Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił.

Transkrypt

1 POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI Projekt wykonał: Krzysztof Wójtowicz Konsultacje: dr inż. Przemysław Litewka Obliczanie układów statycznie niewyznaczalnych metodą sił. Rama 5kN I I I I I 6kN/m I I [m] I I 0 50 cm II I cm E05GPa α t,*0 5 o C I,9*I

2 Układ podstawowy 5kN X X X X X 6kN/m X [m] Warunki kinematycznej zgodności układu rzeczywistego z układem podstawowym u ul u p 0 Xδ X δ X δ P 0 v vl v p 0 Xδ X δ X δ P 0 ϕ ϕd ϕ g 0 Xδ X δ X δ P 0 Stan p 5kN I I I I I 6kN/m a I I Va,5kN [m] b Hb5kN Vb6,5kN * V V b X : M a b H b : V ,5kN 5kN b * 5 * 6 * * V V a M a b : V z 9 00,5kN * 5* 6** 0

3 Wykres momentów w stanie p Mp [knm] Stan X Wykres momentów w stanie X I X X I I I I M [m] Va0 I I Vb0 Hb0 Stan X Wykres momentów w stanie X I X I X I I I M [m] Va0 I I Vb0 Hb0

4 Stan X Wykres momentów w stanie X I I I I I M [] Va0 I X X I Vb0 Hb0 δ δ δ 55,0 δ 5, *,9 δ δ 0 δ 5,7 δ δ M*M dx ( ***)* *[ δ ] (m*m*m) (m*m*m) m M* M dx 6 ( 9, * * * *) * M* M dx ( * * * * ) *,7 M * M *[ δ ] ( ***)* ( * *) * (m * m) (m * m) ( ** ) * *[δ ] (m * m * m) (m * m * m) m dx * ( * * * * ) * M* M dx ( ** * *) * 5,9 *[ δ ] (m * m * m) (m * m * m) m * [δ ] (m) (m) m ( * * ) * (* *) * *,9 m,67 *,9,67,67 *,9 6 *,9

5 Mp * M 6 * P dx ( *00 * * * ) * ( *00 ** * 5, 6 007,69 *,9 kn *[ ] (knm * m * m) (knm * m * m * m * m * m) knm m ** ) * P [ * * ( Mp * M dx ( *00 * * ) * 6 * *00 * 9) * * * * ]* 00 5,67 *,9, kn *[ ] (knm * m * m) [m * m(knm knm) * m * m * m] knm m P Mp * M dx ( * 9 * * 6 * * kn *[ ] (knm * m * m * m) knm m * *) * Ms MMM Sprawdzenie globalne współczynników M s [knm ] MsMs dx i k,7 MsMs dx [ ***( * *) [ *** * ***( * δ ik ***( *) * *) * ***( *** *) * *** *]*,69 **]* *,9

6 Sprawdzenie wierszowe współczynników Ms M [m] Ms * M 9,9 dx δ δ δ Ms * M dx [ * * * ( * ) * * * * ) * 9,9 [ * * ( * ) * * ]* *,9 Sprawdzenie kolumnowe współczynników Ms [knm] Mp [knm] 9 Ms*Mp,9 dx P P P Ms*Mp dx *00**( * )* [ *00**( * ) *9**( * ) *.9 * 6* **( * ) *9** * 6*,9 **6]*

7 Obliczenie nadliczbowych * 0 ) 5,9 *( X ) 9, *( X * 0, ),7 *( X ) 55,0 *( X * 0 007,7 ) 9, *( X ) 55,0 *( X ) 5,7 *( X 5,9*X 9,* X,,7* X 55,0*X 007,7 9,X 55,0*X 5,7*X knm X kn X kn X 9,5,7,9 [m] 9,5X 9,5X X,7 X,9 X,9 5kN,5 6,5 5 6kN/m Wykres momentów dla układu rzeczywistego 9,5 5,6 5,6,,5 0,0 0,0 6, 6, M[kNm]

8 Kontrola kinematyczna Do kontroli kinematycznej (zgodnie z twierdzeniem redukcyjnym) przyjmujemy nowy układ podstawowy i obliczamy przemieszczenie kątowe w punkcie b, które po wyliczeniu powinno wynieść 0 M o Va0 b Vb0 H b0 *** *5,6 *** *9,5 ϕ *,9 *,9 5,5 7,9 07,,7 0, 0 0, *00% 07, 0,% * ϕ M *M dx 0 *5,6 ** *,5 ** Wykresy sił normalnych i poprzecznych dla układu rzeczywistego o 6* * **,9,9 N[kN],7,,,7,7, T[kN],7 9,,,7,7,7,59,59,7 0,7 9,,,5 6,5

9 Dla miejsca zerowego siły poprzecznej znajdujemy wartość max. momentów. T(x) 6x, 0 x,m M(x) 6x M(,),5kNm,x 0,0 6, 6, M[kNm] 5,6 0,0 0,0 9,5 5,6,,5,5

10 Obciążenie zmianą temperatury tm5 C 0 C I I 0 C I 5 C I 5 C I 0 C I K 5 C I [m] I I 0 50 cm I I cm Układ podstawowy X X X X 0 C 0 C 5 C 5 C 0 C a Va X X 5 C [m] b Vb Hb Warunki kinematycznej zgodności układu rzeczywistego z układem podstawowym u ul u p 0 Xδ X δ X δ P 0 v vl v p 0 Xδ X δ X δ P 0 ϕ ϕd ϕ g 0 Xδ X δ X δ P 0 tm5 C to 7,5 C 0 C t 5 C 0 C to 7,5 C t 5 C 5 C to 0 C t 0 5 C to 7,5 C t 5 C 0 C to 0 C t 0 C 5 C [m]

11 Stan X Wykres sił normalnych w stanie X X X N[] Va0 Hb0 Vb0 Stan X Wykres sił normalnych w stanie X X X N[] Va0 Vb0 H b0 Stan X Wykres sił normalnych w stanie X N[/m] 0,5 0,5 Va0 X X Vb0 Hb0 0,5 0,5

12 Do obliczenia sił nadliczbowych od obciążeń spowodowanych zmianą temperatury został przyjęty układ podstawowy identyczny jak w przypadku obliczeń od obciążeń zewnętrznych, dlatego współczynniki δ, δ, δ, δ, δ, δ nie zmieniają swej wartości. Obliczamy tylko przemieszczenia po kierunku X,X,X ( P, P, P ) spowodowane zmianą temperatury. t ip N α t t odx Miα t dx i h ***5 5 **0 P,*0 [( *( 7,5)* *( 0)*) ( * )] 0,097[m] 0, 0, ***5 ***0 5 **5 P,*0 [(**( 7,5) ( )**( 0)) ( )] 0,0067 [m] 0, 0, 0, ***5 5 **0 P,*0 [(0,5**( 7,5) ( 0,5)**( 0) ( )] 0,007[] 0, 0, 6 kn 05GPa *060cm 05*0 *060*0 m 67kNm m X Obliczenia nadliczbowych 5,7 55,0 9, *( ) X *( ) X *( ) 0,097 0 * 55,0,7 X *( ) X *( ) 0, * 9, 5,9 X *( ) X *( ) 0,007 0 * X *(5,7) X *(55,0) X *(9,) 0,097* 67 0 X *(55,0) X *(,7) 0,0067* 67 0 X *(9,) X *(5,9) 0,007* ,7*X 55,0*X 9,X 6,7 55,0*X,7* X 6,75 9,* X 5,9*X,7 X,66 kn X 0,57 kn X,75 knm

13 X,66 X,66 X0,57 X0,57 X,75 Hb0 Va0 X,75 [m] Vb0 Wykres momentów od zmiany temperatury,, M[kNm],6,6 5,09 6,7,75 5,09 5,09 Kontrola kinematyczna Do kontroli kinematycznej (zgodnie z twierdzeniem redukcyjnym) przyjmujemy nowy układ podstawowy i obliczamy wzajemne przemieszczenie kątowe w punkcie a, które po obliczeniu powinno wynieść 0 M a Va0 Hb0 Vb0

14 0,5 N[/m] 0,5 0,5 0,5, Wykres momentów od zmiany temperatury, M[kNm],6,6 5,09 6,7,75 5,09 5,09 ϕ [ 0 ** 0, ***( * ϕ *,6 _ M *M *,) dx *** _ M αt t h dx *,75]* 67*,9 (,6 6,7) ( 0,5)**( 7,5) 0,5**( 0)] [ _ Nαttodx 0 5 5,*0 *[ *** 0, **] 67 Wykresy sił normalnych oraz poprzecznych spowodowanych zmianą temperatury 7 9,77*0 rad 0 0,57,66,66,57 0,57,57,66 0,57 0,57 0,9,75 N[kN] T[kN] 0,57,66,66,57,57 0,57,66 0,57 0,57 0,9,75

15 Przemieszczenie pionowe punktu K od temperatury Przyjmujemy dowolny układ podstawowy ( zgodnie z twierdzeniem redukcyjnym) i obliczamy przemieszczenie w pkt. K I I I I I M[m] V a 0,5 I K I H b 0 V b 0,5 Wykres momentów od zmiany temperatury,, M[kNm],6,6 5,09 6,7,75 5,09 5,09 δ t [ * * *( *6,7 *,6) * * *5,09]* 0 ( * * * *,*0 0, 5 ) * 0,0009[m] Przemieszczenie pionowe punktu K od obciążenia zewnętrznego Do obliczenia przemieszczenia od sił zewnętrznych posłużymy się tym samym układem podstawowym, co powyżej. 6, 6, M[kNm] 5,6 0,0 0,0 9,5,5, 5,6,5 δ [ P * * *( *0,0 6* * * * * ]* *,) 0,097[m] 6* * * * * * * *( *,5 *5,6)

16 Kratownica G EA D EA K,5EA S,5EA α 5 sinα cosα 0, 707 o 0 kn 0 kn 7 5,66 α5 5 6 α5 9 0 α5 α x SSN Układ podstawowy 0 kn 0 kn X A B X C x X Warunki kinematycznej zgodności układu rzeczywistego z układem podstawowym Vc 0 δx δx P 0 AB 0 δx δx P 0

17 Stan P 0 kn 0 kn x *w przypadku, gdy pręt 7 nie jest obciążony siłą X wartość siły normalnej w tym pręcie wynosi 0 i nie uwzględniamy tego pręta na rysunku Np [kn] , ,,, Stan X X X x

18 0,707 N [] 0,707 0,707 0,707 Stan X x X N [],,,

19 Tabela z obliczeniami współczynników δ,δ,δ δ, P, P, zestawienie sił normalnych dla układu rzeczywistego w poszczególnych prętach oraz kontrola kinematyczna. *kreska w tabeli oznacza wartość równą Lp. L (NN)L (NN)L (NN)L (NNp)L (NNp)L N(H)[] dla N*N(H)*L Np [kn] N [] N [] N [kn] EA EA EA EA EA EA H EA 0 0 6,000 60,000,9 0,999 7, ,707,999 6,000 5,656 5,50 70,000,5 0,666, ,000 0,000,77 0, 9, , , 70,7 0, 7,5 77, 6,770 0,7,0 6,7 0 0,707,,667,5 56,560 0,000 6,9 0, 5,96 7, 0 0,77,7 0,,,,77 7,5 5,5 60, 6,0,75 0,7 5,5 9,7 0 0,707,,667,5 56,560 0,000 6,9 0, 5,96 0,, 0, 7,5 6,0,5 0,7,,7 0 0,667 0,000 5,7 0,,5,, 0 0, 0, , ,000 70,000 0,5 0,666, ,707,999,000, 69,60 0,000 5,75 0, 7, , ,000 0 δ, 06,6,9 5,07 670, 0,06 EA EA EA EA EA EA *kolumna zawiera zestawienie numeracji prętów * w kolumnie dla prętów o sztywności EA ( oraz 7) została podana długość prętów natomiast dla prętów o sztywności,5ea (5) długość prętów została podzielona przez,5 w celu ujednolicenia sztywności. *Kolumna 5 zawiera zestawienie sił normalnych dal poszczególnych stanów *Ostatni wiersz kolumn 60 zawiera obliczone współczynniki δ,δ,δ δ, P, P N N N N obliczone ze wzoru δ i k L ; i P ik ip L EA EA *Kolumna zawiera zestawienie sił normalnych dla układu rzeczywistego *Kolumna zestawienie sił normalnych N(H) powstałych od siły H (patrz poniżej Kontrola kinematyczna ) *Wiersz ostatni kolumny przemieszczenie punktu A (patrz poniżej Kontrola kinematyczna ) Po podstawieniu wartości z tabeli do równań kinematycznej zgodności otrzymujemy,,9 5,07 X X 0 EA EA EA,9 06,6 670, X X 0 EA EA EA *EA *EA,X,9X 5,07 X,7 kn,9x 06,6X 670, X 5,7 kn Obliczenia sił normalnych w kratownicy zostały przedstawione w tabeli powyżej (kol.) Do obliczenia sił posłużono się zasadą superpozycji korzystając ze wzoru: Np X N X N N

20 Wykres sił normalnych dla układu rzeczywistego 0 kn N[kN] 0 kn,9,5,7 0 6,770 6,9,75,7 6,9,5 5,7, 0,5 5,75 0 X5,7 Kontrola kinematyczna Przyjmujemy nowy układ podstawowy (zgodnie z tw. redukcyjnym). 0 kn 0 kn H A X X x Obliczamy przemieszczenie po kierunku H(A), które w naszym przypadku powinno wynieść 0 δ A 0

21 Stan H H A , kn Wykres sił normalnych od H N(H) [] 0,999 0,666 0, 0,7 0, 0,7 0, 0,7 0, A 0,666 0, Zgodnie z zasada pracy wirtualnej oraz twierdzeniem redukcyjnym nasze przemieszczenie obliczamy ze wzoru; N N(H) δ A L EA Obliczenia zamieszczono w tabelce powyżej. 0,06 Wartość obliczonego przemieszczenia wynosi δ A, co stanowi błąd rzędu 0,0%, EA zatem możemy przyjąć, że nasze przemieszczenie jest równe 0