Wykład 9 Na poprzdnim wykładzi zbadaliśmy sns równań ruchu. Są o równania różniczkow. Pozwalają on wyznaczyć położnia (i prędkości) w dowolnym czasi przyszłym, jśli znamy w jakijś chwili (nazywanj począkową ) wszyski położnia i wszyski prędkości. Skonsruowaliśmy jawny przpis na znajdowani koljnych położń i prędkości (rakowanych dla wygody jako współrzędn jdngo wkora y = y, y, } w kórym połowa y ków o { 1 L zwykł położnia, a druga połowa o prędkości 1 ) opay na ym, ż znamy pochodn wszyskich składowych y po czasi wyrażon przz samo y: y & = f (y). Pochodn składowych, kór są położniami, o są inn y-ki,, kór są prędkościami, pochodn ych składowych, kór są prędkościami, czyli przyspisznia są właśni ą kwinsncją równań ruchu, kór opisują konkny przykład, konkn oddziaływania. Ważn, by ni zalżały on od niczgo inngo niż y. A więc zalżność siły ograniczona być musi do zalżności od wszyskich położń i prędkości, oraz, wnualni, od czasu (y ). Moda krok po kroku ( w kórjkolwik wrsji prymiywnj, ulpszonj, czy wyrafinowanj ) działa nizalżni od posaci analiycznj sił. Js równi ława dla oscylaora harmoniczngo, co i anharmoniczngo. Równi ława dla siły oporu liniowgo, czy opisango dowolna poęga prędkości, czy funkcja przsępną. Moda numryczna, przy wszyskich zalach, ma jdną wadę. Naw po wprowadzniu ak dużj, jak o możliw, liczby wilkości bzwymiarowych, rozwiązani można skonsruować ylko dla konknych waości bzwymiarowych. Chcąc przdyskuować różn zachowania ruchu w danym problmi, w zalżności i od warunków począkowych i od waości różnych współczynników, rzba porównywać wil abl, czy wil wykrsów. Dlago, gdy ylko isnij możliwość analiyczngo rozwiązania, j. rozwiązania na lirach rprznujących i waości począkow i paramry układu, aki jak masy, ładunki, współczynniki oporu, czy współczynniki sprężysości, o jsśmy bardzo ęśliwi! Taki rozwiązywaln problmy są kljnoami, kór powinniśmy kolkcjonować, kór powinniśmy poznawać, kórymi powinniśmy umić się ciszyć. 1 Gdy siły zalżą jawni od czasu, wprowadzamy j y =. Mody prymiywnj sosować ni wao, chyba, nigdy. Moda wyrafinowana wymaga znaczni mnijszj liczby kroków od mody ulpszonj, dla uzyskania żądanj dokładności, al samgo wpisywania opracji w programi, js nico więcj. Wybór js kwsią gusu, porzb, możliwości numrycznych i oprogramowania jakim dysponujmy. 1
Domyślają się wszyscy, ż oscylaor harmoniczny, a więc układ opisany równa- nim: & =, nalży do akich właśni kljnoów! Po wprowadzniu czasu zrdukowango = / i prędkości zrdukowanj v = d / d, równani ruchu przyjmuj posać: d = v d d v = d W j właśni posaci rozwiązaliśmy równania numryczni (przy warunku począkowym v () = 1, () = ) uzyskując dla położń funkcję przypominającą znany z gomrii sinus i dla prędkości zrdukowanj funkcję przypominającą cosinus. Uzyskan numryczni funkcj są okrsow, zminiając się w przdzial od 1 do +1, mają okrs *3,14159... Podjdźmy raz analiyczni do naszgo oscylaora. Upwnimy się, ż nasz funkcj są ymi dobrz znanymi z gomrii funkcjami rygonomrycznymi. Jak pamięamy, przyros sumy kwadraów w ścisłym rozwiązaniu, js wykluczony: d( + v ) = d + v d v = (v v )d = + v = C = + v a sama waość j sumy wyznaczona js przz warunk począkowy. Na płayźni fazowj ( v, ) pozosajmy w czasi ruchu na okręgu o prominiu C. Trzba raz okrślić jak się n punk przmia wraz z upływm czasu. To ław. C (, v ) ( v, ) Wkor : (d v / d,d / d ) = (, v ) i wkor : ( v, ) maja rown dlugosci i sa oogonaln f v
Prędkość przmiania się punku o wkorz wodzącym: ( v, ) na płayźni fazowj ( d v / d, d / d ) = (, v ) js prosopadła do go wkora wodzącgo. To oznacza, oczywiści, ż punk musi pozosawać na okręgu, o środku w począku układu. To już js rzula nam znany. Al nasz wynik oznacza j coś więcj. Szybkość (względm czasu zrdukowango) przminia się po ym okręgu js sała i równa waości prominia C. W czasi przbya po obwodzi droga js iloczynm prominia i czasu (zrdukowango). Zam ką φ na rysunku (w mirz łukowj) js ożsamy z czasm zrdukowanym, gdy czas zaczynamy liczyć j od fazy ruchu, w kórj =, a prędkość js maksymalna, albo = + φ = φ +, w przypadku ogólnym φ Korzysając z rygonomrycznj dfinicji funkcji sinus i cosinus, widzimy, iż: = C sin( + φ ) v = v = C cos( + φ ) Na podsawi znanych wzorów na funkcj rygonomryczn sumy kąów mamy: = C sin( + φ ) = C sin( φ ) cos( ) + C cos( φ ) sin( ) v = v = C cos( + φ ) = C cos( φ ) cos( ) C sin( φ ) sin( ) Dwi dowoln sał: ampliudę i fazę możmy, jśli ak nam wygodnij, zasąpić począkowymi waościami położnia i prędkości: = C sin( φ v = C cos( φ ) cos( ) + C cos( φ ) cos( ) C sin( φ ) sin( ) = ) sin( ) = v v cos( ) + sin( ) cos( ) sin( ) Js o kompln rozwiązani problmu ruchu oscylaora. Powsaj pyani, czy wobc isninia, i o ak sosunkowo prosgo, rozwiązania analiyczngo, wao było zajmować się rozwiązanim numrycznym? No cóż. To kwsia gusu. W powyższym podjściu wzoruję się na Fynmani. Js szrg zal uświadominia sobi jak pracują równania ruchu. Jdną z korzyści było nimal naychmiasow, bz żadngo wysiłku, przjści od oscylaora harmoniczngo, do anharmoniczngo. Inna sprawa o sam funkcj sinus i cosinus. Wydaj nam się, ż wimy, czmu on są równ. Al ak naprawdę, z rygonomrii o my ylko widzimy na rysunku, jaki js ich sns, al policzyć o sobi j możmy dla 3, 45, czy 6 sopni i paru innych podobnych. 3
Właśni osanio mój wnuk mni dopyuj, bo go o nipokoi: no co o js n sinus dla byl jakigo kąa? Oczywiści, w przszłości, mądrzy ludzi ułożyli ablic - dzisiaj, w byl kalkulaorku odczyamy waość sinusa, dajmy na o 1 radiana. A my sobi sami policzyliśmy! Zaglądamy do abli na sroni 7 wykładu 8 z krokim,1 i w rubryc E1 mamy (wyliczoną za pomocą opracji czyso arymycznych) waość,8415. Tyl samo, co wszędzi! W wyniku na ruch oscylaora zawa są ż ważn wyniki na pochodn ych funkcji. Po prosu widzimy, ż pochodną sinusa js cosinus, a cosinusa minus sinus. No, bo pochodną położnia js prędkość, a pochodną prędkości przyspiszni, równ położniu z znakim minus. Dwukron różniczkowani każdj z ych funkcji (a akż ich dowolnj kombinacji liniowj) daj z powrom ę sama funkcję, al z minusm. Zbiór własności d dϕ f () = d dϕ f ( ϕ) = f ; f ( ϕ) ϕ= = 1 dfiniuj jdnoznaczni funkcję f. Ta funkcja wysępuj w naszj kolumni E arkusza kalkulacyjngo z poprzdnigo wykładu. Ta funkcja nazywa się sinus. Ta sama funkcja pozwala związać współrzędną punku na okręgu z długością odpowidnigo łuku. Funkcj rygonomryczn grają ak wybina rolę w fizyc, ż wao, już raz, pokazać j jdną ich własność. Ni js rudno uzyskać szrg poęgowy dla sinusa i cosinusa. Punkm wyjścia nich będzi szrg dla funkcji wykładniczj: = 1 + + 1!! wpros z dfinicji liczby i wzoru na dwumian Nwona 3. + 3 3! + 4 4! + L Można go uzyskać Z rozwinięcia go wynika podsawowa własność funkcji wykładniczj, mianowici o, iż jj pochodna równa się samj funkcji. To widać. Każdy człon zróżniczkowany ma mnijszą poęgę, a wykładnik n zjżdżający do licznika, skraca się z osanim czynnikim n! 3 Oo prosy rachunk, rochę brawurowy jak na gusy mamayków, al dla fizyków OK. = 1+ + n ((1 + 1/ n) ) 1! n m m( m 1) = (1 + / n) = (1 + / m) = 1+ m + m! m m( m 1) 1 m( m 1)( m ) 3 1 1 + + L 1+ + + m m 3! m m m! 3! 3 + L = + L 4
silni w mianowniku. Tym samym każdy wyraz rozwinięcia samj funkcji, pojawia się ponowni w szrgu jj pochodnj, yl, ż człon z poęgą pochodzi z członu z poęgą 1, człon z poęgą 1 pochodzi z członu z poęgą, człon z poęgą pochodzi z członu z poęgą 34 id. d d = Gdy z szrgu poęgowgo funkcji wykładniczj zosawimy sobi sam poęgi parzys (albo sam niparzys) dopiro dwukron różniczkowani daj znów funkcję wyjściową. Nazywają się funkcj: sinus hiprboliczny i cosinus hiprboliczny: 3 5 sinh( ) = + + + L 1! 3! 5! 4 cosh( ) = 1+ + + L! 4! Mamy szrg oczywisych rlacji: cosh ()=sinh() sinh ()=cosh() sinh()+cosh()= ; cosh()- sinh()= - ; sinh()=( - - )/; cosh()=( + - )/; Jsśmy blisko! Porzba nam ylko znaku minus przy przprowadzaniu jdnj z funkcji w drugą. Osiąga się o, zaminiając szrgi dla funkcji hiprbolicznych, na szrgi naprzminn. 3 5 7 sin( ) = + + L 1! 3! 5! 7! 4 6 cos( ) = 1 + + L! 4! 6! Przy dwukronym różniczkowaniu każdy człon rprodukuj (prawi) n wczśnijszy, yl, ż każdy wczśnijszy (sąsidni) ma przciwny znak! d sin = cos d d cos = sin d Elgancki wzór dosaj się korzysając z liczb zspolonych. Poniważ 3 4 i = 1; i = i; i = 1, więc, widać co się dzij, po wsawiniu i do szrgu poęgowgo dla podsawowj funkcji wykładniczj. Wyrazy o poęgach podzilnych przz 4 ni zminiają się, a pozosał parzys zminiają znak. Grupują się w szrg dla cosinusa. 5
Wyrazy o n=4k+1 dosają mnożnik i, a posaci 4K+3 dosają mnożnik i. Po wyłączniu i, dosajmy szrg dla sinusa: Słynny wzór Eulra: i cos( ) + i sin( ) =, js jdnym z najpięknijszych wzorów mamayki Zapisany dla = π brzmi: i zawira 5 najważnijszych liczb: Js ż oczywiści: iπ,1,,, π + 1 = i! sin( ) = i i i, cos( ) = i + i Przydaność liczb zspolonych zilusrujmy zbadanim ruchu oscylaora z siłą łuminia proporcjonalną do prędkości: m & = k α& Sosunk k/m dla oscylaora niłumiongo oznaczaliśmy lirą. Jak się nibawm przkonamy, łumini spowoduj, ż ruch ni będzi już okrsowy (w zwykłym snsi), a jśli pojawi się (dla dosaczni słabgo łuminia) coś analogiczngo do częsości, będzi o wilkość różna od k/m. Dlago zminiamy oznaczni: k / m Wygodni js ż oznaczyć α / m = β i zapisać równani ruchu w posaci: & = β& Przysępując do poszukiwania rozwiązania analiyczngo akigo równania, powinniśmy uświadomić sobi kilka spraw. Po pirwsz. Wimy, iż podani położnia począkowgo i prędkości począkowj v dla wybrango czasu (przyjmijmy, ż gdy ni ma wyraźngo powodu, jako czas począkowy wybirać będzimy =) js i koniczn i wysarczając dla wyznacznia ruchu. Gdybyśmy, więc, znalźli funkcję czasu zawirającą dwi dowoln sał: C 1 i C, funkcję spłniająca nasz równani ruchu, dla dowolngo zsawu sałych C 1 i C, o, dobirając dwi sał, moglibyśmy nadać waościom położnia i prędkości w chwili począkowj, pożądan waości. 6
Rozwiązani z porzbną liczbą dowolnych sałych nazywa się rozwiązanim ogólnym. Po drugi. Nasz równani js liniow jdnorodn. Poszukiwana funkcja i jj pochodn wysępują ylko i wyłączni w pirwszj poędz, ni ma akż iloczynów, np. &. Js o ison uławini. Liniowość oznacza, ż gdy jakiś góln () js rozwiązanim, o wilokroność go rozwiązania C () js ż rozwiązanim go samgo równania ruchu. A akż, gdy są dwa rozwiązania góln, o ich kombinacja liniowa: C 1 1 () + C () js ż rozwiązanim. To fanasyczn uławini. Jśli znalźć na j, czy innj drodz, odgadnąć, dwa góln rozwiązania równania liniowgo (równania drugigo rzędu dla jdngo położnia), o ym samym, już się ma rozwiązani ogóln. Po rzci, funkcja wykładnicza, cudowna funkcja wykładnicza, po zróżniczkowaniu pozosaj sobą, mnożąc się jdyni przz współczynnik: d / d = r. Druga pochodna pomnoży się przz r, a sama funkcja pozosani sobą. Osaczni funkcja wykładnicza pozosani w pirwszj poędz w wszyskich członach równania i można o równani przz nią podzilić. Znikni czas z go równaia, a na o by było ono spłnion, spłnion być musi równani algbraiczn jaki się z go narodziło. Przysępujmy do zgadywania. Zgadujmy, ż powinno isnić rozwiązani wykładnicz z jakąś waością r. By się o ym przkonać wsawiamy funkcję do równania ruchu. Dosajmy: r r = + βr + βr =, czyli, po podzilniu przz : zamias Jako bonus porakujmy fak, iż równani na r js kwadraow. Poza pwnym złośliwym przypadkim, daj nam o ni ylko jdno, al dwa rozwiązania, kór po pomnożniu przz dwi dowoln, różn sał i zsumowan produkują nam rozwiązani ogóln! Każdy z Was dobrz wi, ż równani kwadraow moż ni mić żadngo rozwiązania! Czy będzimy z go powodu płakać??? W żadnym wypadku!!!! Owo żadngo rozwiązania doyczy liczb rzczywisych. Dołączając użyczny wór, jakim js i, jaki ż i = 1,przwarzający funkcj wykładniczą (szrg o sałych znakach) w funkcj rygonomryczn, powodujmy, ż rozwiązani posaci a + ib musi isnić dla każdgo 7
równania kwadraowgo (czy o o współczynnikach rzczywisych, czy zspolonych). Czasami rozwiązani js ylko jdno, gdy równani js posaci ( a ib) =, al na ogół są dwa, yl, ż czasmi oba sa zspolon. Mamy równani kwadraow, więc avani. r r 1, + βr + = β ± β =, Js jasn, ż przypadk łuminia ak silngo, ż β > (czyli α > km ) js zdcydowani nipodobny do przypadku przciwngo. W ym pirwszym, rozwiązanim ogólnym js β ( C 1 β + C ). β Przy równaniach liniowych, kombinacj rozwiązań gólnych ż są rozwiązaniami gólnymi, w gólności połowa sumy i połowa różnicy. Zam β ( D1 cosh β + D sinh β ) js inną posacią rozwiązania ogólngo. Ta druga posać js wygodna do wsawinia warunków począkowych: D 1 =, D βd1 = v A posać pirwsza js dogodna do ocny mpa zbliżania się oscylaora do położnia równowagi. Dla dużych czasów, człon z większym (co do waości bzwzględnj wykładnikim) js pomijalny w sosunku do go drugigo i o n drugi rządzi zachowanim asympoycznym: p ( β β ). Problm łuminia drgań js nizwykl ważnym prakyczni zagadninim! Czasami chcmy mić drgania możliwi słabo łumion. Czasami jdnak, aki słabo łumion drgania są niwygodn. O, choćby w amoyzaorach. Al i w czysych badaniach naukowych, wil przyrządów pomiarowych, zawira części ruchom, kórych położni usala się w wyniku równowagi. Np. waga. Gdyby kołysani się szalk wagi ni było łumion, ni doczkalibyśmy się nigdy na możliwość odczyu. W akich wypadkach wprowadza się łumini konrolowan. Czy bowim prawdą js, ż im łumini silnijsz, ym lpij? Absoluni ni. Gdy β dąży do niskończoności, współczynnik przy czasi będący odwronością czasu osiągania równowagi ( β β ) = /( β + β ) / β dąży do zra, a czas τ = β / (po kórym waość wychylnia spada o czynnik ) 8
dąży do niskończoności. Z go punku, opłaca się łumini zmnijszać. Al co się dzij, gdy przkroczymy waość? No właśni!!! Traz pojawiają się, całkowici nauralni, liczby zspolon. A liczby zspolon w wykładniku, o funkcj rygonomryczn! Zaczynają się drgania! Wygodni js, jak o już robiliśmy, (al raz po dwakroć wygodni) wybrać jako rozwiązania góln: połowę sumy i połowę różnicy dzilonj dodakowo przz i. Czyli sinus i cosinus: ( ) = β ( D1 cos β + D sin β ) Skorzysaliśmy z go, ż ± β = ± i β Waość położnia js iloczynm funkcji opisującj poczciw drgania harmoniczn, choć o mnijszj częsości: = β przz monooniczni maljący czynnik wykładniczy β. W gólności, drgania zaczynając się (w chwili =) w położniu, z prędkością v, opisan są równanim: v β ( ) = sin β β Dla β możmy obliczyć granicę dosając: ( ) = v β J jdną rzcz nalży raz rozwinąć. Mianowici ruch pod wpływm zwnęrznj, oscylującj znanj siły, o dowolnj częsoliwości równj, albo różnj od częsoliwości własnj oscylaora. + + β& = h cos( ) Sała h js ampliudą zminnj siły 4 F( ) = mh cos( ) podziloną przz m. Mamy raz równani nadal liniow al nijdnorodn. I raz, znalzini rozwiązania ogólngo ni przdsawia rudności.. 4 W przypadku innych oscylaorów niż punk marialny, np. w przypadku drgającgo obwodu lkryczngo z kondnsaorm, cwką indukcyjną i opornikim, prawa srona rprznować będzi (z odpowidnim współczynnikim) zminn napięci przyłożon do obwodu, np. napięci sici o częsoliwości 5Hz, albo napięci z anny odbiorczj, c. 9
Wysarczy zaobsrwować, ż znajomość, chociaż jdngo rozwiązania gólngo całgo równania, pozwala sprowadzić problm do rozwiązywania znów równania jdnorodngo! Isoni. Nich splnia :& + β& + = h cos Dokonajmy podsawinia = + y, i znajdźmy równani na y. (& + && y) + β( & + y& ) + ( + y) = h cos Człony z rozwiązanim gólnym rdukują się z członm po prawj, człony z y spłniają więc równani: & y + βy& + y =, kórgo rozwiązani ogóln właśni znalźliśmy. Rozwiązani góln rzba znów zgadywać. Odkładając na pom przypadk ogólny zbadajmy na razi oscylaor niłumiony. W akim wypadku widać, ż szans na spłnini równania isnij, gdy uda się dobrać ampliudę drgań z częsością wymuszającą: = Acos Wsawiając do równania (bz łuminia) && ( + Acos + ) A = h = h cos dosajmy : cos = h cos, czyli : Ampliudy rozwiązania gólngo A ni da się dobrać, gdy częsość wymuszająca pokrywa się z częsością własną. W pozosałych przypadkach A = h Rozwiązani ogóln płngo równania js: h = cos + C1 cos + C sin Dziwn rzczy dziją się dla częsości wymuszającj bliskij, a ym bardzij równj, częsości własnj oscylaora. Zro pojawia się w mianowniku, sugrując naychmiasową kaasrofę. Z drugij srony, gdy zaczynamy kołysać oscylaor z częsością rzonansową, 1
sosując jakąś skończoną siłę, położni oscylaora, ni moż nagl sać się niskończon, co zdaj się sugrować wzór na rozwiązani ogóln. Rozwiązani paradoksu polga na wprowadzniu do ogólngo wzoru, zamias wygodnych, lcz ni mających bzpośrdnij inrpacji sałych C 1 i C, danych począkowych i v. v = = h C + C cos cos = h 1 + cos v + sin Gdy częsości sają się bliski i w mianowniku pojawia się mała wilkość, w liczniku ż wysępuj mała wilkość, różnica cosinusów od bliskich argumnów. Rozkładając mianownik na iloczyn, możmy pirwszy człon przkszałcić do posaci: h = + cos cos + cos v + sin Gdy a js sinusm., drugi iloraz pokrywa się z dfinicją pochodnj funkcji cosinus! A Mamy, więc, dla dokładngo rzonansu: h v = sin + cos + sin + Wynik całkowici skończony! Jśli wysępuj łumini, pojdynczy człon z cosinusm ni moż spłnić równania, bo człon z pochodną sani się sinusm. Nalży więc szukać rozwiązania w posaci kombinacji sinusa i cosinusa z dwima niwiadomymi ampliudami. Wszlki opracj (jdno różniczkowani, czy dwa) w równaniu prowadzą ylko do członów z sinusm i cosinusm, spłnini równania sprowadzi się do porównania współczynników z osobna przy sinusi i cosinusi. Al mamy dwi niwiadom, więc procdura musi doprowadzic do sukcsu. Zajmici się ym na ćwiczniach. 11
1