Zeszyty Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie Naukowe 4 (976) ISSN 1898-6447 e-issn 545-338 Zesz Nauk UEK, 018; 4 (976): 161 18 https://doiorg/1015678/znuek01809760410 Katarzya Budy Ja Tatar Wielowymiarowa aaliza statystycza w badaiach ryku kapitałowego * Streszczeie We wcześiejszych pracach autorzy artykułu przedstawili odmiee od klasyczego podejście do opisu i badaia wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa Było to możliwe dzięki uprzediemu zdefiiowaiu potęgi wektora w przestrzei z iloczyem skalarym W iiejszym artykule zapropoowae wcześiej owe arzędzia wykorzystao do badaia i aalizy wybraych dwu-, trzy- oraz czterowymiarowych wielkości (o charakterze wektorów losowych) występujących a polskim ryku kapitałowym Współrzędymi wektorów są ideksy giełdowe WIG, WIG- WIG-Baki, WIG-Paliwa oraz retowości tych ideksów Wykorzystując dae rykowe z okresu od 4 styczia 016 r do 7 lipca 017 r, wyzaczoo oraz ziterpretowao estymatory astępujących parametrów badaych rozkładów: wartość oczekiwaa, wariacja łącza, odchyleie stadardowe łącze, współczyik asymetrii, orma (długość) współczyika asymetrii, kwadrat współczyika asymetrii, kurtoza oraz współczyik ekscesu W celach poglądowych oraz porówawczych dla każdego wektora wyzaczoo rówież macierz kowariacji, macierz współczyików korelacji cząstkowych oraz klasyczie rozumiae astępujące charakte- Katarzya Budy, Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie, Wydział Fiasów i Prawa, Katedra Matematyki, ul Rakowicka 7, 31-510 Kraków, e-mail: budyk@uekkrakowpl Ja Tatar, Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie, Wydział Fiasów i Prawa, Katedra Matematyki, ul Rakowicka 7, 31-510 Kraków, e-mail: tatarj@uekkrakowpl * Artykuł powstał w wyiku realizacji projektu badawczego sfiasowaego ze środków przyzaych Wydziałowi Fiasów i Prawa Uiwersytetu Ekoomiczego w Krakowie w ramach dotacji a utrzymaie potecjału badawczego
16 Katarzya Budy, Ja Tatar rystyki rozkładów brzegowych: wartość oczekiwaa, wariacja, odchyleie stadardowe, współczyik asymetrii, kurtoza oraz współczyik ekscesu Poadto dla wybraych par badaych fiasowych wektorów losowych wyzaczoo estymator kwadratu współczyika korelacji wielowymiarowej jako jedą z możliwych miar ich zależości Słowa kluczowe: parametry rozkładu prawdopodobieństwa, wielowymiarowy wektor losowy, estymator, ryek kapitałowy, ideks giełdowy, retowość Klasyfikacja JEL: C15, C18, G1 G11 1 Wprowadzeie Zdecydowaa większość wielkości rozważaych w procesie badaia i aalizy sytuacji społeczo-demograficzo-gospodarczej kokretego kraju, grupy krajów bądź kokretego regiou ma charakter zmieych losowych Ozacza to, że są oe fukcjami określoymi a przestrzei probabilistyczej o wartościach ależących do zaego zbioru Jeżeli wartości te są poadto kwatyfikowale, to mamy wówczas do czyieia ze zmieymi losowymi o wartościach liczbowych Często badaiu poddawae są ie pojedycze zmiee losowe, ale ich odpowiedio dobrae zestawy, czyli zmiee losowe wielowymiarowe, azywae także wektorami losowymi W klasyczie rozumiaej statystyce matematyczej, w kosekwecji także w klasyczej statystyce opisowej, wypracowaa została stosowa metodologia opisu, badaia i aalizy wektorów losowych Charakterystyczą cechą tej metodologii jest, że badając day wektor losowy, w istocie badaiu poddaje się jedowymiarową zmieą losową będącą odpowiedio zdefiiowaą fukcją zmieych losowych staowiących współrzęde tego wektora W wielu wcześiejszych pracach autorzy iiejszego opracowaia przedstawili propozycję odmieego od klasyczego sposobu opisu i aalizy wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa oraz wykorzystali zapropoowae owe arzędzia do modelowaia i badaia tych wielkości, które mają charakter wielowymiarowych wektorów losowych W prezetowaej pracy, ależącej także do urtu badań ad wielowymiarowymi charakterystykami społeczo-gospodarczymi, zapropoowae wcześiej owe arzędzia probabilistycze wykorzystae zostały do opisu i badaia wybraych wektorowych charakterystyk polskiego ryku kapitałowego Współrzędymi badaych wektorów były poziomy ideksów giełdowych: WIG, WIG- WIG-Baki oraz WIG-Paliwa, a także retowości tych ideksów Dae, które wykorzystae zostały w części merytoryczej artykułu, pochodzą z okresu od 4 styczia 016 r do 7 lipca 017 r W pierwszej, metodologiczej części artykułu przypomiao, wskazując jedocześie kokrete pozycje literaturowe, probabilistycze i statystycze
Wielowymiarowa aaliza statystycza 163 arzędzia, czyli defiicje oraz postaci zarówo samych parametrów wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa, jak i ich estymatorów, których wartości, czyli oszacowaia (ocey) parametrów, zostały wyzaczoe i ziterpretowae w części merytoryczej Wybrae parametry wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa oraz ich estymatory Podstawowymi charakterystykami rozkładu jedowymiarowej zmieej losowej są jego momety zwykłe oraz cetrale (por p Feller 1969, Shao 003) W pracach (Tatar 1996, 1999), wykorzystując defiicję potęgi wektora w przestrzei z iloczyem skalarym, zapropoowao wielowymiarowe uogólieie tych pojęć Niech, rdn = Nj" oraz iech 0 L Ω = X: Ω" R : Xwektor losowyi X dp < + 3 ^ h ' 1 r r będzie przestrzeią wektorów losowych sumowalych (całkowalych) w r-tej potędze Należy admieić w tym miejscu, że w literaturze probabilistyczej wielkość r r E6 X @ = # X dp jest iekiedy azywaa (por p Bilodeau i Breer 1999) Ω mometem rzędu r wektora losowego X i ozaczaa symbolem E[X r ] Natomiast w pracy (Tatar 00), przez aalogię do przypadku jedowymiarowego, wyrażeie to określoo jako momet absoluty rzędu r wektora losowego X Rozważmy zatem wektor X: Ω " R ależący do przestrzei L r (Ω), taki że jego momet absoluty rzędu r jest skończoy Przyjmijmy poadto, że R σ f ρ σ σ V S 1 1 1 W Σ = S h j h W X S ρ σ σ f σ W 1 1 T X jest klasyczie rozumiaą macierzą kowariacji wektora X, zaś R 1 f r V S 1W R = h j h X S W Sr f 1 W 1 T X macierzą jego korelacji cząstkowych Defiicja 1 (Tatar 1996, 1999) Mometem zwykłym rzędu r wektora losowego X: Ω " R azywamy wyrażeie α r, (X) = E[X r ] Ω #
164 Katarzya Budy, Ja Tatar Zauważmy, że momet zwykły rzędu pierwszego wektora losowego jest wektorem wartości oczekiwaych jego składowych, czyli α 1, (X) = m(x) = EX; momet te będziemy azywać wartością oczekiwaą wektora losowego X Defiicja (Tatar 1996, 1999) Mometem cetralym rzędu r wektora losowego X: Ω " R azywamy wielkość μ r, (X) = E[(X EX) r ] Szczególe zaczeie ma momet cetraly rzędu drugiego wektora X, czyli μ, (X) = E[(X EX) ] Momet te będziemy azywać wariacją wektora losowego X oraz ozaczać także symbolem D X Za pomocą mometów cetralych wektora losowego defiiujemy z kolei takie charakterystyki wielowymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa, jak współczyik asymetrii czy kurtoza Defiicja 3 (Tatar 000) Współczyik asymetrii wektora losowego X defiiujemy jako: X 3 μ3, ^ h E6 ^X EXh @ γ X SkewX 1, ^ h = = 3 = 3 μ X D X ^ ^ hh ^ h, Zwróćmy uwagę, że zdefiiowaa powyżej miara asymetrii rozkładu wektora losowego dostarcza także wartości wektorowej Wskazuje oa zatem kieruek, a którym występuje ewetuala skośość (asymetria) Do pomiaru i wyrażeia jej wielkości moża z kolei wykorzystać długość lub kwadrat wektora γ 1, (X), czyli γ ^Xh lub β ^Xh= γ ^Xh 1, 1, 1, Defiicja 4 (Budy 009, Budy i Tatar 009) Kurtozą wektora losowego X azywamy wielkość β, (X) wyrażoą jako: β, X 4 μ4, ^ h E6 ^X EXh @ ^Xh = KurtX = = X ^μ ^ hh ^D Xh, W pracy (Budy 01) wykazao, że kurtoza wektora losowego N: Ω " R o wielowymiarowym rozkładzie ormalym z tą samą wektorową wartością oczekiwaą i tą samą macierzą kowariacji, jakimi charakteryzuje się wektor losowy X, przyjmuje postać: β, ^Nh = KurtN = 1 + / ^D N h + ρ D N $ D N i = 1 / i i, j = 1 ij i j i j / D N $ D N i j i, j = 1 =
Wielowymiarowa aaliza statystycza 165 = 1 + / σ + i = 1 4 / ρ σσ i ij i j i, j = 1 i j / σσ i j i, j = 1 gdzie r ij ozacza współczyik korelacji składowych N i oraz N j wektora N Wykorzystując pojęcie kurtozy, w pracy (Budy 014b) zdefiiowao koleją charakterystykę wielowymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa Defiicja 5 (Budy 014b) Współczyikiem ekscesu (ekscesem) wektora losowego X: Ω " R azywamy wielkość γ, (X) określoą astępująco: γ X Ekscess X, ^ h = = J N K / ^D X D X D X ih + / ρ $ O ij i j K i = 1 i, j = 1 O i j = Kurt X K 1 + O K O = β X β N, ^ h, ^ h K / D X $ D X i j O L i, j = 1 P W badaiu wielowymiarowych wielkości losowych istote zaczeie mają pomiar oraz aaliza ich wzajemych zależości Jedą z ważiejszych miar w tym zakresie jest współczyik korelacji wielowymiarowej Niech X: Ω " R m oraz Y: Ω " R będą dowolymi wektorami losowymi, przy czym o wektorze Y zakładamy, że μ, (Y) = D Y 0 Defiicja 6 (Budy 018) Współczyik korelacji wielowymiarowej (współczyik korelacji wektorów losowych X oraz Y) defiiujemy jako: XY, D ^ A X XY, h r, multi ^ h = D Y gdzie A X, Y jest macierzą realizującą waruek mi E6 ^Y ^AX + Bhh @, A! M ^ R # mh^ h B! M ^ ^Rh # 1h Ważymi własościami współczyika korelacji wielowymiarowej są jego ieujemość oraz iezmieiczość względem skali i traslacji wektorów Ią istotą własością miary r multi jest brak jej symetrii; tz mogą istieć pary wektorów X oraz Y, dla których zachodzi ierówość r multi (X, Y) r multi (Y, X) W pracy (Budy 018) wykazao, że kwadrat zdefiiowaego powyżej współczyika korelacji wielowymiarowej moża, w sposób rówoważy, zapisać jako: D Y i r XY, XY,, multi ^ h = / r D Y ^ ih i = 1
166 Katarzya Budy, Ja Tatar gdzie r(x, Y i ) jest współczyikiem korelacji wielokrotej (wielorakiej) między zmieą losową Y i a wektorem losowym X = (X 1,, X m ), dla wszystkich i d {1,, } W praktyce, w aalizie wielowymiarowych daych empiryczych badając ich charakterystyki oparte a defiicji potęgi wektora wykorzystuje się (podobie jak ma to miejsce w przypadku jedowymiarowym) ich odpowiedie estymatory, czyli oszacowaia uzyskae a podstawie dostępej próby statystyczej W pracach (Budy 014a, 017, 018) zapropoowao postać estymatorów mometów zwykłych, mometów cetralych, współczyika asymetrii, kwadratu współczyika asymetrii, kurtozy i ekscesu wektora losowego oraz wykazao, że są to statystyki zgode i (co ajmiej) asymptotyczie ieobciążoe Dla potrzeb rozważań prowadzoych w dalszej części pracy przypomijmy ich defiicje Niech X: Ω " R w dalszym ciągu będzie badaym -wymiarowym wektorem losowym oraz iech kd N ozacza liczebość wykorzystywaej próby losowej Sama zaś próba losowa prosta z rozkładu -wymiarowego iech będzie ciągiem wektorów: X 1 : Ω " R, f, X k : Ω " R Defiicja 7 (Budy 014a, 018) Estymatorem mometu zwykłego rzędu r wektora losowego (iaczej: mometem zwykłym rzędu r w próbie wielowymiarowej) azywamy statystykę: k / ^X i 1 a = = r, k h (1) Szczególe zaczeie ma estymator mometu zwykłego rzędu pierwszego (estymator wartości oczekiwaej), czyli a 1, ozaczoy także symbolem Xr Defiicja 8 (Budy 017, 018) Estymatorem mometu cetralego rzędu r wektora losowego (mometem cetralym rzędu r w próbie wielowymiarowej) azywamy statystykę: k i r / ^X Xr h i 1 m = = () r, k W tym przypadku szczególie istoty jest estymator mometu cetralego rzędu drugiego (tz estymator wariacji) m, W kosekwecji pierwiastek kwadratowy z wariacji, czyli s= m =, k i r i / ^X Xr h i = 1 jest estymatorem odchyleia stadardowego k (3)
Wielowymiarowa aaliza statystycza 167 Estymatory mometów zwykłych i cetralych posłużyły do zdefiiowaia kolejych ważych statystyk Defiicja 9 (Budy 018) Estymatorem współczyika asymetrii wektora losowego (iaczej: współczyikiem asymetrii w próbie wielowymiarowej) azywamy wielkość: m3, γ t = 1, 3 (4) ^m h, Naturalą kosekwecją powyższej defiicji są postacie: estymatora długości wektora (współczyika) asymetrii: m3, γ t =, 1, 3 (5) ^m, h oraz estymatora kwadratu współczyika asymetrii wektora losowego (Budy 018): βt = ^γt h (6) 1, 1, W kolejych dwóch defiicjach podao postaci estymatorów współczyików kocetracji i spłaszczeia wielowymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa Defiicja 10 (Budy 018) Estymatorem kurtozy wektora losowego (kurtozą w próbie wielowymiarowej) azywamy statystykę: m4, β t =, (7) ^m, h Defiicja 11 (Budy 018) Estymatorem współczyika ekscesu wektora losowego (współczyikiem ekscesu w próbie wielowymiarowej) azywamy wielkość: J N i K i j / ^m r m m, h + / O ij,, K i = 1 i, j = 1 O i j γt = βt 1 +,,, K m O (8) L ^, h P i przy czym m, ozacza jedowymiarową wariację w próbie i-tej współrzędej wektora losowego, a r ij współczyik korelacji cząstkowej w próbie między i-tą oraz j-tą współrzędą, dla wszystkich i, jd" 1, f,, Na koiec tej części pracy przypomijmy postać estymatora zapropoowaej w defiicji 6 miary zależości wektorów losowych X: Ω " R m oraz Y: Ω " R Defiicja 1 (Budy 018) Estymatorem kwadratu współczyika korelacji wielowymiarowej wektorów X oraz Y azywamy wielkość:
168 Katarzya Budy, Ja Tatar R multi Y m i, X, Y Y R ^ h = /, (9) m XY, i i = 1 Y gdzie m i, jest klasyczym estymatorem jedowymiarowej wariacji zmieej Y Y losowej Y i, m m i = /, atomiast R,, XY, jest estymatorem kwadratu współczyika korelacji wielokrotej między zmieą losową Y i i i = 1 a zestawem zmieych losowych X 1,, X m, czyli wektorem losowym X = (X 1,, X m ), dla wszystkich id" 1, f,,, 3 Wybrae charakterystyki polskiego ryku kapitałowego aaliza 31 Uwagi ogóle W tej części pracy wykorzystao przedstawioe w pukcie charakterystyki wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa (oraz ich estymatory) do badaia kilku wektorów losowych wybraych z polskiego ryku fiasowego Współrzędymi (składowymi) tych wektorów są wielkości wymieioe we wprowadzeiu do iiejszego opracowaia Próbę, którą wykorzystao do uzyskaia oce wybraych parametrów rozkładu badaych wektorów, staowiły dae pobrae ze stroy wwwmoeypl Są to poziomy zamkięcia w każdym diu otowań w okresie od 4 styczia 016 r do 10 lipca 017 r W przypadku daych omialych wykorzystao zatem próbę 380-elemetową, zaś w badaiu retowości wybraych istrumetów (ideksów giełdowych), z oczywistych względów, próbę 379-elemetową Dla każdego z wyspecyfikowaych wektorów fiasowych wyzaczoo estymatory astępujących parametrów ich rozkładów: wartość oczekiwaa (wektor), według wzoru (1), wariacja łącza (skalar), według wzoru (), odchyleie stadardowe łącze (skalar), według wzoru (3), współczyik asymetrii (wektor), według wzoru (4), orma/długość współczyika asymetrii (skalar), według wzoru (5), kwadrat współczyika asymetrii (skalar), według wzoru (6), kurtoza, według wzoru (7), współczyik ekscesu, według wzoru (8) W celach poglądowych, pozawczych oraz porówawczych w każdym przypadku wyzaczoo rówież macierz kowariacji, macierz współczyików korelacji cząstkowych oraz klasyczie rozumiae astępujące charakterystyki
Wielowymiarowa aaliza statystycza 169 rozkładów brzegowych: wartość oczekiwaa, wariacja, odchyleie stadardowe, współczyik asymetrii, kurtoza oraz współczyik ekscesu Dla wybraych par badaych fiasowych wektorów losowych wyzaczoo także (według wzoru (9)) estymator kwadratu współczyika korelacji wielowymiarowej jako jedą z miar ich zależości 3 Estymatory wybraych charakterystyk rozkładu czterowymiarowego wektora poziomu ideksów Niech X 1 ozacza wartość ideksu WIG, X wartość ideksu WIG- X 3 wartość ideksu WIG-Baki oraz X 4 wartość ideksu WIG-Paliwa a Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie (GPW) Jako pierwszy poddamy badaiu wektor postaci X = (X 1, X, X 3, X 4 ) Korzystając z daych, o których mowa w pukcie 31, tj z próby 380-elemetowej, otrzymujemy podae poiżej wyiki 1 Macierz kowariacji: R S 36590093, 7 S165614, 0 Σ = X S377337, 8 S 636199 66 T 165614, 0 46583, 96 134004, 30 0345, 67 377337, 8 134004, 30 413766, 16 63011, 41 Macierz współczyików korelacji cząstkowej: R X = R S 1 S 9694 S 9698 S 975 T 9694 1 965 9440 9698 965 1 9058 975V W 9440W 9058W 1 W X 636199 66V W 0345, 67 W 63011, 41 W 1169543, 61 W X 3 Charakterystyki rozkładów brzegowych wektora X (tabela 1) Tabela 1 Estymatory charakterystyk rozkładów brzegowych Charakterystyka WIG WIG-0 WIG-Baki WIG-Paliwa Wartość oczekiwaa 50976,4 1955,9 6376,48 533,85 Wariacja 36 590 093,47 46 583,96 413 766,16 1 169 543,61 Odchyleie stadardowe 6048,98 15,83 643,5 1 081,45 Współczyik asymetrii 667 6909 5168 803 Kurtoza 1,8384 1,965 1,9341,1897 Współczyik ekscesu 1,1616 1,0375 1,0659 8103 Źródło: opracowaie włase
170 Katarzya Budy, Ja Tatar 4 Charakterystyki łącze wektora X (tabela ) Tabela Estymatory charakterystyk łączych rozkładu wektora losowego X (opartych a defiicji potęgi wektora) Charakterystyka Wartość estymatora EX (50 976,4; 1955,9; 6376,48; 533,85) D X 38 19 987,0 Odchyleie stadardowe 618,3 γ 1, (X) (616; 038; 065; 1197) Norma (długość) γ 1, 6313 β 1, (X) 3985 β, (X) 1,8419 γ, (X) 1,1488 Źródło: opracowaie włase Iterpretacja wyików 1 Wariacja łącza wektora losowego X jest rówa sumie wariacji rozkładów brzegowych Nie jest to zaskoczeiem, poieważ w pracach (Tatar 1996, Tatar 1999) udowodioo prawdziwość tego związku w przypadku każdego wektora losowego Największy wpływ a wartość łączego odchyleia stadardowego wektora losowego X ma odchyleie stadardowe zmieej losowej X 1, czyli poziomu ideksu WIG 3 Każdy z rozkładów brzegowych wektora X charakteryzuje się wyraźą asymetrią prawostroą ( dodatią ) Najbardziej wydłużoe prawe ramię ma rozkład zmieej WIG-Paliwa (803), ajmiej zaś rozkład ideksu WIG-Baki 4 Łącza asymetria wektora X wyrażoa czterowymiarowym wektorem γ = 1, = (, 0 616; 038; 065; 1197) rówież wskazuje a dodatią skośość jego rozkładu a każdym z czterech kieruków Zdecydowaie ajwiększą wartość ma jedak ta współrzęda wektora asymetrii, która odpowiada kierukowi (zmieej losowej) WIG Co więcej, długość wektora asymetrii łączej (6313) jest zbliżoa do wartości współczyika asymetrii brzegowej zmieej losowej WIG Spostrzeżeie to skłaia do kokluzji, że próba aalizy asymetrii wektora losowego poprzez aalizę asymetrii jego rozkładów brzegowych może prowadzić do ieuprawioych wiosków W rozważaym w artykule przypadku takie podejście mogłoby błędie sugerować, że wektor X będzie charakteryzował się ajwiększą asymetrią (skośością) a kieruku WIG-Paliwa Moża zatem sformułować wiosek, że aalizując asymetrię rozkładów wielowymiarowych,
Wielowymiarowa aaliza statystycza 171 ie wystarczy zbadać, jak bardzo (i w którą stroę) wydłużoe są ramioa rozkładów brzegowych, ale trzeba poadto zmierzyć, jak duża masa prawdopodobieństwa mieści się pod tymi ramioami, a a to pozwala współczyik asymetrii łączej γ 1, 5 Ostatie dwa wskaźiki, tz kurtoza oraz (będący jej kosekwecją) współczyik ekscesu, mogą być iterpretowae jako miary, odpowiedio, spłaszczeia badaego rozkładu oraz jego różieia się (odbiegaia) od rozkładu ormalego o tej samej wartości oczekiwaej oraz wariacji Iterpretacja ta odosi się do rozkładów zarówo jedowymiarowych, jak i wielowymiarowych W przypadku badaego wektora ideksów giełdowych ajwiększym spłaszczeiem charakteryzuje się rozkład brzegowy WIG-Paliwa (,1897), chociaż odbiega o w ajmiejszym stopiu (spośród wszystkich czterech rozkładów brzegowych) od rozkładu ormalego (eksces rówy 8103) Kurtoza łączego rozkładu wektora X przyjmuje wartość (1,84190) zbliżoą do wartości kurtozy główego ideksu WGPW, czyli WIG-u Podobie jest w przypadku wskaźika ekscesu: czterowymiarowy rozkład wektora ideksów giełdowych różi się od odpowiadającego mu rozkładu ormalego w przybliżeiu w tym samym stopiu ( 1,1488), w jakim rozkład WIG-u różi się od rozkładu ormalego o wartości oczekiwaej 50 976,4 oraz odchyleiu stadardowym 6048,98 Iterpretując wartość estymatora współczyika ekscesu, ależy rówież zwrócić uwagę a jego zak Ujema wartość wskazuje a to, że odbiegaie od rozkładu ormalego ma miejsce przede wszystkim w przypadku realizacji bardziej odległych od wartości oczekiwaej (czyli w przypadku jedowymiarowym a tzw ogoach), zaś dodati współczyik ekscesu świadczy o różicach między badaym rozkładem a rozkładem ormalym dla realizacji bliskich wartości średiej 33 Estymatory wybraych charakterystyk rozkładu dwuwymiarowego wektora poziomu ideksów Biorąc pod uwagę ozaczeia podae w pukcie 3, będziemy teraz rozważać wektor losowy Y = (X 1, X ), czyli wektor, którego brzegowymi zmieymi losowymi są WIG oraz WIG-0 Korzystając z tej samej próby historyczej (ciąg 380-elemetowy), wyzaczymy estymatory charakterystyk wymieioych w pukcie 31 Stosując odpowiedie formuły, otrzymujemy podae poiżej wyiki 1 Macierz kowariacji: 36590093, 47 Σ = Y ; 165614, 0 165614, 0 E 46583, 96
17 Katarzya Budy, Ja Tatar Macierz współczyików korelacji cząstkowej: R = ; 1 Y 9694 694 1 E 3 Charakterystyki rozkładów brzegowych wektora Y; wartości estymatorów zostały obliczoe w pukcie 3 i podao je w tabeli 1 4 Charakterystyki łącze wektora Y (tabela 3) Tabela 3 Estymatory charakterystyk łączych rozkładu wektora losowego Y (opartych a defiicji potęgi wektora) Charakterystyka Wartość EY (50 976,4; 1955,9) D Y 36 636 677,43 Odchyleie stadardowe 605,8 γ 1, (Y) (664; 04) Norma (długość) γ 1, 669 β 1, (Y) 3930 β, (Y) 1,8384 γ, (Y) 1,1613 Źródło: opracowaie włase Iterpretacja wyików 1 Podobie jak w przypadku wektora badaego w pukcie 3 wariacja łącza jest liczbą, czyli skalarem, ie zaś wektorem Jest to immaeta własość wariacji liczoej według owej kocepcji charakteryzacji wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa Co więcej, według tej kocepcji wszystkie momety rzędu parzystego są skalarami, wszystkie zaś momety rzędu ieparzystego są wektorami Nie powio budzić to zaiepokojeia; przeciwie, skoro momety rzędu ieparzystego mają służyć (i służą) do defiiowaia parametrów położeia rozkładu, to w przestrzei wielowymiarowej powiy być wektorami; skoro zaś momety rzędu parzystego wykorzystuje się do określaia parametrów rozproszeia daego rozkładu, to także w przestrzei wielowymiarowej powiy być skalarami (liczbami) Rówież w tym przypadku współczyiki asymetrii obliczoe oddzielie dla obydwu rozkładów brzegowych mogłyby skłaiać do błędego wiosku, że baday wektor losowy jest bardziej asymetryczy a kieruku X, tz WIG-0 (6909 vs 667) Tymczasem wyzaczoy łączy (wektorowy) współczyik
Wielowymiarowa aaliza statystycza 173 (664; 04) wskazuje a zdecydowaą skośość a kieruku WIG Przyczyy takiego stau rzeczy wskazao, iterpretując wyiki uzyskae w pukcie 3 3 Rozkład prawdopodobieństwa wektora dwóch ideksów giełdowych rozważaego w tym pukcie pracy także charakteryzuje się zaczym spłaszczeiem (kurtoza rówa 1,8384) oraz odbiegaiem od ormalości ( 1,1613) przede wszystkim dla tych realizacji, które są dość odlegle od wartości oczekiwaej (ujemy wskaźik ekscesu) 4 Dwuwymiarowość wektora Y stwarza możliwość graficzego przedstawieia jego rozkładu Poiżej zaprezetowao trzy wykresy: histogram rozkładu wektora Y skostruoway a podstawie 380-elemetowej próby (rys 1), dwuwymiarowy rozkład ormaly o tej samej wartości oczekiwaej oraz wariacji (rys ), a także zestawieie obydwu rysuków (rys 3) Wykresy te potwierdzają słuszość sformułowaych wcześiej wiosków Niestety, z oczywistych przyczy, ie jest możliwe graficze przedstawieie rozkładu (oraz jego charakterystyk) czterowymiarowego wektora badaego w poprzedim pukcie pracy wymagałoby to sporządzeia wykresu w przestrzei pięciowymiarowej 5 10 7 4 10 7 3 10 7 10 7 1 10 7 40000 45000 50000 WIG 55000 60000 65000 1700 1900 100 300 500 WIG-0 Rys 1 Histogram rozkładu wektora Y Źródło: opracowaie włase
174 Katarzya Budy, Ja Tatar 5 10 7 4 10 7 3 10 7 z 10 7 1 10 7 40000 4500050000 WIG 55000 6000065000 300 500 1700 1900100 WIG-0 Rys Dwuwymiarowy rozkład ormaly o wektorze wartości oczekiwaych EY i macierzy kowariacji Σ Y Źródło: opracowaie włase 5 10 7 4 10 7 3 10 7 z 10 7 1 10 7 40000 4500050000 WIG 55000 6000065000 300 500 1700 1900100 WIG-0 Rys 3 Zestawieie histogramu oraz dwuwymiarowego rozkładu ormalego Źródło: opracowaie włase
Wielowymiarowa aaliza statystycza 175 34 Estymacja wielowymiarowego współczyika korelacji Niech w dalszym ciągu obowiązują ustaleia podae w pukcie 3 oraz iech Y = (X 1, X ) i Z = (X 3, X 4 ) Będziemy zatem rozważać dwa dwuwymiarowe wektory: Y = (WIG, WIG-0) oraz Z = (WIG-Baki, WIG-Paliwa) Zbadamy ich wzajemą zależość, obliczając, według wzoru (9), estymator kwadratu wielowymiarowego współczyika korelacji Otrzymujemy: r ^Y, Zh = 9473 oraz r ^ZY, h= 9898 multi Powyższy rezultat potwierdza, że wykorzystyway w iiejszej pracy współczyik korelacji (jako miara zależości wektorów losowych) ie ma własości symetrii Nie ależy w tym upatrywać iczego zaskakującego: pozostając we wzajemym związku, wektory Y i Z odgrywają w im róże role, a zatem siła zależości Y od Z ie musi być (i a ogół ie jest) taka sama jak siła zależości Z od Y Uwaga ta dotyczy także zmieych losowych jedowymiarowych: jeżeli p zysk daego przedsiębiorstwa w jakimś stopiu zależy od ogólego poziomu rykowych stóp procetowych, to przecież wysokość stóp procetowych zapewe w iym stopiu (jeżeli w ogóle) zależy od zysku tego kokretego przedsiębiorstwa W rozważaym w artykule przypadku okazuje się, że obie zależości (Y od Z oraz Z od Y) są bardzo sile, co biorąc pod uwagę składowe oraz strukturę tych wektorów Y i Z ie jest zaskoczeiem Nie zaskakuje rówież, że w tym przypadku zależość między Z a Y jest wyraźie siliejsza iż zależość między Y a Z 35 Estymatory wybraych charakterystyk rozkładu czterowymiarowego wektora retowości Niech w dalszym ciągu X = (X 1, X, X 3, X 4 ) będzie wektorem ustaloym a początku puktu 3, czyli wektorem czterech wybraych ideksów otowaych a WGPW Określmy poadto wektor U = (U 1, U, U 3, U 4 ), gdzie U 1 jest dobową (lepiej: jedosesyją) retowością ideksu WIG, U dobową retowością ideksu WIG- U 3 dobową retowością ideksu WIG-Baki, a U 4 dobową retowością wskaźika WIG-Paliwa Rozważamy zatem czterowymiarowy wektor retowości (stóp zwrotu) wybraych ideksów Poieważ mówimy o klasyczie rozumiaych retowościach jedosesyjych, więc historycza próba, którą wykorzystamy do dalszych obliczeń, jest próbą 379-elemetową Postępując podobie jak dotychczas oraz korzystając z odpowiedich formuł, otrzymujemy podae poiżej wyiki multi
176 Katarzya Budy, Ja Tatar 1 Macierz kowariacji: R S 000086 S 000103 Σ = U S 000118 S 000091 T 000103 00019 000145 000114 000118 000145 00005 000093 000091V W 000114W 000093W 000 W X Macierz współczyików korelacji cząstkowej: R 1 985 889 587 V S W 985,, R = S 1 0 8937 0 6765W U S 889 8937 1 4381W S 6587 6765 4381 1 W T X 3 Charakterystyki rozkładów brzegowych wektora U (tabela 4) Tabela 4 Estymatory charakterystyk rozkładów brzegowych Charakterystyka retwig retwig-0 retwig- -Baki retwig- Paliwa Wartość oczekiwaa 000818 000706 000659 001463 Wariacja 000086 00019 00005 000 Odchyleie stadardowe 00974 06571 014318 014900 Współczyik asymetrii 49 001 359 0646 Kurtoza 4,6668 3,8779 4,9574 3,5143 Współczyik ekscesu 1,6668 8779 1,9574 5143 Źródło: opracowaie włase 4 Charakterystyki łącze wektora U (tabela 5) Tabela 5 Estymatory charakterystyk łączych rozkładu wektora losowego U (opartych a defiicji potęgi wektora) Charakterystyka Wartość EU (000818; 000706; 000659; 001463) D U 000641 Odchyleie stadardowe 05318 γ 1, (U) ( 00488; 03501; 0790; 00469) Norma (długość) γ 1, 076197 β 1, (U) 005806 β, (U) 3,0710 γ, (U) 7748 Źródło: opracowaie włase
Wielowymiarowa aaliza statystycza 177 Iterpretacja uzyskaych wyików 1 Rozważając odrębie rozkłady brzegowe wektora U zauważamy, że ajwiększą asymetrią (prawostroą) charakteryzuje się zmiea losowa ret WIG-Baki (359), astępie zmiea retwig ( 49), a ajmiejszą asymetrię brzegową wykazuje zmiea retwig-0 ( 0016) Z kolei asymetria łącza (wektorowa) wskazuje, że wprawdzie wektor U charakteryzuje się ajwiększą skośością także a kieruku retwig-baki (073), ale kolejym jest kieruek retwig-0 ze skośością rówą 035 Kurtoza łącza wektora U wyosi 3,071 i jest zdecydowaie miejsza iż kurtoza każdego z rozkładów brzegowych Ozacza to, że łączie rozpatryway wektor retowości ideksów giełdowych ie wykazuje aż tak dużego spłaszczeia jak każdy z jego rozkładów brzegowych 3 Miara odbiegaia rozkładu łączego wektora retowości od rozkładu ormalego (współczyik ekscesu) wyosi 7748 i jest zaczie iższa od ekscesu wyzaczoego w pukcie 3 dla wektora wartości omialych wybraych ideksów Potwierdza to słuszość podejścia stosowaego w badaiu jedowymiarowych ce aktywów oraz ich retowości, zgodie z którym o ile często uzasadioe jest założeie o ormalości rozkładu stóp zwrotu, o tyle a ogół błęde byłoby aalogicze przypuszczeie w odiesieiu do ce omialych rozważaych aktywów 36 Estymatory wybraych charakterystyk rozkładu dwuwymiarowego wektora retowości Niech U = (U 1, U, U 3, U 4 ) będzie adal wektorem retowości wybraych ideksów GPW określoym w pukcie 35 Rozważmy teraz wektor V = (U 1, U ), czyli V = (retwig, retwig-0) Wykorzystując w dalszym ciągu 79-elemetowy ciąg daych historyczych, otrzymujemy podae poiżej estymatory wybraych charakterystyk 1 Macierz kowariacji: 00086 Σ = V ; 000103 000103 E 00019 Macierz współczyików korelacji cząstkowej: R = ; 1 V 985 985 1 E 3 Charakterystyki rozkładów brzegowych wektora V; wartości ich estymatorów zostały obliczoe w pukcie 35 i podae są w tabeli 4
178 Katarzya Budy, Ja Tatar 4 Charakterystyki łącze wektora V (tabela 6) Tabela 6 Estymatory charakterystyk łączych rozkładu wektora losowego V (opartych a defiicji potęgi wektora) Charakterystyka Wartość EV (000818; 000706) D V 00014 Odchyleie stadardowe 01469 γ 1, (U) ( 088765; 047867) Norma (długość) γ 1, 100849 β 1, (V) 010171 β, (V) 4,176 γ, (V) 1,1609 Źródło: opracowaie włase Iterpretacja uzyskaych wyików 1 Kolejy raz zauważamy, że łączy wektor asymetrii γ 1, (V) wskazuje a zupełie iy jej kieruek iż te, który mógłby być odczytay ze współczyików asymetrii rozkładów brzegowych Także poziom (wielkość) asymetrii łączej jest róży od poziomu asymetrii rozkładów brzegowych 3000 z 000 1000 0 04 0 0 WIG 0 04 0 0 04 04 0 WIG-0 Rys 4 Histogram rozkładu wektora V Źródło: opracowaie włase
Wielowymiarowa aaliza statystycza 179 8000 7000 6000 z 5000 4000 3000 000 1000 0 04 0 0 WIG 0 04 04 0 0 04 0 WIG-0 Rys 5 Dwuwymiarowy rozkład ormaly o wektorze wartości oczekiwaych EV i macierzy kowariacji Σ V Źródło: opracowaie włase 8000 7000 6000 z 5000 4000 3000 000 1000 0 04 0 0 WIG 0 04 04 0 0 04 0 WIG-0 Rys 6 Zestawieie histogramu oraz dwuwymiarowego rozkładu ormalego Źródło: opracowaie włase
180 Katarzya Budy, Ja Tatar Kurtoza oraz współczyik ekscesu rozkładu wektora V sugerują, że zaczie bardziej odbiega o od rozkładu ormalego iż było to w przypadku rozważaego w pukcie 35 wektora U Moża to także dostrzec a rys 4 6 zauważamy, że histogram rozkładu wektora V jest dużo bardziej spłaszczoy iż rozkład ormaly o tej samej wartości oczekiwaej oraz wariacji 37 Estymatory wielowymiarowych współczyików korelacji W ostatim pukcie prowadzoej aalizy przyjmijmy, że V = (U 1, U ) oraz W = (U 3, U 4 ), gdzie U 1, U, U 3, U 4 mają zaczeie określoe w pukcie 35 Rozważamy zatem dwa dwuwymiarowe wektory: V = (retwig, retwig-0) oraz W = (retwig-baki, retwig-paliwa) Obliczając estymatory kwadratu współczyików korelacji wielowymiarowej (korzystając ze wzoru (9)), otrzymujemy: r ^VW, h = 649 oraz r ^WV, h= 8919 multi Kometarz do uzyskaych wyików jest aalogiczy do sformułowaego a zakończeie puktu 34 multi 4 Uwagi końcowe i perspektywy badawcze Zaprezetowae w artykule przykłady wykorzystaia łączych charakterystyk wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa pozwalają a sformułowaie wiosku, że odmiee od klasyczego podejście do aalizy rozkładów wektorów losowych pozwala dokładiej opisać badaą rzeczywistość iż badaie ich jedowymiarowych wektorów losowych Odosi się to mi do takich ich charakterystyk, jak asymetria, kurtoza czy współczyik ekscesu W szczególości eksces rozkładu wielowymiarowego może być ważą przesłaką formułowaia hipotezy o jego ormalości Oczywiście, taka hipoteza musiałaby zostać poddaa weryfikacji, do tego zaś potrzebe bądą odpowiedie testy statystycze Kostrukcja takich testów jawi się jako koleje zadaie w procesie rozwijaia kocepcji owej charakteryzacji wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa Zadaie to ie musi być łatwe, ale zdaiem autorów dogodym puktem wyjścia do jego realizacji mogą być uzyskae już wcześiej postaci estymatorów szeregu charakterystyk Estymatory te z powodzeiem zostały wykorzystae także w iiejszym opracowaiu
Wielowymiarowa aaliza statystycza 181 Literatura Bilodeau M, Breer D (1999), Theory of Multivariate Statistics, Spriger-Verlag, New York Budy K (009), Kurtoza wektora losowego, Prace Naukowe Uiwersytetu Ekoomiczego we Wrocławiu, r 78, seria: Ekoometria, r 6 Budy K (01), Kurtoza wektora losowego o wielowymiarowym rozkładzie ormalym (w:) Zastosowaie metod ilościowych w fiasach i ubezpieczeiach, red S Folrlicz, CeDeWu, Warszawa Budy K (014a), Estymacja mometów zwykłych wektora losowego opartych a defiicji potęgi wektora, Folia Oecoomica Cracoviesia, vol 55 Budy K (014b), Współczyik ekscesu wektora losowego, Studia Ekoomicze Zeszyty Naukowe Uiwersytetu Ekoomiczego w Katowicach, r 03 Budy K (017), Estimatio of the Cetral Momets of a Radom Vector Based o the Defiitio of the Power of a Vector, Statistics i Trasitio New Series, vol 18, r 1, https://doiorg/101307/stattras-016-061 Budy K (018), Nowe charakterystyki rozkładu i zależości wektorów losowych kostrukcja, estymacja, zastosowaia, Moografie: Prace Doktorskie, Wydawictwo Uiwersytetu Ekoomiczego w Krakowie, Kraków Budy K, Tatar J (009), Kurtosis of a Radom Vector Special Types of Distributios, Statistics i Trasito New Series, vol 1 r 3 Feller W (1969), Wstęp do rachuku prawdopodobieństwa, t, PWN, Warszawa Shao J (003), Mathematical Statistics, d ed, Spriger, New York Tatar J (1996), O iektórych miarach rozproszeia rozkładów prawdopodobieństwa, Przegląd Statystyczy, vol 43, r 3 4 Tatar J (1999), Momets of a Radom Variable i a Hilbert Space, Przegląd Statystyczy, vol 46, r Tatar J (000), Asymetria wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa, Materiały z XXXV Koferecji Statystyków, Ekoometryków i Matematyków Akademii Ekoomiczych Polski Połudiowej zorgaizowaej przez Katedrę Statystyki Akademii Ekoomiczej w Krakowie (Osieczay, 3 5 marca 1999 r), Wydawictwo Akademii Ekoomiczej w Krakowie, Kraków Tatar J (00), Nierówość Lapuowa dla wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa, Zeszyty Naukowe Akademii Ekoomiczej w Krakowie, r 549 Multivariate Statistical Aalysis i the Study of Capital Markets (Abstract) I their previous work, the authors have preseted a approach to describig ad researchig multivariate probability distributios that departs from the stadard I this paper, the ew tools that resulted have bee used to research ad aalyse selected two-, three- ad fourth-dimesio radom vectors that have appeared o the Polish capital market Coordiates of these vectors are stock market idices: WIG, WIG- WIG-Baks, WIG-Fuels ad profitability of these idices Usig market data for the period 4/1/16 7/7/17, the followig estimators of parameters of aalysed distributios
18 Katarzya Budy, Ja Tatar were calculated ad iterpreted: expected value, total variace, total stadard deviatio, skewess coefficiet, orm of the skewess coefficiet, square of the skewess coefficiet, kurtosis ad excess coefficiet I order to overview ad compare, for each vector a covariace matrix ad a matrix of correlatio coefficiets are idicated The followig characteristics of margial distributios are also used: expected value, variace, stadard deviatio, skewess coefficiet, kurtosis ad excess coefficiet For each pair of fiacial radom vectors researched, the estimator of the square of correlatio coefficiet was also calculated, as that is oe of the possible measures of their depedece Keywords: parameters of the probability distributio, multivariate radom vector, estimator, capital market, stock idex, profitability