Rozład ormal (Gaussa Wprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowch. Rozważm pomiar wielości, tór jest zaburza przez losowch efetów o wielości ε ażd, zarówo zaiżającch ja i zawżającch pomiar: P( ε P( ε W wiu pomiaru otrzmujem jedą z wielości: + ε + ( ( ε + ( + ε 0,,,..., tórch rozład p-twa da jest przez: Wartość oczeiwaa i wariacja zmieej : (, p. B 0 5 ( ( E + + ε + + ε + + ε [ ] [ ] V εv + 4ε V 4ε ε M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 8-8
Rozład ormal - wprowadzeie Zachowaie graicze rozładu dwumiaowego dla dużch : ( p B (, p ep πpq pq co w aszm przpadu prowadzi do: ε ep + ep π ε π ε ε 4 Przechodząc z ε do zera, atomiast z i do iesończoości, ale ta ab wariacja dążła do stałej ε dostajem gęstość p-twa zmieej : B (, p. ( p B (, p ep πpq pq ( ( M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta ( 0 5 N ( ;, ep, ε 0 ε π Wład 8-38
Własości rozładu ormalego Wartość oczeiwaa i wariacja: ( E [ ] ep d [ ] ( ep d π V π Wszstie ieparzste momet cetrale ziają ze względu a smetrię, atomiast parzste dae są przez: (! (! Dla mam (- 4 3 4, co ozacza, że współczii asmetrii i spłaszczeia 4 γ V [ ] 3 przjmują wartości zerowe. ( 3 γ 3 D [ ] M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 8-48
Dstrbuata rozładu ormalego u Φ ( ep du π + ep dla > 0 π ep dla < 0 π X 0.0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9.0. 0.00 0.5000 0.5398 0.5793 0.679 0.6554 0.695 0.757 0.7580 0.788 0.859 0.843 0.0 0,5040 0.5438 0.583 0.67 0.659 0.6950 0.9 0.76 0.790 0.886 0.8438 0.0 0.5080 0.5478 0.586 0.655 0.668 0.6985 0.734 0.764 0.7939 0.8 0,846 0.03 0.50 0.557 0.590 0.693 0.6664 0.709 0.7357 0.7673 0.7967 0.838 0,8485 0.04 0.560 0.5557 0.5948 0.633 0.6700 0.7054 0.7389 0.7703 0.7995 0.864 0,8508 0.05 0,599 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.74 0.7734 0.803 0.889 0.853 0.06 0,539 0.5636 0.606 0.6406 0.677 0.73 0.7454 0.7764 0.805 0.835 0.8554 0.07 0,579 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.757 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.08 0.539 0.574 0.603 0.6480 0.6844 0.790 0.757 0.783 0.806 0.8365 0.8599 0.09 0.5359 0.573 0.64 0.657 0.6879 0.74 0.7549 0.785 0.833 0.8389 0.86 M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 8-58
Rozład ormal - przład Przład: Biolog chce oceić wpłw su zimowego a masę ciała a wiewióre. W tm celu waż 000 dorosłch osobiów płci męsiej w pod oiec lata i wczesą wiosą.. Oazuje się, że pomiar woae w lecie mają rozład ormal o średiej 400 g i odchleiu stadardowm 00 g. Jaie jest p-two two, że losowo wbraa wiewióra waż w lecie pomiędz 350 g i 450 g? 350 g 400 g 450 g 400 g P ( 350 g < < 450 g P < z < g g 00 00 P ( 0. 5 < z < 0. 5 Φ ( 0. 5 Φ ( 0. 5 Φ ( 0. 5 0. 695 0. 3830 Przład: Wii testu IQ przeprowadzoego w pewej populacji mają rozład ormal o średiej 00 i odchleiu stadardowm 6. Ile wosi wi testu poiżej tórego wpada 85% populacji? 85 00 P ( < 85 P z < P ( z < z85 Φ ( z85 0. 85 6 85 00 Z tablic odcztujem: z85. 04. 04 85 6. 64 7 6 Przład: Suma iezależch ch zmiech z rozładu z rozładu Gaussa o parametrach i : ( z t ( t ( z ep ep dt ep ;, π N π ( ( M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta ( z Wład 8-68
Dwuwmiarow rozład ormal Gęstość p-twa dwuwmiarowego rozładu ormalego: N (, ;,,, ep + ρ π ( ρ ρ Elips owariacji: + ρ C ρ Kąt achleia dłuższej osi elips: ρ ta α + Proste regresji II-go rodzaju: + ρ ( + ρ ( wartość władia 0.5 (C.0 (C 4.5 (C3 wielorotość dspersji 3 udział p-twa 39.3% 86.5% 98.9% M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 8-78
Nierówo wość Chebshev a Niech,,..., będą iezależmi i pochodzącmi z tego samego rozładu (o wartości oczeiwaej i dspersji zmiemi losowmi. i Wartość średia: E [ ] E [ ] [ ] [ ] i E i E E i Uwaga: Więszość p-twa dla dowolej zmieej losowej socetrowaa jest woół wartości oczeiwaej w zaresie ilu dspersji : i i [ ] [ ] [ ] V V i V i V i i Twierdzeie: (Nierówość Chebshev a. Dla dowolej zmieej losowej i dowolej liczb ε > 0 zachodzi: ( [ ] P E ε V [ ] ε Dowód: V [ ] ( f ( d - ( f ( d f ( d P ( ε ε ε ε ε M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta [ ] V P( < P( Wład 8-88
Prawo wielich liczb Przład: Zastosowaie ierówości Chebshev a do rozładu władiczego z parametrem λ. ( ( ( ( P P P P e < < < < + < + Chebshev P( -m < m < Zastosujm ierówość Chebshev a do wartości średiej: Twierdzeie: (Prawo wielich liczb. Dla dwu dowolch liczb δ i ε istieje taa liczba aturala N, że dla wszstich liczb aturalch > N zachodzi: ( 0 P > ε < δ 0.865 0.750 0.950 0.889 0.98 P( [ ] ε V ε ε 3 4 0.938 0.993 ( lim P > ε 0 M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 8-98
Cetrale twierdzeie graicze Jeśli da jest ciąg iezależch zmiech losowch,,..., pochodzącch z dowolego rozładu, o sończoch wartości oczeiwaej i dspersji, to rozład gęstości zmieej losowej z gdzie i i dąż do stadarzowaego rozładu Gaussa. M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 8-08
Suma zmiech poissoowsich Przład: Rozważm sumę dwóch iezależch zmiech losowch oraz j obie z rozładu Poissoa o tm samm parametrze. Łącz rozład p-twa zmiech oraz j ma postać: j j P,j ( P ( Pj ( e e e! j!! j! Rozład zmieej losowej m +j otrzmujem z powższego łączego rozładu sumując po wszstich parach (, j taich tórch suma jest stała i rówa m: m m m m m m ( Pm P,j( e e e + j m!( m! m! 0 0 m! Zmiea losowa m będąca sumą iezależch zmiech losowch z rozładu Poissoa, będzie więc miała rozład: P m m ( ( e m! M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 8-8
Zachowaie graicze r. Poissoa + e e P ( e e! + + π π e π e + ep + + l + π π ep + + π + ep π ( ( 0. 5 ep π + l( z + z z ( M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 8-8
Zachowaie graicze r. dwumiaowego Przład: P-two, że w czasie T przestaie świecić jeda żarówa jest rówe p 0.. Jaie jest p-two, że w czasie T spośród 00 żarówe przestaie świecić od 7 do 9 prz założeiu, że żarówi przepalają się iezależie? Obliczeia bezpośredio z rozładu dwumiaowego są czasochłoe: 9 9 00 00 P( 7 9 B (,. (. (. 00 p 0 0 0 0. 8809 7 7 Korzstając z tw. de Moivre a Laplace a ( p B (, p ep pq mam: πpq ( 7 0. 5 p p 9 + 0. 5 p P 7 9 P < < pq pq pq 7 0. 5 0 9 + 0. 5 0 P < z < P (. 7 < z < 3. 7 9 9 Φ ( 3. 7 Φ (. 7 Φ ( 3. 7 + Φ (. 7 0. 999 + 0. 8790 0. 878 Bez 0.5 otrzmalibśm: P( 7 9 P ( z 3 Φ ( 3 Φ ( 0. 8400 M. Przbcień Rachue prawdopodobieństwa i statsta Wład 8-38