16. KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

Transkrypt

1 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE METODA SIŁ Obliczanie sił wewnętrznych Z rozważań poprzedniego rozdziału wynika, że istnieje ścisły związek między statyczną wyznaczalnością a geometryczną niezmiennością konstrukcji. Konstrukcja statycznie niewyznaczalna jest układem przesztywnionym, przy czym stopień przesztywnienia jest równy stopniowi statycznej niewyznaczalności, czyli liczbie brakujących równań niezbędnych do określenia pola statycznego. Podstawową metodą obliczania konstrukcji statycznie niewyznaczalnych jest tzw. metoda sił. Wywodzi się ona z następującego rozumowania. Konstrukcję statycznie niewyznaczalną można przekształcić w wyznaczalną (w tzw. układ podstawowy) przez usunięcie odpowiedniej liczby więzów i dodatkowe jej obciążenie reakcjami tych więzów (tzw. siłami nadliczbowymi). Liczba usuniętych więzów równa się stopniowi statycznej niewyznaczalności, a wartości sił nadliczbowych muszą być takie, by były spełnione kinematyczne warunki ciągłości (zgodności) przemieszczeń. Rys Rozważymy konstrukcję dwukrotnie statycznie niewyznaczalną, przedstawioną na rys. 16.1a. Przy przyjmowaniu układu podstawowego mamy dużo swobody, gdyż układów takich jest nieskończenie wiele. Przyjmiemy układ podstawowy zobrazowany na rys. 16.1b. Jest on statycznie wyznaczalny i geometrycznie niezmienny. Reakcje usuniętych więzów oznaczymy przez X 1 i X 2. Na obciążenie układu podstawowego składają się zarówno obciążenia zewnętrzne q i P, jak i siły nadliczbowe X 1 i X 2. Ponieważ przyczyny (tzn. siły nadliczbowe) i skutki (siły przekrojowe, reakcje) są powiązane liniowymi równaniami równowagi, niezależnie od charakterystyki fizycznej materiału obowiązuje zasada superpozycji zapisana zależnościami (15.3). Z zależności tych otrzymujemy następujące wyrażenia na wielkości statyczne w układzie niewyznaczalnym: R= R + R1X1+ R2X2, N = N + N1X1+ N2X2, (a) Q= Q + Q1X1+ Q2X2, M = M + M1X1+ M2X2, gdzie indeksem oznaczono wielkości statyczne występujące w statycznie wyznaczalnym układzie podstawowym, wywołane przez obciążenie zewnętrzne, natomiast indeksy 1 i 2 odnoszą się do wielkości statycznych w układzie podstawowym wywołanych odpowiednio przez obciążenia X 1 = 1 i X 2 = 1. Wymienione wyżej wielkości statyczne zestawiono na rys Wzór (a) opisuje nieskończenie wiele statycznie dopuszczalnych reakcji i pól sił wewnętrznych, gdyż wartości nadliczbowe X 1 i X 2 są na razie niewiadome. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

2 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 2 Rys Zwróćmy uwagę, że w układzie statycznie wyznaczalnym stan X 1 = 1 jest równoznaczny z występowaniem reakcji podporowych R 1 oraz sił wewnętrznych N 1, Q 1 i M 1. W konstrukcji statycznie niewyznaczalnej układ sił R 1, N 1, Q 1, M 1 pozostaje zatem w równowadze z zerowym obciążeniem zewnętrznym. Pod wpływem czynników zewnętrznych (obciążenie, temperatura, błędy wykonania, osiadanie podpór) układ niewyznaczalny zdeformuje się. Miarą tej deformacji są rzeczywiste uogólnione odkształcenia λ, β, k i związane z nimi rzeczywiste przemieszczenia uogólnione u, w, ϕ oraz rzeczywiste * osiadania podpór f. Ponieważ siły R1, N 1, Q 1, M 1 są statycznie dopuszczalne, a układ λ, β, k, u, w, ϕ i * f jest kinematycznie dopuszczalny, więc wielkości te spełniają równanie pracy wirtualnej (14.4) w układzie statycznie niewyznaczalnym: * ( N1λ + Q1β + M1k ) ds= ( qx1u+ qz1w+ my1ϕ) ds+ Rf1 f. s s f Po uwzględnieniu, że obciążenie zewnętrzne jest równe zeru, tzn. q x1 = q z1 = m y1 =, otrzymujemy bardzo ważną zależność: * (b) ( N1λ + Q1β + M1k ) ds= R f 1 f, s f gdzie symbol całkowania dotyczy wszystkich prętów konstrukcji, a sumowanie przedstawia pracę reakcji * R f1 na rzeczywistych przemieszczeniach podpór f w układzie statycznie niewyznaczalnym. Analogiczną zależność można ułożyć dla stanu X 2 = 1. Dysponujemy zatem następującymi równaniami: Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

3 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3 * (c) ( Niλ + Qiβ + Mik ) ds Rfi f =, i = 1, 2. s f Równania (c) są poszukiwanymi równaniami ciągłości lub tzw. warunkami zgodności przemieszczeń. Odnotujmy, że zależność (c) obowiązuje dla każdego materiału pod warunkiem, że jest słuszna zasada zesztywnienia, czyli gdy przemieszczenia są bardzo małe. Aby wyznaczyć wartości sił nadliczbowych, trzeba sprecyzować zależności fizyczne. Dla prętów wykonanych z materiału liniowo-sprężystego zależności te przyjmują postać (por. wzory (15.6)): (d) N 1 λ = + λ = ( N + N1X1 + N 2 X 2) + λ, EA EA Q k β = + β = ( Q + Q1 X1 + Q2 X 2) + β ( GA/ k) GA M 1 κ = + κ = ( M + M1X1 + M 2 X 2) + κ. EJ EJ, Po podstawieniu zależności fizycznych (d) do równań ciągłości (c) otrzymujemy układ równań algebraicznych do wyznaczenia sił nadliczbowych: (e) gdzie (f) 11X X2 + 1 =, 21X X2 + 2 =, NN i k QQ i k MM i k ik = + + ds, i, k = 12,. EA ( GA / k) EJ s i N N Q = i + + Q i + M M i ds EA GA k + EJ + λ β k ( / ) s f * Rfi f. Układ równań (e) nosi nazwę równań kanonicznych metody sił. Jest to układ równań liniowych ze względu na niewiadome siły nadliczbowe X 1 i X 2. Liniowość układu równań kanonicznych wynika z faktu, że materiał wszystkich prętów konstrukcji jest liniowo-sprężysty. Liniowe cechy materiału nadają współczynnikom ik własność symetrii, polegającą na tym, że ik = ki. Własność ta wynika z twierdzenia o wzajemności Bettiego (por. p.5.4), gdyż współczynniki ik mają sens przemieszczeń. Z budowy zależności (f) widać bowiem, że współczynnik ik oznacza przemieszczenie punktu przyłożenia jednostkowej siły nadliczbowej X i wywołane siłą nadliczbową działaniem X k = 1 w układzie podstawowym. Wyraz wolny i jest natomiast przemieszczeniem punktu przyłożenia siły X i wywołanym przez działanie czynników zewnętrznych w układzie podstawowym. Każde z równań kanonicznych wyraża zatem fakt, że przemieszczenie względne w kierunku działania danej siły nadliczbowej jest równe zeru. Odnotujmy, że liczba równań kanonicznych (tzn. warunków zgodności przemieszczeń) jest równa liczbie niewiadomych sił X i. Dla ilustracji obliczeń metodą sił wyznaczymy siły nadliczbowe X 1 i X 2 oraz sporządzimy ostateczne wykresy sił są wykonane z dwuteowników walcowanych, a ukośny pręt (tzw. zastrzał) połączony przegubowo jest rurą o stałym przekroju (por. rys. 16.1a): słupy (IPE 14): A = 16,4 1 4 m 2, J = m 4, k = 2,75, rygiel (IPE 22): A = 33,4 1 4 m 2, J = m 4, k = 2,8, zastrzał (rura 1/4): A = 12,6 1 4 m 2, J = m 4. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

4 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 4 Wszystkie pręty są wykonane ze stali o module sprężystości E = 2, 1 8 kn/m 2 oraz module ścinania G =, kn/m 2. Sztywności poszczególnych przekrojów wynoszą: Słupy Rygiel Zastrzał EA = ,4 1 4 = 32,8 1 4 kn, GA/k =, ,4 1 4 /2,75 = 4, kn, EJ = =, kn m 2, EA = ,4 1 4 = 66,8 1 4 kn, GA/k =, ,4 1 4 /2,8 = 8, kn, EJ = =, kn m 2, EA = ,6 1 4 = 24, kn. Współczynniki ik oraz i obliczymy według wzorów (f) z wykorzystaniem wykresów sił wewnętrznych podanych na rys (λ =, β =, k * =, f = ): , 4 6, , 4 8, = , 8 66, 8 24, , 895, ,,,, 24, 4 5, 67, + + = 182, 554, =, 78 +, 16 +, 27 +, 323 +, , , 863 = 67, 72 m / kn, 4 4 ( = 1 21 =, )(, ),(, ) , 4 66, 8 24, , ,,, + =, 16, , 575 = kn, 895,, 182, =,, + + +,, , 8 66, 8 24, , 895, ,, +,, =, 182, =, 68 +, 56 +, , , , 611 = 28, 3992 ( kn m). 4 ( =, ) ( ) ( + + +, ) + 32, 8 66, 8 24, , ( , ) (, ) ( +,,, ) + 895, 182, , 67, 24, , 67, 3 24, 5, + = 554, = 25, 26 12, , , , 86 = 2282, 53 m. 4, 167 4( ) ( = +, ) (, ) ( +, ) (, ) + 32, 8 66, 8 445,, 167 6, 5 ( ) ,, + 895, 182, , , 67, 6 5, + = 554, = 3, 94 +, , 6 + 5, , , 57 = 1544, 24rad. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

5 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 5 Układ równań kanonicznych (e) przybiera postać: 4 67, 72 X1 29, 69 X2 = 1 1, 4 29, 69 X1+ 28, 4 X2 = 2 1, a jego rozwiązanie można wyrazić, jak następuje: 4 28, 4 ( ), X 2 1 = =, , 2, 67, 72 28, 4 29, , 72 ( ), X 1 2 = = 285, , 2. 67, 72 28, 4 29, 69 Po podstawieniu wartości 1 i 2 otrzymujemy siły nadliczbowe: X 1 =,2726 ( 2282,53), ,24 = 18,2 kn, X 2 =,285 ( 2282,53), ,24 = 35,3 knm. Ostateczne wartości reakcji i sił wewnętrznych można wyznaczyć za pomocą równań (a). Innym sposobem jest ponowne obliczenie układu podstawowego poddanego działaniu obciążeń zewnętrznych oraz znanych już sił nadliczbowych X 1 i X 2. Reakcje i siły wewnętrzne w układzie niewyznaczalnym podano na rys Rys Z przytoczonych rachunków widać, że zginanie ma dominujący wpływ na wartości współczynników układu równań kanonicznych. Wniosek ten trzeba stosować z dużą ostrożnością, bo są konstrukcje, w których równie istotny jest wpływ wydłużeń. Do takich konstrukcji należą np. łuki ze ściągiem (rys. 16.4a). Ponieważ ściąg ma na ogół stosunkowo mały przekrój, wpływ jego wydłużenia jest bardzo Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

6 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 6 istotny i nie można go pominąć. Podobnie jest w kratownicach (rys. 16.4b), w których wydłużenia prętów są jedyną przyczyną pojawienia się przemieszczeń. Wpływ sił poprzecznych jest z reguły bardzo mały i nieomal zawsze można go pominąć. Wyjątek stanowią belki lub ramy wykonane z bardzo krępych prętów (np. fundamenty ramowe pod turbogeneratory), w których stosunek wysokości przekrojów do rozpiętości jest rzędu 1/1. Rys Ogólne sformułowanie metody sił dla konstrukcji prętowych W poprzednim podrozdziale sformułowano metodę sił dla konstrukcji płaskich obciążonych w swej płaszczyźnie. W ogólnym przypadku n-krotnie statycznie niewyznaczalnej konstrukcji przestrzennej występuje sześć uogólnionych naprężeń Y j i sześć uogólnionych odkształceń e j (j = 1, 2,..., 6): { Yj} = { N Qy Qz M My Mz} { e j} = { λβ, y, βz, θk, y, kz}.,,,,,, (16.1) Zasadę superpozycji dla reakcji R f i sił wewnętrznych Y j można zapisać następująco (por. wzory (a) z p ): n n Rf = Rf + RfiXi, Yj = Yj + YjiXi, (16.2) i= 1 i= 1 gdzie R fi oznacza f-tą reakcję, a Y ji j-tą siłę wewnętrzną w przyjętym układzie podstawowym, wywołane stanem X i = 1. Uogólnieniem zależności (c) z p są równania zgodności zapisane następująco: 6 Yji e j ds Rfi f i n = = *, 1, 2,...,. (16.3) s j= 1 f Zależności (16.2) i (16.3) są słuszne dla konstrukcji wykonanych z dowolnego materiału, wykazujących małe przemieszczenia. Wartości sił nadliczbowych można jednak obliczyć dopiero z chwilą określenia własności fizycznych materiału. Dla konstrukcji wykonanych z materiału liniowo-sprężystego związki fizyczne można zapisać następująco (por. wzór (15.6a)): Yj e j = + ej, j = 12,,..., 6, (16.4) Dj gdzie D j oznacza wektor sztywności przekrojów prętów: { Dj} { EA GA ky GA kz GJs EJy EJz} =, /, /,,,, (16.5) Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

7 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 7 a e j są uogólnionymi odkształceniami wywołanymi przez wpływy niemechaniczne. Po podstawieniu równania (16.1) do związków fizycznych (16.4) otrzymujemy: [ ] j j ji i j j e = ( Y + Y X )/ D + e, j = 12,,..., 6. (16.6) Uwzględnienie tych równań w warunkach zgodności przemieszczeń (16.3) prowadzi do układu równań kanonicznych metody sił: gdzie n ik Xk + i =, i = 1, 2,..., n, (16.7) i= 1 6 YjiY jk ik = ki = ds, D j j s = 1 6 Yj i = Yji + ej * ds Rfi f D j j. s = 1 f (16.8) Obliczanie przemieszczeń konstrukcji liniowo-sprężystych. Kontrola kinematyczna Załóżmy, że w statycznie niewyznaczalnym i liniowo-sprężystym układzie prętowym są obliczone siły wewnętrzne Y j, wywołane przez obciążenia zewnętrzne oraz odkształcenia niemechaniczne e j i * przemieszczenia podpór f. Należy obliczyć uogólnione przemieszczenie k (przesunięcie lub kąt obrotu) przekroju usytuowanego w punkcie k. Do rozwiązania tak sformułowanego problemu wykorzystujemy bezpośrednio równanie pracy wirtualnej (14.6). Warunki zadania pozwalają określić uogólnione odkształcenia układu statycznie niewyznaczalnego: ej = ej + Yj / Dj. Odkształcenia te oraz stowarzyszone z nimi przemieszczenia * konstrukcji (w tym przemieszczenia podpór f i poszukiwane przemieszczenia k ) są kinematycznie dopuszczalne, gdyż spełniają warunki ciągłości. Trzeba skonstruować odpowiednie statycznie dopuszczalne wirtualne pole sił. Możliwości jest tu nieskończenie wiele. Najwygodniej jest jednak przyjąć pole odpowiadające układowi statycznie wyznaczalnemu. Układ ten obciążymy uogólnioną siłą wirtualną P k = 1, wykonującą pracę na poszukiwanym przemieszczeniu k. Stan P k = 1 wywołuje w układzie statycznie wyznaczalnym siły wewnętrzne Y jk i reakcje podpór R fk. Równanie pracy wirtualnej (14.6) ma zatem postać: = * k Rfk f Yjkej ds, f j = 1 lub po wykorzystaniu wyrażenia na e j : 6 Y 1 = j + * k Y jk e j ds 1 R fk f. (16.9) D j= j s f s Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

8 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 8 Wzór (16.9) stanowi rozwiązanie postawionego zadania. Zwróćmy uwagę na to, że przyjęty układ statycznie wyznaczalny jest zupełnie dowolny i może różnić się od układu podstawowego. Dla ilustracji powyższych wywodów obliczymy przemieszczenia poziome punktu 1 w obliczonej już konstrukcji statycznie niewyznaczalnej z rys. 16.1a. Pole sił wewnętrznych { Yj } = { N,,Q,,M, } w układzie statycznie niewyznaczalnym przedstawiono na rys Odkształcenia e j przemieszczenia podpór f * =. = oraz Rys Układ statycznie wyznaczalny przyjęty do obliczania przemieszczenia 1, jego obciążenie wirtualne P 1, reakcje R f 1 i siły wewnętrzne Y j1 { Q M } =,,,,, ilustruje rys Siła wirtualna P 1 = 1 jest zaczepiona w punkcie 1 i ma kierunek poszukiwanego przemieszczenia. Dzięki stosownie przyjętemu schematowi wyznaczalnemu całkowanie obejmuje tylko jeden pręt. Na podstawie wzoru (16.9) otrzymujemy: 1 1 = + Q = Qk M M ds GA EJ s ( 88, 4) ( 1) ,,, = = 7, =, m , 1, Przemieszczenie to jest bardzo duże i stawia pod znakiem zapytania zarówno stosowalność zasady zesztywnienia, jak i techniczną przydatność konstrukcji. Konstrukcja jest zbyt wiotka. Należałoby więc powtórzyć obliczenia przyjąwszy większe przekroje prętów. Umiejętność obliczenia przemieszczeń konstrukcji statycznie niewyznaczalnej pozwala sprawdzić te obliczenia. Można bowiem skontrolować, czy rzeczywiście są spełnione warunki ciągłości w wybranych punktach konstrukcji. Sprawdzimy przykładowo, czy wzajemny kąt obrotu przekrojów prawego słupa ramy jest równy zeru. W tym celu obierzemy taki schemat wyznaczalny, w którym może wystąpić wzajemny kąt obrotu wybranego przekroju słupa. Przyjmijmy, że przekrój ten jest usytuowany w punkcie C (rys. 16.6). Zatem w punkcie tym należy wprowadzić przegub, a jako obciążenie wirtualne przyjąć dwa momenty skupione P C = 1 działające na obie części konstrukcji, rozdzielone przegubem. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

9 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 9 Rys Poszukiwany wzajemny kąt obrotu C obliczymy z równania (16.9), w którym dla uproszczenia uwzględnimy tylko wpływ momentów zginających. Wykres momentów rzeczywistych przedstawia rys. 16.3d, a wirtualnych rys Mamy więc: 17 4, 5, 67 1, 33 1 C = , 1 222, 7 6, 5, 67 1, , 125, , , 1 35, 3 4, 5, =, , 295, 5785 =, 49 rad , 1 Kontrola wykazała zatem, że obliczenia są poprawne. Zwróćmy uwagę, że w przypadku badania innych przemieszczeń, np. kąta obrotu na podporze B, poziomego przesunięcia podpory A lub kąta wzajemnego obrotu dowolnego przekroju prawego słupa, wykresy momentów wirtualnych są geometrycznie podobne do wykresu z rys Przemieszczenia te będą więc także równe zeru. Trzeba jednak dodać, że powyższe sprawdzenie nie gwarantuje, że całość obliczeń jest poprawna, gdyż nie obejmuje ono wszystkich fragmentów konstrukcji i wszystkich możliwych przemieszczeń. Opisana wyżej metoda sprawdzania nosi nazwę kontroli kinematycznej METODA PRZEMIESZCZEŃ Ogólny opis metody W metodzie przemieszczeń konstrukcję prętową traktujemy jako pewien skończony zbiór węzłów, z których każdy ma określoną liczbę stopni swobody. Za węzły (por. rys. 16.7) uważamy niewielkie fragmenty konstrukcji zawierające zazwyczaj wszystkie punkty załamania osi (np. punkty 2 i 6), punkty w których zbiega się większa liczba prętów (punkt 4) i punkty podporowe (punkty 1, 8 i 9). Niejednokrotnie dogodne jest wyodrębnienie węzłów zawierających punkty nagłej zmiany przekroju (punkt 7) i punkty przyłożenia obciążeń skupionych (punkt 5). Węzłem może być również fragment zawierający dowolnie obrany punkt leżący na osi pręta (np. punkt 3). Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

10 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 1 Rys Elementy międzywęzłowe nazywamy prętami. Numery prętów ramy z rys zapisano w kółkach. Z uwagi na bardzo małe wymiary węzły można traktować jako bryły (tarcze) sztywne lub punkty materialne. W przypadku konstrukcji płaskiej węzły, w których choćby dwa pręty są połączone w sposób sztywny, są tarczami sztywnymi (węzły 2, 3, 4, 5, 7, 8). Węzły zawierające przeguby są punktami materialnymi (węzły 1, 6, 9). Węzły sztywne na płaszczyźnie mają zatem co najwyżej trzy stopnie swobody (dwa przesunięcia i obrót), a węzły przegubowe co najwyżej dwa stopnie swobody (dwa przesunięcia). Podpory konstrukcji odbierają węzłom pewną liczbę stopni swobody. Przegubowy węzeł podporowy 1 oraz sztywny węzeł podporowy 8 są więc węzłami nieruchomymi. Przegubowy węzeł podporowy 9 ma z kolei tylko jeden stopień swobody. Pozostałe węzły mają pełną liczbę stopni swobody. Układ więzów przyjęty na rys odpowiada w sumie osiemnastu stopniom swobody ( = 18). Po obciążeniu konstrukcji każdy z węzłów się przemieści. Położenie węzłów w konfiguracji po odkształceniu opisują uogólnione przemieszczenia U 1, U 2,..., U 18, odniesione do globalnego układu współrzędnych X, Y i odpowiadające całkowitej liczbie stopni swobody (rys. 16.8). Przemieszczenia te są wielkościami niewiadomymi w omawianej metodzie. Rys Do wyznaczenia wartości przemieszczeń węzłów wykorzystuje się równania równowagi węzłów. Równania te odpowiadają sumie rzutów sił na kierunki wyznaczone przez wektory przesunięć oraz sumie momentów względem osi kątów obrotu danego węzła. Całkowita liczba równań równowagi pokrywa się zatem z liczbą niewiadomych przemieszczeń. Dla przykładu napiszemy równania równowagi węzła 4 (rys. 16.9): Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

11 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 11 Rys ( PX = R + R + R = P 1 4 ) ( 1 8 ) ( 4 3 ) " 1 4 " :, ( PY = R2 4 ) ( + R2 8 ) ( + R5 3 ) " = P2 4 " :, ( Mz = : R3 4 ) ( + R3 8 ) " = P3 4 ". (16.1) W równaniach (16.1) P1 " 4", P2 " 4" i P3 " 4" ( m) są bezpośrednimi obciążeniami węzła 4, a wielkości R j oznaczają reakcje działające na końce pręta m, łączącego się z węzłem 4. Wartość indeksu j ustala się według zasad podanych w następnym punkcie. Opisana metoda ma sens dopiero wówczas, gdy reakcje prętów zapiszemy jako funkcje przemieszczeń sąsiednich węzłów. Postać tych funkcji zależy od usytuowania pręta, wymiarów geometrycznych, własności fizycznych materiału oraz warunków brzegowych danego pręta (por. p ). Rys Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

12 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 12 Całkowita liczba niewiadomych stopni swobody węzłów nazywa się stopniem kinematycznej niewyznaczalności konstrukcji. Układem kinematycznie wyznaczalnym jest zatem konstrukcja o zerowej liczbie stopni swobody, czyli konstrukcja, w której wszystkie węzły są nieruchome (tzn. U 1 = U 2 =... = U j =... = ). Przykłady konstrukcji kinematycznie wyznaczalnych zamieszczono na rys Kinematyczna wyznaczalność układu z rys. 16.1c wynika z symetrii konstrukcji i obciążenia. W podsumowaniu dodamy, że metody przemieszczeń i sił stanowią dwie podstawowe metody obliczeń konstrukcji. Metoda sił służy do obliczania konstrukcji statycznie niewyznaczalnych, przy czym jako niewiadome występują wielkości statyczne, a równania tej metody wyrażają zgodność przemieszczeń. Metoda przemieszczeń służy do obliczania układów kinematycznie niewyznaczalnych, przy czym niewiadomymi są tutaj uogólnione przemieszczenia węzłów, a równania kanoniczne tej metody mają sens równań równowagi. Warto zwrócić uwagę, że metodą przemieszczeń można obliczyć również układy statycznie wyznaczalne, podobnie zresztą jak i metodą sił oblicza się układy kinematycznie wyznaczalne Globalne i lokalne układy współrzędnych Rozważmy pręt prostoliniowy wyodrębniony myślowo z konstrukcji. W konfiguracji pierwotnej końce tego pręta są wyznaczone punktami i, k. Po obciążeniu pręt ulega deformacji, a jego końce przyjmują położenie i', k' (por. rys ). Rys Aktualne położenie przywęzłowych przekrojów pręta opisują uogólnione przemieszczenia U 1, U 2, U 3, U 4, U 5 i U 6, odniesione do globalnego układu współrzędnych X, Y. Na końcu pręta w konfiguracji aktualnej działają reakcje R 1, R 2, R 3, R 4, R 5 i R 6, również odniesione do układu globalnego. Odkształcenia i reakcje pręta można analizować także w lokalnym układzie współrzędnych x, y. Początek tego układu przyjmiemy w punkcie i, przy czym oś x pokrywa się z osią pręta w konfiguracji pierwotnej. Przemieszczenia przekrojów przywęzłowych w układzie lokalnym opisują składowe u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 i u 6, a reakcje opisują składowe r 1, r 2, r 3, r 4, r 5 i r 6. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

13 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 13 Z rysunku wynikają następujące zależności między składowymi przemieszczeń w obu układach: u1 = U1 cosα + U2 sin α, u2 = U1 sinα + U2 cos α, u3 = U3, u4 = U4 cosα + U5 sin α, u5 = U4 sinα + U6 cos α, u6 = U6. Zależność tę można zapisać krócej: 6 uj = Cjm Um, j = 12,,..., 6, m= 1 gdzie C jm oznacza elementy macierzy kosinusów kierunkowych. Macierz ta ma postać: (16.11) (16.11a) cosα sinα sinα cosα 1 [ C jm ] = cosα sinα sinα cosα 1 (16.12) Po wyrażeniu wartości U j z układu globalnego przez wartości u m z układu lokalnego (j, m = 1, 2,..., 6) otrzymujemy: lub krócej: U1 = u1 cosα u2 sin α, U2 = u1 sinα + u2 cos α, U3 = u3, U4 = u4 cosα u5 sin α, U5 = u4 sinα + u5 cos α, U6 = u6 6 U j = C jm um, j = 12,,..., 6, m= 1 gdzie macierz [ C jm ] jest macierzą odwrotną do macierzy [ C jm ] : (16.13) (16.13a) [ C jm] = [ Cjm] 1. (16.14) Podobne zależności zachodzą dla reakcji R j i r m : rj = Cjm Rm, m= 1 j jm m m= 1 Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r. 6 6 R = C r, j = 12,,..., 6. (16.15) 6.16)

14 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Wzory transformacyjne. Macierz sztywności pręta w układzie lokalnym W punkcie stwierdziliśmy, że budowa związków R j (U m ) zależy od usytuowania pręta, wymiarów geometrycznych, własności fizycznych materiału oraz warunków brzegowych danego pręta. Skoncentrujemy się na analizie zależności r j (u m ) w układzie lokalnym, co pozwoli zaniedbać chwilowo wpływ usytuowania pręta względem układu współrzędnych globalnych. Jakościowe cechy relacji r j (u m ) zależą od modelu fizycznego pręta oraz rzędu wartości przemieszczeń. Jeśli materiał pręta jest liniowo-sprężysty, a przemieszczenia węzłów są bardzo małe, to zależności r j (u m ) są liniowe. Dla dużych przemieszczeń konieczne jest rozróżnienie konfiguracji początkowej i aktualnej oraz sprecyzowanie charakteru obciążeń (konserwatywne lub niekonserwatywne). Funkcje r j (u m ) są wówczas nieliniowe. Ten sam efekt występuje dla materiałów fizycznie nieliniowych. Największe trudności napotykamy w materiałach, w którym zależności σ(ε) są nieodwracalne (np. w materiałach sprężystoplastycznych). Konieczne są wtedy dodatkowe informacje o obciążeniach konstrukcji (charakter wzrostu obciążenia, kolejność przykładania obciążeń itp.). W dalszym ciągu ograniczymy się do analizy najprostszych przypadków liniowych, odpowiadających następującym założeniom: pręt jest pryzmatyczny (A, J = const), materiał pręta jest liniowo-sprężysty i jednorodny (E = const), przemieszczenia końców pręta (tj. przemieszczenia sąsiednich węzłów) są bardzo małe, obowiązuje hipoteza Bernoulliego (pręty są dostatecznie smukłe). Rozważymy pręt i k przedstawiony na rysunku Po obciążeniu całej konstrukcji pręt przyjmuje położenie i' k', a dowolny punkt b leżący w odległości x od początku lokalnego układu współrzędnych x, y przyjmuje położenie b'. Położenie to określają współrzędne wektora przemieszczenia u(x) i v(x). Analizowany problem rozwiążemy za pomocą równań różniczkowych na funkcje u(x) i v(x). Rys Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

15 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 15 W myśl równania (14.26) 1 mamy: (a) dn dx = qx ( x). Ponieważ (b) N = EAλ = EA du, dx więc (c) d dx du EA = qx ( x). dx Dla funkcji v(x) obowiązuje równanie różniczkowe linii ugięcia: (d) 2 d EJ d 2 v qy x 2 2 dx dx = ( ). Dla pręta pryzmatycznego i jednorodnego EA = const i EJ = const. Wówczas równania (c) i (d) upraszczają się do postaci: 2 d u qx x 2 dx ( ), EA (16.17) 4 d v qy x 4 dx ( ). EJ (16.18) Równania te uzupełnimy warunkami brzegowymi: u( ) = u, u( l) = u, (16.19) 1 4 v( ) = u, v( l) = u, v'( ) = u, v'( l) = u. (16.2) Rozwiązaniem ogólnym równania (16.17) jest funkcja: ux ( ) = u( x) + B + Bx 1, (16.21) gdzie u (x) jest całką równania niejednorodnego, spełniającą jednorodne warunki brzegowe: u ( ) = u ( l) =. Wobec tego stałe całkowania B i B 1 obliczamy z warunków brzegowych (16.19): B 1 + B = u 1, B 1 l + B = u 4, stąd B 1 = (u 4 u 1 )/l, B = u 1. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

16 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 16 Zatem u u ux ( ) = u( x) + u x. 1 Rozwiązaniem ogólnym równania (16.18) jest funkcja: (16.22) vx ( ) = v( x) + C + Cx 1 + Cx Cx 3 3, (16.23) gdzie v (x) jest całką równania niejednorodnego spełniającą jednorodne warunki brzegowe: v ( ) = v ( l) = v '( ) = v '( l) =. Stałe C, C 1, C 2 i C 3 obliczymy z warunków brzegowych (16.2): skąd u2 = v( ) v ( ) = C, u2 = v'( ) v '( ) = C1, 2 3 u5 = v() l v () l = u2 + lu3+ l C 2 + l C 3, 2 u6 = v'( l) v '( l) = u3+ 2lC2 + 3l C 3, 1 u u C u C u C u u u u C3 u u =, =, = +, = l (16.24) 1 l l Wykorzystamy teraz znane zależności fizyczne. N = EA u'( x), M = EJ v''( x), Q= M'( x) = EJ v'''( x), (16.25) z których obliczymy wartości N, Q i M występujące na końcach pręta. Uwzględnimy przy tym wzory (16.22), (16.23) i (16.24): u u N() EA u '() 4 1 = + N () EA u 4 u 1, l = + l 6EJ u u Q( ) EJ [ v '''( ) 6C ] Q ( ) u u = + 3 =, l l 2EJ u u M() = EJ [ v ''() + 2C2 ] = M () + 2u3+ u , l l u Nl () = EA + = + u 4 u1 '( 1) N ( 1) EA u 4 u 1, l l u u Ql ( ) = EJ [ v '''( l) + 6C3 ] = Q ( l) u + u , l l 2EJ u u Ml () = EJ [ v''() l + 2C2 + 6Cl 3 ] = M () l u3+ 2u l l Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r. (16.26) Wielkości statyczne opatrzone indeksem mają sens reakcji brzegowych r1,..., r6, wywołanych w układzie kinematycznie wyznaczalnym przez obciążenie przęsłowe (por. rys a). Reakcje te można obli-

17 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 17 czyć kilkoma sposobami: metodą całkowania równań (16.17) i (16.18), metodą sił lub za pomocą twierdzeń energetycznych. Zwróćmy uwagę, że znakowanie reakcji r j nawiązuje do przyjętego lokalnego układu współrzędnych x, y. W związku z tym Rys { r } { N Q M N l Q l M l } j = ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). (16.27) Pozostałe składniki wzorów (16.26) są tzw. s 1 s 6, które pojawiają się wyłącznie na skutek występowania przemieszczeń u 1 u 6 (por. rys b). Na końce pręta działają zatem reakcje brzegowe r j będące sumą reakcji wyjściowych r j w układzie kinematycznie wyznaczalnym oraz sił brzegowych sj : rj = rj + sj( um), j, m= 12,,..., 6, (16.28) przy czym { rj } = { N Q M N l Q l M l } ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). (16.29) Wzory (16.28) noszą nazwę wzorów transformacyjnych. Wartości sił brzegowych s j, których dodatnie zwroty nawiązują również do lokalnego układu współrzędnych x, y, ustalamy na podstawie wzorów (16.26): [ ] [ ] EA EA s1 = N( ) N ( ) = u 1 u 4, EJ 66EJ 12EJ 6EJ s2 = Q( ) Q ( ) = u u u u , l l l l 6EJ 4EJ 6EJ 2EJ s3 = M( ) M ( ) = u u u u l l , l l EA EA s4 = N() l N () l = u1+ u4, l l 12EJ 6EJ 12EJ 6EJ s5 = Q() l Q () l = u u + u u , l l l l 6EJ 2EJ 6EJ 4EJ s6 = [ M() l M () l ] = u + u u + u l l l l (16.3) Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

18 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 18 Zależności te można zapisać krócej: 6 sj = kjm um, j = 12,,..., 6, m= 1 gdzie [k jm ] = [k mj ] = [k] = k nazywa się macierzą sztywności pręta w układzie lokalnym. Budowa tej macierzy wynika z równań (16.3): (16.3a) EA / l EA / l EJ / l 6EJ / l 12J / l 6EJ / l 2 2 6EJ / l 4EJ / l 6EJ / l 2EJ / l k = EA / l EA / l EJ / l 6EJ / l 12EJ / l 6EJ / l 2 2 6EJ / l 2EJ / l 6EJ / l 4EJ / l Macierz sztywności k składa się zatem z czterech podmacierzy: (16.31) k = ( ii) ( ik) [ k ] [ k ] ( ki) ( kk) [ k ] [ k ]. (16.31a) Warto zwrócić uwagę, że macierz sztywności pręta (16.31) można również zapisać w innej postaci, dogodnej w obliczeniach ręcznych : a a b d b d d c d e k = a a b d b d d e d c (16.32) gdzie a = EA/l, b = 12EJ/l 3, c = 4EJ/l, d = 6EJ/l 2, e = 2EJ/l. Wzory transformacyjne (16.3) wykorzystuje się do prętów, które w punktach i oraz k są połączone z węzłami w sposób sztywny (rys a). Jeżeli na przykład w punkcie i pręt jest połączony w sposób przegubowy, to należy uwzględnić fakt, że moment zginający w tym punkcie jest równy zeru, czyli r3 = r3 + s3 = (rys b). Warunek r 3 = można traktować bądź jako dodatkowe równanie, Rys Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

19 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 19 bądź jako równanie służące do wyeliminowania kąta u 3. W pierwszym wypadku reakcje r 3 i macierz sztywności odpowiadają prętowi obustronnie utwierdzonemu, a dla dodatkowego niewiadomego kąta obrotu u 3 dochodzi jedno równanie r 3 (u m ) = (por. przykład liczbowy w p ). W drugim wypadku liczba niewiadomych pozostaje taka sama, natomiast reakcje rj ( j = 12,,..., 6) i macierz sztywności modyfikują się stosowanie do warunków brzegowych. Omówimy tę drugą ewentualność dla przypadku z rys b. Ponieważ na podporze przegubowej r 3 =, więc s 3 (u m ) =, czyli skąd (e) 3u + 2l u 3u + l u =, u3 = ( 3u2 + 3u5 l u6). 2l Uwzględnienie równania (e) w zależnościach (16.3) prowadzi do wyniku: EA EA s1 = u1 u4, l l s2 = u u u , l l l s3 =, EA EA s4 = u1+ u4, l l s5 = u u u , l l l s6 = u2 u5+ u 6. l l l (16.33) Jeżeli przegub występuje w punkcie k (rys c), to s 6 (u m ) =, czyli 3u + l u 3u + 2l u =, skąd 1 (f) u6 = ( 3u2 + 3u5 l u3). 2l Zależność (f) służy do wyeliminowania kąta u 6 z równań (16.3), które modyfikują się do postaci: EA EA s1 = u1 u4, l l s2 = u u u , l l l s3 = u u u l l 2 5, l (16.34) EA EA s4 = u1+ u4, l l s5 = u u u , l l l s6 =. W podobny sposób można otrzymywać zależności s j (u m ) i macierze sztywności dla innych warunków podparcia pręta. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

20 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE Macierz sztywności pręta w układzie globalnym Wyrazimy obecnie reakcje brzegowe R j przez przemieszczenia U m, odniesione do globalnego układu współrzędnych. Punktem wyjścia są tu równania (16.16) oraz zależności (16.29): 6 6 Rj = C jm rm = C jm( rm + sm) m= 1 m= 1 lub po rozpisaniu R 1 = ( r1 + s1)cos α ( r2 + s2 )sin α, R2 = ( r1 + s1)sin α ( r2 + s2 )cos α, R3 = r3 + s3, (a) R4 = ( r4 + s4)cos α ( r5 + s5 )sin α, R5 = ( r4 + s4)sin α + ( r5 + s5 )cos α, R6 = r6 + s6. Siły brzegowe s m można wyrazić przez przemieszczenia brzegowe u j według zależności (16.3), w której uwzględnimy tylko niezerowe elementy macierzy sztywności w układzie lokalnym: (b) s1 = k11u1 + k14u4, s2 = k22u2 + k23u3 + k25u5 + k26u6, s3 = k32u2 + k33u3 + k35u5 + k36u6, s4 = k41u1 + k44u4, s5 = k52u2 + k53u3 + k55u5 + k56u6, s6 = k62u2 + k63u3 + k65u5 + k66u6. Przemieszczenia u j odniesione do układu lokalnego można z kolei za pomocą wzorów (16.11) wyrazić przez przemieszczenia U m w układzie globalnym. Po podstawieniu wzorów (16.29) do zależności (b), a tych dalej do zależności (a) otrzymujemy poszukiwane zależności R j (U m ): gdzie: Rj( Um) = Rj + Sj( Um), j, m= 1, 2,..., 6, (16.35) 6 Rj = C jp rp, (16.36) p= 1 6 Sj( Um) = KjmUm, (16.37) m= 1 a K jm oznacza elementy macierzy sztywności pręta w globalnym układzie współrzędnych. Macierz sztywności jest symetryczna (tzn. K jm = K mj ) i przybiera postać: k11c 2 + k22s 2 ( k11 k22) cs k23s k14c 2 ( k14 k25) cs k s 26 k11 k22 cs k11s 2 k22c 2 k23c k14 k25 cs k14s 2 2 ( ) + ( ) + k25c k26c {K jm }= k32s k32c k33 k35s k35c k36 k41c 2 + k52s 2 k41 k52 cs k53s k44c 2 + k55s 2 ( ) ( k44 k55) cs k56s 2 ( k41 k52)cs k41s k52c 2 k53c k44 k55 cs k44s 2 k55c 2 + ( ) + k56c k62s k62c k63 k65s k65c k 66 Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r. (16.38)

21 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 21 przy czym s = sin α, c = cosα. Wzory (16.35) są wzorami transformacyjnymi zapisanymi w globalnym układzie współrzędnych X, Y. Macierz (16.38) można zapisać jeszcze inaczej: {K jm }= a* d* e* a* d* e* d* b* f * d* b* f * e* f * c* e* f*, g*, (16.38a) a* d* e* a* d* e* d* b* f * d* b* f * e* f * g* e* f * e* gdzie 2 2 EA 2 12EJ 2 a* = acos α + bsin α = cos α + sin α, l 3 l 2 2 EA 2 12EJ 2 b* = asin α + bcos α = sin α + cos α, l 3 l 4EJ EA 12EJ c* = c=, d = ( a b) sinαcosα = sinαcos α, l l 3 l 6EJ 2EJ e* = dsinα = sin α, f* = dcos α, g* = e=. 2 l l (16.39) Uwagi o obliczaniu kratownic W układach kratowych wszystkie węzły są węzłami przegubowymi. Jeżeli obciążenia są przyłożone tylko w węzłach, to pręty przejmują tylko siły normalne. Okoliczności te pozwalają na znaczne uproszczenie obliczeń. Jako niewiadome odpadają kąty obrotu węzłów, a w macierzy sztywności pręta jedynymi niezerowymi elementami są składowe k 11, k 44, k 14 i k 41 : EA / l EA / l k = EA / l EA / l (16.4) Praktycznie biorąc, macierz sztywności dla elementu kratownicy ma wymiar 4 4, gdyż trzecią kolumnę i trzeci wiersz oraz szóstą kolumnę i szósty wiersz można wykreślić. Uwaga ta dotyczy również zależności (16.38), opisującej macierz sztywności w układzie globalnym Macierz sztywności konstrukcji Wykorzystanie wzorów transformacyjnych w równaniach równowagi wszystkich węzłów prowadzi do równań metody przemieszczeń. W celu uzyskania ostatecznej postaci równań tej metody konieczne jest wprowadzenie globalnej numeracji wszystkich składowych wektora przemieszczeń, dokonanie agregacji Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

22 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 22 macierzy sztywności poszczególnych prętów, prowadzącej do globalnej macierzy sztywności całej konstrukcji, oraz uwzględnienie warunków brzegowych. Warunki brzegowe można uwzględnić na różne sposoby. Zazwyczaj kolumny i wiersze macierzy odpowiadające zerowym przemieszczeniom usuwa się, a w przypadku statycznych warunków brzegowych uwzględnia się dodatkowe równania, redukujące liczbę niewiadomych. Uzyskana w ten sposób globalna macierz sztywności konstrukcji K jest macierzą liniowego układu równań na poszukiwane przemieszczenia U j. Macierzową postać równań metody przemieszczeń zapisuje się, jak następuje: KU= P, (16.41) gdzie P jest wektorem wyrazów wolnych, wynikającym z reakcji w układzie nieruchomym oraz obciążeń działających bezpośrednio na węzły. Macierz sztywności K jest kwadratowa, symetryczna i ściśle dodatnio określona Przybliżona metoda obliczania ram W większości konstrukcji ramowych można pominąć wpływ wydłużeń prętów na wartości sił brzegowych. Odpowiada to przyjęciu, że u 1 = u 4. W konsekwencji następuje wyraźne uproszczenie obliczeń, gdyż siły poprzeczne i momenty zginające zależą wówczas tylko od kątów obrotu przekrojów przywęzłowych ϕi = u3, ϕk = u6 oraz kątów obrotu cięciwy pręta ψ ik (por. rys ). Rys Dalsza, bardzo istotna korzyść polega na tym, że kąty ϕ i, ϕ k oraz ψ ik nie zależą od układu współrzędnych. Przyjmują zatem takie same wartości w układach lokalnym i globalnym: Φi = ϕi, Φk = ϕk, Ψik = ψik, (16.42) przy czym u u ψ ik = 5 2. l W omawianej przybliżonej metodzie przemieszczeń wykorzystuje się wzory transformacyjne tylko do wyznaczenia momentów zginających. Wzory te stosownie do zależności (16.28) i (16.3) przyjmują postać: M M ik ki = M = M ik ki 2EJ + (2ϕ i + ϕ l 2EJ + ( ϕi + 2ϕ l k k 3ψ 3ψ Dla pręta, w którym podpora i jest przegubowa, a podpora k utwierdzona (rys b), według zależności (16.28) i (16.39) otrzymujemy: Mik =, Mki = Mki + ( ϕk ψik ), l ik ik ), ). (16.43) (16.44) Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

23 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 23 a dla pręta z rys c mamy: Mik = Mik + ( ϕi ψik ), l Mki =. (16.45) Wartości M ik oraz Mki odnoszą się tutaj do pręta kinematycznie wyznaczalnego, przy czym uwzględnia się tutaj obecność przegubów brzegowych (p. i lub k). Rys Modelem kinematycznym konstrukcji w rozważanej metodzie przybliżonej jest układ tarcz sztywnych połączonych przegubami. Tarczami sztywnymi są tutaj pręty i węzły sztywne. Na przykład przedstawiony na rys 16.16b model kinematyczny ramy ma (3t p = = 4) cztery stopnie swobody. Do unieruchomienia modelu konstrukcji konieczne jest uniemożliwienie obrotów węzłów 2 i 3 oraz wprowadzenie dodatkowych prętów podporowych I i II. Wymienione pręty podporowe zaznaczono na rys b liniami przerywanymi. Poszczególne mechanizmy niezależne otrzymujemy przez kolejne usuwanie każdego z węzłów. Na rysunkach 16.16c, d przedstawiono mechanizmy odpowiadające obrotom węzłów 2 i 3. Odnotujmy, że obroty węzłów nie wywołują obrotu prętów. Wynika to stąd, że wymiary węzłów z założenia są bardzo małe. Usunięciu podpory I towarzyszy mechanizm I (lub tzw. I I przesuw I rys e), określony przez kąt obrotu ψ = ψ 23. Kąty obrotu pozostałych prętów można wyrazić przez kąt ψ I z zależności geometrycznych. Mechanizm II (przesuw II), odpowiadający II II usunięciu podpory II (rys f), określa kąt ψ = ψ 23. Ogólnie biorąc, kąty obrotu prętów są superpozycją kątów obrotu w poszczególnych przesuwach, czyli I II L N ψik = ψik + ψik + + ψik + + ψik Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r. K K, (16.46)

24 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 24 gdzie N jest liczbą przesuwów. Równania kanoniczne przybliżonej metody przemieszczeń odpowiadają równaniom pracy wirtualnej rzeczywistych sił na wirtualnych przemieszczeniach pokrywających się z niezależnymi mechanizmami modelu konstrukcji. Na przykład obrót węzła i o kąt ϕ i prowadzi po prostu do równania równowagi momentów w tym węźle (por. rys a): ( M i ) ϕ i =. (16.47) Mechanizm przesuwu L (rys b) pozwala zapisać równanie pracy wirtualnej w następującej postaci: Mik ψik L + Pi i L =, (16.48) gdzie znak sumy rozciąga się na wszystkie pręty, a drugi składnik wzoru (16.48) symbolizuje pracę obciążenia zewnętrznego na wirtualnych przemieszczeniach. Liczba równań (16.47) i (16.48) jest równa liczbie niewiadomych kątów obrotu węzłów oraz przesuwów. Warto przypomnieć, że do ułożenia tych równań wystarczają tylko wzory transformacyjne dla momentów zginających. Rys Siły poprzeczne i normalne obliczamy z równań równowagi dopiero po rozwiązaniu układu równań kanonicznych i wyznaczeniu wartości momentów przywęzłowych. Aby wyznaczyć siły poprzeczne, każdy z prętów obliczamy jak belkę swobodnie podpartą, poddaną działaniu momentów podporowych i obciążenia poprzecznego w obrębie przęsła (rys c). Siły normalne obliczamy w ostatniej kolejności na podstawie równań równowagi sił działających na pręty i węzły (rys d). Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

25 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 25 Warto dodać, że w ramach metody przybliżonej można jednak uwzględnić wpływ wydłużeń tych prętów, których sztywność podłużna jest niewielka (np. ściąg). W tym celu należy zbudować odpowiednie mechanizmy i wykorzystać równania pracy wirtualnej w postaci (16.48). Pewnego komentarza wymaga sposób uwzględnienia wpływu wydłużeń prętów wywołanych czynnikami niemechanicznymi (przyrost temperatury T c, błędy wykonania). To, że pręty konstrukcji mogą się wydłużać, narusza podstawowe założenie metody przybliżonej. Jeżeli jednak wydłużenia są niewielkie, to można przyjąć, że zależności między kątami obrotu prętów ψ ik pozostają takie same. Przyjmuje się zatem, że wydłużenia prętów wpływają jedynie na wartości momentów wyjściowych Mik, Mki. Na rysunku 16.17e przedstawiono kinematykę wynikającą ze zmiany długości ramy l ik w układzie kinematycznie wyznaczalnym. Występują tu tylko wstępne wartości kątów obrotu prętów ψ ik, gdyż węzły konstrukcji nie ulegają obrotom ( ϕi = ϕk = ). Problem sprowadza się zatem do obliczenia kątów ψ ik, wyznaczających wyjściowe wartości momentów przywęzłowych. Momenty te wynoszą: dla prętów obustronnie utwierdzonych (wzory (16.43)) '' '' 6EJ Mik = Mki = ψ ik, (16.49) l dla pręta utwierdzonego w punkcie k, a przegubowo połączonego w punkcie i (wzory (16.44)) ' ' Mik =, Mki = ψ ik, (16.5) l dla pręta utwierdzonego w punkcie i, a przegubowo połączonego w punkcie k (wzory (16.45)) EJ Mik ' 3 ik o Mki ' = ψ, =. (16.51) l Całkowite wartości kątów obrotu prętów ψ ik c są więc sumą kątów ψik i ψik : ψ = ψ = ψ + ψ ik c c ki ik ik. (16.52) Najogólniejszym sposobem wyznaczania kątów ψ ik jest metoda analityczna, przedstawiona w p Rozważmy pręt i k, który jednocześnie zmienia swą długość o l i obraca się o kąt ψ (rys f). Składowe przemieszczenia punktu k wynoszą: Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

26 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 26 x = lx + ( ly + lx) + ly ψ, y = ly ( lx + ly) ψ ly lx ψ, (16.52a) gdzie lx = l cos α, ly = l sin α, lx = lcos α, ly = lsin α, przy czym dodatnie wartości l odpowiadają wydłużeniu, a ujemne skróceniu osi pręta. Stosując wzory (16.52a) w równaniach sumy (ciągłości) przemieszczeń w układzie kinematycznie wyznaczalnym, można obliczyć wszystkie poszukiwane kąty ψ ik. Dla ilustracji ułożymy równania do obliczenia wartości ψ ik w układzie z rys e: 4x = x = l12 cosα12 + l12 sinα12 ψ12 + l23 cosα l23 sinα23 ψ23 + l 34 cosα34 + l34 sin α34 ψ34 =, 4y = y = l12 sinα12 l12 cosα12 ψ12 + l23 sinα23 l23 cosα23 ψ23 + l 34 sinα34 l34 cos α34 ψ34 =. Ponieważ pręt 1 2 na skutek zmiany długości nie obraca się (rys e), bo jest podparty w punkcie 2, więc ψ 12 =. Po uwzględnieniu ponadto, że α 12 = 9 o i α 23 =, otrzymujemy następujący układ dwóch równań: l23 + l34 cosα34 + l34 sin α34 ψ34 =, l12 l23 23 ψ + l34 sinα34 l34 cos α34 ψ34 =. Z tego układu można obliczyć poszukiwane kąty obrotu ψ23 i ψ 34. Gdy liczba niewiadomych kątów obrotu prętów jest większa, zawsze udaje się ułożyć dostateczną liczbę równań ciągłości przemieszczeń w układzie kinematycznie wyznaczalnym. Trzeba jednak dodać, że w pewnych przypadkach ram nieprzesuwnych w celu obliczenia momentów wyjściowych wynikających ze zmian długości prętów należy dodatkowo rozwiązać odpowiedni schemat statycznie niewyznaczalny Kanoniczna postać równań metody przemieszczeń W przypadku liniowości kinematycznej i fizycznej (liniowa sprężystość, małe odkształcenia i przemieszczenia) równaniom metody przemieszczeń można nadać nieco inną postać, wynikającą z zasady superpozycji. Aby całkowicie unieruchomić poszczególne węzły konstrukcji, musimy wprowadzić pewną liczbę więzów, odpowiadającą liczbie niewiadomych uogólnionych przemieszczeń U k. (k = 1, 2, 3,..., n). Wprowadzimy pojęcie uogólnionej reakcji więzu i, powstającej wskutek wymuszenia jednostkowego uogólnionego przemieszczenia w kierunku więzu k. Reakcję taką oznaczymy symbolem r ik. Korzystając z zasady superpozycji, wnosimy zatem, że całkowita reakcja więzu i od prawdziwej wartości przemieszczenia U k wynosi r ik U k. W układzie podstawowym kinematycznie wyznaczalnym (tzn. w układzie nieruchomym, gdzie U k ) występują reakcje więzów i pochodzące od obciążeń zewnętrznych. Reakcje te oznaczymy symbolem R ip. Równowaga poszczególnych węzłów wymaga, by suma wszystkich reakcji więzu i w układzie była równa zeru. Odpowiada to zależności: k= n rikuk + Rip = ; i = 1, 2, 3,..., n. (16.53) k = 1 Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

27 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 27 Równania (16.53) tworzą tzw. układ równań kanonicznych metody przemieszczeń o postaci analogicznej do równań metody sił. Równania te są po prostu równaniami równowagi poszczególnych węzłów, stanowiącymi esencję idei metody przemieszczeń. Bliższe szczegóły tego sposobu budowy równań są zawarte w podręcznikach z mechaniki budowli (por. np. [1]) Przykład liczbowy Obliczymy ramę przedstawioną na rysunku 16.18a. Przyjmiemy, że materiał ramy jest liniowosprężysty (E = kn/m 2 ), a konstrukcja wykazuje małe przemieszczenia. Zaprezentujemy tu zarówno metodę ścisłą, jak i przybliżoną. Rys Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

28 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 28 Metoda ścisła Rama jest w zasadzie układem czterokrotnie kinematycznie niewyznaczalnym, a niewiadomymi są przemieszczenia U 1, U 4, U 5 i U 6 (rys b). Dodatkową niewidomą jest kąt obrotu U 3 na podporze przegubowej. Równania służące do wyznaczenia wszystkich wyżej wymienionych niewiadomych są równaniami równowagi węzłów 1 i 2. Dotyczy to także dodatkowego równania, wyrażającego fakt, że moment zginający na podporze 1 jest równy zeru. Mamy zatem układ pięciu równań o pięciu niewiadomych (por. rys e, f, g): (a) () R1 1 = 6, () R3 1 =, () R4 1 ( R1 2 ) + = 5, () R5 1 ( R2 2 ) + =, () R6 1 ( R3 2 ) + = 45. W celu ułożenia równań kanonicznych metody przemieszczeń należy wyznaczyć kolejno współczynniki macierzy sztywności oraz reakcje wyjściowe w układach lokalnych i układzie globalnym. Efekt tych wstępnych obliczeń zestawiamy niżej. Pręt 1 (IPE 26) 4 2 A= 53, 4 1 m, 8 4 J = m 4 EA= 16, 8 1 kn, 4 2 EJ = 1148, 1 kn m, l = 5, m, o α = 53, 13 ; współczynniki lokalnej macierzy sztywności (wzory (16.32)): 4 a = 21, 36 1 kn / m, 4 b=, kn / m, 4 c=, kn m, 4 d =, kn, 4 e=, kn m; współczynniki globalnej macierzy sztywności (wzory (16.38a)): 4 a* = 7, 76 1 kn / m, 4 b* = 13, 71 1 kn / m, 4 c* =, kn m, 4 d* = 1, 2 1 kn / m, 4 e* =, 22 1 kn, 4 f* =, kn, 4 g* = 459, 1 kn m; reakcje wyjściowe w układzie lokalnym: r1 =, r2 = 2 kn, r3 = 16, 67 kn m, r4 =, r5 = 2 kn, r6 = 16, 67 kn m ; reakcje wyjściowe w układzie globalnym (wzory (16.36)): R1 = 16 kn, R2 = 12 kn, R3 = 16,67 kn m, R4 = 16 kn, R5 = 12 kn, R6 = 16, 67 kn m. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

29 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 29 Pręt 2 (IPE 3) 4 2 A= 69, 1 1 m, 8 4 J = 98 1 m, 4 EA= 138, 2 1 kn; 4 2 EJ = 1, 96 1 kn m, l = 6, 325 m, o α1 = 18, 435 ; 4 a = 21, kn / m, 4 b=, kn / m, 4 c= 1, kn m; 4 d =, kn, 4 e=, kn m; 4 a* = 19, kn / m, 4 b* = 2, kn / m, 4 c* = 124, 1 kn m; 4 d* = 6, kn / m, 4 e* =, 93 1 kn, 4 f* =, kn, 4 g* = 62, 1 kn m; r1 = 3, 16 kn, r2 = 9, 49 kn, r3 = 15 kn m, r4 = 3, 16 kn, r5 = 945, kn, r6 = 15kN; R1 =, R2 = 1kN, R3 = 15kN m, R4 = 1kN, R6 = 15kN. 1 () 2 ( ) Zwracamy uwagę, że reakcje rj i rj ( j = 12,,..., 6) obliczono jak dla prętów obustronnie utwierdzonych (por. rys c, d). Po uwzględnieniu obliczonych wyżej wartości oraz związków (16.38a) wzory transformacyjne (16.35) w układzie globalnym dla obu prętów przyjmują postać: () b () c R R R R R R () 1 1 () 1 2 () 1 3 () 1 4 () 1 5 () , 76 1, 2, 22 7, 76 1, 2, 22 U , , 165, 1, , 165, U 2 16, 67, ,, 918, 22, 165, U3 = , 76 1, 2, 22 7, 76 1, 2, 22 U , , 165, 1, , 165, U 5 16, 67, ,, 459, ,, 918 U6 () R1 2,,,,,, () R U4 1,,,,,,, () R U 5 15, 4, 93, 279 1, 24, 93, 279, 62 U 6 () R4 2 = , 675 1, 2, 93 19, 675 1, 2, 93 U7 (), R , 527 2, 269, 279 6, 527 2, 269, 279 U 8 15, () R6 2, 93, 279, 62, 93, , U9 W zależnościach (b) i (c) macierze kwadratowe oznaczają odpowiednio macierze prętów 1 i 2 w układzie globalnym. Przy podstawianiu wzorów (b) i (c) do równań równowagi (a), należy uwzględnić kinematyczne warunki brzegowe: U 2 = U 7 = U 8 = U 9 = (por. rys b). Ostatecznie równania (a) przybierają postać równań kanonicznych metody przemieszczeń (16.41): Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.

30 Część KONSTRUKCJE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3 (d) 7, 76, 22 7, 76 1, 2, 22 U 1, 22, 918, 22, 165, 459 U , 76, 22 27, 435 3, 673, 313 U 4 1, 2, 165 3, , 979, 114 U 5, 22, 459, 313, 114 2, 158 U6 = 1, 16, 67 21,, 22, 46, 67 gdzie macierz kwadratowa jest macierzą sztywności konstrukcji w przyjętym układzie globalnym. Łatwo zauważyć, że macierz ta powstała przez dodanie odpowiednich elementów macierzy sztywności poszczególnych prętów oraz usunięcie kolumn i wierszy odpowiadających zerowym wartościom przemieszczeń brzegowych. We wzorach (b) i (c) zaznaczono te segmenty macierzy K (1) i K (2), które podlegają dodawaniu. Symetria macierzy konstrukcji wynika z symetrii macierzy sztywności poszczególnych prętów. Rozwiązaniem układu równań kanonicznych (d) są następujące wartości przemieszczeń: 4 4 U1 = 82, 3 1 m, U3 = 58, 68 1 rad, (e) U4 = 15, 54 1 m, U5 = 5116, 1 rad, U6 = 3, 67 1 rad. Największa bezwzględna wartość przesunięcia odpowiada przemieszczeniu U 1 : 4 U 1 = 82, 3 1 m=, 823 mm, 4 o a największy kąt obrotu U 3 = 58, / π =, założeniem, można uznać za bardzo małe. Jak widać, wartości te, zgodnie z Do wyznaczenia pola statycznego wykorzystuje się wzory transformacyjne (b) i (c). Na przykład: () 1 R 1 = , 76 ( 82, 3) 1, 2 +, 22 58, 68 7, 76 ( 15, 54) + + 1, , +, 22 ( 3, 67) = 6, 6 kn. Ostateczne rezultaty obliczeń reakcji brzegowych podano w zestawieniu: (f) () R1 1 () R2 1 () = 66, kn, = 2783, kn, R3 1 =, () R4 1 () R5 1 () = 25, 94 kn, = 3, 83 kn, R6 1 = 7, 68 kn m, ( R1 2 ) ( 31 2 R2 2 ) ( 3 9 R3 2 ) =, kn, =, kn, = 37, 31 kn m, ( R4 2 ) ( 31 2 R5 2 ) ( 16 1 R6 2 ) =, kn, =, kn, = 11, 7 kn m. Do sił brzegowych w układach lokalnych dla każdego pręta dochodzimy na podstawie równań (16.15). () 1 Dla przykładu obliczymy tylko wartości r 1 i () 1 r2 : () r1 1 () R1 1 () = cosα1 + R2 1 sin α1 = 66, 6, 2783, ( 8, ) = 1863, kn, () r2 1 () R1 1 () = sinα1 + R2 1 cos α1 = 66, ( 8, ) 2783, 6, = 2153, kn. Kompletne wyznaczenie sił wewnętrznych w ramie przedstawimy niżej. Zastosujemy nieco inny sposób obliczeń, charakterystyczny dla metody przybliżonej. Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 23r.