Obliczanie sił wewnętrznych w powłokach zbiorników osiowo symetrycznych

Transkrypt

1 Zakład Mechaniki Budowli Prowadzący: dr hab. inż. Przemysław Litewka Ćwiczenie projektowe 3 Obliczanie sił wewnętrznych w powłokach zbiorników osiowo symetrycznych Daniel Sworek gr. KB2 Rok akademicki 10/11 Semestr 2, II

2 SPIS TREŚCI: 1. Dane do ćwiczenia Cel ćwiczenia Obliczenie sił wewnętrznych w stanie błonowym Powłoka stożkowa Powłoka walcowa Obliczenie współczynników podatności oraz wartości sił nadliczbowych Powłoka stożkowa powłoka walcowa Powłoka walcowa ława pierścieniowa Obliczenie całkowitych sił wewnętrznych stan zgięciowy Powłoka stożkowa Powłoka walcowa Porównanie wykresów sił wewnętrznych w stanie błonowym i zgięciowym Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 2 -

3 1. Dane do ćwiczenia Wysokość powłoki stożkowej [m] f= Wysokość ściany walcowej [m] h= 5,50 Promień ściany walcowej [m] r= 8,00 Grubość powłoki stożkowej [m] t 1= 0,105 Grubość ściany walcowej [m] t 2= Szerokość ławy pierścieniowej [m] b= Wysokość ławy pierścieniowej [m] h b= 0,80 Ciężar właściwy cieczy [kn/m 3 ] γ c= 11,0 Ciężar właściwy betonu [kn/m 3 ] γ= 25,0 Moduł Young'a [GPa] E= 35 Współczynnik Poissona [-] ν= 0,17 Sztywność podłoża [kn/m 3 ] C= Obciążenie śniegiem [kn/m 2 ] p= 0,80 Obciążenie ciężarem własnym [kn/m 2 ] g=γ t 1= 2,63 Obciążenie parciem cieczy [kn/m 2 ] p c=γ c h= 60,5 Schemat układu wraz z danymi Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 3 -

4 2. Cel ćwiczenia Dla układu przedstawionego powyżej: 1) Obliczyć siły wewnętrzne w stanie błonowym: - siły normalne południkowe i równoleżnikowe w powłoce stożkowej od obciążenia śniegiem p i ciężarem własnym g (ciężar właściwy γ), - siły normalne obwodowe w powłoce walcowej od obciążenia hydrostatycznego przy maksymalnym napełnieniu cieczą o ciężarze właściwym γ c ; 2) Obliczyć współczynniki podatności oraz siły nadliczbowe w połączeniach: - powłoka stożkowa powłoka walcowa, - powłoka walcowa ława fundamentowa na podłożu podatnym o sztywności C; 3) Obliczyć całkowite siły wewnętrzne (w stanie błonowym i zgięciowym): - siły normalne południkowe i równoleżnikowe oraz momenty zginające południkowe w powłoce stożkowej, - siły normalne obwodowe oraz momenty zginające południkowe w powłoce walcowej; 4) Sporządzić porównawcze wykresy sił wewnętrznych obliczonych w punktach 1) i 3). 3. Obliczenie sił wewnętrznych w stanie błonowym 3.1. Powłoka stożkowa Długość tworzącej powłoki stożkowej: Sztywność powłoki stożkowej: Współczynnik zanikania: = = + =8,0 + =8, , = ,17 =3476,89 = 8,46 0, tan = 3 1 0,17 tan =1,23 18,97 Siła normalna południkowa: = 2 sin 2,63 2 sin cos= 2 sin 18,97 0,80 2 sin 18,97 cos18,97= 16,024 Siła normalna równoleżnikowa: = cot cot cos= 2,63 cot 18,97 0,80 cot 18,97 cos18,97= 28,661 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 4 -

5 SIŁY W STANIE BŁONOWYM od obciążenia ciężarem własnym oraz śniegiem x [m] n φ0 [kn/m] n ϑ0 [kn/m] -4,05-7,15-8,10-14,31-12,15-21,46-16,21-28,62-20,26-35,77-24,31-42,93-28, ,41-57,24-36,46-64,39-40,51-71,55-44,57-78,70 Z uwagi na symetrię powłoki stożkowej, wykresy wykonano dla jej połowy. Siła południkowa w stanie błonowym[kn/m] -45,0-44, ,0-36,05-32, ,04-25,0-24, ,0-16,02-12, ,01-5,0-4, ,82 Siła równoleżnikowa w stanie błonowym[kn/m] ,65-64,49-57,32-50,16-42,99-35,83-28, ,33-7,17 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 5 -

6 3.2. Powłoka walcowa Sztywność powłoki walcowej: Współczynnik zanikania: Siła normalna obwodowa: = = ,17 =46929,17 = = 1 8, ,17 =0,92 = =11,0 8,0 =88,0 SIŁA W STANIE BŁONOWYM od parcia hydrostatycznego x' [m] n φ0 [kn/m] 44,00 88, , ,00 264,00 3,50 308,00 4, ,50 396,00 5, ,50 484,00 Z uwagi na symetrię powłoki walcowej, wykresy wykonano dla jej połowy. Rzędna wysokości powłoki walcowej 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 Siła obwodowa w stanie błonowym[kn/m] 5 44,00 88, , , , , ,00 50 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 6 -

7 4. Obliczenie współczynników podatności oraz wartości sił nadliczbowych 4.1. Powłoka stożkowa powłoka walcowa Schemat podstawowy: Rozpór stożka: = cos= 44,07 cos18,97=41,68 / Równania kanoniczne: =0 =0 + + =0 + + =0 Gdzie współczynniki podatności składają się z następujących części: = =0 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 7 -

8 Wyznaczenie współczynników podatności: a) Dla dolnej krawędzi powłoki stożkowej: = 2 cos 2 8,46 = 1, ,105 cos 18,97=2, = = sin= 1, ,89 sin18,97=7, = = 1, ,89 =3, = cot + 2 cos = = cot18, ,105 78,82 0,17 44, ,68 8,46 + 1, ,105 cos 18,97 =1, = cot sin= 2 cot 18,97 = ,105 28,661 0,17 16, ,17 78,82+44, ,68 1, ,89 sin18,97=2, b) Dla górnej krawędzi powłoki walcowej: 1 = 2 = ,17 0,92 =1, = = 1 2 = 1 = 1, ,17 0,92 = 1 = ,17 0,92 =2, = = = 8,0 11, = 8, Podstawiając wyliczone współczynniki do równań kanonicznych otrzymamy: 1, , , , , =0 1, , , , , , =0 Po zsumowaniu poszczególnych elementów równania kanoniczne przyjmują postać: 4, , , =0 5, , , =0 Rozwiązanie układu równań kanonicznych ma postać (wartości sił brzegowych): = 18,38 / = 4,57 / Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 8 -

9 Ćwiczenie projektowe 3 Obliczanie sił wewnętrznych w powłokach zbiorników osiowo-symetrycznych 4.2. Powłoka walcowa ława pierścieniowa Schemat podstawowy: Moment bezwładności przekroju ławy względem osi x : = h 12 = 0,80 =64 12 Moment bezwładności podstawy ławy względem osi 0 na jednostkę długości: Równania kanoniczne: = 1,0 12 = 1,0 12 =0,28125 / =0 =0 + + =0 + + =0 Gdzie współczynniki podatności składają się z następujących części: + Ł + + Ł + + Ł =0 + Ł + Ł Ł =0 Wyznaczenie współczynników podatności: a) Dla górnej krawędzi ławy pierścieniowej: Ł = Ł Ł = = Ł = h +4 = h +4 = +4 = 8,0 0, , , =3, ,0 0, , , =4, , , , =5, Ł Ł = = Grupa: KB2 Daniel Sworek strona - 9 -

10 b) Dla dolnej krawędzi powłoki walcowej: 1 = 2 = ,17 0,92 =1, = = 1 2 = 1 = 1, ,17 0,92 = 1 = ,17 0,92 =2, = h = 8,0 5,50 11, = 4, = 8,0 11,0 = =8, Podstawiając wyliczone współczynniki do równań kanonicznych otrzymamy: 1, , , , , =0 1, , , , , =0 Po zsumowaniu poszczególnych elementów równania kanoniczne przyjmują postać: 1, , , =0 8, , , =0 Rozwiązanie układu równań kanonicznych ma postać (wartości sił brzegowych): =29,34 / =5,90 / 5. Obliczenie całkowitych sił wewnętrznych stan zgięciowy 5.1. Powłoka stożkowa Siła normalna południkowa: = + + = 2 cos cos+ 4 = 2 Siła normalna równoleżnikowa: = + + = 2 Moment zginający południkowy: = + Gdzie: cot sin cos = 2 2 sin cos+ 4 = sin sin = 2 sin+ 4 = += 16,44+41,68=25,23 / = /sin= /sin18,97=8,46 3,076 =/=8,46 3,076/=6,88 2,5 = cos=8,0 8,46 3,076 cos18,97=3,076 cos18,97=2,91 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

11 SIŁY W STANIE ZGIĘCIOWYM: n φ, n ϑ, M φ x [m] S [m] r 0 [m] η=s/λ [-] Siła południkowa [kn/m] Siła równoleżnikowa [kn/m] Mom. południkowy [knm/m] n φ0 n φp' n φm1 n φ n ϑ0 n ϑp' n ϑm1 n ϑ M φp' M φm1 M φ 8,46 6, ,69 0,73 6,25-4, ,01-7, , ,92 1,45 5,63-8,10 0, ,04-14,31 0,160-0,138-14, ,15 2,18 5,00-12,15 0,188-0,141-12,11-21,46 0,161-0,343-21, ,38 2,91 4,38-16,21 0,173-0,260-16,29-28,62-0,467-0,422-29,51-0, ,62 3,64 3,75-20,26-0,131-0,294-20,68-35,77-2,707 0,398-38,08-0,14 0,16 2 3,85 4,36 3,13-24, ,30-42,93-7,399 3,656-46,67 1 0,21 0,22 3,08 5,09-28,36-2,580 1,072-29, ,928 10,979-52,03 0,49 8 0,58 2,31 5,82 1,88-32,41-4,319 3,196-33,53-57,24-10, ,57 1,47-0,48 0,99 1,54 6,54-36,46-4,083 5,942-34,60-64,39 22,767 22,345-19,28 2,74-0,99 0,77 7,27 0,63-40,51 2,702 6,850-30,96-71,55 121,769-16,425 33,80 3,16-3,61-0,45 8,00-44,57 22, ,11-78,70 308, ,98 1-4,83-4,82 Wykresy sił wewnętrznych od sił nadliczbowych P 1 oraz M 1 : Siła południkowa od sił nadliczbowych P1, M1 [kn/m] -4,0-2,0 2,0 4, ,42-0,99-1,51-1,12 1,86 6,0 8,0 1 9,55 12,0 14,0 16,0 18,0 2 22,0 22,46 24,0 Siła równoleżnikowa od sił nadliczbowych P1, M ,18-0,89-2,31-3,74-1,95 10, ,11 105, ,68 18 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

12 Wykresy sił wewnętrznych w stanie zgięciowym (stan błonowy + stan od sił nadliczbowych P 1 oraz M 1 ): Siła południkowa w stanie zgięciowym [kn/m] -38,0-36,0-34,0-32, ,0-26,0-24,0-25,30-33,53-29,87-34,60-30,96-22, ,0-16,0-14,0-12,0-1 -8,0-6,0-8,04-12,11-16,29-20,68-22,11-4,0-4,01-2,0 2 2,0 Siła równoleżnikowa w stanie zgięciowym ,13-14,29-21,65-29,51-38,08-46,67-46, , ,28 33, ,98 Moment zginający południkowy [knm/m] -5,0-4,5-4,62-4,0-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5-0,48 0,5 1, ,21 0,54 0,93 0,91 1,5 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

13 5.2. Powłoka walcowa Siła normalna obwodowa: = = 6 1 cos = 6 1 cos = 6 1 cos sin Moment zginający południkowy: = = sin = cos +sin Gdzie: = 6 1 cos sin = sin = cos+sin = 18,38 / = 4,57 / =29,34 / =5,90 / SIŁY W STANIE ZGIĘCIOWYM: n φ, M x x' x=h-x' n φ0 n φp1 n φp2 n φm1 n φm2 n φ M xp1 M xp2 M xm1 M xm2 M x [m] [m] [kn/m] [knm/m] 5,50 271,67-0,97-63,14 0,65 208,20 0 0,184-4, ,46 5,00 44,00 153,24 0,40-17,88 0,72 180,47 5,587 0,312-3, ,93 4,50 88,00 65,01 3,58 4,89 0,41 161,89 6,302 0,422-2,571-0,127 4,03 4, ,51 9,16 12,62-0,65 165,64 4,892 0,415-1,350-0,202 3,75 3,50 176,00-11,70 17,02 12,29-2,87 190,74 3,016 0, ,38 3, ,17 25,30 8,86-6,53 229,46 1,461-0, ,211 3,00 264,00-15,85 29,00 5,11-11,31 270,96 0,450-2,332 0, ,68 3,50 308,00-10,67 18,68-15,69 302, ,815 0,198 0,641-4,05 4, ,74-19,96 0,51-16,10 310,70-0,260-7,808 0,158 1,723-6,19 4,50 396,00-2,24-103,77-0,32-6,24 283,42-0, ,100 3,282-6,94 5, ,59-0,56 22,83 217,42-0,195-8, ,986-4,08 5,50 484,00 0,61-433,63-0,51 80,59 131,06-0, ,902 5,80 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

14 Wykresy dla siły normalnej obwodowej: Rzędna wysokości powłoki walcowej 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50-2 Siła obwodowa od sił nadliczbowych P1 i M1 [kn/m] 2 0,59-9,31-10,74-8,41-5,23-2,56-0,81 0, , , , ,53 22 Rzędna wysokości powłoki walcowej ,04 Siła obwodowa od sił nadliczbowych P2 i M2 [kn/m] , , ,32 1,12 3,98 8,51 14,15 18,77 17,69 2, ,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 Rzędna wysokości powłoki walcowej 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 Siła obwodowa w stanie zgięciowym [kn/m] , ,20 180,47 161,89 165,64 190,74 229,46 217, ,96 302,57 310,70 283,42 32 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

15 Wykresy dla momentu zginającego południkowego: Moment południkowy od sił nadliczbowych P1 i M1 [knm/m] Rzędna wysokości powłoki walcowej -5,0-4,5-4,62-4,0-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,62 0,13-0,10-0,16-0,15-0,10 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 1,68 3,73 3,54 2,51 1,43 4,0 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 Moment południkowy od sił nadliczbowych P2 i M2 [knm/m] Rzędna wysokości powłoki walcowej 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50-7,0-6,0-5,0-6,09-6,78-4,0-3,0-4,17-3,93-2,0-2,29-1,0 1,0 0,16 0,30 0,21-0,14-0,93 2,0 3,0 4,0 5,0 5,90 6,0 Rzędna wysokości powłoki walcowej 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50-7,0 Moment południkowy w stanie zgięciowym [knm/m] -6,0-5,0-6,19-6,94-4,0-4,46 1,93-4,05-4,08-3,0-2,0-1,0-1,68 1,0 2,0 3,0 2,38 4,0 5,0 4,03 3,75 5,80 6,0 Grupa: KB2 Daniel Sworek strona

16 6. Porównanie wykresów sił wewnętrznych w stanie błonowym i zgięciowym -46,0-44,0-42,0 Siła południkowa [kn/m] - porównanie wyników -4-38,0-36,0-34,0-32, ,0-26,0-24,0-22,0 Siła południkowa w stanie zgięciowym -2-18,0-16,0-14,0-12,0-1 -8,0-6,0-4,0-2,0 2,0 Siła południkowa w stanie błonowym -8-6 Siła równoleżnikowa- porównanie wyników Siła równoleżnikowa w stanie zgięciowym Siła równoleżnikowa w stanie błonowym 18 Siła obwodowa [knm/m]- porównanie wyników Rzędna wysokości powłoki walcowej 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5, Siła obwodowa w stanie zgięciowym Siła obwodowa w stanie błonowym Grupa: KB2 Daniel Sworek strona