskała 70 orłów. Ja chce powtórzyć te wyczy (tz. otrzymać 70 lub więcej orłów) i zamierza w tym celu rzucać moetą aż do skutku. Ile średio serii po 100 rzutów potrzeba, aby się doczekać 70 lub więcej orłów? 14

15 11. Pewe biuro badaia opiii publiczej plauje zrobić sodaż wyborczy przed wyborami prezydeckimi. Przy założeiu losowego wyboru uczestików sodażu ile musi przepytać osób by z prawdopodobieństwem 0.95 uzyskae w sodażu wyiki poparcia dla poszczególych kadydatów róziły się od prawdziwych preferecji wyborczych ie więcej iż o 2 pukty procetowe? Jak zmiei się odpowiedź jeśli biuro bada poparcie kadydatów, których chce wybrać ie więcej iż 10% wyborców? 12. Zmiee (ε ) 1 są iezależe i P(ε = ±1) = 1/2. a) Oblicz w zależości od t, lim P(ε 1 + ε ε t ). b) Wykaż, że ciąg ε1+ε2+...+ε ie jest zbieży prawie a pewo. 13. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe oraz P(X i = 1/2) = P(X i = 2) = 1/2. Niech R = (X 1 X 2 X ) 1/. Oblicz lim P(R t). 15

16 Zadaia z Rachuku Prawdopodobieństwa I Zmiee losowe ε 1, ε 2, ε 3 są iezależe oraz P(ε i = ±1) = 1/2. Oblicz E(ε 1 ε 1 + ε 2 + ε 3 ) i E(ε 1 ε 2 ε 1 + ε 2 ε 3 ). 2. Zmiee losowe X i Y są iezależe, przy czym X ma rozkład Beroulliego Bi(, p), Y ma rozkład Beroulliego Bi(, p). Oblicz E(X + Y X) oraz E(X X + Y ). 3. Rzucoo kostką ajpierw raz, a astępie tyle razy ile oczek wypadło w pierwszym rzucie. Oblicz wartość oczekiwaą sumy wyrzucoych oczek oraz liczby wyrzucoych trójek. 4. W urie zajduje się a kul białych, b kul czarych i c kul czerwoych, przy czym a, b, c 1. Losujemy ze zwracaiem po jedej kuli z ury dopóki ie wylosujemy kuli czerwoej. Oblicz wartość oczekiwaą wylosowaych kul białych. 5. W woreczku zajduje się pewa liczba moet, z których p procet jest sfałszowaa, z orłem po obu stroach. Powtarzamy razy astępujące doświadczeie - wyciągamy z woreczka moetę i ją rzucamy, a astępie zwracamy do woreczka. Niech O ozacza liczbę wyrzucoych orłów, zaś F liczbę wylosowań sfałszywaych moet. Wykaż, że E(F O) = wyosi E(O F )? 2p 100+p O. Ile 6. Zmiee X 1, X 2,... są iezależe o rozkładzie wykładiczym z parametrem λ, iech S = X 1 + X X. a) 0blicz E(S X 1 ), E(S 2 X 1 ). b) Dla k wyzacz E(S S k ), E(S 2 S k ) oraz E(e S S k ). 7. Zajdź przykład zmieych losowych X, Y, które ie są iezależe, ale E(X Y ) = EX. 8. Zmiea losowa (X, Y ) ma gęstość g(x, y) = x3 2 e x(y+1) I x>0,y>0. Wyzacz E(Y X), E(Y 2 X 2 ) oraz P(Y > 1 X 3 + 1). 9. Zmiee X i Y są iezależe o rozkładzie jedostajym a [0, 1]. Oblicz E(max(X, Y ) mi(x, Y )) oraz E(X 3 X + Y ). 16

17 10. Niezależe zmiee losowe X i Y mają rozkład wykładiczy z parametrem 1. Oblicz P(X B X + Y ) oraz E(si X X + Y ). 11. Zmiea losowa X ma rozkład wykładiczy z parametrem 1, zaś Y jest zmieą losową taką, że jeśli X = x, to Y ma rozkład wykładiczy z parametrem x. a) Wyzacz rozkład Y. b) Oblicz P(X > r Y ). 12. Zmiee X 1, X 2,..., X są iezależe, całkowale i mają jedakowy rozkład. Oblicz E(X 1 X 1 + X X ). 13. Dae jest σ-ciało G oraz zmiee losowe X i Y takie, że zmiea X jest mierzala względem G, a Y jest iezależa od G. Wykaż, że dla dowolej fukcji borelowskiej h takiej, że E h(x, Y ) <, gdzie H(x) = Eh(x, Y ). E(h(X, Y ) G) = H(X) p.., 14. Załóżmy, że X jest całkowalą zmieą losową, zaś σ-ciało G 2 jest iezależe od X i σ-ciała G 1. Udowodij, że E(X σ(g 1, G 2 )) = E(X σ(g 1 )) p Zmiee losowe X, Y i Z są iezależe, przy czym X ma rozkład N (0, 1), Y jest ieujemą zmieą ograiczoą oraz P(Z = ±1) = 1/2. Oblicz E(e XY Y ) oraz E(e XY Y Z). 16. Zmiee N, X 1, X 2,... są iezależe, przy czym N ma rozkład Poissoa z parametrem λ, a X i mają rozkład jedostajy a [0, 1]. Oblicz E(X 1 + X X N ). 17