Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe

Transkrypt

1 Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadanie Zbadać czy wektor v mażna przedstawić jako kombinację liniową wektorów e i e, gdzie 4 7 i) v =, e = 5, e = 8, 6 9 oraz ii) v =, e =, e =, Odp. i) tak: v = e e, ii) nie. Zadanie Czy wektory w = [ ] + i i, w = [ ] 7 i + i, są liniowo zależne? Zbadać sprawę nad ciałem R i nad ciałem C. Odp. Pytamy, czy równanie x w + x w =, ma rozwiązanie dla x i R, gdy nad R oraz x i C gdy nad C. Rozwiążmy: x ( + i) + x (7 i) =, x i + x ( + i) =, Z drugiego x = ( +i)x i to do pierwszego, co da: [(+i)( +i)+7 i]x =. To istotnie jest zero. Rozwiązaniemi są więc dowolne x i x = ( + i)x. Widać jednak, że jeśli x R to x jest zespolone. Zatem nad R wektory w i w są liniowo niezależne, a nad C zależne. Zadanie Zbadać liniową niezależność nad ciałem R i nad C wektorów i) e =, e =, e =, e 4 =,

2 oraz i ii) f =, f = i, f =. i Odp.: W przypadku i) widać gołym okiem, że są liniowo zależne nad R bo równanie λ e + λ e + λ e + λ 4 e 4 = ma rozwiązanie λ = λ = λ 4 = λ, λ = λ dla dowolnego λ, a skoro są liniowo zależne nad R to i nad C też, bo R C. W przypadku ii) rozwiązujemy równanie ξ f + ξ f + ξ f =, czyli układ ξ + iξ =, ξ + iξ + ξ =, ξ iξ + ξ =. Dodając pierwsze pomnożone przez i do trzeciego dostajemy ξ =. Uwzględniając to z drugiego dodanego do trzeciego znajdujemy ξ = czyli ξ = i wtedy (z pierwszego) ξ = też. Zatem wektory f, f, f są linowo niezależne nad obydwoma ciałami. Zadanie 4 Dowieść, że wektory w = i i i, w =, w =. są liniowo zależne. Odp.: Rozwiązujemy równanie x w + x w + x w =, czyli układ x + ix + x =, ix x + x =, ix + x + x =. Dodanie drugiego do trzeciego daje x =. Wtedy pierwsze sprowadza się do x +ix =, a drugie do ix x =, czyli do pierwszego pomnożonego przez i. Zatem szukanym rozwiązaniem jest x = ix, x = i x dowolne. Ponieważ albo x albo x jest zespolone (albo nawet oba) to wektory w, w oraz w są liniowo zależne nad C, ale nie nad R. Zadanie 5 Dowieść, że jeśli wektory e, e oraz e są liniowo niezależne (nad R lub C ) to takimiż są wektory f = e + e + e, f = e + e, f = e + e.

3 Odp.: Jak zwykle pytamy, czy z faktu, że λ f + λ f + λ f = wynika, że λ = λ = λ =. Wiemy teraz także, iż równanie ξ e + ξ e + ξ e = ma tylko rozwiązanie ξ = ξ = ξ =. Piszemy więc: = λ f + λ f + λ f = λ (e + e + e ) + λ (e + e ) + λ (e + e ) = (λ + λ )e + (λ + λ + λ )e + (λ + λ )e Zatem na mocy założenia musimy mieć λ +λ =, λ +λ +λ = i λ +λ =. Drugie z pierwszym daje λ =, wtedy trzecie daje λ = i na koniez z drugiego wynika wtedy że i λ =. Zadanie 6 Dowieść, że następujące zbiory wektorów-funkcji (tj. wektorów z przestrzeni V = Map(R, R )) są liniowo niezależne a) sin x, cos x, b), sin x, cos x, c) sin x, sin x,..., sin nx d), cos x, cos x,..., cos nx e), cos x, sin x, cos x, sin x,..., cos nx, sin nx. Odp.: W przypadku a) jest jasne, że λ sin x + ξ cos x = może dla wszystkich x (a, b) R zachodzić tylko dla λ = ξ = : jeśli x = kπ i x = lπ + π należą do (a, b) to jest to trywialne, jesli nie, to można zróżniczkować i ma się λ cos x ξ sin x = oraz λ sin x+ξ cos x = i znów jedynym rozwiązaniem obu dla wszystkich x-ów jest λ = ξ =. To samo w przypadku b): η + λ sin x + ξ cos x = dla wszystkich x (a, b) R też wymaga η = λ = ξ =. W przypadku c) możemy posłużyć się indukcją. Zakładamy, że wektory te są liniowo niezależne dla jakiegoś n (dla n = jest to oczywiste) i sprawdzamy, czy z tego wynika to samo dla n +, to znaczy, że f(x) λ sin x + λ sin x λ n sin nx + λ n+ sin(n + )x, (symbol przypomina, że ma to być dla wszystkich x) tylko dla λ = λ = λ n = λ n+ =. Skoro ma to zachodzić dla wszystkich x to znaczy że i d dx f(x) λ sin x λ sin x +... n λ n sin nx (n + ) λ n+ sin(n + )x. Mnożymy f(x) przez (n + ) i dodajemy do tego tu wyżej, co da [(n + ) ]λ sin x + [(n + ) 4]λ sin x [(n + ) n ]λ n sin nx, To zaś na mocy założenia o liniowej niezależności wektorów sin x, sin x,..., sin nx oznacza, ze [(n + ) ]λ = [(n + ) 4]λ =... = [(n + ) n ]λ n =. Stąd zeru muszą być wszystkie λ i o i =,..., n z wyjątkiem ewentualnie k-tej, o takim k,

4 że (n + ) k =. Ale to się nie może zdarzyć, bo w indukcji rozpatrujemy tylko n + > k. Zatem λ = λ =... λ n = i z tożsamościowego znikanie f(x) wynika, iż także λ n+ =. W przypadku d) także posługujemy się indukcją. Zakładamy, że teza (liniowa niezależność) jest prawdziwa dla n mamy pokazać, że g(x) η + λ cos x + λ cos x λ n cos nx + λ n+ cos(n + )x, pociąga za sobą η = λ =... = λ n = λ n+ =. Mnożymy g(x) przez (n+) i odejmujemy od tego dwakroć zróżniczkowane g(x) =. Jak wyżej wynika stąd, że λ = λ =... λ n = i zostaje nam w g(x) = tylko η+λ n+ cos(n+)x =, co znów wymaga by η = λ n+ =. Wreszcie w przypadku e) także zakładamy, że η+λ cos x+ξ sin x+λ n cos nx+ξ n sin nx = tylko dla η = λ = ξ =... = λ n = ξ n = i robimy dla n + sztuczkę z drugą pochodną co zostawia nam η + λ n+ cos(n + )x + ξ n+ sin(n + )x =. To też wymaga, by η = λ n+ = ξ n+ = (choćby na mocy tego, że teza jest prawdziwa dla n =, a czymże się różni x od (n + )x? - tylko dziedziną...) Zadanie 7 Dowieść, że wektory f = sin x, f = sin x, f = sin x, z przestrzeni wektorowej V = Map(R, R ) są liniowo zależne. Odp.: To proste (można dać do domu) sin x = sin(x + x) = sin x cos x + sin x cos x = sin x cos x + sin x( sin x) = sin x 4 sin x. Czyli f = f 4f, co dowodzi, że f, f, f są liniowo zależne. Zadanie 8 Dowieść, że wektory e =, e =, e =, tworzą bazę przestrzeni wektorowej R. Odp.: Trzeba pokazać, że dowolny wektor w można przedstawić jako kombinację liniową tych trzech, tj. w postaci x e + x e + x e = w. Niech w = [a, b, c]. Trzeba pokazać, że układ równań x + x + x = a, x + 4x = a + b c x + x + x = b, 4x + x = a + b + c x + x + x = c, x + 4x = a b + c 4

5 ma rozwiązanie. Mnożąc pierwsze równanie przez i dodając je do trzeciego x + 4x = a + b c 4x + x = a + b + c x 8x = a b + c Teraz trzecie razy i dodać do drugiego. Otrzymujemy 8x = a + 7b 5c. Czyli mamy x. W podobny sposób można znaleźć 8x = 5a + b + 7c oraz 8x = 7a 5b + c (symetria równań!). Łatwo sprawdzić, że to dobry wynik. Skoro jest rozwiązanie dla dowolnego wektora w to (e, e, e ) tworzą bazę. Zadanie 9 Znaleźć wymiar i jakąś bazę podprzestrzeni wektorowej E R 4 rozpinanej przez wektory v,..., v 5 v =, v = 4, v = v 4 = v 5 = 7, Odp.: Ponieważ R 4 ma wymiar 4, zatem przynajmniej jeden z tych wektorów musi być liniowo zależny od pozostałych. Odrzućmy ostatni (bo ma brzydkie liczby). Aby zobaczyć, czy pierwsze cztery są liniowo zależne spróbujmy zapisać czwarty jako kombinację liniową trzech pierwszych, tj. jako v 4 = x v + x v + x v. To daje układ równań x + x + x =, x + x x =, x + 4x x =, x + x + x =. Weźmy trzy pierwsze na razie. Odjąć od trzeciego pierwsze. To da x = 4x. Wstawiamy to do dwu pierwszych i mamy układ (ten prof. Zybertowicza, ale widać komputer do tego niepotrzebny - układy są zawsze i wszędzie) x + 5x =, x + x =. To łatwo rozwiązać (drugie razy dwa i odjąć od pierwszego). Stąd mamy jako rozwiązanie układu trzech pierwszych równań x = 6 7 Teraz możemy sprawdzić ostatnie, x = 7, x = =. 5

6 Cztery równania na trzy zmienne - trzeba mieć cholerne szczęście żeby się udało!! To dowodzi, że wektory cztery pierwsze wektory są liniowo zależne bo 6 7 v + 7 v + 7 v v 4 =. Zarazem z jednoznaczności tego rozwiązania wynika, że jak byśmy wzięli którekolwiek dwa wektory z v, v, v to się nie uda, tzn. v 4 nie jest kombinacją liniową tylko dwu z nich. Zatem wymiar podprzestrzeni E jest równy, a jako jej bazę można wziąć wektory v, v, v. (Dla porządku można by v 5 wyrazić przez tę bazę, ale niech to oni zrobią sobie w domu). Zadanie Znaleźć wymiar i bazę podprzestrzeni E R 4 rozpiętej przez wektory w =, w =, w = 4 w 4 =. 7 Odp.: Znów zobaczmy, czy się da przedstawić w 4 w postaci y w + y w + y w. Aby się dało musi być spełniony układ równań: x + x =, x + x + x =, x + x + x =, 4x + x + x = 7. Rozwiążmy trzy pierwsze, a potem sprawdzimy ostatnie. Drugie minus pierwsze daje x = x. To do trzeciego i mamy razem z pierwszym układ (kolejny!) x + x =, 5 x + x =. Stąd już łatwo i mamy jako rozwiązanie trzech pierwszych x =, x =, x =. (Łatwo sprawdzić, że to rozwiązuje trzy pierwsze równania). Teraz sprawdzamy czwarte: 4 + ( ) + () = 7. Hurra! Znów się udało! Czyli w 4 jest liniowo zależny od w, w i w : w 4 = w w. Co więcej znów rozwiązanie jest jednoznaczne, więc wszystkie trzy, w, w i w są już liniowo niezależne. Zatem wymiar dime =, a jej bazą mogą być te trzy wektory. 6

7 Zadanie Znaleźć wymiar i bazę podprzestrzeni F R 4 rozpiętej przez wszystkie wektory postaci x y z, y z t = x 4y + 4z + t =. t Odp.: dwa razy pierwszy warunek plus drugi da x =. t = y z. Wektory rozpinające E są więc postaci y z = y + z y e + z e. y z Z pierwszego zaś mamy, że Wektory e i e są ewidentnie liniowo niezależne. Zatem dimf = i jej bazą mogą być e i e. Zadanie Znaleźć wymiar i bazę sumy podprzestrzeni E z zadania i F z zadania. Odp.: Jeden z pięciu wektorów w =, w =, w =, w 4 =, w 5 =, 4 rozpinających E F musi być liniowo zależny od pozostałych. Wyrzućmy pierwszy bo najbardziej skomplikowany. Zobaczmy następnie, czy w się da zapisać jako kombinacja liniowa w, w 4 i w 5. Gołym okiem widać, że się nie da. Co więcej, Łatwo sprawdzić, że równanie xw + y w 4 + z w 5 = ma tylko rozwiązanie x = y = z =. Zatem E F = R 4 bo jest rozpinana przez cztery wektory w, w, w 4 i w 5, które można przyjąć za jej bazę. Zadanie Pokazać, że podprzestrzeń liniowa E R 4 złożona z wektorów postaci x y z, z 4t = x y + z + t =, t jest rozpinana przez dwa wektory. Odp.: Warunki są dwa na cztery składowe. Weźmy x i z jako niezależne. Wtedy t = z 4 oraz (po wstawieniu tego do drugiego warunku) x y + 7z =, czyli y = x + 7 z. Zatem 4 4 7

8 każdy wektor z E musi mieć postać λ + λ Zadanie 4 Pokazać, że podprzestrzeń E rozpięta przez wektory v, v, v, v 4 postaci v =, v i =, v i =, v 4 = 4, i i zawiera wektory i w =, oraz w =, i oraz, że wektory w, w, v, v 4 rozpinają tę samą podprzestrzeń E. Odp.: Najpierw trzeba pokazać, że równania x v + x v + x v + x 4 v 4 = w oraz y v + y v + y v + y 4 v 4 = w mają rozwiązania. Pierwsze daje układ równań x + x + x 4 =, ix ix = i, x + x + x + 4x 4 =, ix + ( i)x + x 4 =. Z drugiego x x =, czyli x = + x. To do pozostałych trzech, co da układ x + x + x 4 =, x + x + 4x 4 =, ix + ( i)x + x 4 = i. Od drugiego odjąć pierwsze: x = x 4. To do pierwszego i trzeciego (x + x 4 ) =, ( i)(x + x 4 ) = i. Czyli da się przedstawić w, z tym, że nie w sposób jednoznaczny. To oznacza, że same wektory v, v v i v 4 są liniowo zależne (czyli dime < 4). Istotnie, widać, że v 4 = 8

9 v +v +v. Zatem by dowieść, że w E wystarczy pokazać, że w = y v +y v +y v. Widać, że w = v + v po prostu. Ogólniej, można zauważyć, że w = v + v + λ(v + v + v v 4 ), w = v + v + ξ(v + v + v v 4 ), dla dowolnych λ i ξ ponieważ v + v + v + v 4 =. Kładąc λ =, ξ = (λ =, ξ = ) i odejmując od drugiego pierwsze (od pierwszego drugie) dostajemy v = w v, v = w w + v, (co łatwo sprawdzić). Zatem każdy wektor postaci αv + βv + γv E można napisać jako α(w w + v ) + β(w v ) + γv = αw + (β α)w + (α β + γ)w. Zatem wektory w, w i v także rozpinają E. Zadanie 5 W pewnej bazie w R n wektory v, v v mają współrzędne v =, v =, v =. Pokazać, że v, v v są także bazą tej przestrzeni i podać w tej nowej bazie współrzędne wektora w, który w pierwotnej bazie ma współrzędne (6, 9, 4). Odp.: Niech wyjściową bazą będą wektory e, e e. Zatem Odejmijmy pierwsze od drugiego: To do dwu pozostałych: czyli v = e + e + e, v = e + e + e, v = e + e + e. e = v + v. v = e + e + ( v + v ), v = e + e + ( v + v ). e + e = v v, e + e = v v + v. 9

10 Od drugiego pierwsze oraz od dwa razy pierwszego drugie. Razem więc mamy e = v + v v, e = v v + v, e = v + v. Udało się jednoznacznie wyrazić trzy (z założenia) liniowo niezależne wektory e, e i e przez wektory v, v i v, co oznacza, że te drugie też są liniowo niezależne, czyli też mogą być bazą przestrzeni. Możemy teaz przerobić wektor w: w = 6 e + 9 e + 4 e = 6 (v + v v ) + 9 (v v + v ) + 4 ( v + v ) = v + v + v, czyli współrzędne w w bazie v, v i v to (,, ). Zapiszmy to przez macierz zmiany bazy. Niech (e, e, e ) = (v, v, v ). Mnożenia paluchowe podrazumywajetsia. Jeśli teraz napiszemy (stosując konwencję sumacyjną wujka A.E.) wektor w w postaci w = e i w(e) i (indeksik e u wi (e) ma przypominać że w(e) i = (6, 9, 4) to są współrzędne w bazie e i) to będziemy mieć: w = e i w i (e) = v kr k i wi (e) v kw i (v). gdzie R k i jest macierzą zmiany bazy, a wi (v) = Rk i wi (e) jawnie wygląda tak: 6 (w(v), w (v), w (v) ) = 9 =. 4 Zadanie 6 Jak w zadaniu 5 tylko teraz v =, v = 5 a w w pierwotnej bazie ma współrzędne (6,, 7). Odp.: Znów piszemy, v = v = e + e e, v = e + e 5 e, v = e e + e.,

11 Trzecie dodać do pierwszego, a potem dwa razy trzecie do drugiego v + v = e e, v + v = 5 e e, Teraz pierwsze razy, drugie razy i odjąć, oraz pierwsze razy 5, a drugie razy i odjąć: e = v + v + v, e = 5 v + v + v. Do tego jeszcze Razem więc e = e v + e = ( v + v + v ) v + ( 5 v + v + v ) = 8 v + 5 v + v. e = v + v + v, e = 8 v + 5 v + v, e = 5 v + v + v. Czyli macierz zmiany bazy to a współrzędne w w bazie v i to =. 7 Zadanie 7 Sprawdzić, że wielomiany w = x +, w = x, w = x + x, tworzą bazę przestrzeni wektorowej wielomianów stopnia nie większego niż dwa i znaleźć współrzędne w tej bazie wielomianu v = x + x +. Odp.: Trzeba sprawdzić, że w, w, w są liniowo niezależne, czyli, że równość λ w + λ w + λ w =,

12 dla wszystkich wartości x zachodzi tylko gdy λ = λ = λ =. To widać: λ (x + ) + λ (x ) + λ (x + x) = (λ λ ) + (λ + λ + λ )x + λ x =, wymaga by λ =, oraz λ λ = i λ +λ =. A to rzeczywiście tylko dla λ = λ =. Czyli są liniowo niezależne, a zatem tworzą bazę. Chcemy teraz napisać v = x + x + = w v + w v + w v = (x + )v + (x )v + (x + x)v. Czyli v = oraz v + v + v = i v v =. Stąd v =, v =. Istotnie (x + ) + (x + x) = x + x +. Zadanie 8 W bazie e, e, e, wektory v, v, v, mają składowe (współrzędne) (,, ), (,, ) oraz, 8, ), zaś wektory w, w, w mają w tejże samej bazie składowe (, 5, 8), (5, 4, ) i ((, 9, ). Sprawdzieć, że trzy wektory v, v, v lub trzy wektory w, w, w także tworzą dwie inne bazy tej samej przestrzeni i znaleźć macierz przejścia z jednej z nich do drugiej. Odp.: mamy v = e + e + e, v = e + e + e, v = e + 8e + e, Drugie od pierwszego: v v = e e, czyli e = e v + v. To do pierwszego i trzeciego: czyli v = e + e + e v + v, v = e + 8e + (e v + v ), v v = e + e, 4v v + v = e + e, Teraz pierwsze od drugiego i mamy e = 5v + v + v. Zatem Reasumując: e = v v ( 5v + v + v, e = 5v + v + v v + v. e = 8v 4v v, e = 5v + v + v, e = 7v + v + v.

13 W podobny sposób można wyrazić e i także przez w j, ale nie warto tego robić (trzeba by dowieść, że w j też są bazą). Mamy teraz (w konwencji sumacyjnej): czyli w i = e j (R A ) j ( ) i, e j = v l R l B, j ( ) w i = v l R l B (R A) j j i. Zatem jeśli V = w i V(w) i, to V = v l V(v) l, gdzie V (v) l = ( ) RB l (R A) j j i V (w) i, przy czym R B R A = =