MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

Transkrypt

1 dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli

2 Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki pręta jest odniesiony do jego powierzchni środkowej. Oznacza to, że pręt zastępujemy pewna powierzchnią będącą miejscem geometrycznym punktów równo oddalonych od obydwu powierzchni zewnętrznych jego powłoki.

3 Krzywą powstałą w wyniku przecięcia powierzchni środkowej płaszczyzną prostopadłą do osi pręta nazywamy linią środkową przekroju (konturem). Zakładamy, że ścianka nie traci stateczności przy deformacji i pomijamy naprężenia miejscowe związane z lokalnym przyłożeniem siły. Pomijamy też zjawiska koncentracji naprężeń w punktach ostrego załamania ścianki przekroju, wbudowania przewiązek, przepon itp. Mogą one osiągać znaczne wartości. Przyjmujemy, że spełnienie powyższych warunków dotyczących sposobu obciążenia pręta zapewniono odpowiednimi zabiegami konstrukcyjnymi.

4 Przekrój pręta podczas skręcania przestaje być płaski Zarówno obciążenia jak i reakcje oddziaływają na pręt w miejscach przewidzianych konstrukcyjnie, tzn. nie może być takich sił skupionych, których składowe oddziaływają prostopadle do nie przygotowanej do tego powłoki pręta.

5 Przy opisie problemu zastosujemy trzy prawoskrętne układy odniesienia: 1. Układ globalny η i kartezjański, ortogonalny, względem którego zdefiniowano geometrię całego obiektu i zbudowano równania równowagi. Oś η 1 jest równoległa do tworzących powłoki pręta, a osie η i η są głównymi sprowadzonymi środkowymi osiami bezwładności przekroju poprzecznego. Układ krzywoliniowy (η,s) definiujący położenie rozpatrywanego punktu K na powierzchni środkowej (η η 1 ), będącą miejscem geometrycznym punktów równo oddalonych od obydwu powierzchni zewnętrznych powłoki pręta.

6 . Układ lokalny ξ i kartezjański, ortogonalny, styczny do powierzchni środkowej, względem którego określamy przemieszczenia u i oraz odkształcenia ε i, γ ij w punkcie K(ε i = η 1 ) ξ 1 ξ η 1 s K powierzchnia środkowa η=η 1 η ξ η Rys. Układy odniesienia stosowane w teorii prętów cienkościennych.

7 Materiałom składnikowym przypisane są następujące znane stałe materiałowe: - moduł Younga E i, - współczynnik Poissona i, - moduł Kirchoffa G i, - gęstość ρ i. Grubość powłoki pręta δ(η,s) może zmieniać się wraz ze zmianą współrzędnych η 1 i s. Podobnie przyjęto, że stałe materiałowe są również zależne od η 1 i s: E=E(η,s), G=G(η,s), =(η,s), ρ=ρ(η,s).

8 Dla określenia przemieszczenia punktu K przekroju zastosujemy współrzędne u i dane w układzie ξ i Dla określenia zachowania się całego przekroju użyto przesunięcia o współrzędnych i i obroty o współrzędnych ϕ i w układzie η i Przyjęto przy tym równoważne oznaczenia dla obrotu pręta wokół osi podłużnej ϕ 1 = Θ. Natomiast ϕ i ϕ są obrotami przekroju poprzecznego wokół jego głównych środkowych sprowadzonych osi bezwładności

9 Przyjmujemy, że zwroty dodatnie obciążeń zewnętrznych i sił przekrojowych są ustalone względem osi η i. Obciążenia przyłożone do pręta mogą być skupione, bądź ciągłe, o współrzędnych m i, q i danych w układzie η i.

10 W powłoce pręta panuje płaski stan naprężenia (PSN). Oznacza to, że w lokalnym układzie odniesienia σ =σ =σ =σ 1 = σ 1 =0.

11 Stąd przyjmujemy, że stan naprężenia w powłoce pręta jest reprezentowany przez poniżej zdefiniowane: -strumień naprężeń normalnych σ= σ(η,s)= σ 1 (η,s)δ(s) -strumień naprężeń stycznych: τ(η,s)= σ 1 (η,s)δ(s), 1 g d przy czym σ = ( σ + σ ) 1 1 1

12 oraz naprężenia de Saint-Venanta σ 1 δ s d g 1 = ( σ1 σ1) ξ

13 Powierzchnia środkowa PC ulega odkształceniom postaciowym γ = γ 1 ( η, ξ) = γ 1 ( η, s) = τ ( η, s) G( s) δ ( s) Oprócz podanych oznaczeń dla punktu K przekroju o współrzędnych η i posłużmy się następującymi wielkościami określającymi również jego położenie:

14 n, t odległość od punktu A, zwanego biegunem, odpowiednio od stycznej i normalnej do osi środkowej, α kąt nachylenia linii środkowej przekroju do osi 0η. Rys..6.

15 Definicja. Jako teorię 1-P (pierwszego przybliżenia), określamy taką teorię, w której odkształcenia postaciowe powierzchni środkowej PC są wynikiem TYLKO czystego skręcania. Tak więc w teorii 1-P obowiązuje: γ = γ ( s) = τ ( s) G( s) δ ( s) W przypadku przekrojów otwartych można stosować założenie (Własowa), że γ = 0

16 Definicja. Jako teorii -P i N-P kolejnych przybliżeń, odkształcenia γ i deplanacja przekroju zależą od wszystkich sił przekrojowych. Tak więc w teorii 1-P obowiązuje: γ = γ ( s) = τ ( s) G( s) δ ( s) W przypadku przekrojów otwartych można stosować założenie (Własowa), że γ = 0.

17 . Przemieszczenia i stan naprężenia przekroju. Przemieszczenia i stan naprężenia przekroju Kluczowym punktem teorii PC jest wyznaczenie przemieszczeń przekroju. Jeżeli znamy przemieszczenia możemy określić naprężenia, a następnie siły przekrojowe. Rozpatrzmy dwa szczególne przypadki przemieszczenia dla punktów związanych z przekrojem, wywołane przemieszczeniami uogólnionymi: Przesunięciami liniowymi osi pręta o składowych i Obrotem osi Θ wokół pewnego punktu A.

18 . Przemieszczenia i stan naprężenia przekroju Weźmy linię środkową przekroju przedstawioną na poniższym rysunku.

19 . Przemieszczenia i stan naprężenia przekroju Punkt B doznaje, przy ruchu sztywnym przekroju, obrotu Θ oraz przemieszczeń liniowych B i B. Są one sumą przemieszczeń całego przekroju: i oraz przemieszczeń dodatkowych i wynikających z jego obrotu o kąt Θ, co zapisujemy:. ) (, ) ( :,, Θ = Θ = + = + = A B A B B B gdzie η η η η (.1) Po podstawieniu otrzymujemy ostatecznie:. ) (, ) ( Θ + = Θ = A B B A B B η η η η (.)

20 . Przemieszczenia i stan naprężenia przekroju Znajdziemy teraz punkt, który nie doznaje przesunięcia. Podstawiając powyższego wzoru B = B =0, otrzymamy: η B = η A Θ Θ, η = η B A +. (.) Są to współrzędne punktu B nie zmieniającego swego położenia w płaszczyźnie przekroju pręta. Wszystkie inne punkty ulegają przesunięciom liniowym i obrotowi.

21 .1. Przemieszczenia punktu leżącego na linii środkowej przekroju.1. Przemieszczenia punktu leżącego na linii środkowej przekroju dane w układzie lokalnym Rozpatrzmy linię środkową przekroju podaną na rysunku. Pokazano tam przemieszczenia ik punktu K w układzie globalnym η i pręta. Rzutując je na osie układu lokalnego ξ i piszemy: u = K cosα + K sinα, (.4) u = K sinα + K cosα. (.5)

22 .1. Przemieszczenia punktu leżącego na linii środkowej przekroju Rys..1.