8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

Transkrypt

1 WYKŁAD TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. TANGENSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przyprostokątnej leżącej przy kącie w trójkącie prostokątnym : =. COTANGENSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta w trójkącie prostokątnym : przy kącie do = 8.2. PODSTAWOWE TOŻSAMOŚCI TRYGONOMETRYCZNE. = = = + =.

2 8.3. WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNCH dla kątów charakterystycznych Oblicz funkcje trygonometryczne kąta w trójkącie przedstawionym na rysunku : = + = = = =. = =. = =. = =. Określ pozostałe funkcje trygonometryczne kąta ostrego, jeśli = : + = = = = =, = = = i = = =. Określ pozostałe funkcje trygonometryczne kąta ostrego, jeśli = : = = = = = + = + = = = = =.

3 Sprawdź, czy podana zależność jest tożsamością trygonometrią. Podaj konieczne założenia. = +, 3 - założenie :, + + = = = + = + żść MIARA ŁUKOWA KĄTA. Stosunek długości łuku do promienia, którym ten łuk został zatoczony na kącie, nazywamy MIARĄ ŁUKOWĄ KĄTA. Stosunek ten jest wielkością stałą, niezależną od wyboru długości promienia. = ł = ł, Kąt, dla którego długość łuku ł jest równa długości promienia nazywamy. = =. = ". Weźmy pod uwagę kąt pełny. Długość łuku dla takiego kąta jest równa. Zatem kąt pełny w mierze łukowej odpowiada = =.. Można ułożyć proporcję :, - stąd : = =. Zamień na miarę łukową następujące kąty : 1. = = = 2. = = 3. = = =,

4 4. = = 5. = = =. 4 Zamień na miarę stopniową następujące kąty : 1. = = =. 2. = = =, 3. = = 4. = = 5. = = =, =, = FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA DOWOLNEGO. KĄTEM SKIEROWANYM nazywamy kąt, którego ramiona zostały uporządkowane. Kąt, w którym przechodząc od ramienia początkowego do końcowego poruszamy się w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara, w matematyce, przyjęto jako KĄT DODATNI. W przeciwnym przypadku jest to KĄT UJEMNY. Umieśćmy w układzie współrzędnych kąt w taki sposób, że jego początkowe ramię pokrywa się z dodatnią półosią. Na końcowym ramieniu kąta wybieramy dowolny punkt =, różny od punktu =,. = + SINUSEM kąta nazywamy liczbę będącą ilorazem rzędnej punktu przez jego odległość od początku układu współrzędnych : = =.

5 5 COSINUSEM kąta nazywamy liczbę będącą ilorazem odciętej punktu przez jego odległość od początku układu współrzędnych : = =. TANGENSEM kąta nazywamy liczbę będącą ilorazem rzędnej punktu przez jego odciętą, jeśli wartość tej odciętej jest. Jeśli wartość odciętej = to tangens nie istnieje : =. COTANGENSEM kąta nazywamy liczbę będącą ilorazem odciętej punktu przez jego rzędną, jeśli wartość tej rzędnej jest. Jeśli wartość rzędnej = to cotangens nie istnieje : =. Analizując tak zdefiniowane funkcje, mona wyciągnąć następujące wnioski : - w zależności od wielkości kąta tzn., w której ćwiartce układu współrzędnych leży ramię końcowe kąta wybrany punkt =, ma współrzędne, które mogą być dodatnie lub ujemne, stąd funkcje mogą przyjmować wartości dodatnie lub ujemne. Można to zapisać wierszykiem, łatwym do zapamiętania : w pierwszej ćwiartce wszystkie funkcje są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus. - dodatkowo, dla kątów : + ółę =, + ółę =, Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta w układzie współrzędnych, jeśli punkt leżący na ramieniu końcowym tego kąta ma współrzędne : =, = + = =, =, =, =, =. =, = + = =, = =, = =, = =. 8.6.WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNCH dla kątów charakterystycznych > tg ctg _ _ _

6 8.7. WZORY REDUKCYJNE 6 Często powstaje konieczność określania funkcji trygonometrycznych dla kątów większych od, czyli większych niż, za pomocą funkcji trygonometrycznych kątów ostrych. Do tego celu służą WZORY REDUKCYJNE. W literaturze spotyka się znaczną liczbę wzorów redukcyjnych (kilkadziesiąt). Zapamiętywanie ich sprawia wielokrotnie duże obciążenie pamięci. Można jednak wszystkie te wzory zapisać na podstawie pewnej reguły. Weźmy kąt, i w zależności od jego wartości ustalamy znak szukanej funkcji ( patrz wierszyk ). Następnie kąt przedstawiamy w postaci : = ±,,,, ą,,, Każdą funkcje trygonometryczną kąta można określić na podstawie poniższej reguły:.. =.. =.. ± = = "" =,. Określ funkcje trygonometryczne : = = = 4 = =, = = =, = = + =, = = = PARZYSTOŚĆ FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH. Porównując wartości funkcji trygonometrycznych kątów otrzymujemy : = = ą, ż. = =

7 8.9. OKRESOWOŚĆ FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH. 7 Analizując wzory redukcyjne, dochodzimy do wniosku, że :.. + =.. Łatwo zauważyć, że kąt jest okresem wszystkich funkcji trygonometrycznych, przy czym dla funkcji jest to okres podstawowy. Dla funkcji, analizując dodatkowo wartości tych funkcji w tabelce dla,, łatwo zauważyć, że okresem podstawowym tych funkcji jest WYKRESY FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH. 1. = R. Na powyższym rysunku przedstawiono konstrukcję funkcji = dla jednego pełnego okresu wykorzystując w tym celu koło trygonometryczne i definicję funkcji. Cały wykres funkcji =, otrzymamy powielając ten odcinek wykresu, gdyż funkcja jest okresowa, a jej podstawowym okresem jest kąt pełny, czyli, oraz wiedząc, że jest funkcją nieparzystą, możemy narysować wykres dla < 0.

8 WŁASNOŚCI FUNKCJI = R : 8 = R, ó ś =,, =,, = = +, C, > 0 + ; + ) C, < 0 + ; + ) C, + ; + C, + ; + C, ść ą óą ż = +, ść ęą óą ż = +, 2. = R. Wykres funkcji = R można uzyskać podobnie jak wykres =. z koła trygonometrycznego i wykorzystując definicję. Można też go uzyskać wykorzystując wykres funkcji = i wzór redukcyjny + =. Ze wzoru tego wynika, że wykres funkcji = można uzyskać rzez przesunięcie wykresu funkcji = o wektor =, 0. WŁASNOŚCI FUNKCJI = R : = R, ó ś =,, =,, = = +, C, > 0 +, +, C,, < 0, +, +, C,, + ; + C, + ; + C, ść ą óą ż = +, ść ęą óą ż = +.

9 3. = R + C : 9 WŁASNOŚCI FUNKCJI : = R + C = R + C, ó ś = R, =,, = = +, C, > 0 +, +, C,, < 0, +, +, C,, + ; + C ą ł,, ś, ę. 4. = R C. Wykres funkcji = można uzyskać wykorzystując wzór redukcyjny + =, dokonując przesunięcia wykresu funkcji = o wektor =,, a następnie przekształcenia symetrycznego względem osi.

10 10 WŁASNOŚCI FUNKCJI : = R C = R C, ó ś = R, =,, = = +, C, > 0 +, +, C,, < 0, +, +, C,, + ; + C ą ł ś, ę RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI TRYGONOMETRYCZNE Wyrażenie postaci :,,, = Ó zaś wyrażenie postaci > 0,,, < 0 1. Rozwiąż równania : ÓŚĄ Ą. = = + = +. = = +. = =. = = +. = = = + = +. = = = = + = + = + = + ł.

11 = = = = +. + = + = + = = + = = = = = + = + = + = +. = 2. Rozwiąż nierówność : + > 0 > R. +, +. + R +, + = R > 0 < 0 +, FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE SUMY I RÓŻNICY KĄTÓW. Często w opracowaniach matematycznych występuje potrzeba określenia funkcji trygonometrycznych sumy i różnicy kątów, jeśli znane są funkcje trygonometryczne kątów składowych. Wyprowadzenie tych zależności jest dosyć żmudne, stąd zostanie pominięte. Twierdzenie 1 Jeśli R, : + = + = + = = +

12 Twierdzenie 2 - funkcje trygonometryczne kąta podwojonego Jeśli = R to : sin = = Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych : = = + = + = + =, = = = + = + =. 2. Oblicz wartości funkcji +,, +, jeśli znasz wartości funkcji = =. + = = = = =, = = = = =, + = = = = = = = = =, = SUMY I RÓŻNICE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH. Dobierzmy takie aby : + = = - rozwiązując powyższy układ równań otrzymamy : = =. - a następnie można wyprowadzić wzory : + = + + = = + + = = =. = + = = + + = = =. + = ( + ) + = = + + = = =. = ( + ) = = = = = =.

13 13 1.Sprawdź, czy prawdziwe są następujące tożsamości : + = = + = + = = = = + = = - jest to zatem tożsamość. = = = = = =. = - jest to zatem tożsamość. 2. Przedstaw w postaci iloczynowej następujące wyrażenia : + = + = = = = =. + = + = + = +. 2.Rozwiąż równania trygonometryczne : + = + = + + = = = = = + = +. + = + = + = = ą = + = + = + = +.

14 8.13. TWIERDZENIE SINUSÓW. 14 W dowolnym trójkącie stosunek dowolnego boku przez sinus kąta, leżącego naprzeciw tego boku,jest wielkością stałą i równą średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie. = = = ń ę óą TWIERDZENIE COSINUSÓW. W dowolnym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku, jest zawsze równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków tego trójkąta, pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinus kąta zawartego między nimi. = + = + = + W trójkącie dane są długości dwóch boków = =, oraz kąt między nimi =. Obliczyć długość trzeciego boku, oraz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. = + = + = = = =, =. = = = = = =. =.

15 15 W trójkącie ABC dane są boki = 5, = 3 oraz kąt = 30. Oblicz bok oraz kąty. = + = + =, ó = = =. ą. = " =. =. Oblicz długości przekątnych równoległoboku, którego boki mają długości, zaś kąt =. ó: = + = =. = + = + =.. Długości boków trójkąta są równe,. Oblicz cosinusy kątów trójkąta. ó: = = = = =, = =, =.