Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Transkrypt

1 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie Poissona z parametrem λ. Rozkład parametru ryzyka Λ w populacji ubezpieczających się (zakładamy dla uproszczenia, że jest to populacja nieskończona) jest rozkładem Gamma (, 0), o wartości oczekiwanej równej /0. W roku mieliśmy w portfelu 000 osób wylosowanych z tej populacji. W roku w naszym portfelu znajduje się ponownie 000 osób, przy czym 750 osób to losowo dobrana podgrupa z grupy osób ubezpieczonych w roku, zaś 50 osób to nowi ubezpieczeni, dolosowani z populacji. Niech i N oznacza liczbę szkód z naszego N portfela w roku i w roku, odpowiednio. Wobec tego [( N ) ] Ε wynosi: N (A) 400 (B) 40 (C)

2 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. W poniższej tabeli zawarte są wybrane informacje o rozkładzie wartości pojedynczej szkody Y: y 4 Ε ( y) 5 [ + ] ( Y y) Y 6 8 Pr / 4 / Z informacji tych wynika, że Ε( < Y 4) (A) (B) (C) Y wynosi:

3 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. Niech X, X, X,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach dwupunktowych postaci: k Pr( X k = 0) =, Pr( X k = k) =, k k i niech W n = X + X X n będzie ich sumą częściową. Granica ciągu współczynników skośności: Ε{ ( Wn Ε( Wn )) } lim n [ var( Wn )] wynosi: (A) 0 (B) (C) 4 8 5

4 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 4. Łączna wartość szkód: X = Y + Y YN, ( X = 0 gdy N = 0 ) ma przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ warunkowy rozkład złożony Poissona o oczekiwanej licznie szkód równej λ oraz rozkładzie wartości pojedynczej szkody danym dla x 0 dystrybuantą: ( x) = exp a exp( bλ x F Y ( ) ) Λ = λ Parametr ryzyka Λ ma w populacji ubezpieczonych rozkład Gamma ( β ) gęstości: α β α f ( x) = x exp( βx) Γ( α) Λ. Przyjmijmy wartości parametrów zadania równe: a =, b = 0 α =, β = 0 Wobec tego iloraz: Ε( X ) Ε( N) Ε( Y ) wynosi: (A) α,, o (B) (C)

5 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 5. Wiadomo, że zmienne losowe N, N, N są niezależne, i mają rozkłady określone na zbiorze liczb całkowitych nieujemnych, spełniające zależności rekurencyjne: Pr( N = k) = Pr( N = k ), k =,,,... Pr( N = k) = + Pr( N = k ), k k =,,,... Pr( N = k) = + Pr( N = k ), k k =,,,... Wobec tego Pr( N + N + N = 4) wynosi: (A) (B) (C)

6 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 6. Każdej jednostce z pewnej populacji przydarzają się szkody zgodnie z procesem Poissona z intensywnością λ (rocznie), pod warunkiem że parametr ryzyka Λ charakteryzujący tę jednostkę wynosi λ. Znamy pierwsze trzy momenty rozkładu zmiennej Λ w tej populacji: ΕΛ = 0., Ε ( Λ ) = 0., Ε ( Λ ) = Niech N oznacza liczbę szkód wygenerowaną przez (losowo wybraną z tej populacji) jednostkę w ciągu dwóch kolejnych lat. Moment centralny trzeciego rzędu zmiennej zmiennej N wynosi: (A) 0.46 (B) 0.8 (C)

7 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 7. Rozważamy zdyskontowany proces nadwyżki ubezpieczyciela postaci: U ( t) = u + c t 0 N ( t) exp( δ t) dt exp( δt ) Y, t 0, gdzie: k = u 0 - to nadwyżka początkowa c - to intensywność napływu składki na jednostkę czasu Y Y,,... - to wartości kolejnych szkód, Y ( t) = n Tn t < Tn + 0 = 0 T, T, T ( ) ( ) N, n = 0,,,,..., gdzie: T, zaś,... to momenty zajścia kolejnych szkód. k k O wartościach szkód i momentach ich zajścia przyjmujemy założenia: Y, Y, Y,... są dodatnie i mają ten sam rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej równej T,( T T ),( T T ),( T4 T ),... są dodatnie i mają ten sam rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej równej /5 Y T, Y,( T T ), Y,( T T ), Y,( T ),... są niezależne., 4 4 T Zakładamy ponadto, że c = 5 oraz że δ = / 0. 4 Jeśli rozkład zmiennej losowej to wartość u 0.95 Pr ( U ( ) > 0) = 95% k = exp( δt k ) Y k przybliżymy rozkładem normalnym, kapitału początkowego u taka, przy której zachodzi: z dokładnością tego przybliżenia wyniesie: (A) u (B) u (C) u u u Uwaga: Zmienna normalna standaryzowana przekracza z prawdopodobieństwem 5% wartość,645 7

8 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 8. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela postaci: N ( t) Y k k = U ( t) = u + c t, t 0, gdzie: u 0 - to nadwyżka początkowa c - to intensywność napływu składki na jednostkę czasu Y Y,,... - to wartości kolejnych szkód, Y ( t) = n Tn t < Tn + 0 = 0 T, T, T ( ) ( ) N, n = 0,,,,..., gdzie: T, zaś,... to momenty zajścia kolejnych szkód. O wartościach szkód i momentach ich zajścia przyjmujemy założenia: Y Y,,... są dodatnie i mają ten sam rozkład,, Y, ( T T ),( T T ),( T4 T, T, Y,( T T ), Y,( T T ), Y4,( T4 T T ),... są dodatnie i mają ten sam rozkład, Y ),... są niezależne. Zakładamy także, iż istnieje współczynnik dopasowania R, a więc taka liczba dodatnia r, która spełnia równanie: Ε [ exp( ru n+ U n) ] = exp( ru n). Rozważamy dwa warianty procesu: Wariant, gdzie T ma rozkład Gamma (, λ ) zaś Y rozkład Gamma (, β ) ; Wariant, gdzie T ma rozkład Gamma (, λ ) zaś Y rozkład Gamma (, β ) Niech R i Ψ ( u ) oraz R i Ψ ( u ) oznaczają współczynnik dopasowania i funkcję prawdopodobieństwa ruiny dla wariantu oraz wariantu, odpowiednio. Spośród poniższych zdań wybierz zdanie prawdziwe: (A) (B) (C) R < R oraz ( Ψ( u) > Ψ ( u) ) u 0 R > R oraz ( Ψ( u) < Ψ ( u) ) u 0 R = R oraz ( Ψ( u) > Ψ ( u) ) u 0 R = R oraz ( Ψ( u) < Ψ ( u) ) u 0 R = R oraz ( Ψ( u) = Ψ ( u) ) u 0 8

9 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 9. Rozważamy klasyczny proces nadwyżki ubezpieczyciela: Ut ( ) = u+ ct St ( ) gdzie: u to nadwyżka początkowa, S(t) - to łączna wartość szkód, będąca złożonym procesem Poissona z parametrem częstotliwości λ, z wykładniczymi szkodami o wartości oczekiwanej / β 6λ Parametr intensywności składki wynosi c = 5β Wiemy, że przy aktualnej wysokości kapitału początkowego u spełniony jest warunek: Ψ( u) = / 0. Udziałowcy postanowili zwiększyć nadwyżkę początkową dwukrotnie. Po tej zmianie prawdopodobieństwo ruiny Ψ ( u) wyniesie: (A) 0.00 (B) 0.0 (C) za mało danych do udzielenia odpowiedzi liczbowej 9

10 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 0. Proces pojawiania się szkód startuje w momencie T 0 = 0. Niech T n oznacza moment zajścia n-tej szkody. Ponieważ szkody numerujemy według kolejności zajścia, wobec tego zachodzi 0 < T < T < K. Wypłata odszkodowania za n-tą szkodę następuje w momencie T + D. Załóżmy, iż zmienne losowe: T ( T T ) ( T T ),,, K oraz: D, D, D, K są wszystkie nawzajem niezależne i mają identyczny rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej równej. Prawdopodobieństwo, iż dla pewnego ustalonego n wypłata odszkodowania za szkodę n +-szą poprzedzi wypłatę odszkodowania za szkodę n-tą wynosi: (A) 0 n n (B) (C)

11 Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 0 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko...k L U C Z O D O W I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Punktacja B E B 4 C 5 A 6 D 7 D 8 D 9 B 0 D * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.