Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14

Transkrypt

1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14

2 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny z ruchem wskazówek zegara jest ujemny (β < 0) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 2 / 14

3 Miara kąta Miara kąta Definicja Miarą łukową kąta w kole o promieniu r nazywamy stosunek długości łuku s do promienia α = s r Jednostką miary łukowej jest radian. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 3 / 14

4 Miara kąta pełny obrót (360 ) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 4 / 14

5 Miara kąta pełny obrót (360 ) α = s r = obwód koła r = XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 4 / 14

6 Miara kąta pełny obrót (360 ) α = s r = obwód koła r = 2πr r = XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 4 / 14

7 Miara kąta pełny obrót (360 ) α = s r = obwód koła r = 2πr r = 2π rad XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 4 / 14

8 Miara kąta pełny obrót (360 ) α = s r = obwód koła r = 2πr r = 2π rad miara stopniowa miara łukowa 90 π π 270 3π π XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 4 / 14

9 Miara kąta pełny obrót (360 ) α = s r = obwód koła r = 2πr r = 2π rad miara stopniowa miara łukowa 90 π π 270 3π π XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 4 / 14

10 Funkcje dowolnego kąta Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta Definicje Jeżeli punkt P (x, y) jest punktem (różnym od punktu (0, 0)) na końcowym ramieniu kąta α, r = x 2 + y 2 jest promieniem wodzącym punktu P, to sin α = y r cos α = x r tg α = y x (x 0) ctg α = x y (y 0) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 5 / 14

11 Funkcje dowolnego kąta Wzory redukcyjne Prosta reguła f, g : sin, cos, tg, ctg g(α ± x) = ±f(x) dla α = π, 2π : f = g, czyli funkcja bez zmian α = π 2, 3π 2 : sin cos, tg ctg Znak ± przed f(x) zależy od kąta α ± x W pierwszej wszystkie dodatnie W drugiej tylko sinus W trzeciej tangens i contangens A w czwartej cosinus XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 6 / 14

12 Tożsamości Tożsamości trygonometryczne sin 2 α + cos 2 α = 1 tg α ctg α = 1 sin (2α) = 2 sin α cos α cos (2α) = cos 2 α sin 2 α sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β sin α sin β XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 7 / 14

13 Tożsamości Sinus i Cosinus sumy i różnicy Ze wzorów na sinus i cosinus sumy można wyprowadzić wiele innych wzorów sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v cos (u + v) = cos u cos v sin u sin v XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 8 / 14

14 Tożsamości Sinus i Cosinus sumy i różnicy Ze wzorów na sinus i cosinus sumy można wyprowadzić wiele innych wzorów sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v cos (u + v) = cos u cos v sin u sin v sin (u v) = sin u cos v cos u sin v XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 8 / 14

15 Tożsamości Sinus i Cosinus sumy i różnicy Ze wzorów na sinus i cosinus sumy można wyprowadzić wiele innych wzorów sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v cos (u + v) = cos u cos v sin u sin v sin (u v) = sin u cos v cos u sin v cos (u v) = cos u cos v + sin u sin v XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 8 / 14

16 Tożsamości Zamiana iloczynu na sumę i sumy na iloczyn sin u sin v = 1 2 [cos (u v) cos (u + v)] cos u cos v = 1 2 [cos (u v) + cos (u + v)] sin u cos v = 1 2 [sin (u + v) + sin (u v)] cos u sin v = 1 2 [sin (u + v) sin (u v)] XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 9 / 14

17 Tożsamości Zamiana iloczynu na sumę i sumy na iloczyn sin u sin v = 1 2 [cos (u v) cos (u + v)] cos u cos v = 1 2 [cos (u v) + cos (u + v)] sin u cos v = 1 2 [sin (u + v) + sin (u v)] cos u sin v = 1 2 [sin (u + v) sin (u v)] sin α + sin β = 2 sin sin α sin β = 2 sin cos α + cos β = 2 cos cos α cos β = 2 sin ( α+β 2 ( α β 2 ( α+β 2 ( α+β 2 ) cos ) cos ) cos ( ) α β 2 ( ) α+β 2 ( α β 2 ( α β 2 ) sin ) ) XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 9 / 14

18 Funkcje zmiennej rzeczywistej Funkcje trygonometryczne XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 10 / 14

19 Funkcje zmiennej rzeczywistej Funkcje trygonometryczne Definicje Funkcja sinus, f(x) = sin x, gdzie x jest miarą łukową kąta. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 10 / 14

20 Funkcje zmiennej rzeczywistej Funkcje trygonometryczne Definicje Funkcja sinus, f(x) = sin x, gdzie x jest miarą łukową kąta. Funkcja cosinus, f(x) = cos x, gdzie x jest miarą łukową kąta. Dziedziną obu funkcji jest D f = R, przeciwdziedziną W f =< 1, 1 >. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 10 / 14

21 Funkcje zmiennej rzeczywistej Funkcje trygonometryczne Definicja Funkcja tangens, f(x) = tg x, gdzie x jest miarą łukową kąta. Dziedziną funkcji jest D f = R { π 2 + kπ}, przeciwdziedziną W f = R. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 11 / 14

22 Funkcje zmiennej rzeczywistej Funkcje trygonometryczne Definicja Funkcja tangens, f(x) = tg x, gdzie x jest miarą łukową kąta. Dziedziną funkcji jest D f = R { π 2 + kπ}, przeciwdziedziną W f = R. Definicja Funkcja cotangens, f(x) = ctg x, gdzie x jest miarą łukową kąta. Dziedziną funkcji jest D f = R {kπ}, przeciwdziedziną W f = R. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 11 / 14

23 Równania Równania trygonometryczne przykład sin x = 1 2 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 12 / 14

24 Równania Równania trygonometryczne przykład sin x = 1 2 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 12 / 14

25 Równania Równania trygonometryczne przykład sin x = 1 2 Rozwiązanie XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 12 / 14

26 Równania Równania trygonometryczne przykład sin x = 1 2 Rozwiązanie x = π 6 + 2kπ x = 5π 6 + 2kπ, k Z XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 12 / 14

27 Równania Przydatne równości sin α = sin β α = β + 2kπ α = π β + 2kπ XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 13 / 14

28 Równania Przydatne równości sin α = sin β α = β + 2kπ α = π β + 2kπ cos α = cos β α = ±β + 2kπ XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 13 / 14

29 Równania Przydatne równości sin α = sin β α = β + 2kπ α = π β + 2kπ cos α = cos β α = ±β + 2kπ tg α = tg β α = β + kπ, α, β π 2 + kπ ctg α = ctg β α = β + kπ, α, β kπ XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 13 / 14

30 Nierówności Nierówności trygonometryczne Przykład sin x > 1 2 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 14 / 14

31 Nierówności Nierówności trygonometryczne Przykład sin x > 1 2 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 14 / 14

32 Nierówności Nierówności trygonometryczne Przykład sin x > 1 2 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 14 / 14

33 Nierówności Nierówności trygonometryczne Przykład sin x > 1 2 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 14 / 14

34 Nierówności Nierówności trygonometryczne Przykład sin x > 1 2 x ( ) π 6 + 2kπ, 5π 6 + 2kπ XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 14 / 14