POLIECHNIKA POZNAŃSKA INSYU KONSRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MACHANIKI BUDOWLI ĆWICZENIE PROJEKOWE NR 2 DYNAMIKA RAM WERSJA KOMPUEROWA Z PRZEDMIOU MECHANIKA KONSRUKCJI Wykonał: Kamil Sobczyński WBiIŚ; SUM; 2KBI I rok; semestr II Prowadzący: mgr inż. A. Kaczor POZNAŃ 21
ĆWICZENIE PROJEKOWE Z PRZEDMIOU MACHANIKA KONSRUKCJI Zawartość opracowania. I. Strona tytułowa II. Karta projektowa/konsultacyjna III. Opis techniczny 1. Podstawa opracowania 2. Podstawowe założenia obliczeń IV. Obliczenia 1. Dynamika ram wersja komputerowa II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 2
III. Opis techniczny 1. Podstawa opracowania a) Ćwiczenia projektowe z przedmiotu Mechanika konstrukcji, b) J. Rakowski, Mechanika budowli WPP, Poznań 27, c) http://www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor/materialy.htm d) http://www.ikb.poznan.pl/przemyslaw.litewka/przykproj.html 2. Podstawowe założenia obliczeń a) Projekt nr 2 Dynamika ram wersja komputerowa Dane: kąt nachylenia pręta nr 4: α=26.565, sztywność ramy EJ const., przekrój pręta rygli (pręt nr 1 i 4) IPE3, h. 3m, przekrój pręta słupów (pręt nr 2 i 3) IPE24, h. 24m, współczynnik sprężystości podłużnej: E 25 GPa. Szukane: obliczyć częstości drgań własnych, narysować pierwsze trzy postacie drgań własnych. Założenie: przyjęto, że 1 pręt = 1 element, II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 3
IV. Obliczenia 1. Dynamika ram wersja komputerowa Schemat konstrukcji: Przemieszczenia w układzie globalnym i lokalnym: Przyjęto do obliczeń, że ramę tworzą pręty stalowe: rygiel (pręt 1 i 4): IPE3, 4 J 98cm, 2 A 69.cm,.2kg / m 54, słup (pręt 2 i 3): IPE24, 4 J 425cm, 2 A 46.1cm,.2kg / m 36, sztywność prętów: (1i4) EJ (1i4) Przeprowadzono redukcję statyczną: pręt nr 4 przegub na lewym końcu. 2 29 N m, (2i3) 2 EJ 87125 N m, EA 14145 N, (2i3) EA 9455 N. II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 4
abela powiązań: 1 2 3 4 5 6 układ L pręt 1 1 2 3 4 5 6 układ G pręt 2 13 14 15 1 2 3 układ G pręt 3 1 11 12 13 14 15 układ G pręt 4 13 14 15 7 8 9 układ G MACIERZE SZYWNOŚCI UKŁADU Pręt nr 1 (obustronnie utwierdzony): Macierz sztywności w układzie globalnym: K1= 1 2 3 4 5 6 2829 2829 1 1929 4822 1929 4822 2 4822 1672 4822 836 3 2829 2829 4 1929 4822 1929 4822 5 4822 836 4822 1672 6 Macierz transformacji jest macierzą jednostkową i zachodzi K 1 =K 1. Układ lokalny pokrywa się z układem globalnym. K ~ K K ~ K ( e ) ( e) ( e) ( e) cosα sinα 1 C= sinα cosα = 1 1 1 ~ I C = C 1 1 = 1 1 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 5
Pręt nr 2 (obustronnie utwierdzony): Macierz sztywności w układzie lokalnym: K2= 13 14 15 1 2 3 3782 3782 13 6691 8364 6691 8364 14 8364 1394 8364 697 15 3782 3782 1 6691 8364 6691 8364 2 8364 697 8364 1394 3 ransformacja do układu globalnego: ~ K ( e ) K ( e) 1 1 = 1 1 1 1 = 1 1 Macierz sztywności elementu 2 po transformacji: K2= 13 14 15 1 2 3 6691 8364 6691 8364 13 3782 3782 14 8364 1394 8364 697 15 6691 8364 6691 8364 1 3782 3782 2 8364 697 8364 1394 3 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 6
Pręt nr 3 (obustronnie utwierdzony): Macierz sztywności w układzie lokalnym: K3= 1 11 12 13 14 15 3782 3782 1 6691 8364 6691 8364 11 8364 1394 8364 697 12 3782 3782 13 6691 8364 6691 8364 14 8364 697 8364 1394 15 ransformacja do układu globalnego: ~ K ( e ) K ( e) 1 1 = 1 1 1 1 = 1 1 Macierz sztywności elementu 3 po transformacji: K3= 1 11 12 13 14 15 6691 8364 6691 8364 1 3782 3782 11 8364 1394 8364 697 12 6691 8364 6691 8364 13 3782 3782 14 8364 697 8364 1394 15 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 7
Pręt nr 4 (z przegubem na lewym końcu): Macierz sztywności w układzie lokalnym: K4= 13 14 15 7 8 9 25341 25341 13 345 345 1929 14 5 25341 25341 7 345 345 1929 8 1929 1929 1782 9 ransformacja do układu globalnego: ~ K ( e ) K ( e),9,4,4,9 =,9,4,4,9,9,4,4,9 =,9,4,4,9 Macierz sztywności elementu 4 po transformacji: K4= 13 14 15 7 8 9 2252 1178 2252 1178 863 13 1178 5884 1178 5884 1725 14 5 2252 1178 2252 1178 863 7 1178 5884 1178 5884 1725 8 863 1725 863 1725 1782 9 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 8
Macierz sztywności układu [K]x1 3 układu po agregacji: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 1 2829 6691 8364 2829 6691 8364 1 2 1929 4822 3782 1929 4822 3782 2 3 4822 1672 8364 1394 4822 836 8364 697 3 4 2829 2829 4 5 1929 4822 1929 4822 5 6 4822 836 4822 1672 6 7 2252 1178 863 8 1178 5884 1725 2252 1178 1178 7 5884 8 9 1 11 12 863 1725 1782 863 1725 6691 8364 6691 8364 3782 3782 8364 1394 8364 697 6691 8364 9 1 11 12 6691 8364 2252 1178 863 6691 8364 6691 8364 13 2252 1178 3782 13 3782 1178 5884 1725 3782 3782 14 1178 5884 8364 1394 14 8364 697 8364 697 8364 1394 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 1 289591 8364 6691 8364 1 2 379949 4822 3782 2 3 8364 4822 312 8364 697 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1 1 11 11 12 12 13 14 15 6691 8364 215885 1178 3782 1178 86924 8364 697 2788 13 14 15 16 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 9
MACIERZE MAS UKŁADU Pręt nr 1 (obustronnie utwierdzony): Macierz mas w układzie globalnym: M1= 1 2 3 4 5 6 9,3 45,2 1 1,7 71, 34,8 41,9 2 71, 64,5 41,9 48,4 3 45,2 9,3 4 34,8 41,9 1,7 71, 5 41,9 48,4 71, 64,5 6 Macierz transformacji jest macierzą jednostkową i zachodzi M 1 =M 1. Układ lokalny pokrywa się z układem globalnym. M ~ M M ~ M ( e ) ( e) ( e) ( e) ~ I cosα sinα 1 C= sinα cosα = 1 1 1 C = C 1 1 = 1 1 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 1
Pręt nr 2 (obustronnie utwierdzony): Macierz mas w układzie lokalnym: M2= 13 14 15 1 2 3 3,2 15,1 13 33,6 11,9 11,6 7, 14 11,9 5,4 7, 4, 15 15,1 3,2 1 11,6 7, 33,6 11,9 2 7, 4, 11,9 5,4 3 ransformacja do układu globalnego: ~ M ( e ) M( e) 1 1 = 1 1 1 1 = 1 1 Macierz mas elementu 2 po transformacji: M2= 13 14 15 1 2 3 33,6 11,9 11,6 7, 13 3,2 15,1 14 11,9 5,4 7, 4, 15 11,6 7, 33,6 11,9 1 15,1 3,2 2 7, 4, 11,9 5,4 3 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 11
Pręt nr 3 (obustronnie utwierdzony): Macierz mas w układzie lokalnym: M3= 1 11 12 13 14 15 3,2 15,1 1 33,6 11,9 11,6 7, 11 11,9 5,4 7, 4, 12 15,1 3,2 13 11,6 7, 33,6 11,9 14 7, 4, 11,9 5,4 15 ransformacja do układu globalnego: ~ M ( e ) M( e) 1 1 = 1 1 1 1 = 1 1 Macierz mas elementu 3 po transformacji: M3= 1 11 12 13 14 15 33,6 11,9 11,6 7, 1 3,2 15,1 11 11,9 5,4 7, 4, 12 11,6 7, 33,6 11,9 13 15,1 3,2 14 7, 4, 11,9 5,4 15 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 12
Pręt nr 4 (z przegubem na lewym końcu): Macierz mas w układzie lokalnym: M4= 13 14 15 7 8 9 11, 5,5 13 71,4 42,2 66,5 14 5 5,5 11, 7 42,2 147,2 145,2 8 66,5 145,2 18,3 9 ransformacja do układu globalnego: ~ M ( e ) M( e),9,4,4,9 =,9,4,4,9,9,4,4,9 =,9,4,4,9 Macierz mas elementu 4 po transformacji: M4= 13 14 15 7 8 9 95,1 11,8 48,8 3,3 29,8 13 11,8 77,3 3,3 43,9 59,5 14 5 48,8 3,3 11,2 18,5 64,9 7 3,3 43,9 18,5 137,9 129,8 8 29,8 59,5 64,9 129,8 18,3 9 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 13
Macierz mas układu [M] układu po agregacji: 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 9,3 45,2 11,6 7, 1 33,6 11,9 2 3 1,7 71, 3,2 71, 64,5 11,9 5,4 34,8 41,9 15,1 2 41,9 48,4 7, 4, 3 4 45,2 9,3 4 5 34,8 41,9 1,7 71, 5 6 41,9 48,4 71, 64,5 6 7 11,2 18,5 64,9 48,8 3,3 7 8 9 1 11 12 18,5 137,9 129,8 3,3 43,9 64,9 129,8 18,3 29,8 59,5 33,6 11,9 11,6 7, 3,2 15,1 11,9 5,4 7, 4, 33,6 11,9 8 9 1 11 12 11,6 7, 48,8 3,3 29,8 11,6 7, 33,6 11,9 13 95,1 11,8 3,2 13 15,1 3,3 43,9 59,5 15,1 3,2 14 11,8 77,3 11,9 5,4 14 7, 4, 7, 4, 11,9 5,4 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 1 123,9 11,9 11,6 7, 1 2 13,8 71, 15,1 2 3 11,9 71, 69,9 7, 4, 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1 1 11 11 12 12 13 11,6 7, 162,3 11,8 13 14 15,1 11,8 137,7 14 15 7, 4, 1,8 15 16 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 11 12 13 14 15 16 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 14
Macierz sztywności układu [K]: Po uwzględnieniu warunków podparcia q 412 = oraz redukcji momentów M 16 =, otrzymujemy macierz. K= 1 2 3 13 14 15 289591 8364 6691 8364 1 379949 4822 3782 2 8364 4822 312 8364 697 3 6691 8364 215885 1178 13 1178 86924 3782 14 8364 697 2788 15 Macierz mas układu [M]: Po uwzględnieniu warunków podparcia q 412 = oraz redukcji momentów M 16 =, otrzymujemy macierz. M= 1 2 3 13 14 15 123,9 11,9 11,6 7, 1 13,8 71, 15,1 2 11,9 71, 69,9 7, 4, 3 11,6 7, 162,3 11,8 13 15,1 11,8 137,7 14 7, 4, 1,8 15 Równanie równowagi dynamicznej układu (drgania własne):.. K q M q q q sin( t) (1) ( M) q (2) K 2 (3) Podstawiając macierze K i M do równania (2) wyznaczamy wartości własne λ oraz wektory własne q. Rozwiązaniem równania jest 6 wartości własnych λ i 6 wektorów własnych q. Obliczenia wykonano w programie UPW. Częstości kołowe drgań własnych na podstawie wzoru (3). Wartości własne i częstości kołowe drgań własnych: 1 2 3 4 5 6 λ [rad 2 /s 2 ] 325853, 1234, 16855, 231329, 345852, 13238, ω [rad/s] 57,8 196,8 1268,3 152,9 1859,7 3638,4 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 15
Wektory własne dla 3 pierwszych częstości kołowych drgań własnych w układzie globalnym: q1 1,1891 q2 1,36215 q3 1,37975 2,17594 2,29613 2,436356 3 1,4251 3,589191 3,33335 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 1 1 1 11 11 11 12 12 12 13,13896 13,762276 13,181243 14,1595 14,286232 14,27445 15,354883 15,425473 15 1, ransformacja do układu lokalnego: q ~ i q i 1 CZĘSOŚĆ KOŁOWA DRGAŃ WŁASNYCH: Pręt nr 1 (obustronnie utwierdzony): cosα sinα 1 C= sinα cosα = 1 1 1 C = C 1,1891,2 1 1,17594,176 2 1,4251 1,43 3 = 1 q1= 1= 4 5 6 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 16
Pręt nr 2 (obustronnie utwierdzony): 1,13896,15 13 1,1595,131 14,354883,355 15 = 1 q2=,1891 2=,176 1 1,17594,2 2 1,4251 1,43 3 Pręt nr 3 (obustronnie utwierdzony): 1 1 1 12 = 1 q3=,13896 3=,15 13 1,1595,131 14,354883,355 15 Pręt nr 4 (z przegubem na lewym końcu):,9,4,13896,7 13,4,9,1595,153 14,354883,355 15 =,9,4 q4= 4= 7,4,9 8 9 2 CZĘSOŚĆ KOŁOWA DRGAŃ WŁASNYCH: II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 17
Pręt nr 1 (obustronnie utwierdzony): 1,36215,36 1 1,29613,296 2,589191,589 3 = 1 q1= 1= 4 5 6 Pręt nr 2 (obustronnie utwierdzony): 1,36215,296 13 1,29613,36 14,589191,589 15 = 1 q2=,1891 2=,176 1 1,17594,2 2 1,4251 1,43 3 Pręt nr 3 (obustronnie utwierdzony): 1 1 1 12 = 1 q3=,762276 3=,286 13 1,286232,762 14,425473,425 15 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 18
Pręt nr 4 (z przegubem na lewym końcu):,9,4,762276,554 13,4,9,286232,597 14,425473,425 15 =,9,4 q4= 4= 7,4,9 8 9 3 CZĘSOŚĆ KOŁOWA DRGAŃ WŁASNYCH: Pręt nr 1 (obustronnie utwierdzony): 1,37975,38 1 1,436356,436 2,33335,333 3 = 1 q1= 1= 4 5 6 Pręt nr 2 (obustronnie utwierdzony): 1,181243,274 13 1,27445,181 14 1, 1, 15 = 1 q2=,37975 2=,436 1 1,436356,38 2,33335,333 3 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 19
Pręt nr 3 (obustronnie utwierdzony): 1 1 1 12 = 1 q3=,181243 3=,274 13 1,27445,181 14 1, 1, 15 Pręt nr 4 (z przegubem na lewym końcu):,9,4,181243,285 13,4,9,27445,164 14 1, 1, 15 =,9,4 q4= 4= 7,4,9 8 9 Postacie drgań własnych Przemieszczenia punktów na długości elementów (prętów) w oparciu o przemieszczenia węzłowe i funkcje kształtu: u ~ ( ~ x ) q~ N ( ~ x) q~ N ( ~ ) 1 1 4 4 x v ~ ( ~ x ) q~ ( ~ ) ~ ( ~ ) ~ ( ~ ) ~ ( ~ 2 N2 x q3 N3 x q5 N5 x q6 N6 x) II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 2
1 POSAĆ DRGAŃ WŁASNYCH: Pręt nr 1, L=5.m (obustronnie utwierdzony): [m] N1 N2 N3 N4 N5 N6 u ~ ( ~ x ) [m] v ~ ( ~ x) [m] 1 1,1891,17594 1,25,75,844,73,25,156,234,1418,881434 2,5,5,5,625,5,5,625,946,739521 3,75,25,156,234,75,844,73,473,271823 5 1 1 Pręt nr 2, L=2.5m (obustronnie utwierdzony): [m] N1 N2 N3 N4 N5 N6 u ~ ( ~ x ) [m] v ~ ( ~ x) [m] 1 1,1595,13896,63,75,844,352,25,156,117,122797,357672 1,25,5,5,313,5,5,313,145,5379 1,88,25,156,117,75,844,352,15822,43143 2,5 1 1,17594,1891 Pręt nr 3, L=2.5m (obustronnie utwierdzony): [m] N1 N2 N3 N4 N5 N6 u ~ ( ~ x ) [m] v ~ ( ~ x) [m] 1 1,63,75,844,352,25,156,117,26274,21135 1,25,5,5,313,5,5,313,52548,45453 1,88,25,156,117,75,844,352,78821,1432 2,5 1 1,1595,13896 Pręt nr 4, L=5.59m (z przegubem na lewym końcu): [m] N1 N2 N3 N4 N5 N6 u ~ ( ~ x ) [m] v ~ ( ~ x) [m] 1 1,777,152538 1,4,75,633,25,367,655,52558,96528 2,8,5,313,5,688 1,48,3539,47668 4,19,25,86,75,914,917,17519,1319 5,59 1 1 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 21
2 POSAĆ DRGAŃ WŁASNYCH: Pręt nr 1, L=5.m (obustronnie utwierdzony): [m] N1 N2 N3 N4 N5 N6 ) u ~ ( ~ x [m] ~ ( ~ x) v [m] 1 1,36215,29613 1,25,75,844,73,25,156,234,27161,164415 2,5,5,5,625,5,5,625,1818,22179 3,75,25,156,234,75,844,73,954,91821 5 1 1 Pręt nr 2, L=2.5m (obustronnie utwierdzony): [m] N1 N2 N3 N4 N5 N6 ) u ~ ( ~ x [m] ~ ( ~ x) v [m] 1 1,286232,762276,63,75,844,352,25,156,117,28877,4323 1,25,5,5,313,5,5,313,291181,82163 1,88,25,156,117,75,844,352,293656,17336 2,5 1 1,29613,36215 Pręt nr 3, L=2.5m (obustronnie utwierdzony): [m] N1 N2 N3 N4 N5 N6 ) u ~ ( ~ x [m] ~ ( ~ x) v [m] 1 1,63,75,844,352,25,156,117,71558,168966 1,25,5,5,313,5,5,313,143116,51498 1,88,25,156,117,75,844,352,214674,792751 2,5 1 1,286232,762276 Pręt nr 4, L=5.59m (z przegubem na lewym końcu): [m] N1 N2 N3 N4 N5 N6 ) u ~ ( ~ x [m] ~ ( ~ x) v [m] 1 1,553794,596913 1,4,75,633,25,367,655,415346,377734 2,8,5,313,5,688 1,48,276897,186535 4,19,25,86,75,914,917,138449,51297 5,59 1 1 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 22
3 POSAĆ DRGAŃ WŁASNYCH: Pręt nr 1, L=5.m (obustronnie utwierdzony): [m] N1 N2 N3 N4 N5 N6 ) u ~ ( ~ x [m] ~ ( ~ x) v [m] 1 1,37975,436356 1,25,75,844,73,25,156,234,23981,1341 2,5,5,5,625,5,5,625,153988,131 3,75,25,156,234,75,844,73,76994,9874 5 1 1 Pręt nr 2, L=2.5m (obustronnie utwierdzony): [m] N1 N2 N3 N4 N5 N6 ) u ~ ( ~ x [m] ~ ( ~ x) v [m] 1 1,27445,181243,63,75,844,352,25,156,117,314927,591635 1,25,5,5,313,5,5,313,35543,661182 1,88,25,156,117,75,844,352,39588,522443 2,5 1 1,436356,37975 Pręt nr 3, L=2.5m (obustronnie utwierdzony): [m] N1 N2 N3 N4 N5 N6 ) u ~ ( ~ x [m] ~ ( ~ x) v [m] 1 1,63,75,844,352,25,156,117,68613,88868 1,25,5,5,313,5,5,313,137225,221879 1,88,25,156,117,75,844,352,25838,198639 2,5 1 1,27445,181243 Pręt nr 4, L=5.59m (z przegubem na lewym końcu): [m] N1 N2 N3 N4 N5 N6 ) u ~ ( ~ x [m] ~ ( ~ x) v [m] 1 1,284846,164421 1,4,75,633,25,367,655,213635,1448 2,8,5,313,5,688 1,48,142423,51382 4,19,25,86,75,914,917,71212,1413 5,59 1 1 II semestr studiów uzupełniających magisterskich Kamil Sobczyński 23