3. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE

Transkrypt

1 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE.. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Istotę metody przemieszczeń, najwygodniej jest przedstawić przez porównanie jej do metody sił, którą wcześniej już poznaliśmy i przy użyciu której jesteśmy w stanie policzyć przemieszczenia i rozkład sił wewnętrznych układów statycznie niewyznaczalnych. Tok obliczeń matematycznych jest podobny, jednak sens fizyczny wielkości występujących w równaniach jest odmienny. Podstawowe różnice pomiędzy tymi metodami zestawiliśmy w poniższej tabeli oraz zobrazowaliśmy w krótkich przykładach. Tabela.. Porównanie metody sił z metodą przemieszczeń Metoda sił Metoda przemieszczeń Niewiadomymi są: nadliczbowe siły przemieszczenia węzłów Równania kanoniczne wyrażają: O liczbie niewiadomych decyduje: przemieszczenia w miejscu odrzuconych więzów stopień statycznej niewyznaczalności (SSN). Jest to liczba więzów przesztywniających układ, które trzeba odrzucić. reakcje w miejscu dołożonych więzów stopień kinematycznej niewyznaczalności (SKN). Jest to liczba więzów, które trzeba wprowadzić aby układ usztywnić... Algorytm obliczeń w metodzie przemieszczeń Określenie stopnia kinematycznej (geometrycznej) niewyznaczalności polega na wyznaczeniu liczby więzów, które należy wprowadzić, aby układ stał się geometrycznie wyznaczalny. Będzie to liczba węzłów układu prętowego, w którym zbiegają się sprężyście utwierdzone pręty (węzły wewnętrzne) powiększona o liczbę więzów (niezależnych podpór), które należy wprowadzić do układu, aby stał się nieprzesuwny. W przypadku wieloprętowego układu, relację między kątami obrotów cięciw prętów wyznacza się z łańcucha kinematycznego uzyskanego poprzez zamianę wszystkich węzłów wewnętrznych i podpór na przeguby i określenie stopnia geometrycznej niewyznaczalności. Układ podstawowy będzie układem, w którym wprowadza się wewnętrzne utwierdzenia do węzłów oraz dodaje się podpory liniowe, uniemożliwiające przesuwy. Dalsze obliczenia zilustrujemy na przykładzie. Przykład Rozpatrujemy belkę ciągłą (rys..) statycznie niewyznaczalną, która jest obciążona dowolnym obciążeniem ciągłym q. Pod wpływem tego obciążenia belka odkształci się, w wyniku czego powstanie stan naprężeń wyrażony w postaci sił wewnętrznych. Rozwiążmy tą belkę najpierw metodą sił a następnie metodą przemieszczeń. q Rys.. Belka ciągła statycznie niewyznaczalna

2 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE W metodzie sił, belka jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalna (SSN = ). Możemy zatem przyjąć układ podstawowy w którym jedną z podpór zastąpimy niewiadomą siłą X (rys..). X Rys... Układ podstawowy w metodzie sił Linia ugięcia takiej belki będzie sumą linii ugięć powstałych od obciążenia ciągłego q i od niewiadomej siły X (korzystamy tutaj z zasady superpozycji skutków). Linie ugięć będą wyglądały mniej więcej tak jak na rysunku.. S w s (q) w(q) S w s (x ) w(x ) X w(q) = w(x ) S Rys... Linie ugięcia od obciążenia ciągłego q i od niewiadomej siły X Warunek geometrycznej zgodności: w s q w s X zapisujemy w postaci równania kanonicznego: X P Ta sama belka w metodzie przemieszczeń, będzie posiadać jeden niezależny kąt obrotu przekroju w węźle S (SKN = ). W celu przyjęcia najlepszego układu podstawowego wprowadzamy dodatkowy więz w postaci utwierdzenia wewnętrznego (sztucznego), który zatrzymuje obrót ale nie blokuje przesuwu (rys..4). W przeciwieństwie do metody sił, nie będzie to więc układ statycznie wyznaczalny lecz układ przesztywniony. φ s Rys..4. Układ podstawowy w metodzie przemieszczeń

3 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Układ taki jest zgodny jedynie geometrycznie, kinematyczną zgodność zapewnia przemieszczenie w postaci kąta obrotu φ. Równowagę statyczną uzyskamy jeśli spełnimy równanie równowagi, opisujące reakcję we wprowadzonym więzie: które jest równaniem kanonicznym: M s M s =M q M L M P r r P Wykonując wykresy sił wewnętrznych powstałych zarówno od obciążenia q jak i od kąta obrotu φ korzystamy ze wzorów transformacyjnych (rys..5). M(q) = q M(q) M L (φ) φ M(φ ) M P (φ) Rys..5. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia ciągłego q oraz od kąta obrotu φ Wykonując linię ugięcia (rys..6) widzimy że ma ona taką samą postać jak ta, która powstała w wyniku rozwiązania belki metodą sił, co świadczy o poprawności tej metody. φ w(q,φ ) Rys..6. Linia ugięcia od obciążenia ciągłego q i i kąta obrotu więzu o φ Przykład Analizie poddamy ramę płaską (rys..7) statycznie niewyznaczalną, która jest obciążona dowolną siłą skupioną P i obciążeniem ciągłym q. q P A r B s s h l Rys..7. Rama płaska statycznie niewyznaczalna

4 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 4 Pod wpływem tego obciążenia rama odkształci się, w wyniku czego powstanie stan naprężeń wyrażony w postaci sił wewnętrznych. Rama ta składa się z prętów połączonych ze sobą w węzłach, pręty te będziemy traktować jako tarcze doskonale sztywne podłużnie (nie uwzględniamy skracania i wydłużania się prętów pod wpływem działania obciążenia). Pod wpływem przemieszczenia pręty ulegają deformacji, a węzły doznają przemieszczeń. Stan przemieszczenia węzłów charakteryzują wielkości: kąty obrotów φ oraz niezależne przesuwy Δ (które mogą być wyrażone przez niezależne kąty obrotów cięciw prętów ψik). Przyjmijmy więc te wielkości za niewiadome w metodzie przemieszczeń. Aby uzyskać układ podstawowy w metodzie przemieszczeń wprowadzamy wewnętrzne utwierdzenia (blokady obrotów po kierunku φ, φ) oraz dodatkową podporę (blokada przesuwu po kierunku Δ). W ten sposób naruszymy statykę układu (rys..). M A,φ q P A r B,φ R H B,Δ s s h l Rys... Układ podstawowy z dodatkowymi wewnętrznymi utwierdzeniami oraz z dodatkową podporą Układ taki jest geometrycznie i kinematycznie zgodny. Zgodność statyczną, którą naruszyliśmy wprowadzając dodatkowe więzy, zapewnimy spełniając równości: { M A R B H (.) Warunki (.) oznaczają, że reakcje w dodatkowych podporach muszą być równe zero, bo w rzeczywistości tych podpór nie ma. Podobnie było w metodzie sił: przemieszczenia po kierunku odrzuconych więzów musiały być równe zero, bo w rzeczywistości te węzły były zablokowane. Rozpisując każde z równań otrzymujemy: {M A P M A M A M A P R H B P R H B R H B R H B (.) Przyjmując oznaczenia charakterystyczne dla metody przemieszczeń i wprowadzając symbol reakcji powstałej od jednostkowego przemieszczenia r ik (reakcja po kierunku niewiadomej i wywołana przemieszczeniem po kierunku k): {r r r R P r r r R P R r R R P (.) Zastępując symbole niewiadomych φ, φ, Δ zmienną uogólnioną Zj otrzymujemy ostateczny układ równań:

5 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 5 {r Z r Z r Z R P r Z r Z r Z R P R Z r Z R Z R P (.4) który możemy zapisać również w postaci wskaźnikowej: n j= r ij Z j R ip (.5) Układy statycznie niewyznaczalne można rozwiązać metoda przemieszczeń lub metodą sił. Ta sama konstrukcja w każdej z tych metod może mieć inną liczbę niewiadomych. W niektórych przypadkach ram, układ jest wielokrotnie statycznie niewyznaczalny, natomiast w metodzie przemieszczeń ma jedną niewiadomą, w innych przypadkach jest na odwrót (rys..9). X 7 X 6 X 5 z X X 4 X X z z z z 6 z 5 z 4 X Rys..9. Układy podstawowe w metodzie sił i metodzie przemieszczeń Proces obliczeń układów niewyznaczalnych metodą przemieszczeń przedstawimy w kilku przykładach liczbowych. Zadanie Wyznaczyć wykres sił wewnętrznych w zadanej belce (rys..0), korzystając z metody przemieszczeń. P = 6 kn q = 4 kn/m A B C 6 [m] Rys..0. Belka statycznie niewyznaczalna

6 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 6 Przyjmujemy układ podstawowy. Zgodnie z założeniami metody przemieszczeń należy zablokować możliwe przemieszczenia węzłowe. W tym przypadku będzie to tylko kąt obrotu na pośredniej podporze (rys..). Wobec tego SKN =, natomiast w metodzie sił należałoby odrzucić dwa więzy (SSN = ): φ B, 4 6 [m] Rys... Układ podstawowy z wprowadzonym dodatkowym wewnętrznym więzem Ta krótka analiza dowodzi, że korzystniej (łatwiej) jest rozwiązać zadanie metodą przemieszczeń. Aby układ podstawowy był zgodny z rzeczywistym, reakcja we wprowadzonym więzie musi być równa zero MB = 0 (warunek statecznej zgodności). Warunek ten będzie spełniony, jeżeli moment powstały od obciążenia zewnętrznego będzie zrównoważony momentem powstałym od obrotu przekroju w podporze B: q (.6) Najpierw wykonujemy wykres momentów od jednostkowego przemieszczenia. Korzystając ze wzorów transformacyjnych wyznaczamy momenty na poszczególnych prętach belki. Część belki AB to pręt obustronnie utwierdzony, natomiast część BC to pręt utwierdzony w punkcie B i podparty podporą przegubowo nieprzesuwną w punkcie C. Wartości momentów od kąta obrotu wyznaczone ze wzorów transformacyjnych mają wartości: dla pręta AB (φ A = 0, φ B =, brak przesuwu ψ AB = 0) M AB = l A B AB = dla pręta BC (φb =, brak przesuwu ψbc = 0) (.7) A = l B A AB = (.) C = l B BC = (.9) Ponieważ w podporze C jest przegub M CB (.0) Korzystając z gotowych wzorów (tabela.) obliczymy wartości momentów przywęzłowych od obciążenia przęsłowego: dla pręta AB M AB = Pl = knm (.) A = Pl = knm (.)

7 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 7 dla pręta BC C = q = knm (.) M CB (.4) Po obliczeniu momentów możemy narysować ich wykresy (rys..): M (0) P [knm] (q) (φ) Rys... Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego oraz od przemieszczenia φ= M φ Z równowagi momentów w węźle B możemy wyznaczyć wartości reakcji w poszczególnych stanach q = = = (.5) Ponieważ reakcje te muszą się równoważyć: czyli: Kąt obrotu przekroju B musi być równy: q B = B B (.6) = 0 B B = 0 (.7) Końcowe, rzeczywiste wartości momentów możemy obliczyć korzystając ze wzoru superpozycyjnego (.) lub podstawiając do wzorów transformacyjnych obliczoną wartość kąta obrotu φb. Ich wykres w układzie niewyznaczalnym przedstawiono na rys...

8 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE M n P =M o P M (.) M AB = 0 = 4 0 = 4 knm (.9) A = 0 = 4 0 = 44 knm (.0) C = 0 = 54 0 = 44 knm (.) n (.) M CB 44 4 M P (n) [knm] 7 Rys... Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym Zadanie Rozwiązać zadaną ramę (rys..4) korzystając z metody przemieszczeń. B C q = 6 kn/m 4 A [m] Rys..4. Rama płaska statycznie niewyznaczalna Najpierw przyjmujemy układ podstawowy. Zgodnie z założeniami metody przemieszczeń należy zablokować możliwe przemieszczenia. W tym przypadku będzie to kąt obrotu oraz przesuw poziomy (rys..5) SKN = : φ, B C Δ R C H q = 6 kn/m 4 A [m] Rys..5. Układ podstawowy z dodatkowym wewnętrznym utwierdzeniem oraz podporą poziomą

9 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 9 We wprowadzonych dodatkowo podporach powstaną reakcje, które w rzeczywistości powinny być równe zero. Najpierw utworzymy wykresy momentów od jednostkowych przemieszczeń (φ i Δ ) oraz od obciążenia zewnętrznego w przyjętym układzie podstawowym. Korzystając ze wzorów transformacyjnych wyznaczamy momenty na poszczególnych prętach. Część AB to pręt obustronnie utwierdzony, natomiast część BC to pręt utwierdzony w punkcie B i podparty podporą przegubowo nieprzesuwną w punkcie C. Wartości momentów wywołane jednostkowym przemieszczeniem podpory B wyznaczamy ze wzorów transformacyjnych przyjmując φ = φb = : dla pręta AB ( φ A = 0, φ B =, ψ AB = 0) dla pręta BC ( φb =, ψbc = 0) M AB = l A B AB = (.) A = l B A AB = (.4) C = l B BC = (.5) M CB (.6) (φ ) M (φ ) = Rys..6. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ = Wartości momentów od przesuwu poziomego Δ = wyznaczamy z tych samych wzorów po określeniu kątów obrotu cięciw prętów ψ. Na skutek jednostkowego przesuwu po kierunku Δ cięciwy prętów obrócą się. Wartości kątów obrotu wyznaczymy ze związków geometrycznych. Δ Δ B Ψ BC C Ψ BC = 0 4 Δ tg Ψ AB = 4 Ψ AB Δ Ψ AB = 4 A Rys..7. Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku D W stanie Δ = wyznaczamy wartości momentów:

10 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 0 dla pręta AB ( φa = 0, φb = 0, Δ =, AB = 4 ) M AB = l A B AB = A = l B A AB = (.7) (.) dla pręta BC ( φ B = 0, ψ BC = 0) C = l B BC (.9) M CB (.0) (Δ ) M (Δ ) = - Rys... Wykres momentów w układzie podstawowym od poziomego przesuwu Δ = Wartości momentów od obciążenia wyznaczamy na podstawie gotowych wzorów (tabela.): dla pręta AB (obustronnie utwierdzonego) dla pręta BC M AB = q = knm (.) A = q = knm (.) C (.) M CB (.4) (P) M P (0) (P) = Rys..9. Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego

11 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Warunek statycznej zgodności (reakcje we wprowadzonych węzłach są równe zero): { R H C (.5) można rozpisać jako sumę reakcji od poszczególnych wpływów: { M P M M B B B R P R R (.6) Wprowadzając oznaczenia charakterystyczne dla metody przemieszczeń, otrzymujemy układ równań kanonicznych: { r Z r Z R P r Z r Z R P (.7) gdzie r ik to reakcja po kierunku zmiennej i wywołana przemieszczeniem po kierunku k, R ip to reakcja po kierunku i wywołana obciążeniem zewnętrznym, Z i to nieznane przemieszczenie. Z równowagi momentów w węźle B otrzymujemy pierwsze równanie: po uporządkowaniu: (.) Natomiast drugie równanie otrzymamy korzystając z równania pracy wirtualnej (praca sił zewnętrznych jest równa pracy wirtualnych sił wewnętrznych L z = L w ) (rys..9). Praca sił rzeczywistych na wirtualnych przemieszczeniach równa jest pracy sił wirtualnych na rzeczywistych przemieszczeniach. Ponieważ wirtualnym przemieszczeniem jest jednostkowy przesuw = a układ rzeczywisty nie przemieszcza się to: R C M ik M ki ik P i i (.9) Stan φ = Stan Δ = Stan P R C (φ =) R C (Δ =) R C (P) Ψ = 4 - Ψ = 4 - Q - δ Q Ψ = 4 Q = q 4 = 4 4 =6 kn δ Q = = Rys..0. Reakcja w poziomej podporze w poszczególnych stanach

12 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE Reakcje po kierunku Δ wyznaczymy w poszczególnych stanach. Dla stanu φ = : R C 4 R C R C = (.40) Następnie dla stanu Δ = : 4 R C R C = 4 4 = 6 (.4) Na koniec reakcja w stanie P: 4 Q R C R C P = (.4) Podstawiając powyższe wartości do drugiego równania (.6) otrzymujemy jego ostateczną postać: 6 (.4) Wykorzystując zależności (.) i (.4) zapisujemy układ równań kanonicznych: { (.44) 6 którego rozwiązaniem są rzeczywiste przemieszczenia: {Z = = 64 5 Z = = 44 5 (.45) Ostateczne wartości momentów zginających można wyznaczyć ze wzorów transformacyjnych lub korzystając ze wzoru superpozycyjnego (.46). Końcowe wartości momentów przedstawiono na wykresie w układzie niewyznaczalnym (rys..): M n P =M o P M M (.46) M AB = = 76 knm 5 (.47)

13 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE M n P =M o P M M (.46) A = = 64 knm 5 (.4) C = 64 knm 5 (.49) n (.50) M CB M (n) Rys... Wykres momentów w układzie statycznie niewyznaczalnym Zadanie Wyznaczyć wartości reakcji w zadanej ramie korzystając z metody przemieszczeń. q P l l Rys... Rama płaska statycznie niewyznaczalna Układ podstawowy otrzymujemy wprowadzając dodatkowe więzy: φ φ P q l l Δ 0 Rys... Układ podstawowy z dodatkowymi wewnętrznymi utwierdzeniami oraz z dodatkową podporą

14 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 4 Stateczną zgodność naruszonego układu zapewniamy równaniami: { M A R B H (.5) Możemy je także zapisać w postaci wskaźnikowej n k= r ik Z k R ip (.5) Obliczając wartości kątów obrotu przyjmujemy poniższe zależności: =a =b = = l = Z l (.5) Δ= Ψ =Ψ r l Ψ 0 =Ψ Ψ =Ψ 0 Rys..4. Kąty obrotu cięciw prętów na wskutek jednostkowego przesuwu po kierunku r Wartości wszystkich reakcji obliczymy po wyznaczeniu wartości momentów dla poszczególnych stanów oraz korzystając z równania pracy wirtualnej: Stan φ = r r 4 φ = r l 4 M 0 l Rys..5. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ =

15 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 5 r = 4 l 4 r = (.5) Wartość reakcji r wyznaczamy z równania pracy wirtualnej (.9): M 0 M 0 M M M r (.54) r = 6 l a 6 b (.55) Stan φ = r r φ = 4 r l M 0 Rys..6. Wykres momentów w układzie podstawowym od kąta obrotu φ = r = 4 l r = (.56) Wartość reakcji r wyznaczamy analogicznie jak dla reakcji r, czyli z równania pracy wirtualnej: Stan Δ = M 0 M 0 M M M r (.57) r = 6 b l (.5) r 6b r l Δ = r 6a l l 6a l l 0 6b l l M Rys..7. Wykres momentów w układzie podstawowym od poziomego przesuwu Δ =

16 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 6 r = 6 a l l 6 b l r = 6 b l l (.59) Wartość reakcji r wyznaczamy z równania pracy wirtualnej: M 0 M 0 M M r = a l l M r (.60) b l (.6) Stan P: R P P R P q q l P P R P q l 0 P M P Rys... Wykresy momentów w układzie podstawowym od obciążenia zewnętrznego R P = q P R P = P (.6) Wartość reakcji r P wyznaczamy, jak poprzednio z równania pracy wirtualnej, które w tym przypadku rozszerzone jest o pracę sił Q i P: M P P 0 M 0 M P P M M P R P Q l P (.6) r P = Q l a l P b l (.64) Obliczone wartości reakcji podstawiamy do układu równań kanonicznych z którego już bardzo prosto można wyznaczyć szukane przemieszczenia. Ostateczne wartości momentów zginających można wyznaczyć ze wzorów transformacyjnych lub też korzystając ze wzoru superpozycyjnego przedstawionego poniżej: M P n =M P 0 M Z M Z M Z (.65)

17 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 7.. Sprawdzenie wyników Podczas rozwiązywania zadań metodą przemieszczeń trudno jest ocenić poprawność uzyskanych wyników. Istnieje jednak możliwość przeprowadzenia pewnych kontroli w trakcie obliczeń.... Symetria macierzy sztywności Porównanie współczynników rik i rki jest pośrednim sposobem kontroli wyników. Macierz sztywności powinna być symetryczna, dlatego obowiązuje zależność : r ik =r ki Dowód tego założenia opiera się na twierdzeniu Rayleigha: Reakcja uogólniona rik odpowiadająca i-temu kierunkowi przemieszczenia uogólnionego a wywołana jednostkowym przemieszczeniem k-tego więzu równa jest uogólnionej reakcji r ki odpowiadającej k-temu kierunkowi przemieszczenia uogólnionego wywołana jednostkowym przemieszczeniem i-tego więzu. Współczynniki r ik można sprawdzić również opierając się na twierdzeniu Bettiego o wzajemności prac, które mówi: Dla ciał liniowo sprężystych praca przygotowana (wirtualna, możliwa) zewnętrznych lub wewnętrznych sił stanu obciążenia I na przemieszczeniach stanu obciążenia II równa jest pracy przygotowanej zewnętrznych lub wewnętrznych sił stanu II na przemieszczeniach stanu I. L z =L w Sens tego twierdzenia można zilustrować na poniższym przykładzie. Na rys..9 przedstawiono układ o SKN =. Po przyjęciu układu podstawowego wykonujemy wykresy momentów. Najpierw rozwiązano układ, któremu nadano kąt obrotu = (Stan I). Na rys..0 widzimy ten sam układ, lecz kąt obrotu o wartości działa w drugim węźle (Stan II). φ = l r r r l 4 l M I Rys..9. Wykres momentów M I dla φ =

18 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE r = l 4 EI r = φ = 4 r r r 4 l l M II l Rys..0. Wykres momentów M II dla φ = Pracę sił zewnętrznych (reakcji ze stanu I na przemieszczeniach ze stanu II) można zapisać w następujący sposób: L z =r 0 r r 0 R j 0 =r Natomiast pracę sił wewnętrznych wyznaczamy korzystając z metody Wereszczagina - Mohra: L w = M I M II stąd otrzymujemy wartość reakcji ds = [ 4 4 EI 4 ] = r = Jeżeli wyznaczamy pracę sił ze stanu II na przemieszczeniach ze stanu I, to: a praca sił wewnętrznych: L z =r r 0 r 0 R j 0 =r Ponieważ tym razem L w = M II M I ds= r =

19 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 9 ostatecznie można zapisać r =r Opierając się na twierdzeniu Bettiego o wzajemności prac, możemy sprawdzić współczynniki rik, jednak sprawdzenie wielkości r ip (wpływu sił zewnętrznych) jest kłopotliwe, ponieważ obliczając pracę sił zewnętrznych (P) powinniśmy znać linie przemieszczeń prętów wywołanych obrotami bądź przesuwami węzłów. Linie te są krzywymi wyższego stopnia, których w zadaniu nie wyznaczamy. Widać to na przykładzie ramy, której wykres momentów w stanie odkształconym z = przedstawiony jest na rys.., a od obciążenia zewnętrznego na rys... Z = Z r r r δ Rys... Wykres momentów i postać odkształcona w stanie Z = Praca sił ze stanu P na przemieszczeniach ze stanu Z = wymaga skomplikowanego całkowania. L z =r P r P 0 r P 0 q ds s q r P r P rp Rys... Schemat obciążenia i wykres momentów od obciążenia ciągłego... Sprawdzenie kinematyczne W metodzie przemieszczeń sprawdzenie kinematyczne nie daje pewności poprawnego rozwiązania zadania, jak było w metodzie sił. Pozwala ono jedynie ocenić czy wykres momentów zginających jest poprawny. Kontrolę kinematyczną przeprowadza się podobnie jak w metodzie sił tzn. opierając się na zależności: i P i i i R k k = { j s M M P EI t t h n R n R n P ds s f m B m b m N N P EA t t ds s T T P GA ds }

20 Część. METODA PRZEMIESZCZEŃ - ZASADY OGÓLNE 0 gdzie: MP, NP, TP - wewnętrzne siły rzeczywiste, Δ i P i R k Δ k R n R n P - niewiadome przemieszczenie, - jednostkowa siła wirtualna, - reakcja wywołana siłą jednostkową wirtualną w podporze k (doznającej przemieszczenia), - znane przemieszczenie podpory (narzucone osiadanie podpór), - reakcja wirtualna w n-tej podporze podatnej, - reakcja rzeczywista w n-tej podporze podatnej, b m - wartość błędu montażu (liniowa lub kątowa) w punkcie m, B m - siła w pręcie po kierunku wielkości obarczonej błędem.... Sprawdzenie statyczne Zadanie jest rozwiązane poprawnie jeśli w sprawdzeniu statycznym dla całego układu, obciążonego siłami zewnętrznymi oraz wyznaczonymi przez nas siłami w podporach (zawieszonego na reakcjach podporowych), okaże się, że prawdziwe są równości: X Y M Suma momentów może być zapisana względem dowolnego punktu układu.