przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0"

Transkrypt

1 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych, przyjętych jako sygnały wyjściowe (), od wielkości fizycznych, będących sygnałami wejściowymi () danego członu lub układu. Równanie różniczkowo-całkowe i L R = przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 e vc i C Sygnałem wyjściowym układu jest prąd w obwodzie, a sygnałem wejściowym () jest wartość napięcia źródła napięciowego (). Różniczkując obie strony równania różniczkowo-całkowego otrzymujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu = Ponieważ = oraz =, równanie powyższe można zapisać w postaci przy czym: = 1, =, = 1, = = są współczynnikami równania różniczkowego. 1

2 Analogi elektryczne układów mechanicznych Zmienne przepływu: siła () jest analogiczna do prądu () Zmienna spadku: prędkość () jest analogiczna do napięcia () Tłumik f (t) f ( t) = bv( t) Rezystor i(t) 1 i ( t) = u( t) R b f (t) Tlumik v(t) 1 R u(t) i(t) Rezystor x &( t) = v( t) u(t) 2

3 Sprężyna f (t) f ( t) = kx( t) = k v( t) dt Cewka indukcyjna i(t) 1 i ( t) = u( t) dt L k Sprezyna f (t) v(t) 1 L u(t) i(t) Cewka x ( t) = v( t) dt u ( t) dt Masa f (t) dv( t) f ( t) = m dt Kondensator i(t) du( t) i( t) = C dt m m f (t) Masa C u(t) Kondensator v(t) i(t) &&( x t) = dv( t) dt du ( t) dt 3

4 () + () + = () Resor m Masa Amortyzator przy czym: b stała tłumienia amortyzatora - tłumika tłokowego, k stała sprężystości sprężyny resora, m masa zawieszenia, - położenie chwilowe masy, () - siła oddziaływania na zawieszenie F Przyjmując, że =, = () oraz () = =, =, = 1, równanie dynamiki układu sprowadzamy do postaci () () + + = () t 4

5 Transmitancja operatorowa Załóżmy, że mamy proces (obiekt) gdzie zależność pomiędzy wielkością wyjściową jest y(t) i wejściową u(t) jest określona równaniem różniczkowym: + = gdzie współczynniki ai i bj są wielkościami stałymi przy czym m n Jeżeli wszystkie warunki początkowe są zerowe, wtedy, wykorzystując transformację Laplace'a, związek ten można zapisać w postaci równania operatorowego = lub w postaci transmitancji operatorowej = L() L() = = Transmitancja operatorowa układu (obiektu) liniowego, określa stosunek transformaty Laplace'a wielkości wyjściowej do transformaty Laplace'a wielkości wejściowej U(s), przy założeniu zerowych warunków początkowych. 5

6 Transmitancja operatorowa jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej s i ma tę właściwość, że w rezultacie pomnożenia transformaty sygnału wejściowego () przez transmitancję otrzymuje się transformatę sygnału wyjściowego - odpowiedzi układu s = () Znając postać transmitancji operatorowej układu można obliczyć przebieg odpowiedzi układu na dowolne wymuszenie () przy wykorzystaniu odwrotnego przekształcenia Laplace a = L s = L () Postać równania dynamiki lub postać transmitancji operatorowej stanowią kryterium, według którego klasyfikuje się człony automatyki. () Umowne oznaczenie bloku (członu) automatyki Członem dynamicznym nazywany jest dowolny układ fizyczny, w którym wyodrębniona jest wielkość wejściowa (sygnał wejściowy) i wielkość wyjściowa (sygnał wyjściowy), a właściwości jego dynamiki syntetycznie określa transmitancja operatorowa. Rząd członu lub układu automatyki jest określony wysokością rzędu równania różniczkowego. Rząd członu lub układu określa więc także najwyższa wartość wykładnika potęgowego przy operatorze s mianownika transmitancji operatorowej. Współczynniki mianownika transmitancji determinują rozkład jego pierwiastków (biegunów) w płaszczyźnie zmiennej zespolonej, który decyduje o charakterze przebiegu przejściowego dynamiki układu. Graficzna prezentacja przebiegu przejściowego przy zerowych warunkach początkowych nazywana jest charakterystyką czasową. 6

7 Opis układów dynamicznych w przestrzeni stanów Stanem układu (procesu) nazywamy zbiór liniowo niezależnych wielkości,, określających w pełni skutki przeszłych oddziaływań (t < t0) na układ, który jest wystarczający do wyznaczenia przebiegów chwilowych dowolnych wielkości w tym układzie dla t > t0, gdy znane są wymuszenia i parametry tego obwodu. Wielkości,, nazywamy zmiennymi stanu, a wektor x =,, wektorem stanu tego układu. Można powiedzieć, że układ dynamiczny ma swoistą "pamięć", w której przechowuje informacje o wpływie poprzednich wielkości wejściowych. = + = () + równanie stanu równanie wyjść gdzie: wymiarowa macierz stanu wymiarowa macierz stanu wymiarowa macierz wyjść wymiarowa macierz przejścia D u B x& x C y A 7

8 e i L R vc C + + = lub = lub = 1 = 1 i Układ równań pierwszego rzędu zapisujemy w postaci pojedynczego równania macierzowo-wektorowego równania stanu = 1 gdzie: = = - zmienne stanu, = - wejście układu (sterowanie), lub 0 = - macierz stanu, = - macierz reprezentująca wejście (macierz sterowań) Sygnały wyjściowe zależne są od zmiennych stanu oraz sygnału wejściowego, co zapisuje się równaniem wyjść: = () +. W przykładzie wyjściem jest prąd. Stąd równanie wyjścia ma postać: = = 1 0. Można także wyznaczyć dodatkową wielkość jaką jest napięcie = = 0 = ()

9 L e 2 = + = () + C 1 R 1 R 3 C 2 U 3 () = (), () =, = () e 1 R = , = = 0 + +, = 0 + 9

10 Zmienne stanu a transmitancja operatorowa = + L () = () + = + L = () + Wyznaczanie wektora transformat operatorach zmiennych stanu: () = = = det Wyznacznik det macierzy charakterystycznej jest wielomianem stopnia n. Elementy macierzy dołączonej są wielomianami stopnia co najwyżej 1. Wyznaczanie wektora transformat operatorach wyjść odpowiedzi układu: = + () det Transmitancja operatorowa dla układu jednowymiarowego = () () = det + Jeżeli stopień wielomianu licznika jest niższy od stopnia wielomianu mianownika transmitancji operatorowej (), to macierz = 0. 10

11 Transmitancja operatorowa układu Reprezentacja transmitancji operatorowej przez zmienne stanu = = Mnożąc licznik i mianownik przez transmitancję można zapisać w postaci Przyjmując, że = = , + lub = + + +, to () =

12 Przyjmując za zmienne stanu,, wielkości wyjściowe integratorów można napisać układ równań = = = = + = U(s) u E(s) s -1 E(s) b n-1 bn-2 s -2 E(s) s 1-n E(s) s -n E(s) x n x n-1 x 2 x 1 b 0 Y(s) y -a n-1 -a n-2 -a 0 12

13 Postać kanoniczna (normalna) sterowalna = + = = =, = Postać kanoniczna (normalna) obserwowalna = + = = = , = Miedzy macierzami obu typów wariantów modeli opisanych w przestrzeni stanów zachodzą zależności =, =, = 13

14 Podstawowe typy sygnałów i ich transformaty Laplace a = = = L = = L = t t = = = L = = L = t t = = t = L = + t = L = = = L = t 14

15 = = = 1 + = 1 + t t = sin = cos t = + t = + = sin = cos t = + + t =

16 Wyznaczanie oryginału funkcji wymiernej zmiennej zespolonej Odwrotne przekształcenie Laplace a przyporządkowuje funkcji zmiennej zespolonej s funkcję () zmiennej rzeczywistej t. Funkcję wymierną = L = = można zawsze przedstawić w postaci sumy ułamków prostych o postaci, = przy czym: jest dowolnym pierwiastkiem wielomianu M(), l jego krotnością,, - liczbą rzeczywistą, zwaną współczynnikiem udziału, j - liczbą różnych co do wartości pierwiastków. 16

17 Każdemu z prostych ułamków składowych odpowiada znana funkcja zmiennej rzeczywistej - czasu. I tak: Gdy = 0, wówczas przekształcenie odwrotne Laplace a daje L = 1! Gdy = σ jest liczbą rzeczywistą, wówczas L = 1! Gdy = ± jest liczbą zespoloną lub urojoną, to pierwiastki zespolone występują zawsze jako parami sprzężone. Sumę takich ułamków prostych można przedstawić jako wyrażenie o wszystkich współczynnikach rzeczywistych L + + = cos + + sin 17

18 Przy obliczaniu współczynników udziału możliwe są dwa postępowania. Pierwsze z nich zwie się metodą współczynników nieoznaczonych. Polega ona na sprowadzeniu sumy ułamków prostych z nieokreślonymi jeszcze współczynnikami,,, do wspólnego mianownika, a następnie przyrównaniu wielomianu otrzymanego w liczniku tego ułamka do wielomianu licznika funkcji wymiernej (). Oba liczniki są sobie tożsamościowo równe, więc równe są również współczynniki przy wyrazach o takiej samej potędze zmiennej s. Prowadzi to do zbioru równań liniowych względem współczynników, który można rozwiązać znanymi sposobami. Drugie postępowanie oparte jest na twierdzeniu Heaviside a o rozkładzie. I tak w przypadku jednokrotnych pierwiastków wielomianu funkcji wymiernej () wartości współczynników udziału wyznacza się ze wzoru = () W przypadku pierwiastka l krotnego w () występuje między innymi suma ułamków prostych o postaci

19 Wartości l współczynników oblicza się korzystając ze wzorów, = (), = (), = 1 2! (), = 1! () Wyznaczanie wartości współczynników udziału w przypadku pierwiastków zespolonych można wyznaczyć na podstawie poniższej tożsamości + + = +, gdzie wartości współczynników i są składowymi: rzeczywistą i urojoną, liczby zespolonej, zdefiniowanej wzorem = + = + 19

20 Transformata odwrotna tego składnika ma postać L + = cos sin. Prawą stronę powyższej zależności można zapisać w postaci cos sin = sin +, przy czym = arc tg. 20

21 Zadanie 1 Wyznacz transformatę odwrotną funkcji operatorowej Rozwiązanie = ,5 Pierwiastkami - miejscami zerowymi - mianownika są: = 0, = 1, = 2,5. Pierwiastki są jak widać jednokrotne. Rozkład na ułamki proste będzie więc typu = ,5 Współczynniki udziału = 1,2,3 wyznaczamy zgodnie z zależnością = () = () = ,5 = 4, = + 1() = ,5 = 2, = + 2,5(), = , = 2 21

22 W rezultacie otrzymujemy rozkład na ułamki proste Zgodnie z L = 1! = ,5, L = 1! transformata odwrotna () funkcji jest sumą transformat odwrotnych rozkładu na ułamki proste = + + = 4 2 2, Przebiegi funkcji i jej składowych względem zmiennej rzeczywistej t pokazuje rys () = + + () = 4 = 2 = 2, t () () Rys. 1. Wykres funkcji () w zadaniu 1 22

23 Zadanie 2 Wyznacz współczynniki udziału z zadania 1.metodą współczynników nieoznaczonych. Rozwiązanie Prawą stronę poniższego równania sprowadzamy do wspólnego mianownika ,5 = , ,5 = , , ,5 Mamy tu różne postacie tego samego wyrażenia, ale liczniki obu ułamków są sobie równoważne = , , Rozkład na ułamki proste jest prawdziwy dla każdej wartości s. Zatem podstawiając takie wartości s, które wyzerują odpowiednie składniki licznika prawej strony powyższej tożsamości, uzyskamy wartości poszczególnych współczynników. 23

24 I tak, podstawiając = 0 otrzymujemy 10 = 2,5 stąd = 4, = 1 otrzymujemy 3 = 1,5 stąd = 2, = 2,5 otrzymujemy 7,5 = 3,75 stąd = 2. 24

25 Zadanie 3 Wyznacz transformatę odwrotną oryginał - funkcji operatorowej = Rozwiązanie Pierwiastki mianownika są równe = 3, = 5, przy czym pierwszy z nich jest jednokrotny, drugi dwukrotny. Rozkład na ułamki proste będzie więc typu = Współczynnik wyznaczamy zgodnie z zależnością = () Pozostałe dwa zgodnie z zależnością Gdzie współczynniki udziału wyznaczamy zgodnie z procedurą, = (), = (), =! (), =! (). przy czym tutaj = 2, = 2. 25

26 W tym przypadku = + 3() = = + 5 () = = 2, = 10, = + 5 () = = = 1. Stąd otrzymujemy rozkład na ułamki proste z ujawnionymi wartościami współczynników udziału = Oryginały poszczególnych ułamków uwidacznia związek () = + + = Przebiegi funkcji i jej składowych względem zmiennej rzeczywistej t pokazuje rys

27 = + + () () = 2 = 1 = t () () Rys. 2. Wykres funkcji () w zadaniu 3 Warto zauważyć, że wartość współczynnika można wyznaczyć bez różniczkowania. Ponieważ rozkład na ułamki proste jest prawdziwy dla każdego s, to jest także prawdziwy dla = 0. Podstawiając więc = 0 otrzymuje się = = Ponieważ = 2 i = 10, to stąd wynika, że = 1. 27

28 Wyznacz oryginał funkcji operatorowej = Zadanie Rozwiązanie Mianownik ma trzy pierwiastki, z których jeden jest liczbą rzeczywistą = 0 a pozostałe dwa są liczbami zespolonymi sprzężonymi, co zapiszemy w formie następującej, = 2 ± 3 W związku z rozkład na ułamki proste będzie typu L + + = cos + + sin = Z powodu operowania liczbami zespolonymi, dogodniejsze jest posłużenie się rozkładem wynikającym z tożsamości + + = +, gdzie wartości współczynników i są składowymi: rzeczywistą i urojoną, liczby zespolonej zdefiniowanej wzorem = + = + 28

29 Transformata odwrotna tego składnika ma postać L + = cos sin W związku z powyższym zapis rozkładu funkcji () przedstawiamy w postaci () = Współczynnik wyniesie = () = = 1. Pozostałe dwa współczynniki i wyznaczamy zgodnie z procedurą pokazaną powyżej = = = 1. Wartości tych współczynników wynoszą zatem: = 1, = 1. 29

30 Rozkład na ułamki proste zapisujemy w postaci Oryginały poszczególnych ułamków () = () = + cos sin t = 1 + cos 3 + sin = + 1 ()= Rys. 4 Wykres funkcji () = cos 3 + sin 3 t 30

Transmitancje układów ciągłych

Transmitancje układów ciągłych Transmitancja operatorowa, podstawowe człony liniowe Transmitancja operatorowa (funkcja przejścia, G(s)) stosunek transformaty Laplace'a sygnału wyjściowego do transformaty Laplace'a sygnału wejściowego

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

Przyjmuje się umowę, że:

Przyjmuje się umowę, że: MODELE OPERATOROWE Modele operatorowe elementów obwodów wyprowadza się wykorzystując znane zależności napięciowo-prądowe dla elementów R, L, C oraz źródeł idealnych. Modele te opisują zależności pomiędzy

Bardziej szczegółowo

Podstawowe człony dynamiczne

Podstawowe człony dynamiczne . Człon proporcjonalny 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny Podstawowe człony dynamiczne charakterystyki czasowe = = = + 4. Człony całkujący rzeczywisty () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisty

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:

Plan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY AUTOMATYKI PRACA W PROGRAMIE SIMULINK 2013

ELEMENTY AUTOMATYKI PRACA W PROGRAMIE SIMULINK 2013 SIMULINK część pakietu numerycznego MATLAB (firmy MathWorks) służąca do przeprowadzania symulacji komputerowych. Atutem programu jest interfejs graficzny (budowanie układów na bazie logicznie połączonych

Bardziej szczegółowo

Automatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy

Automatyka i robotyka ETP2005L. Laboratorium semestr zimowy Automatyka i robotyka ETP2005L Laboratorium semestr zimowy 2017-2018 Liniowe człony automatyki x(t) wymuszenie CZŁON (element) OBIEKT AUTOMATYKI y(t) odpowiedź Modelowanie matematyczne obiektów automatyki

Bardziej szczegółowo

Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik

Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik Rys 1 Schemat modelu masa- sprężyna- tłumik gdzie: m-masa bloczka [kg], ẏ prędkośćbloczka [ m s ]. 3. W kolejnym energię potencjalną: gdzie: y- przemieszczenie bloczka [m], k- stała sprężystości, [N/m].

Bardziej szczegółowo

Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień

Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego

Bardziej szczegółowo

Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji

Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Katedra Automatyzacji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Automatyzacji Opracowanie: mgr inż. Krystian Łygas, inż. Wojciech Danilczuk Na podstawie materiałów Prof. dr hab.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

1. Transformata Laplace a przypomnienie

1. Transformata Laplace a przypomnienie Transformata Laplace a - przypomnienie, transmitancja operatorowa, schematy blokowe, wprowadzenie do pakietu Matlab/Scilab i Simulink, regulatory PID - transmitancja, przykłady modeli matematycznych wybranych

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Procesy wykładniczego wzrostu i spadku (np populacja bakterii, rozpad radioaktywny, wymiana ciepła) można modelować równaniem

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk

Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanu. Wojciech Kurek , Gdańsk Opis systemów dynamicznych Mieczysław Brdyś 27.09.2010, Gdańsk Rozważmy układ RC przedstawiony na rysunku poniżej: wejscie u(t) R C wyjście y(t)=vc(t) Niech u(t) = 2 + sin(t) dla t t 0 gdzie t 0 to chwila

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe II rzędu

Równania różniczkowe liniowe II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu Definicja równania różniczkowego liniowego II rzędu Warunki początkowe dla równania różniczkowego II rzędu Równania różniczkowe liniowe II rzędu jednorodne (krótko

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude

Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan Przeksztacenie Laplace a Krzysztof Patan Wprowadzenie Transformata Fouriera popularna metoda opisu systemów w dziedzinie częstotliwości Transformata Fouriera umożliwia wykonanie wielu użytecznych czynności:

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14

Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Procedura modelowania matematycznego

Procedura modelowania matematycznego Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. Analiza w dziedzinie czasu i częstotliwości dla elementarnych obiektów automatyki.

PODSTAWY AUTOMATYKI. Analiza w dziedzinie czasu i częstotliwości dla elementarnych obiektów automatyki. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI Analiza w dziedzinie czasu i częstotliwości dla elementarnych obiektów automatyki. Materiały pomocnicze do

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych

Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych Ćwiczenie nr 1 Odpowiedzi czasowe układów dynamicznych 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z metodą wyznaczania odpowiedzi skokowych oraz impulsowych podstawowych obiektów regulacji.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - modelowanie matematyczne układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT. Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE WI-ET / IIT / ZTT Instrukcja do zajęc laboratoryjnych nr 6 AUTOMATYKA II rok Kierunek Transport Temat: Transmitancja operatorowa. Badanie odpowiedzi układów automatyki. Opracował

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3 Badanie własności podstawowych liniowych członów automatyki opartych na biernych elementach elektrycznych

Ćwiczenie 3 Badanie własności podstawowych liniowych członów automatyki opartych na biernych elementach elektrycznych Ćwiczenie 3 Badanie własności podstawowych liniowych członów automatyki opartych na biernych elementach elektrycznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie podstawowych własności członów liniowych

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych 1 Sterowanie procesem oparte na jego modelu u 1 (t) System rzeczywisty x(t) y(t) Tworzenie

Bardziej szczegółowo

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................

Bardziej szczegółowo

Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności

Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie  = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1 Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie (zakłócenie)

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania

Sposoby modelowania układów dynamicznych. Pytania Sposoby modelowania układów dynamicznych Co to jest model dynamiczny? PAScz4 Modelowanie, analiza i synteza układów automatyki samochodowej równania różniczkowe, różnicowe, równania równowagi sił, momentów,

Bardziej szczegółowo

Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform

Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transform Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. March 20, 2013 Dyskretne układy liniowe. Funkcja splotu. Równania różnicowe. Transformata Z. Sygnał i system Sygnał jest opisem

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - matematyczne modelowanie układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2019 Wstęp Obiekty (procesy) rzeczywiste, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe,

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y

Bardziej szczegółowo

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi

Bardziej szczegółowo

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3

= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3 ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy układ ten wytrącony ze stanu równowagi

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Wykład 4 - Model silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017 Wstęp Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ MECHANICZNY PWR KARTA PRZEDMIOTU

WYDZIAŁ MECHANICZNY PWR KARTA PRZEDMIOTU WYDZIAŁ MECHANICZNY PWR KARTA PRZEDMIOTU Zał. nr 4 do ZW Nazwa w języku polskim: FUNKCJE ZESPOLONE Nazwa w języku angielskim: Complex functions Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Automatyka i Robotyka Specjalność

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Drgania układu o wielu stopniach swobody

Drgania układu o wielu stopniach swobody Drgania układu o wielu stopniach swobody Rozpatrzmy układ składający się z n ciał o masach m i (i =,,..., n, połączonych między sobą i z nieruchomym podłożem za pomocą elementów sprężystych o współczynnikach

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 3 BADANIE CHARAKTERYSTYK CZASOWYCH LINIOWYCH UKŁADÓW RLC. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia są pomiary i analiza

Bardziej szczegółowo

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności

Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności Układ regulacji automatycznej (URA) kryteria stabilności y o e G c (s) z z 2 u G o (s) y () = () ()() () H(s) oraz jego wartością w stanie ustalonym. Transmitancja układu otwartego regulacji: - () = ()

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd. 4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające

Bardziej szczegółowo

LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE

LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE LINIOWE UKŁADY DYSKRETNE Współczesne układy regulacji automatycznej wyposażone są w regulatory cyfrowe, co narzuca konieczność stosowania w ich analizie i syntezie odpowiednich równań dynamiki, opisujących

Bardziej szczegółowo

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.

1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n

Bardziej szczegółowo

Celem dwiczenia jest poznanie budowy i właściwości czwórników liniowych, a mianowicie : układu różniczkującego i całkującego.

Celem dwiczenia jest poznanie budowy i właściwości czwórników liniowych, a mianowicie : układu różniczkującego i całkującego. 1 DWICZENIE 2 PRZENOSZENIE IMPULSÓW PRZEZ CZWÓRNIKI LINIOWE 2.1. Cel dwiczenia Celem dwiczenia jest poznanie budowy i właściwości czwórników liniowych, a mianowicie : układu różniczkującego i całkującego.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 5 - stabilność liniowych układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Stabilność - definicja 1 O układzie możemy mówić, że jest stabilny gdy wytrącony ze stanu równowagi

Bardziej szczegółowo

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem: PPS 2 kartkówka 1 RÓWNANIE RÓŻNICOWE Jest to dyskretny odpowiednik równania różniczkowego. Równania różnicowe to pewne związki rekurencyjne określające w sposób niebezpośredni wartość danego wyrazu ciągu.

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

Teoria obwodów / Stanisław Osowski, Krzysztof Siwek, Michał Śmiałek. wyd. 2. Warszawa, Spis treści

Teoria obwodów / Stanisław Osowski, Krzysztof Siwek, Michał Śmiałek. wyd. 2. Warszawa, Spis treści Teoria obwodów / Stanisław Osowski, Krzysztof Siwek, Michał Śmiałek. wyd. 2. Warszawa, 2013 Spis treści Słowo wstępne 8 Wymagania egzaminacyjne 9 Wykaz symboli graficznych 10 Lekcja 1. Podstawowe prawa

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan

Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej. prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Wprowadzenie do technik regulacji automatycznej prof nzw. dr hab. inż. Krzysztof Patan Czym jest AUTOMATYKA? Automatyka to dziedzina nauki i techniki zajmująca się teorią i praktycznym zastosowaniem urządzeń

Bardziej szczegółowo

Informatyczne Systemy Sterowania

Informatyczne Systemy Sterowania Adam Wiernasz Nr albumu: 161455 e-mail: 161455@student.pwr.wroc.pl Informatyczne Systemy Sterowania Laboratorium nr 1 Prowadzący: Dr inż. Magdalena Turowska I. Wykaz modeli matematycznych członów dynamicznych

Bardziej szczegółowo

Automatyka i robotyka

Automatyka i robotyka Automatyka i robotyka Wykład 5 - Stabilność układów dynamicznych Wojciech Paszke Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych, Uniwersytet Zielonogórski 1 z 43 Plan wykładu Wprowadzenie Stabilność modeli

Bardziej szczegółowo

Zadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej

Zadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej Zadania zaliczeniowe z Automatyki i Robotyki dla studentów III roku Inżynierii Biomedycznej Politechniki Lubelskiej Rozwiązane zadania należy dostarczyć do prowadzącego w formie wydruku lub w formie odręcznego

Bardziej szczegółowo

Przekształcenie Z. Krzysztof Patan

Przekształcenie Z. Krzysztof Patan Przekształcenie Z Krzysztof Patan Wprowadzenie Przekształcenie Laplace a można stosować do sygnałów i systemów czasu ciągłego W przypadku sygnałów czy systemów czasu dyskretnego do wyznaczenia transmitancji

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 6 Transformata Laplace a Funkcje specjalne Przekształcenia całkowe W wielu zastosowaniach dużą rolę odgrywają tzw. przekształcenia całkowe

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Wykład 7 Transformata Laplace a oraz jej wykorzystanie w analizie stanu nieustalonego metodą operatorową część II

Wykład 7 Transformata Laplace a oraz jej wykorzystanie w analizie stanu nieustalonego metodą operatorową część II Wykład 7 Transformata aplace a oraz jej wykorzystanie w analizie stanu nieustalonego metodą operatorową część II Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Instytut Podstaw lektrotechniki i lektrotechnologii

Bardziej szczegółowo