Wykład 9. 2 ) działa niezalenie od postaci analitycznej sił. Jest równie łatwa dla oscylatora

Transkrypt

1 Wykład 9 Na poprzdnim wykładzi zbadalimy sns równa ruchu. S to równania róniczkow. Pozwalaj on wyznaczy połonia (i prdkoci) w dowolnym czasi przyszłym, jli znamy w jakij chwili (nazywanj pocztkow ) wszystki połonia i wszystki prdkoci. Skonstruowalimy jawny przpis na znajdowani koljnych poło i prdkoci (traktowanych dla wygody jako współrzdn jdngo wktora y = y, y, } w którym połowa y ków to { 1 zwykł połonia, a druga połowa to prdkoci 1 ) opay na tym, znamy pochodn wszystkich składowych y po czasi wyraon przz samo y: y = f (y). Pochodn składowych, któr s połoniami, to s t inn y-ki, t, któr s prdkociami, pochodn tych składowych, któr s prdkociami, czyli przyspisznia s włani t kwintsncj równa ruchu, któr opisuj konkny przykład, konkn oddziaływania. Wan, by ni zalały on od niczgo inngo ni y. A wic zalno siły ograniczona by musi do zalnoci od wszystkich poło i prdkoci, oraz, wntualni, od czasu (y ). Mtoda krok po kroku ( w którjkolwik wrsji prymitywnj, ulpszonj, czy wyrafinowanj ) działa nizalni od postaci analitycznj sił. Jst równi łatwa dla oscylatora harmoniczngo, co i anharmoniczngo. Równi łatwa dla siły oporu liniowgo, czy opisango dowolna potga prdkoci, czy funkcja przstpn. Mtoda numryczna, przy wszystkich zaltach, ma jdn wad. Nawt po wprowadzniu tak duj, jak to moliw, liczby wilkoci bzwymiarowych, rozwizani mona skonstruowa tylko dla konknych waoci bzwymiarowych. Chcc przdyskutowa rón zachowania ruchu w danym problmi, w zalnoci i od warunków pocztkowych i od wao- ci rónych współczynników, trzba porównywa wil tabl, czy wil wykrsów. Dlatgo, gdy tylko istnij moliwo analityczngo rozwizania, tj. rozwizania na litrach rprzntujcych i waoci pocztkow i paramtry układu, taki jak masy, ładunki, współczynniki oporu, czy współczynniki sprystoci, to jstmy bardzo liwi! Taki rozwizywaln problmy s kljnotami, któr powinnimy kolkcjonowa, któr powinnimy poznawa, którymi powinnimy umi si ciszy. 1 Gdy siły zal jawni od czasu, wprowadzamy j y =t. Mtody prymitywnj stosowa ni wao, chyba, nigdy. Mtoda wyrafinowana wymaga znaczni mnijszj liczby kroków od mtody ulpszonj, dla uzyskania danj dokładnoci, al samgo wpisywania opracji w programi, jst nico wicj. Wybór jst kwsti gustu, potrzb, moliwoci numrycznych i oprogramowania jakim dysponujmy. 1

2 Domylaj si wszyscy, oscylator harmoniczny, a wic układ opisany równa- nim: =, naly do takich włani kljnotów! Po wprowadzniu czasu zrdukowango t = t / i prdkoci zrdukowanj v = d / dt, równani ruchu przyjmuj posta: d = v d t d v = dt W tj włani postaci rozwizalimy równania numryczni (przy warunku pocztkowym v () = 1, () = ) uzyskujc dla poło funkcj przypominajc znany z gomtrii sinus i dla prdkoci zrdukowanj funkcj przypominajc cosinus. Uzyskan numryczni funkcj s okrsow, zminiajc si w przdzial od 1 do +1, maj okrs *3, Podjdmy traz analityczni do naszgo oscylatora. Upwnimy si, nasz funkcj s tymi dobrz znanymi z gomtrii funkcjami trygonomtrycznymi. Jak pamitamy, przyrost sumy kwadratów w cisłym rozwizaniu, jst wykluczony: d( + v ) = d + v d v = (v v )d t = + v = C = + v a sama wao tj sumy wyznaczona jst przz warunk pocztkowy. Na płayni fazowj ( v, ) pozostajmy w czasi ruchu na okrgu o prominiu C. Trzba traz okrli jak si tn punkt przmia wraz z upływm czasu. To łatw. C (, v ) ( v, ) Wktor : (d v / d t,d / d t ) = (, v ) i wktor : ( v, ) maja rown dlugosci i sa oogonaln v

3 Prdko przmiania si punktu o wktorz wodzcym: ( v, ) na płayni fazowj ( d v / d t, d / d t ) = (, v ) jst prostopadła do tgo wktora wodzcgo. To oznacza, oczywici, punkt musi pozostawa na okrgu, o rodku w pocztku układu. To ju jst rzultat nam znany. Al nasz wynik oznacza j co wicj. Szybko (wzgldm czasu zrdukowango) przminia si po tym okrgu jst stała i równa waoci prominia C. W czasi t przbyta po obwodzi droga jst iloczynm prominia i czasu (zrdukowango). Zatm kt φ na rysunku (w mirz łukowj) jst tosamy z czasm zrdukowanym t, gdy czas zaczynamy liczy tj od fazy ruchu, w którj =, a prdko jst maksymalna, albo = t + φ = φ + t, w przypadku ogólnym φ Korzystajc z trygonomtrycznj dfinicji funkcji sinus i cosinus, widzimy, i: = C sin( t + φ ) v = v = C cos( t + φ ) Na podstawi znanych wzorów na funkcj trygonomtryczn sumy któw mamy: = C sin( t + φ ) = C sin( φ ) cos( t) + C cos( φ ) sin( t) v = v = C cos( t + φ ) = C cos( φ ) cos( t) C sin( φ ) sin( t) Dwi dowoln stał: amplitud i faz momy, jli tak nam wygodnij, zastpi pocztkowymi waociami połonia i prdkoci: = C sin( φ v = C cos( φ ) cos( t) + C cos( φ ) cos( t) C sin( φ ) sin( t) = ) sin( t) = v v cos( t) + sin( t) cos( t) sin( t) Jst to kompltn rozwizani problmu ruchu oscylatora. Powstaj pytani, czy wobc istninia, i to tak stosunkowo prostgo, rozwizania analityczngo, wao było zajmowa si rozwizanim numrycznym? No có. To kwstia gustu. W powyszym podjciu wzoruj si na Fynmani. Jst szrg zalt uwiadominia sobi jak pracuj równania ruchu. Jdn z korzyci było nimal natychmiastow, bz adngo wysiłku, przjci od oscylatora harmoniczngo, do anharmoniczngo. Inna sprawa to sam funkcj sinus i cosinus. Wydaj nam si, wimy, czmu on s równ. Al tak naprawd, z trygonomtrii to my tylko widzimy na rysunku, jaki jst ich sns, al policzy to sobi j momy dla 3, 45, czy 6 stopni i paru innych podobnych. 3

4 Włani ostatnio mój wnuk mni dopytuj, bo go to nipokoi: no co to jst tn sinus dla byl jakigo kta? Oczywici, w przszłoci, mdrzy ludzi ułoyli tablic - dzisiaj, w byl kalkulatorku odczytamy wao sinusa, dajmy na to 1 radiana. A my sobi sami policzylimy! Zagldamy do tabli na stroni 7 wykładu 8 z krokim,1 i w rubryc E1 mamy (wyliczon za pomoc opracji czysto arytmtycznych) wao,8415. Tyl samo, co wszdzi! W wyniku na ruch oscylatora zawa s t wan wyniki na pochodn tych funkcji. Po prostu widzimy, pochodn sinusa jst cosinus, a cosinusa minus sinus. No, bo pochodn połonia jst prdko, a pochodn prdkoci przyspiszni, równ połoniu z znakim minus. Dwukrotn róniczkowani kadj z tych funkcji (a tak ich dowolnj kombinacji liniowj) daj z powrotm t sama funkcj, al z minusm. Zbiór własnoci d dϕ f () = d dϕ f ( ϕ) = f ; f ( ϕ) ϕ= = 1 dfiniuj jdnoznaczni funkcj f. Ta funkcja wystpuj w naszj kolumni E arkusza kalkulacyjngo z poprzdnigo wykładu. Ta funkcja nazywa si sinus. Ta sama funkcja pozwala zwiza współrzdn punktu na okrgu z długoci odpowidnigo łuku. Funkcj trygonomtryczn graj tak wybitna rol w fizyc, wao, ju traz, pokaza j jdn ich własno. Ni jst trudno uzyska szrg potgowy dla sinusa i cosinusa. Punktm wyjcia nich bdzi szrg dla funkcji wykładniczj: = !! wprost z dfinicji liczby i wzoru na dwumian Nwtona ! + 4 4! + Mona go uzyska Z rozwinicia tgo wynika podstawowa własno funkcji wykładniczj, mianowici to, i jj pochodna równa si samj funkcji. To wida. Kady człon zróniczkowany ma mnijsz potg, a wykładnik n zjdajcy do licznika, skraca si z ostatnim czynnikim n! 3 Oto prosty rachunk, troch brawurowy jak na gusty matmatyków, al dla fizyków OK. = 1+ + n ((1 + 1/ n) ) 1! n m m( m 1) = (1 + / n) = (1 + / m) = 1+ m + m! m m( m 1) 1 m( m 1)( m ) m m 3! m m m! 3! 3 + = + 4

5 silni w mianowniku. Tym samym kady wyraz rozwinicia samj funkcji, pojawia si ponowni w szrgu jj pochodnj, tyl, człon z potg pochodzi z członu z potg 1, człon z potg 1 pochodzi z członu z potg, człon z potg pochodzi z członu z potg 34 itd. d d = Gdy z szrgu potgowgo funkcji wykładniczj zostawimy sobi sam potgi parzyst (albo sam niparzyst) dopiro dwukrotn róniczkowani daj znów funkcj wyjciow. Nazywaj si t funkcj: sinus hiprboliczny i cosinus hiprboliczny: 3 5 sinh( ) = ! 3! 5! 4 cosh( ) = ! 4! Mamy szrg oczywistych rlacji: cosh ()=sinh() sinh ()=cosh() sinh()+cosh()= ; cosh()- sinh()= - ; sinh()=( - - )/; cosh()=( + - )/; Jstmy blisko! Potrzba nam tylko znaku minus przy przprowadzaniu jdnj z funkcji w drug. Osiga si to, zaminiajc szrgi dla funkcji hiprbolicznych, na szrgi naprzminn sin( ) = + + 1! 3! 5! 7! 4 6 cos( ) = 1 + +! 4! 6! Przy dwukrotnym róniczkowaniu kady człon rprodukuj (prawi) tn wcznijszy, tyl, kady wcznijszy (ssidni) ma przciwny znak! d sin = cos d d cos = sin d Elgancki wzór dostaj si korzystajc z liczb zspolonych. Poniwa 3 4 i = 1; i = i; i = 1, wic, wida co si dzij, po wstawiniu i do szrgu potgowgo dla podstawowj funkcji wykładniczj. Wyrazy o potgach podzilnych przz 4 ni zminiaj si, a t pozostał parzyst zminiaj znak. Grupuj si w szrg dla cosinusa. 5

6 Wyrazy o n=4k+1 dostaj mnonik i, a t postaci 4K+3 dostaj mnonik i. Po wyłczniu i, dostajmy szrg dla sinusa: Słynny wzór Eulra: i cos( ) + i sin( ) =, jst jdnym z najpiknijszych wzorów matmatyki Zapisany dla = π brzmi: i zawira 5 najwanijszych liczb: Jst t oczywici: iπ,1,,, π + 1 = i! sin( ) = i i i, cos( ) = i + i Przydatno liczb zspolonych zilustrujmy zbadanim ruchu oscylatora z sił tłuminia proporcjonaln do prdkoci: m = k α Stosunk k/m dla oscylatora nitłumiongo oznaczalimy litr. Jak si nibawm przkonamy, tłumini spowoduj, ruch ni bdzi ju okrsowy (w zwykłym snsi), a jli pojawi si (dla dostatczni słabgo tłuminia) co analogiczngo do czstoci, bdzi to wilko róna od k/m. Dlatgo zminiamy oznaczni: k / m Wygodni jst t oznaczy α / m = β i zapisa równani ruchu w postaci: = β Przystpujc do poszukiwania rozwizania analityczngo takigo równania, powinnimy uwiadomi sobi kilka spraw. Po pirwsz. Wimy, i podani połonia pocztkowgo i prdkoci pocztkowj v dla wybrango czasu (przyjmijmy, gdy ni ma wyrango powodu, jako czas pocztkowy wybira bdzimy t=) jst i koniczn i wystarczajc dla wyznacznia ruchu. Gdybymy, wic, znalli funkcj czasu zawirajc dwi dowoln stał: C 1 i C, funkcj spłniajca nasz równani ruchu, dla dowolngo zstawu stałych C 1 i C, to, dobirajc t dwi stał, moglibymy nada waociom połonia i prdkoci w chwili pocztkowj, podan waoci. 6

7 Rozwizani z potrzbn liczb dowolnych stałych nazywa si rozwizanim ogólnym. Po drugi. Nasz równani jst liniow jdnorodn. Poszukiwana funkcja i jj pochodn wystpuj tylko i wyłczni w pirwszj potdz, ni ma tak iloczynów, np.. Jst to istotn ułatwini. Liniowo oznacza, gdy jaki góln (t) jst rozwizanim, to wilokrotno tgo rozwizania C (t) jst t rozwizanim tgo samgo równania ruchu. A tak, gdy s dwa rozwizania góln, to ich kombinacja liniowa: C 1 1 (t) + C (t) jst t rozwizanim. To fantastyczn ułatwini. Jli znal na tj, czy innj drodz, odgadn, dwa góln rozwizania równania liniowgo (równania drugigo rzdu dla jdngo połonia), to tym samym, ju si ma rozwizani ogóln. Po trzci, funkcja wykładnicza, cudowna funkcja wykładnicza, po zróniczkowaniu pozostaj sob, mnoc si jdyni przz współczynnik: d / dt = r. Druga pochodna pomnoy si przz r, a sama funkcja pozostani sob. Ostatczni funkcja wykładnicza pozostani w pirwszj potdz w wszystkich członach równania i mona to równani przz ni podzili. Znikni czas z tgo równaia, a na to by było ono spłnion, spłnion by musi równani algbraiczn jaki si z tgo narodziło. Przystpujmy do zgadywania. Zgadujmy, powinno istni rozwizani wykładnicz z jak waoci r. By si o tym przkona wstawiamy funkcj do równania ruchu. Dostajmy: r r = + βr + βr =, czyli, po podzilniu przz : zamiast Jako bonus potraktujmy fakt, i równani na r jst kwadratow. Poza pwnym zło- liwym przypadkim, daj nam to ni tylko jdno, al dwa rozwizania, któr po pomno- niu przz dwi dowoln, rón stał i zsumowan produkuj nam rozwizani ogóln! Kady z Was dobrz wi, równani kwadratow mo ni mi adngo rozwizania! Czy bdzimy z tgo powodu płaka??? W adnym wypadku!!!! Owo adngo rozwizania dotyczy liczb rzczywistych. Dołczajc uytczny twór, jakim jst i, jaki i = 1,prztwarzajcy funkcj wykładnicz (szrg o stałych znakach) w funkcj trygonomtryczn, powodujmy, rozwizani postaci a + ib musi istni dla kadgo 7

8 równania kwadratowgo (czy to o współczynnikach rzczywistych, czy zspolonych). Czasami rozwizani jst tylko jdno, gdy równani jst postaci ( a ib) =, al na ogół s dwa, tyl, czasmi oba sa zspolon. Mamy równani kwadratow, wic avanti. r r 1, + βr + = β ± β =, Jst jasn, przypadk tłuminia tak silngo, β > (czyli α > km ) jst zdcydowani nipodobny do przypadku przciwngo. W tym pirwszym, rozwizanim ogólnym jst βt ( C 1 β t + C ). β t Przy równaniach liniowych, kombinacj rozwiza gólnych t s rozwizaniami gólnymi, w gólnoci połowa sumy i połowa rónicy. Zatm β t ( D1 cosh β t + D sinh β t) jst inn postaci rozwizania ogólngo. Ta druga posta jst wygodna do wstawinia warunków pocztkowych: D 1 =, D βd1 = v A posta pirwsza jst dogodna do ocny tmpa zbliania si oscylatora do połonia równowagi. Dla duych czasów, człon z wikszym (co do waoci bzwzgldnj wykładnikim) jst pomijalny w stosunku do tgo drugigo i to tn drugi rzdzi zachowanim asymptotycznym: p ( β β ). Problm tłuminia drga jst nizwykl wanym praktyczni zagadninim! Czasami chcmy mi drgania moliwi słabo tłumion. Czasami jdnak, taki słabo tłumion drgania s niwygodn. Ot, choby w amoyzatorach. Al i w czystych badaniach naukowych, wil przyrzdów pomiarowych, zawira czci ruchom, których połoni ustala si w wyniku równowagi. Np. waga. Gdyby kołysani si szalk wagi ni było tłumion, ni doczkalibymy si nigdy na moliwo odczytu. W takich wypadkach wprowadza si tłumini kontrolowan. Czy bowim prawd jst, im tłumini silnijsz, tym lpij? Absolutni ni. Gdy β dy do niskoczonoci, współczynnik przy czasi bdcy odwrotnoci czasu osigania równowagi ( β β ) = /( β + β ) / β dy do zra, a czas τ = β / (po którym wao wychylnia spada o czynnik ) 8

9 dy do niskoczonoci. Z tgo punktu, opłaca si tłumini zmnijsza. Al co si dzij, gdy przkroczymy wao? No włani!!! Traz pojawiaj si, całkowici naturalni, liczby zspolon. A liczby zspolon w wykładniku, to funkcj trygonomtryczn! Zaczynaj si drgania! Wygodni jst, jak to ju robilimy, (al traz po dwakro wygodni) wybra jako rozwizania góln: połow sumy i połow rónicy dzilonj dodatkowo przz i. Czyli sinus i cosinus: ( t) = β t ( D1 cos β t + D sin β t) Skorzystalimy z tgo, ± β = ± i β Wao połonia jst iloczynm funkcji opisujcj poczciw drgania harmoniczn, cho o mnijszj czstoci: = β przz monotoniczni maljcy czynnik wykładniczy βt. W gólnoci, drgania zaczynajc si (w chwili t=) w połoniu, z prdko- ci v, opisan s równanim: v β ( t) = sin β β t t. J jdn rzcz naly traz rozwin. Mianowici ruch pod wpływm zwntrznj, oscylujcj znanj siły, o dowolnj czstotliwoci równj, albo rónj od czstotliwoci własnj oscylatora. + + β = h cos( ) t Stała h jst amplitud zminnj siły 4 F( t) = mh cos( t) podzilon przz m. Mamy traz równani nadal liniow al nijdnorodn. I traz, znalzini rozwizania ogólngo ni przdstawia trudnoci. Wystarczy zaobsrwowa, znajomo, chocia jdngo rozwizania gólngo całgo równania, pozwala sprowadzi problm do rozwizywania znów równania jdnorodngo! 4 W przypadku innych oscylatorów ni punkt matrialny, np. w przypadku drgajcgo obwodu lktryczngo z kondnsatorm, cwk indukcyjn i opornikim, prawa strona rprzntowa bdzi (z odpowidnim współczynnikim) zminn napici przyłoon do obwodu, np. napici sici o czstotliwoci 5Hz, albo napici z antny odbiorczj, tc. 9

10 Istotni. Nich splnia : + β + = h cos t Dokonajmy podstawinia = + y, i znajdmy równani na y. ( + y) + β( + y ) + ( + y) = h cos t Człony z rozwizanim gólnym rdukuj si z członm po prawj, człony z y spłniaj wic równani: y + βy + y =, którgo rozwizani ogóln włani znallimy. Rozwizani góln trzba znów zgadywa. Odkładajc na potm przypadk ogólny zbadajmy na razi oscylator nitłumiony. W takim wypadku wida, szans na spłnini równania istnij, gdy uda si dobra amplitud drga z czstoci wymuszajc: = Acos t Wstawiajc do równania (bz tłuminia) ( + Acos t + ) A = h = h cos t dostajmy : cos t = h cos t, czyli : Amplitudy rozwizania gólngo A ni da si dobra, gdy czsto wymuszajca pokrywa si z czstoci własn. W pozostałych przypadkach A = h Rozwizani ogóln płngo równania jst: h = cos t + C1 cos t + C sin t Dziwn rzczy dzij si dla czstoci wymuszajcj bliskij, a tym bardzij równj, czstoci własnj oscylatora. Zro pojawia si w mianowniku, sugrujc natychmiastow katastrof. Z drugij strony, gdy zaczynamy kołysa oscylator z czstoci rzonansow, stosujc jak skoczon sił, połoni oscylatora, ni mo nagl sta si niskoczon, co zdaj si sugrowa wzór na rozwizani ogóln. 1

11 Rozwizani paradoksu polga na wprowadzniu do ogólngo wzoru, zamiast wygodnych, lcz ni majcych bzpordnij intrpacji stałych C 1 i C, danych pocztkowych i v. v = = h C + C cos t cos = h 1 t + cos v t + sin t Gdy czstoci staj si bliski i w mianowniku pojawia si mała wilko, w liczniku t wystpuj mała wilko, rónica cosinusów od bliskich argumntów. Rozkładajc mianownik na iloczyn, momy pirwszy człon przkształci do postaci: ht cos t cos t v = + cos t + sin t + t t Gdy ta jst sinusm. t t, drugi iloraz pokrywa si z dfinicj pochodnj funkcji cosinus! A Mamy, wic, dla dokładngo rzonansu: ht v = sin t + cos t + sin t + Wynik całkowici skoczony! Jli wystpuj tłumini, pojdynczy człon z cosinusm ni mo spłni równania, bo człon z pochodn stani si sinusm. Naly wic szuka rozwizania w postaci kombinacji sinusa i cosinusa z dwima niwiadomymi amplitudami. Wszlki opracj (jdno róniczkowani, czy dwa) w równaniu prowadz tylko do członów z sinusm i cosinusm, spłnini równania sprowadzi si do porównania współczynników z osobna przy sinusi i cosinusi. Al mamy dwi niwiadom, wic procdura musi doprowadzic do sukcsu. Zajmici si tym na wiczniach. 11