Wykład 9. 2 ) działa niezalenie od postaci analitycznej sił. Jest równie łatwa dla oscylatora
|
|
- Kazimierz Cybulski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład 9 Na poprzdnim wykładzi zbadalimy sns równa ruchu. S to równania róniczkow. Pozwalaj on wyznaczy połonia (i prdkoci) w dowolnym czasi przyszłym, jli znamy w jakij chwili (nazywanj pocztkow ) wszystki połonia i wszystki prdkoci. Skonstruowalimy jawny przpis na znajdowani koljnych poło i prdkoci (traktowanych dla wygody jako współrzdn jdngo wktora y = y, y, } w którym połowa y ków to { 1 zwykł połonia, a druga połowa to prdkoci 1 ) opay na tym, znamy pochodn wszystkich składowych y po czasi wyraon przz samo y: y = f (y). Pochodn składowych, któr s połoniami, to s t inn y-ki, t, któr s prdkociami, pochodn tych składowych, któr s prdkociami, czyli przyspisznia s włani t kwintsncj równa ruchu, któr opisuj konkny przykład, konkn oddziaływania. Wan, by ni zalały on od niczgo inngo ni y. A wic zalno siły ograniczona by musi do zalnoci od wszystkich poło i prdkoci, oraz, wntualni, od czasu (y ). Mtoda krok po kroku ( w którjkolwik wrsji prymitywnj, ulpszonj, czy wyrafinowanj ) działa nizalni od postaci analitycznj sił. Jst równi łatwa dla oscylatora harmoniczngo, co i anharmoniczngo. Równi łatwa dla siły oporu liniowgo, czy opisango dowolna potga prdkoci, czy funkcja przstpn. Mtoda numryczna, przy wszystkich zaltach, ma jdn wad. Nawt po wprowadzniu tak duj, jak to moliw, liczby wilkoci bzwymiarowych, rozwizani mona skonstruowa tylko dla konknych waoci bzwymiarowych. Chcc przdyskutowa rón zachowania ruchu w danym problmi, w zalnoci i od warunków pocztkowych i od wao- ci rónych współczynników, trzba porównywa wil tabl, czy wil wykrsów. Dlatgo, gdy tylko istnij moliwo analityczngo rozwizania, tj. rozwizania na litrach rprzntujcych i waoci pocztkow i paramtry układu, taki jak masy, ładunki, współczynniki oporu, czy współczynniki sprystoci, to jstmy bardzo liwi! Taki rozwizywaln problmy s kljnotami, któr powinnimy kolkcjonowa, któr powinnimy poznawa, którymi powinnimy umi si ciszy. 1 Gdy siły zal jawni od czasu, wprowadzamy j y =t. Mtody prymitywnj stosowa ni wao, chyba, nigdy. Mtoda wyrafinowana wymaga znaczni mnijszj liczby kroków od mtody ulpszonj, dla uzyskania danj dokładnoci, al samgo wpisywania opracji w programi, jst nico wicj. Wybór jst kwsti gustu, potrzb, moliwoci numrycznych i oprogramowania jakim dysponujmy. 1
2 Domylaj si wszyscy, oscylator harmoniczny, a wic układ opisany równa- nim: =, naly do takich włani kljnotów! Po wprowadzniu czasu zrdukowango t = t / i prdkoci zrdukowanj v = d / dt, równani ruchu przyjmuj posta: d = v d t d v = dt W tj włani postaci rozwizalimy równania numryczni (przy warunku pocztkowym v () = 1, () = ) uzyskujc dla poło funkcj przypominajc znany z gomtrii sinus i dla prdkoci zrdukowanj funkcj przypominajc cosinus. Uzyskan numryczni funkcj s okrsow, zminiajc si w przdzial od 1 do +1, maj okrs *3, Podjdmy traz analityczni do naszgo oscylatora. Upwnimy si, nasz funkcj s tymi dobrz znanymi z gomtrii funkcjami trygonomtrycznymi. Jak pamitamy, przyrost sumy kwadratów w cisłym rozwizaniu, jst wykluczony: d( + v ) = d + v d v = (v v )d t = + v = C = + v a sama wao tj sumy wyznaczona jst przz warunk pocztkowy. Na płayni fazowj ( v, ) pozostajmy w czasi ruchu na okrgu o prominiu C. Trzba traz okrli jak si tn punkt przmia wraz z upływm czasu. To łatw. C (, v ) ( v, ) Wktor : (d v / d t,d / d t ) = (, v ) i wktor : ( v, ) maja rown dlugosci i sa oogonaln v
3 Prdko przmiania si punktu o wktorz wodzcym: ( v, ) na płayni fazowj ( d v / d t, d / d t ) = (, v ) jst prostopadła do tgo wktora wodzcgo. To oznacza, oczywici, punkt musi pozostawa na okrgu, o rodku w pocztku układu. To ju jst rzultat nam znany. Al nasz wynik oznacza j co wicj. Szybko (wzgldm czasu zrdukowango) przminia si po tym okrgu jst stała i równa waoci prominia C. W czasi t przbyta po obwodzi droga jst iloczynm prominia i czasu (zrdukowango). Zatm kt φ na rysunku (w mirz łukowj) jst tosamy z czasm zrdukowanym t, gdy czas zaczynamy liczy tj od fazy ruchu, w którj =, a prdko jst maksymalna, albo = t + φ = φ + t, w przypadku ogólnym φ Korzystajc z trygonomtrycznj dfinicji funkcji sinus i cosinus, widzimy, i: = C sin( t + φ ) v = v = C cos( t + φ ) Na podstawi znanych wzorów na funkcj trygonomtryczn sumy któw mamy: = C sin( t + φ ) = C sin( φ ) cos( t) + C cos( φ ) sin( t) v = v = C cos( t + φ ) = C cos( φ ) cos( t) C sin( φ ) sin( t) Dwi dowoln stał: amplitud i faz momy, jli tak nam wygodnij, zastpi pocztkowymi waociami połonia i prdkoci: = C sin( φ v = C cos( φ ) cos( t) + C cos( φ ) cos( t) C sin( φ ) sin( t) = ) sin( t) = v v cos( t) + sin( t) cos( t) sin( t) Jst to kompltn rozwizani problmu ruchu oscylatora. Powstaj pytani, czy wobc istninia, i to tak stosunkowo prostgo, rozwizania analityczngo, wao było zajmowa si rozwizanim numrycznym? No có. To kwstia gustu. W powyszym podjciu wzoruj si na Fynmani. Jst szrg zalt uwiadominia sobi jak pracuj równania ruchu. Jdn z korzyci było nimal natychmiastow, bz adngo wysiłku, przjci od oscylatora harmoniczngo, do anharmoniczngo. Inna sprawa to sam funkcj sinus i cosinus. Wydaj nam si, wimy, czmu on s równ. Al tak naprawd, z trygonomtrii to my tylko widzimy na rysunku, jaki jst ich sns, al policzy to sobi j momy dla 3, 45, czy 6 stopni i paru innych podobnych. 3
4 Włani ostatnio mój wnuk mni dopytuj, bo go to nipokoi: no co to jst tn sinus dla byl jakigo kta? Oczywici, w przszłoci, mdrzy ludzi ułoyli tablic - dzisiaj, w byl kalkulatorku odczytamy wao sinusa, dajmy na to 1 radiana. A my sobi sami policzylimy! Zagldamy do tabli na stroni 7 wykładu 8 z krokim,1 i w rubryc E1 mamy (wyliczon za pomoc opracji czysto arytmtycznych) wao,8415. Tyl samo, co wszdzi! W wyniku na ruch oscylatora zawa s t wan wyniki na pochodn tych funkcji. Po prostu widzimy, pochodn sinusa jst cosinus, a cosinusa minus sinus. No, bo pochodn połonia jst prdko, a pochodn prdkoci przyspiszni, równ połoniu z znakim minus. Dwukrotn róniczkowani kadj z tych funkcji (a tak ich dowolnj kombinacji liniowj) daj z powrotm t sama funkcj, al z minusm. Zbiór własnoci d dϕ f () = d dϕ f ( ϕ) = f ; f ( ϕ) ϕ= = 1 dfiniuj jdnoznaczni funkcj f. Ta funkcja wystpuj w naszj kolumni E arkusza kalkulacyjngo z poprzdnigo wykładu. Ta funkcja nazywa si sinus. Ta sama funkcja pozwala zwiza współrzdn punktu na okrgu z długoci odpowidnigo łuku. Funkcj trygonomtryczn graj tak wybitna rol w fizyc, wao, ju traz, pokaza j jdn ich własno. Ni jst trudno uzyska szrg potgowy dla sinusa i cosinusa. Punktm wyjcia nich bdzi szrg dla funkcji wykładniczj: = !! wprost z dfinicji liczby i wzoru na dwumian Nwtona ! + 4 4! + Mona go uzyska Z rozwinicia tgo wynika podstawowa własno funkcji wykładniczj, mianowici to, i jj pochodna równa si samj funkcji. To wida. Kady człon zróniczkowany ma mnijsz potg, a wykładnik n zjdajcy do licznika, skraca si z ostatnim czynnikim n! 3 Oto prosty rachunk, troch brawurowy jak na gusty matmatyków, al dla fizyków OK. = 1+ + n ((1 + 1/ n) ) 1! n m m( m 1) = (1 + / n) = (1 + / m) = 1+ m + m! m m( m 1) 1 m( m 1)( m ) m m 3! m m m! 3! 3 + = + 4
5 silni w mianowniku. Tym samym kady wyraz rozwinicia samj funkcji, pojawia si ponowni w szrgu jj pochodnj, tyl, człon z potg pochodzi z członu z potg 1, człon z potg 1 pochodzi z członu z potg, człon z potg pochodzi z członu z potg 34 itd. d d = Gdy z szrgu potgowgo funkcji wykładniczj zostawimy sobi sam potgi parzyst (albo sam niparzyst) dopiro dwukrotn róniczkowani daj znów funkcj wyjciow. Nazywaj si t funkcj: sinus hiprboliczny i cosinus hiprboliczny: 3 5 sinh( ) = ! 3! 5! 4 cosh( ) = ! 4! Mamy szrg oczywistych rlacji: cosh ()=sinh() sinh ()=cosh() sinh()+cosh()= ; cosh()- sinh()= - ; sinh()=( - - )/; cosh()=( + - )/; Jstmy blisko! Potrzba nam tylko znaku minus przy przprowadzaniu jdnj z funkcji w drug. Osiga si to, zaminiajc szrgi dla funkcji hiprbolicznych, na szrgi naprzminn sin( ) = + + 1! 3! 5! 7! 4 6 cos( ) = 1 + +! 4! 6! Przy dwukrotnym róniczkowaniu kady człon rprodukuj (prawi) tn wcznijszy, tyl, kady wcznijszy (ssidni) ma przciwny znak! d sin = cos d d cos = sin d Elgancki wzór dostaj si korzystajc z liczb zspolonych. Poniwa 3 4 i = 1; i = i; i = 1, wic, wida co si dzij, po wstawiniu i do szrgu potgowgo dla podstawowj funkcji wykładniczj. Wyrazy o potgach podzilnych przz 4 ni zminiaj si, a t pozostał parzyst zminiaj znak. Grupuj si w szrg dla cosinusa. 5
6 Wyrazy o n=4k+1 dostaj mnonik i, a t postaci 4K+3 dostaj mnonik i. Po wyłczniu i, dostajmy szrg dla sinusa: Słynny wzór Eulra: i cos( ) + i sin( ) =, jst jdnym z najpiknijszych wzorów matmatyki Zapisany dla = π brzmi: i zawira 5 najwanijszych liczb: Jst t oczywici: iπ,1,,, π + 1 = i! sin( ) = i i i, cos( ) = i + i Przydatno liczb zspolonych zilustrujmy zbadanim ruchu oscylatora z sił tłuminia proporcjonaln do prdkoci: m = k α Stosunk k/m dla oscylatora nitłumiongo oznaczalimy litr. Jak si nibawm przkonamy, tłumini spowoduj, ruch ni bdzi ju okrsowy (w zwykłym snsi), a jli pojawi si (dla dostatczni słabgo tłuminia) co analogiczngo do czstoci, bdzi to wilko róna od k/m. Dlatgo zminiamy oznaczni: k / m Wygodni jst t oznaczy α / m = β i zapisa równani ruchu w postaci: = β Przystpujc do poszukiwania rozwizania analityczngo takigo równania, powinnimy uwiadomi sobi kilka spraw. Po pirwsz. Wimy, i podani połonia pocztkowgo i prdkoci pocztkowj v dla wybrango czasu (przyjmijmy, gdy ni ma wyrango powodu, jako czas pocztkowy wybira bdzimy t=) jst i koniczn i wystarczajc dla wyznacznia ruchu. Gdybymy, wic, znalli funkcj czasu zawirajc dwi dowoln stał: C 1 i C, funkcj spłniajca nasz równani ruchu, dla dowolngo zstawu stałych C 1 i C, to, dobirajc t dwi stał, moglibymy nada waociom połonia i prdkoci w chwili pocztkowj, podan waoci. 6
7 Rozwizani z potrzbn liczb dowolnych stałych nazywa si rozwizanim ogólnym. Po drugi. Nasz równani jst liniow jdnorodn. Poszukiwana funkcja i jj pochodn wystpuj tylko i wyłczni w pirwszj potdz, ni ma tak iloczynów, np.. Jst to istotn ułatwini. Liniowo oznacza, gdy jaki góln (t) jst rozwizanim, to wilokrotno tgo rozwizania C (t) jst t rozwizanim tgo samgo równania ruchu. A tak, gdy s dwa rozwizania góln, to ich kombinacja liniowa: C 1 1 (t) + C (t) jst t rozwizanim. To fantastyczn ułatwini. Jli znal na tj, czy innj drodz, odgadn, dwa góln rozwizania równania liniowgo (równania drugigo rzdu dla jdngo połonia), to tym samym, ju si ma rozwizani ogóln. Po trzci, funkcja wykładnicza, cudowna funkcja wykładnicza, po zróniczkowaniu pozostaj sob, mnoc si jdyni przz współczynnik: d / dt = r. Druga pochodna pomnoy si przz r, a sama funkcja pozostani sob. Ostatczni funkcja wykładnicza pozostani w pirwszj potdz w wszystkich członach równania i mona to równani przz ni podzili. Znikni czas z tgo równaia, a na to by było ono spłnion, spłnion by musi równani algbraiczn jaki si z tgo narodziło. Przystpujmy do zgadywania. Zgadujmy, powinno istni rozwizani wykładnicz z jak waoci r. By si o tym przkona wstawiamy funkcj do równania ruchu. Dostajmy: r r = + βr + βr =, czyli, po podzilniu przz : zamiast Jako bonus potraktujmy fakt, i równani na r jst kwadratow. Poza pwnym zło- liwym przypadkim, daj nam to ni tylko jdno, al dwa rozwizania, któr po pomno- niu przz dwi dowoln, rón stał i zsumowan produkuj nam rozwizani ogóln! Kady z Was dobrz wi, równani kwadratow mo ni mi adngo rozwizania! Czy bdzimy z tgo powodu płaka??? W adnym wypadku!!!! Owo adngo rozwizania dotyczy liczb rzczywistych. Dołczajc uytczny twór, jakim jst i, jaki i = 1,prztwarzajcy funkcj wykładnicz (szrg o stałych znakach) w funkcj trygonomtryczn, powodujmy, rozwizani postaci a + ib musi istni dla kadgo 7
8 równania kwadratowgo (czy to o współczynnikach rzczywistych, czy zspolonych). Czasami rozwizani jst tylko jdno, gdy równani jst postaci ( a ib) =, al na ogół s dwa, tyl, czasmi oba sa zspolon. Mamy równani kwadratow, wic avanti. r r 1, + βr + = β ± β =, Jst jasn, przypadk tłuminia tak silngo, β > (czyli α > km ) jst zdcydowani nipodobny do przypadku przciwngo. W tym pirwszym, rozwizanim ogólnym jst βt ( C 1 β t + C ). β t Przy równaniach liniowych, kombinacj rozwiza gólnych t s rozwizaniami gólnymi, w gólnoci połowa sumy i połowa rónicy. Zatm β t ( D1 cosh β t + D sinh β t) jst inn postaci rozwizania ogólngo. Ta druga posta jst wygodna do wstawinia warunków pocztkowych: D 1 =, D βd1 = v A posta pirwsza jst dogodna do ocny tmpa zbliania si oscylatora do połonia równowagi. Dla duych czasów, człon z wikszym (co do waoci bzwzgldnj wykładnikim) jst pomijalny w stosunku do tgo drugigo i to tn drugi rzdzi zachowanim asymptotycznym: p ( β β ). Problm tłuminia drga jst nizwykl wanym praktyczni zagadninim! Czasami chcmy mi drgania moliwi słabo tłumion. Czasami jdnak, taki słabo tłumion drgania s niwygodn. Ot, choby w amoyzatorach. Al i w czystych badaniach naukowych, wil przyrzdów pomiarowych, zawira czci ruchom, których połoni ustala si w wyniku równowagi. Np. waga. Gdyby kołysani si szalk wagi ni było tłumion, ni doczkalibymy si nigdy na moliwo odczytu. W takich wypadkach wprowadza si tłumini kontrolowan. Czy bowim prawd jst, im tłumini silnijsz, tym lpij? Absolutni ni. Gdy β dy do niskoczonoci, współczynnik przy czasi bdcy odwrotnoci czasu osigania równowagi ( β β ) = /( β + β ) / β dy do zra, a czas τ = β / (po którym wao wychylnia spada o czynnik ) 8
9 dy do niskoczonoci. Z tgo punktu, opłaca si tłumini zmnijsza. Al co si dzij, gdy przkroczymy wao? No włani!!! Traz pojawiaj si, całkowici naturalni, liczby zspolon. A liczby zspolon w wykładniku, to funkcj trygonomtryczn! Zaczynaj si drgania! Wygodni jst, jak to ju robilimy, (al traz po dwakro wygodni) wybra jako rozwizania góln: połow sumy i połow rónicy dzilonj dodatkowo przz i. Czyli sinus i cosinus: ( t) = β t ( D1 cos β t + D sin β t) Skorzystalimy z tgo, ± β = ± i β Wao połonia jst iloczynm funkcji opisujcj poczciw drgania harmoniczn, cho o mnijszj czstoci: = β przz monotoniczni maljcy czynnik wykładniczy βt. W gólnoci, drgania zaczynajc si (w chwili t=) w połoniu, z prdko- ci v, opisan s równanim: v β ( t) = sin β β t t. J jdn rzcz naly traz rozwin. Mianowici ruch pod wpływm zwntrznj, oscylujcj znanj siły, o dowolnj czstotliwoci równj, albo rónj od czstotliwoci własnj oscylatora. + + β = h cos( ) t Stała h jst amplitud zminnj siły 4 F( t) = mh cos( t) podzilon przz m. Mamy traz równani nadal liniow al nijdnorodn. I traz, znalzini rozwizania ogólngo ni przdstawia trudnoci. Wystarczy zaobsrwowa, znajomo, chocia jdngo rozwizania gólngo całgo równania, pozwala sprowadzi problm do rozwizywania znów równania jdnorodngo! 4 W przypadku innych oscylatorów ni punkt matrialny, np. w przypadku drgajcgo obwodu lktryczngo z kondnsatorm, cwk indukcyjn i opornikim, prawa strona rprzntowa bdzi (z odpowidnim współczynnikim) zminn napici przyłoon do obwodu, np. napici sici o czstotliwoci 5Hz, albo napici z antny odbiorczj, tc. 9
10 Istotni. Nich splnia : + β + = h cos t Dokonajmy podstawinia = + y, i znajdmy równani na y. ( + y) + β( + y ) + ( + y) = h cos t Człony z rozwizanim gólnym rdukuj si z członm po prawj, człony z y spłniaj wic równani: y + βy + y =, którgo rozwizani ogóln włani znallimy. Rozwizani góln trzba znów zgadywa. Odkładajc na potm przypadk ogólny zbadajmy na razi oscylator nitłumiony. W takim wypadku wida, szans na spłnini równania istnij, gdy uda si dobra amplitud drga z czstoci wymuszajc: = Acos t Wstawiajc do równania (bz tłuminia) ( + Acos t + ) A = h = h cos t dostajmy : cos t = h cos t, czyli : Amplitudy rozwizania gólngo A ni da si dobra, gdy czsto wymuszajca pokrywa si z czstoci własn. W pozostałych przypadkach A = h Rozwizani ogóln płngo równania jst: h = cos t + C1 cos t + C sin t Dziwn rzczy dzij si dla czstoci wymuszajcj bliskij, a tym bardzij równj, czstoci własnj oscylatora. Zro pojawia si w mianowniku, sugrujc natychmiastow katastrof. Z drugij strony, gdy zaczynamy kołysa oscylator z czstoci rzonansow, stosujc jak skoczon sił, połoni oscylatora, ni mo nagl sta si niskoczon, co zdaj si sugrowa wzór na rozwizani ogóln. 1
11 Rozwizani paradoksu polga na wprowadzniu do ogólngo wzoru, zamiast wygodnych, lcz ni majcych bzpordnij intrpacji stałych C 1 i C, danych pocztkowych i v. v = = h C + C cos t cos = h 1 t + cos v t + sin t Gdy czstoci staj si bliski i w mianowniku pojawia si mała wilko, w liczniku t wystpuj mała wilko, rónica cosinusów od bliskich argumntów. Rozkładajc mianownik na iloczyn, momy pirwszy człon przkształci do postaci: ht cos t cos t v = + cos t + sin t + t t Gdy ta jst sinusm. t t, drugi iloraz pokrywa si z dfinicj pochodnj funkcji cosinus! A Mamy, wic, dla dokładngo rzonansu: ht v = sin t + cos t + sin t + Wynik całkowici skoczony! Jli wystpuj tłumini, pojdynczy człon z cosinusm ni mo spłni równania, bo człon z pochodn stani si sinusm. Naly wic szuka rozwizania w postaci kombinacji sinusa i cosinusa z dwima niwiadomymi amplitudami. Wszlki opracj (jdno róniczkowani, czy dwa) w równaniu prowadz tylko do członów z sinusm i cosinusm, spłnini równania sprowadzi si do porównania współczynników z osobna przy sinusi i cosinusi. Al mamy dwi niwiadom, wic procdura musi doprowadzic do sukcsu. Zajmici si tym na wiczniach. 11
Wykład 9. 2 ) działa niezależnie od postaci analitycznej sił. Jest równie łatwa dla oscylatora
Wykład 9 Na poprzdnim wykładzi zbadaliśmy sns równań ruchu. Są o równania różniczkow. Pozwalają on wyznaczyć położnia (i prędkości) w dowolnym czasi przyszłym, jśli znamy w jakijś chwili (nazywanj począkową
Uogólnione wektory własne
Uogólnion wktory własn m Dfinicja: Wktor nazywamy uogólnionym wktorm własnym rzędu m macirzy A do wartości własnj λ jśli ( A - I) m m- λ al ( A - λ I) Przykład: Znajdź uogólniony wktor własny rzędu do
2009 ZARZĄDZANIE. LUTY 2009
Wybran zstawy gzaminacyjn kursu Matmatyka na Wydzial ZF Uniwrsyttu Ekonomiczngo w Wrocławiu w latach 009 06 Zstawy dotyczą trybu stacjonarngo Niktór zstawy zawirają kompltn rozwiązania Zakrs matriału w
Definicja: Wektor nazywamy uogólnionym wektorem własnym rzędu m macierzy A
Uogólnion wktory własnw Dfinicja: Wktor nazywamy uogólnionym wktorm własnym rzędu m macirzy A m do wartości własnj λ jśli ( A - I) m m- λ al ( A - λ I) Przykład: Znajdź uogólniony wktor własny rzędu do
15. CAŁKA NIEOZNACZONA cz. I
5. CAŁKA NIEOZNACZONA cz. I Fukcj pirwot fukcji f w pwym przdzial (właciwym lub iwłaciwym) azywamy tak fukcj F, którj pochoda rówa si fukcji f w tym przdzial. Zbiór wszystkich fukcji pirwotych fukcji f
Szeregowy obwód RC - model matematyczny układu
Akadmia Morska w Gdyni Katdra Automatyki Okrętowj Toria strowania Mirosław Tomra Na przykładzi szrgowgo obwodu lktryczngo składającgo się z dwóch lmntów pasywnych: rzystora R i kondnsatora C przdstawiony
6. Dynamika Stan równowagi. ρb(x, y, z) V n t d. Siły
6. Dynamika P.Pluciński 6. Dynamika 6.1. tan równowagi t ρb d x, y, z P ρüx, y, z ρbx, y, z z n t d x y iły ρb wktor gęstości sił masowych [N/m 3 ] ρb d wktor gęstości sił masowych tłuminia [N/m 3 ] ρü
Przetwarzanie sygnałów biomedycznych
Prztwarzani sygnałów biomdycznych dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński, prof. PW Człowik- najlpsza inwstycja Projkt współfinansowany przz Unię Europjską w ramach Europjskigo Funduszu Społczngo Wykład XI Filtracja
Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska
Funkcja niciągła. Typy niciągłości funkcji Autorzy: Anna Barbaszwska-Wiśniowska 2018 Funkcja niciągła. Typy niciągłości funkcji Autor: Anna Barbaszwska-Wiśniowska DEFINICJA Dfinicja 1: Funkcja niciągła
Temat: Pochodna funkcji. Zastosowania
Tmat: Pochodna funkcji. Zastosowania A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i Kody kolorów: Ŝółty now pojęci pomarańczowy uwaga A n n a R a j f u r a, M a t m a
Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)
Rozwiązanie równania różniczkowego MES
Rozwiązani równania różniczkowgo MES Jrzy Pamin -mail: jpamin@l5.pk.du.pl Instytut Tchnologii Informatycznych w Inżynirii Lądowj Wydział Inżynirii Lądowj Politchniki Krakowskij Strona domowa: www.l5.pk.du.pl
cos(ωt) ω ( ) 1 cos ω sin(ωt)dt = sin(ωt) ω cos(ωt)dt i 1 = sin ω i ( 1 cos ω ω 1 e iωt dt = e iωt iω II sposób: ˆf(ω) = 1 = e iω 1 = i(e iω 1) i ω
Rachunk prawdopodobiństwa MAP6 Wydział Elktroniki, rok akad. 8/9, sm. ltni Wykładowca: dr hab. A. Jurlwicz Przykłady do listy : Transformata Fourira Przykłady do zadania. : Korzystając z dfinicji wyznaczyć
Analiza danych jakościowych
Analiza danych jakościowych Ccha ciągła a ccha dyskrtna! Ciągła kg Dyskrtna Cchy jakościow są to cchy, których jdnoznaczn i oczywist scharaktryzowani za pomocą liczb jst nimożliw lub bardzo utrudnion.
Wykład FIZYKA I. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak. Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska
Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Katedra Optyki i Fotoniki Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html DRGANIA HARMONICZNE
Wykład 6 Pochodna, całka i równania różniczkowe w praktycznych zastosowaniach w elektrotechnice.
Wykład 6 Pochodna, całka i równania różniczkow w prakycznych zasosowaniach w lkrochnic. Przypomnini: Dfinicja pochodnj: Granica ilorazu różnicowgo-przyros warości funkcji do przyrosu argumnów-przy przyrości
Sieci neuronowe - uczenie
Sici nuronow - uczni http://zajcia.jakubw.pl/nai/ Prcptron - przypomnini x x x n w w w n wi xi θ y w p. p. y Uczni prcptronu Przykład: rozpoznawani znaków 36 wjść Wyjści:, jśli na wjściu pojawia się litra
Ekscytony Wanniera Motta
ozpatrzmy oddziaływani lktronu o wktorz falowym bliskim minimum pasma przwodnictwa oraz dziury z obszaru blisko wirzcołka pasma walncyjngo. Zakładamy, ż oba pasma są sfryczni symtryczn, a ic kstrma znajdują
Równania róniczkowe liniowe. = 2. dx x. dy dy. dx y. y dx. dy y. dy 2
Równni róniczkow liniow Równni róniczkow, kór mon zpis w posci + p( q(, gdzi p ( i q ( s funkcjmi cigłmi, nzwm równnim liniowm pirwszgo rzdu Jli q (, o równni nzwm liniowm nijdnorodnm W przciwnm przpdku
Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151, 2011/12 Wydział Elektroniki Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz
1 Rachunk Prawdopodobiństwa MAP1151, 011/1 Wydział Elktroniki Wykładowca: dr hab. Agniszka Jurlwicz Listy zadań nr 5-6 Opracowani: dr hab. Agniszka Jurlwicz Lista 5. Zminn losow dwuwymiarow. Rozkłady łączn,
1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomoci i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojcia wartoci argumentu i wartoci funkcji.
Fizyka promieniowania jonizującego. Zygmunt Szefliński
Fizyka prominiowania jonizującgo ygmunt Szfliński 1 Wykład 10 Rozpady Rozpady - warunki nrgtyczn Ściżka stabilności Nad ściżką znajdują się jądra prominiotwórcz, ulgając rozpadowi -, zaś pod nią - jądra
Zagadnienie statyki kratownicy płaskiej
Zagadnini statyki kratownicy płaskij METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, smstr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynirii Lądowj, Politchnika Krakowska Ewa Pabisk () Równania MES dla ustrojów prętowych
Drgania i fale II rok Fizyk BC
00--07 5:34 00\FIN00\Drgzlo00.doc Drgania złożone Zasada superpozycji: wychylenie jest sumą wychyleń wywołanych przez poszczególne czynniki osobno. Zasada wynika z liniowości związku między wychyleniem
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający
Podstawy fizyki sezon 1 VII. Ruch drgający Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Ruch skutkiem działania
RUCH HARMONICZNY. sin. (r.j.o) sin
RUCH DRGAJĄCY Ruch harmoniczny Rodzaje drgań Oscylator harmoniczny Energia oscylatora harmonicznego Wahadło matematyczne i fizyczne Drgania tłumione Drgania wymuszone i zjawisko rezonansu Politechnika
Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice.
Wykład z modelowania matematycznego. Przykłady modelowania w mechanice i elektrotechnice. 1 Wahadło matematyczne. Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na długiej, cienkiej
ZASTOSOWANIA POCHODNEJ
ZASTOSOWANIA POCODNEJ Ruła d l'ospitala. Nich, - różniczkowa w pwnym sąsidztwi punktu oraz lub istnij skończona lub niwłaściwa ranica wtdy Uwaa. Powyższ twirdzni jst równiż prawdziw dla ranic jdnostronnych
ZASTOSOWANIE REGRESJI LOGISTYCZNEJ DO OKREŚLENIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPRZEDAŻY ZASOBU MIESZKANIOWEGO
ZASTOSOWANIE REGRESJI LOGISTYCZNEJ DO OKREŚLENIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPRZEDAŻY ZASOBU MIESZKANIOWEGO Łukasz MACH Strszczni: W artykul przdstawiono procs budowy modlu rgrsji logistycznj, którgo clm jst wspomagani
Fizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Wykład 2 Wahadło rezonans parametryczny. l+δ
Wykład Wahadło rzonans paramryczny θ θ l l+δ C B B Wykład Wahadło - rzonans paramryczny E E E B mg l cos θ θ E kinb m d d l l+δ B B l C I m l E B B kinb' I m B' B' d d d d B l ml d d B ' mgl cos ' B gcos
Ruch drgajacy. Drgania harmoniczne. Drgania harmoniczne... Drgania harmoniczne... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż.
Ruch drgajacy dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Ruch drgajacy Drgania harmoniczne Drgania oscylacje to cykliczna
Fizyka 12. Janusz Andrzejewski
Fizyka 1 Janusz Andrzejewski Przypomnienie: Drgania procesy w których pewna wielkość fizyczna na przemian maleje i rośnie Okresowy ruch drgający (periodyczny) - jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające
( t) UKŁADY TRÓJFAZOWE
KŁDY TRÓJFW kładm wilofazowym nazywamy zbiór obwodów lktrycznych (fazowych) w których działają napięcia żródłow sinusoidaln o jdnakowj częstotliwości przsunięt względm sibi w fazi i wytwarzan przważni
Farmakokinetyka furaginy jako przykład procesu pierwszego rzędu w modelu jednokompartmentowym zawierającym sztuczną nerkę jako układ eliminujący lek
1 Matriał tortyczny do ćwicznia dostępny jst w oddzilnym dokumnci, jak równiż w książc: Hrmann T., Farmakokintyka. Toria i praktyka. Wydawnictwa Lkarski PZWL, Warszawa 2002, s. 13-74 Ćwiczni 6: Farmakokintyka
Granica funkcji - Lucjan Kowalski GRANICA FUNKCJI
GRANICA FUNKCJI Granica uncji. - dowolna liczba rzczywista. O, = - ; + - otoczni liczby puntu o prominiu, S, = - ;, + - sąsidztwo liczby puntu o prominiu, Nich uncja będzi orślona w sąsidztwi puntu, g
α - stałe 1 α, s F ± Ψ taka sama Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: Inna zależność siły od Ψ : - układ nieliniowy,
Drgania nieliniowe (anharmoniczne) Harmoniczne: F s s Inna zależność siły od : - układ nieliniowy, Symetryczna siła zwrotna Niech: F s ( ) s Symetryczna wartość - drgania anharmoniczne α, s F s dla α -
REGULAMIN PSKO 2016. I. Kryteria i wymagania dla zawodników Optimist PSKO. II. Mistrzostwa PSKO. III. Puchar Polski PSKO
I. Krytria i wymagania dla zawodników Optimist PSKO 1. W rgatach PSKO mogą startować zawodnicy do lat 15 posiadający licncję sportową PZŻ, aktualn ubzpiczni OC i będący członkami PSKO, spłniający wymagania
Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
MMF ćwiczenia nr 1 - Równania różnicowe
MMF ćwiczia r - Rówaia różicow Rozwiązać rówaia różicow pirwszgo rzędu: y + y = y = y + y =! y = Wsk Podzilić rówai przz! i podstawić z y /( )! Rozwiązać rówaia różicow drugigo rzędu: 5 6 F F F F F (ciąg
Dynamika Uk adów Nieliniowych 2009 Wykład 11 1 Synchronizacja uk adów chaotycznych O synchronizacji mówiliśmy przy okazji języków Arnolda.
Dynamika Ukadów Nieliniowych 2009 Wykład 11 1 Synchronizacja ukadów chaotycznych O synchronizacji mówiliśmy przy okazji języków Arnolda. Wtedy była to synchronizacja stanów periodycznych. Wiecej na ten
Termodynamika. Część 10. Elementy fizyki statystycznej klasyczny gaz doskonały. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ
Trodynaika Część 1 Elnty fizyki statystycznj klasyczny gaz doskonały Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Użytczn całki ax2 dx = 1 2 a x ax2 dx = 1 2a ax2 dx = a a x 2 ax2 dx = 1 4a a x 3 ax2 dx = 1 2a
Q n. 1 1 x. el = i. L [m] q [kn/m] P [kn] E [kpa], A [m 2 ] n-1 n. Sławomir Milewski
Ćwiczni a: Statyka rozciągango pręta - intrpolacja liniowa Dany jst pręt o długości L, zamocowany na lwym końcu, obciążony w sposób jdnorodny ciągły (obciążni q) i skupiony (siła P na prawym swobodnym
Przykład 1 modelowania jednowymiarowego przepływu ciepła
Przykład 1 modlowania jdnowymiarowgo przpływu cipła 1. Modl przpływu przz ścianę wilowarstwową Ściana składa się trzch warstw o różnych grubościach wykonana z różnych matriałów. Na jdnj z ścian zwnętrznych
Mikroekonomia II. Teoria konsumenta - zadania dodatkowe. w której mamy 20 konsumentów, chcacych. kupić samochody, o 5 typach, charakteryzujacych
Mikrokonomia II Toria konsumnta - zadania dodatkow 1. Rozważmy sytuacj w którj mamy 20 konsumntów, chcacych kupić samochody, o 5 typach, charaktryzujacych si różnymi cnami granicznymi. Poniższa tabla przdstawia
Identyfikacja osób na podstawie zdjęć twarzy
Idntyfikacja osób na podstawi zdjęć twarzy d r i n ż. Ja c k Na r u n i c m gr i n ż. Ma r k Kowa l s k i C i k a w p r o j k t y W y d z i a ł E l k t r o n i k i i T c h n i k I n f o r m a c y j n y
WYKŁAD FIZYKAIIIB 2000 Drgania tłumione
YKŁD FIZYKIIIB Drgania łumione (gasnące, zanikające). F siła łumienia; r F r b& b współczynnik łumienia [ Nm s] m & F m & && & k m b m F r k b& opis różnych zjawisk izycznych Niech Ce p p p p 4 ± Trzy
Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny
DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
MOCE I KOMPENSACJA REAKTANCYJNA W LINIOWYCH OBWODACH TRÓJFAZOWYCH. Leszek S. Czarnecki, IEEE Life Fellow Louisiana State University
MOCE I KOMPENSACJA REAKANCYJNA W LINIOWYCH OBWODACH RÓJFAZOWYCH Lszk S. Czarncki, IEEE Lif Fllow Louisiana Stat Univrsity Rys historyczny Pirwsz wnioski o nikorzystnym wpływi nizrównoważnia odbiornika
Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x
Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy
Interpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Tw: (O promieniu zbieżności R szeregu potęgowego ) Jeżeli istnieje granica. to R = ) ciąg liczb zespolonych
Automatya i Rootya Aaliza Wyład dr Adam Ćmil cmil@agh.du.pl SZEREGI POTĘGOWE ( c ciąg licz zspoloych c ( z z - szrg potęgowy, gdzi ( c - ciąg współczyiów szrgu, z C - środ, ctrum (ustalo, z C - zmia. Dla
Wektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Automatyzacja Procesów Przemysłowych
Automatyzacja Procsów Przmysłowych Tmat: Układ rgulacji zamknięto-otwarty Zspół: Kirunk i grupa: Data: Mikuś Marcin Mizra Marcin Łochowski Radosław Politowski Dariusz Szymański Zbigniw Piwowarski Przmysław
EKONOMETRIA. Ekonometryczne modele specjalne. Zbigniew.Tarapata zbigniew.tarapata.akcja.pl/p_ekonometria/ tel.
EKONOMETRIA Tmat wykładu: Ekonomtryczn modl spcjaln Prowadzący: dr inż. Zbigniw TARAPATA -mail: Zbigniw.Tarapata Tarapata@isi.wat..wat.du.pl http:// zbigniw.tarapata.akcja.pl/p_konomtria/ tl.: 0-606-45-54-80
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szkoy dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdajcego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron
CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne
ZASTOSOWANIE METODY GRAFÓW WIĄZAŃ DO MODELOWANIA PRACY ZESPOŁU PRĄDOTWÓRCZEGO W SIŁOWNI OKRĘTOWEJ
Chybowski L. Grzbiniak R. Matuszak Z. Maritim Acadmy zczcin Poland ZATOOWANIE METODY GRAFÓW WIĄZAŃ DO MODELOWANIA PRACY ZEPOŁU PRĄDOTWÓRCZEGO W IŁOWNI OKRĘTOWEJ ummary: Papr prsnts issus of application
( ) Pochodne. Załómy, e funkcja f jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu x 0. Liczb
Pocodne Załómy, e unkcja jest okrelona w pewnym otoczeniu punktu. Liczb ( + ) ( ) nazywamy ilorazem rónicowym unkcji w punkcie dla przyrostu. Pocodn ( ) unkcji w punkcie nazywamy granic ilorazu rónicowego,
± - małe odchylenie od osi. ± - duże odchylenie od osi
TYGONOMETRYCZNE Przjmujm, ż znn są dfinicj i podstwow włsności funkcji trgonomtrcznch. Zprzntujm poniżj kilk prktcznch sposobów szbkigo, prktczngo obliczni wrtości funkcji trgonomtrcznch, rozwiązwni równń
Laboratorium Półprzewodniki Dielektryki Magnetyki Ćwiczenie nr 11 Badanie materiałów ferromagnetycznych
Laboratorium Półprzwodniki Dilktryki Magntyki Ćwiczni nr Badani matriałów frromagntycznych I. Zagadninia do przygotowania:. Podstawow wilkości charaktryzując matriały magntyczn. Związki pomiędzy B, H i
Funkcje hiperboliczne
Funkcje hiperboliczne Mateusz Goślinowski grudnia 06 Geometria hiperboli Zastanówmy się nad następującym faktem. Zauważmy, jak podobne są równania okręgu jednostkowego i hiperboli jednostkowej: x + y x
Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1064, 2008/09
1 Rachunk Prawdopodobiństwa MAP1064, 008/09 Wydział Elktroniki Wykładowca: dr hab. Agniszka Jurlwicz Listy zadań nr 10-1 Opracowani: dr hab. Agniszka Jurlwicz Litratura: [1] A. Plucińska, E. Pluciński,
KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartoci funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdajcy
Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron. WPPT, Matematyka Stosowana
Wykład 1: Fale wstęp. Drgania Katarzyna Weron WPPT, Matematyka Stosowana Sposoby komunikacji Chcesz się skontaktować z przyjacielem Wysyłasz list? Wykorzystujesz cząstki Telefonujesz? Wykorzystujesz fale
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 3 liniowe 3 Bernoulliego
Przykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1
Nr zadania Nr czynności. Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR Etapy rozwiązania zadania POZIOM PODSTAWOWY Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
4) lim. lim. lim. lim. lim. x 3. e e. lim. lim x. lim. lim. lim. lim 2. lim. lim. lim. Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x.
Zastosowania matmatyki w konomii Tmat : Funkcj jdnj zminnj Zadani Wyznacz dzidziny następujących funkcji: ) f ) f 5) log 6 ) f ) f 7 Zadani Oblicz granic funkcji: log f 5 6) f 7 8 ) ) ) 8 7 ) 5) 6) 7)
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY
Nr zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr Etapy rozwiązania zadania czynności Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
Planowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa.
Planowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa. Wstp Przy podejciu do planowania adresacji IP moemy spotka si z 2 głównymi przypadkami: planowanie za pomoc adresów sieci prywatnej przypadek, w którym jeeli
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem
Wykład 6 Drgania. Siła harmoniczna
Wykład 6 Drgania Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus albo
WYKŁAD 4 PLAN WYKŁADU. Sieci neuronowe: Algorytmy uczenia & Dalsze zastosowania. Metody uczenia sieci: Zastosowania
WYKŁAD 4 Sieci neuronowe: Algorytmy uczenia & Dalsze zastosowania PLAN WYKŁADU Metody uczenia sieci: Uczenie perceptronu Propagacja wsteczna Zastosowania Sterowanie (powtórzenie) Kompresja obrazu Rozpoznawanie
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)
? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x
FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do
Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami
Równania różniczkowe zwyczajne Zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna I Równania pierwszego rzędu 2 1 o rozdzielonych zmiennych 2 2 jednorodne 4 3 liniowe 4 4 Bernoulliego 5
MECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Wykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego
1 Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przeciwprostokątnej.
NARODOWY FUNDUSZ INWESTYCYJNY PROGRESS S.A.
NARODOWY FUNDUSZ INWESTYCYJNY PROGRESS S.A. RAPORT UZUPEŁNIAJĄCY OPINIĘ Z BADANIA INFORMACJI FINANSOWEJ, OBEJMUJĄCEJ WPROWADZENIE, BILANS, RACHUNEK ZYSKÓW I STRAT ORAZ DODATKOWE INFORMACJE I OBJAŚNIENIA
Wykład 6. Funkcje Różniczkowalne - ciąg dalszy. są różniczkowalne w punkcie p i zachodzą wzory:
Wykład 6 Funkcje Różniczkowalne - cią dalszy Twierdzenie o arytmetycznyc własnościac pocodnej Załóżmy, że funkcje f i są różniczkowalne w punkcie p. Wtedy funkcje f +, f, f, i, jeśli ( p) 0, to również
Podstawowe obiekty AutoCAD-a
LINIA Podstawowe obiekty AutoCAD-a Zad1: Narysowa lini o pocztku w punkcie o współrzdnych (100, 50) i kocu w punkcie (200, 150) 1. Wybierz polecenie rysowania linii, np. poprzez kilknicie ikony. W wierszu
Definicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
- Jeśli dany papier charakteryzuje się wskaźnikiem beta równym 1, to premia za ryzyko tego papieru wartościowego równa się wartości premii rynkowej.
Śrdni waŝony koszt kapitału (WACC) Spółki mogą korzystać z wilu dostępnych na rynku źródł finansowania: akcj zwykł, kapitał uprzywiljowany, krdyty bankow, obligacj, obligacj zaminn itd. W warunkach polskich
MATERIAŁ WICZENIOWY Z MATEMATYKI
pobrano z www.sqlmedia.pl Materiał wiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczcia diagnozy. Materiał wiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie naley powiela ani udostpnia
materia³ pobrano ze strony:
materia³ pobrano ze strony: www.sqlmedia.pl www.sqlmedia.pl multimedialna platforma edukacyjna Miejsce na naklejkê z kodem (Wpisuje zdaj¹cy przed rozpoczêciem pracy) KOD ZDAJ CEGO dysleksja EGZAMIN MATURALNY
Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana
2. Architektury sztucznych sieci neuronowych
- 8-2. Architktury sztucznych sici nuronowych 2.. Matmatyczny modl nuronu i prostj sici nuronowj Sztuczn sici nuronow są modlami inspirowanymi przz strukturę i zachowani prawdziwych nuronów. Podobni jak
Ruch drgający. Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony
Ruch drgający Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony Ruchem drgającym nazywamy ruch ciała zachodzący wokół stałego położenia równowagi. Ruchy drgające dzielimy na ruchy: okresowe, nieokresowe. Ruch
Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1