wszystkie elementy modelu płaskiego są w jednej płaszczyźnie, zwanej płaszczyzną modelu

Transkrypt

1 Schemat statyczny zawiera informacje, takie jak: geometria i połoŝenie tarcz (ciał sztywnych), połączenia tarcz z fundamentem i ze sobą, rodzaj, połoŝenie i wartość obciąŝeń czynnych. wszystkie elementy modelu płaskiego są w jednej płaszczyźnie, zwanej płaszczyzną modelu przemieszczenia elementów modelu mogą występować tylko w płaszczyźnie modelu fundament (podłoŝe, ostoja) dodatkowa nieruchoma tarcza obciąŝenia czynne obciąŝenia przyłoŝone do układu

2 Pręt pryzmatyczny b l 10 h l 10 d l 10 δ d 10 szczególny przypadek tarczy, dla którego dwa wymiary gabarytowe są o rząd mniejsze od wymiaru trzeciego

3 Pręt pryzmatyczny szczególny przypadek tarczy, dla którego dwa wymiary gabarytowe są o rząd mniejsze od wymiaru trzeciego

4 Pręt pryzmatyczny przekroje poprzeczne są prostopadłe do osi pręta

5 Pręt pryzmatyczny przekrój poprzeczny jest figurą płaską, której przyporządkowany jest środek masy

6 Pręt pryzmatyczny oś pręta jest miejscem geometrycznym środków masy przekrojów poprzecznych

7 Pręt pryzmatyczny oś pręta jest prostoliniowa, pręt ma stały przekrój poprzeczny, a tworzące są równoległe do osi pręta

8 Pręt pryzmatyczny na schematach statycznych pręt jest przedstawiany jako odcinek pokrywającego się z osią pręta

9 Więz elementarny pręt pryzmatyczny (fizyczny lub abstrakcyjny) zakończony przegubami płaskimi

10 Więz elementarny pręt pryzmatyczny (fizyczny lub abstrakcyjny) zakończony przegubami płaskimi przeguby płaskie pozwalają na obroty w płaszczyźnie modelu

11 Więz elementarny pręt pryzmatyczny (fizyczny lub abstrakcyjny) zakończony przegubami płaskimi przeguby płaskie pozwalają na obroty w płaszczyźnie modelu więz elementarny łączy dwie tarcze

12 Więz elementarny pręt pryzmatyczny (fizyczny lub abstrakcyjny) zakończony przegubami płaskimi przeguby płaskie pozwalają na obroty w płaszczyźnie modelu więz elementarny łączy dwie tarcze, a przeguby płaskie pozwalają na wzajemny obrót tarczy i więza w płaszczyźnie modelu

13 Więz elementarny więz elementarny przenosi reakcję, tj. siłę rozciągającą lub ściskającą

14 Więz elementarny więz elementarny przenosi reakcję, tj. siłę rozciągającą lub ściskającą reakcję moŝna zobaczyć po przecięciu więza w przegubach

15 Geometryczna niezmienność układów płaskich połączenie tarczy z fundamentem za pomocą więzów elementarnych

16 Geometryczna niezmienność układów płaskich układ geometrycznie niezmienny (GN) układ tarcz nieruchomy względem fundamentu

17 Geometryczna niezmienność układów płaskich układ geometrycznie zmienny (GZ) układ tarcz z moŝliwością ruchu względem fundamentu

18 Geometryczna niezmienność układów płaskich układ geometrycznie zmienny (GZ) układ tarcz z moŝliwością ruchu względem fundamentu

19 Geometryczna niezmienność układów płaskich układ wewnętrznie geometrycznie niezmienny (WGN) układ tarcz, który moŝna zastąpić jedną tarczą

20 Geometryczna niezmienność układów płaskich układ wewnętrznie geometrycznie niezmienny (WGN) układ tarcz, który moŝna zastąpić jedną tarczą trzy tarcze połączone za pomocą przegubów tworzących trójkąt

21 Geometryczna niezmienność układów płaskich układ wewnętrznie geometrycznie niezmienny (WGN) układ tarcz, który moŝna zastąpić jedną tarczą dwie tarcze połączone za pomocą przegubu i więza elementarnego o osi nieprzechodzącej przez przegub

22 Geometryczna niezmienność układów płaskich układ wewnętrznie geometrycznie niezmienny (WGN) układ tarcz, który moŝna zastąpić jedną tarczą trzy tarcze połączone za pomocą trzech więzów elementarnych, jednocześnie nierównoległych i jednocześnie niezbieŝnych

23 Geometryczna niezmienność układów płaskich układ geometrycznie niezmienny (GN)

24 Geometryczna niezmienność układów płaskich układ geometrycznie niezmienny (GN)

25 Geometryczna niezmienność układów płaskich układ geometrycznie niezmienny (GN)

26 Geometryczna niezmienność układów płaskich układ geometrycznie niezmienny (GN)

27 Geometryczna niezmienność układów płaskich zasada 3 e = 3t e liczba elementarnych więzów łączących tarcze ze sobą i z fundamentem t liczba tarcz układu (bez fundamentu) układ geometrycznie niezmienny (GN)

28 Geometryczna niezmienność układów płaskich zasada 3 e = 3t e liczba elementarnych więzów łączących tarcze ze sobą i z fundamentem t liczba tarcz układu (bez fundamentu) 9 = 3 3 układ geometrycznie niezmienny (GN)

29 Geometryczna niezmienność układów płaskich warunek konieczny geometrycznej niezmienności (GN) e = 3t 3 = 3 1

30 Geometryczna niezmienność układów płaskich warunek konieczny geometrycznej niezmienności (GN) układu przesztywnionego e > 3t 4 > 3 1

31 Geometryczna niezmienność układów płaskich warunek dostateczny geometrycznej zmienności (GZ) e < 3t 2 < 3 1

32 Statyczna wyznaczalność układ płaski nazywamy statycznie wyznaczalnym (SW), jeśli reakcje moŝna wyznaczyć z równań równowagi statycznej pojęcie statycznej wyznaczalności (SW) odnosi się do układów geometrycznie niezmiennych

33 Statyczna wyznaczalność układ statycznie wyznaczalny (SW) e = 3t, GN SW

34 Statyczna wyznaczalność układ statycznie wyznaczalny (SW) e = 3t, GN SW niewiadome 3 równania równowagi statycznej R, R Σ P = 0, Σ P = 0, ΣM B = 0 1 R2, 3 ix iy i

35 Statyczna wyznaczalność układ statycznie niewyznaczalny (SN) e > 3t, GN SN

36 Statyczna wyznaczalność układ statycznie niewyznaczalny (SN) e > 3t, GN SN niewiadome 3 równania równowagi statycznej R, R Σ P = 0, Σ P = 0, ΣM B = 0 1 R2, R3, 4 ix iy i

37 Statyczna wyznaczalność układ statycznie niewyznaczalny (SN) e > 3t, GN SN stopień statycznej niewyznaczalności n h = e 3t

38 Statyczna wyznaczalność układ geometrycznie zmienny (GZ) e < 3t, GZ

39 Statyczna wyznaczalność układ geometrycznie zmienny (GZ) e < 3t, GZ stopień geometrycznej zmienności n g = 3 t e n = 1 mechanizm o jednym stopniu swobody g

40 Podpory połączenia tarcz z fundamentem (podłoŝem) Podpora przegubowo-przesuwna

41 Podpory połączenia tarcz z fundamentem (podłoŝem) Podpora przegubowo-przesuwna umoŝliwia obrót wokół przegubu A

42 Podpory połączenia tarcz z fundamentem (podłoŝem) Podpora przegubowo-przesuwna umoŝliwia obrót wokół przegubu A i przesuw w wybranym kierunku

43 Podpory połączenia tarcz z fundamentem (podłoŝem) Podpora przegubowo-przesuwna umoŝliwia obrót wokół przegubu A i przesuw w wybranym kierunku

44 Podpory połączenia tarcz z fundamentem (podłoŝem) Podpora przegubowa (nieprzesuwna)

45 Podpory połączenia tarcz z fundamentem (podłoŝem) Podpora przegubowa (nieprzesuwna) umoŝliwia tylko obrót wokół przegubu A

46 Podpory połączenia tarcz z fundamentem (podłoŝem) Podpora przegubowa (nieprzesuwna) umoŝliwia tylko obrót wokół przegubu A

47 Podpory połączenia tarcz z fundamentem (podłoŝem) Podpora sztywna (sztywne zamocowanie)

48 Podpory połączenia tarcz z fundamentem (podłoŝem) Podpora sztywna (sztywne zamocowanie) całkowicie unieruchamia tarczę

49 Podpory połączenia tarcz z fundamentem (podłoŝem) Podpora sztywna (sztywne zamocowanie) całkowicie unieruchamia tarczę teoretycznym punktem zamocowania jest punkt A

50 Podpory połączenia tarcz z fundamentem (podłoŝem) Podpora sztywno-przesuwna

51 Podpory połączenia tarcz z fundamentem (podłoŝem) Podpora sztywno-przesuwna umoŝliwia przesuw w wybranym kierunku

52 Podpory połączenia tarcz z fundamentem (podłoŝem) Podpora sztywno-przesuwna umoŝliwia przesuw w wybranym kierunku

53 Podpory połączenia tarcz z fundamentem (podłoŝem) Podpora sztywno-przesuwna umoŝliwia przesuw w wybranym kierunku teoretycznym punktem zamocowania jest punkt A

54 Połączenia tarcz ze sobą tarcze połączone przegubowo tarcze połączone sztywno

55 Połączenia tarcz ze sobą tarcze połączone przegubowo tarcze połączone sztywno

56 ObciąŜenia czynne siła skupiona moment skupiony obciąŝenie rozłoŝone równomiernie [N] [Nm] [N/m] P Q, G, P,... M M,... q,..., i, i

57 Wyznaczenie reakcji w układach płaskich (GN, SW) 1. Narysować schemat statyczny układu

58 Wyznaczenie reakcji w układach płaskich (GN, SW) 2. Narysować schemat obliczeniowy układu przyjąć układ współrzędnych

59 Wyznaczenie reakcji w układach płaskich (GN, SW) 2. Narysować schemat obliczeniowy układu połączenia zastąpić reakcjami (uwolnić z wiezów)

60 Wyznaczenie reakcji w układach płaskich (GN, SW) 3. Napisać równania równowagi statycznej Σ P ix = 0 : RB x + P 2P cos30 = 0

61 Wyznaczenie reakcji w układach płaskich (GN, SW) 3. Napisać równania równowagi statycznej Σ P iy = 0 : RA + RBy 3P 2P sin30 = 0

62 Wyznaczenie reakcji w układach płaskich (GN, SW) 3. Napisać równania równowagi statycznej ΣM i B = 0 : R A 2b + 3P b + 2P cos30 b + P b = 0

63 Wyznaczenie reakcji w układach płaskich (GN, SW) 4. Rozwiązać równania równowagi statycznej R x + P 2P cos30 0 (1) B = R + R y 3P 2P sin30 0 (2) A B = R 2b + 3P b + 2P cos30 b + P b 0 (3) A = z (1): R x = 2P cos30 P = ( 3 1) P B z (3): 2 A R b = 3P b + 2P b cos30 + P b 2R A b = (4 + 3) P b z (2) + (4) 3 R = P A (4) RB y = 3P + 2P sin30 RA = 4P P 2 = 2 3 P 2

64 Wyznaczenie reakcji w układach płaskich (GN, SW) 4. Rozwiązać równania równowagi statycznej R P + = A R x )P 1 3 ( B = R y P = B

65 Wyznaczenie reakcji w układach płaskich (GN, SW) 5. Dokonać sprawdzenia (suma momentów względem innego punktu) ΣM ia = R Bx b + R By 2b + P b 3P b 2P sin30 2b + P b = = ( 3 1) P b + (4 3) P b + P b 3P b 2P b + P b = 0

66 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie ślizgowe rozpatrzmy tarczę o małej wysokości w porównaniu z długością tarcza spoczywa na powierzchni płaskiej powierzchnie styku tarczy i podłoŝa są szorstkie

67 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie ślizgowe układ sił (tarcza w spoczynku) Q cięŝar tarczy, Q = m g N nacisk podłoŝa na tarczę (reakcja podłoŝa) Σ P iy = 0 : Q + N = 0 N = Q

68 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie ślizgowe układ sił (tarcza w ruchu) Q cięŝar tarczy, Q = m g N nacisk podłoŝa na tarczę (reakcja podłoŝa) P siła pozioma przyłoŝona do tarczy T siła tarcia ślizgowego Σ P ix = 0 : P T = 0 P = T Σ P iy = 0 : Q + N = 0 N = Q

69 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie ślizgowe Prawo Coulomba (w warunkach równowagi granicznej) T = µ N µ współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego rozwiniętego), z zakresu 0 < µ < 1 N nacisk podłoŝa na tarczę (wypadkowa) siła tarcia T ma zwrot przeciwny do siły P (przeciwny do kierunku ruchu tarczy)

70 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie ślizgowe po przekroczeniu równowagi granicznej następuje ruch ciała w kierunku działania siły P siłę przesuwającą P = Pgr wyznaczamy w kaŝdym zadaniu oddzielnie P = T = µ N gr

71 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie ślizgowe rozpatrzmy tarczę spoczywającą na równi pochyłej przy pewnej wartości kąta φ tarcza zacznie się zsuwać

72 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie ślizgowe rozpatrzmy tarczę spoczywającą na równi pochyłej przy pewnej wartości kąta φ tarcza zacznie się zsuwać warunki równowagi układu Σ = 0 : T = Q sinφ P ix Σ = 0 : N = Q cosφ P iy sin φ T = µ N Q sin φ = µ Q cosφ µ = = tgφ cosφ φ kąt tarcia, kąt nachylenia równi pochyłej, przy którym ciało (tarcza) zaczyna się zsuwać

73 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie ślizgowe rozpatrzmy tarczę spoczywającą na równi pochyłej przy pewnej wartości kąta φ tarcza zacznie się zsuwać warunki równowagi układu Σ = 0 : T = Q sinφ P ix Σ = 0 : N = Q cosφ P iy sin φ T = µ N Q sin φ = µ Q cosφ µ = = tgφ cosφ φ kąt tarcia, kąt nachylenia równi pochyłej, przy którym ciało (tarcza) zaczyna się zsuwać

74 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie toczne (opór toczenia) rozpatrzmy ciało sztywne typu walec, kula, baryłka model płaski krąŝek o promieniu r

75 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie toczne (opór toczenia) O geometryczny środek krąŝka A teoretyczny punkt podparcia krąŝka (punkt styku z podłoŝem)

76 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie toczne (opór toczenia) układ sił (ciało w spoczynku) Q cięŝar tarczy, Q = m g N nacisk podłoŝa na krąŝek (reakcja podłoŝa) Σ P iy = 0 : Q + N = 0 N = Q

77 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie toczne (opór toczenia) przesunięcie teoretycznego punktu podparcia A w kierunku działania siły P o wielkość f pochylenie reakcji podłoŝa (pojawienie się składowej poziomej H) f współczynnik tarcia tocznego (ramię oporu toczenia) [m]

78 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie toczne (opór toczenia) układ sił (ciało w ruchu) Q cięŝar tarczy, Q = m g N nacisk podłoŝa na krąŝek (reakcja podłoŝa) P siła pozioma przyłoŝona do krąŝka w punkcie O H składowa pozioma reakcji podłoŝa

79 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie toczne (opór toczenia) układ sił (ciało w ruchu) Σ P ix = 0 : P H = 0 H = P Σ P iy = 0 : Q + N = 0 N = Q f M i = 0 : N f H r = 0 H = N = Q r Σ O f r

80 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie toczne (opór toczenia) warunek toczenia H < µ N w przeciwnym przypadku nastąpi poślizg krąŝka

81 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie toczne (opór toczenia) po przekroczeniu równowagi granicznej następuje toczenie się krąŝka w kierunku działania siły P siłę P = Pgr wyznaczamy w kaŝdym zadaniu oddzielnie P = H = N gr f r

82 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie cięgna o krąŝek (tarcie opasania) rozwaŝmy nieruchomy krąŝek

83 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie cięgna o krąŝek (tarcie opasania) przez krąŝek przełoŝono (lub owinięto) cięgno (pas, lina), element wiotki przenoszący tylko siłę rozciągającą zakładamy, Ŝe cięgno jest nieodkształcalne cięgno przełoŝone przez krąŝek przyjmuje kształt krąŝka

84 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie cięgna o krąŝek (tarcie opasania) przez krąŝek przełoŝono (lub owinięto) cięgno (pas, lina), element wiotki przenoszący tylko siłę rozciągającą zakładamy, Ŝe cięgno jest nieodkształcalne cięgno przełoŝone przez krąŝek przyjmuje kształt krąŝka krąŝek zmienia kierunek siły przenoszonej przez cięgno

85 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie cięgna o krąŝek (tarcie opasania) pomiędzy cięgnem a powierzchnią krąŝka występuje tarcie µ współczynnik tarcia ślizgowego (rozwiniętego) cięgna o krąŝek α kąt opasania [rad]

86 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie cięgna o krąŝek (tarcie opasania) naciągi lin po obu stronach krąŝka są róŝne P > R siła czynna > siła bierna

87 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie cięgna o krąŝek (tarcie opasania) naciągi lin po obu stronach krąŝka są róŝne P > R siła czynna > siła bierna

88 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie cięgna o krąŝek (tarcie opasania) P = R e R = P e µα µα

89 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie przykład Wyznaczyć wartości cięŝaru krąŝka G min i G max w punktach równowagi granicznej. 3 4 Dane: Q, R, f = 0, 05R, µ = 0, 5, µ 1 = 0, 2, sin β =, cos β = 5 5

90 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie przykład Wyznaczmy graniczną wartości cięŝaru krąŝka min G. Bloczek o cięŝarze Q zsuwa się w dół, natomiast krąŝek porusza się do góry

91 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie przykład Σ P ix = 0 : 1 G sin β H = 0 Σ P iy = 0 : 1 G cos β = 0 S (1) N (2) ΣM i O = 0 : 1 f S1 R H 2R = 0 N (3)

92 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie przykład S 2 > S 1 S µ 1α 1 = S2 e (4)

93 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie przykład Σ P ix = 0 : cos β T S2 = 0 Σ P iy = 0 : 2 Q sin β = 0 Q (5) N (6) T = µ N 2 (7)

94 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie przykład G sin β 0 S 1 H = (1) G cos 0 N 1 β = (2) 2R 0 N 1 f S1 R H = (3) S µ 1α 1 = S2 e (4) cos β T S2 = 0 Q (5) Q sin β 0 N 2 = (6) T = µ N 2 (7) z (2): N G cos β 1 = (8) f R G f (1) + (9) = = cos α sinα 3 R (8) do (3): G cos β S1 2H = 0 (9) H (10)

95 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie przykład S G sin β H 0 (1) 1 = N G cos β 0 (2) 1 = N f S R H 2R 0 (3) S 1 1 = µ 1α 1 = S2 e (4) Q cos β T S2 = 0 (5) N Q sin β 0 (6) 2 = T = µ N 2 (7) G f (10) do (9): 1 = G sinα + H = 2sinα + cosα 3 R z (6): N Q sin β S (11) 2 = (12) (12) do (7): T = µq sin β (13)

96 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie przykład S G sin β H 0 (1) 1 = N G cos β 0 (2) 1 = N f S R H 2R 0 (3) S 1 1 = µ 1α 1 = S2 e (4) Q cos β T S2 = 0 (5) N Q sin β 0 (6) 2 = T = µ N 2 (7) (13) do (5): S2 = Q (cos β µ sin β) (14) (11) i (14) do (4): G 2sin β + 3 f R cos β = Q (cos β µ sin β)e µ 1α

97 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie przykład G min = G cos β µ sin β = 3 Q e f 2sin β + cos β R µ 1α po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy 4 3 0,5 π 0,2 G min = 3 e Q 3 0,05R R 5 0,8836Q

98 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie przykład Analogicznie wyznaczamy graniczną wartości cięŝaru krąŝka max G. Bloczek o cięŝarze Q porusza się do góry, natomiast krąŝek stacza się w dół

99 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie przykład G max = G cos β + µ sin β = 3 Q e f 2sin β cos β R µ 1α po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy ,5 π 0,2 G max = 3 e Q 3 0,05R R 5 3,8949Q

100 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie przykład układ będzie pozostawał w równowadze, jeśli spełnione będzie 0,8836Q G 3, 8949Q

101 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie przykład układ będzie poruszał się w prawo, jeśli spełnione będzie G < 0, 8836Q

102 Zagadnienia tarcia w układach płaskich Tarcie przykład układ będzie poruszał się w lewo, jeśli spełnione będzie G > 3, 8949Q