WYKŁAD nr 2. to przekształcenie (1.4) zwane jest przekształceniem całkowym Laplace a

Podobne dokumenty
ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW. Spis treści

Politechnika Gdaska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Przekształcenie Laplace a. Definicja i własności, transformaty podstawowych sygnałów

ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW. Spis treści

D:\materialy\Matematyka na GISIP I rok DOC\07 Pochodne\8A.DOC 2004-wrz-15, 17: Obliczanie granic funkcji w punkcie przy pomocy wzoru Taylora.

Przekształcenie Laplace a i jego zastosowania

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

MACIERZE STOCHASTYCZNE

Wykład 4: Transformata Laplace a

3. Metody matematycznego opisu właściwości liniowych elementów i układów automatyki

4. UKŁADY REGULACJI AUTOMATYCZNEJ

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

2. Wybrane zagadnienia matematyki wykorzystywane do opisu liniowych układów automatyki

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

21. CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA. x = x(t), y = y(t), a < t < b,

16. CHARAKTERYSTYKI CZASOWE UKŁADÓW SLS

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Temat 4. ( t) ( ) ( ) = ( τ ) ( τ ) τ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) Podstawowe własności dystrybucji δ(t) (delta Diraca)

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VIII Przekształcenie Laplace a

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Twierdzenia graniczne:

LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW

METODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński

1 Układy równań liniowych

EKONOMETRIA. Liniowy model ekonometryczny (regresji) z jedną zmienną objaśniającą

1 Zmienne losowe. Własności dystrybuanty F (x) = P (X < x): F1. 0 F (x) 1 dla każdego x R, F2. lim F (x) = 0 oraz lim F (x) = 1,

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Sygnały pojęcie i klasyfikacja, metody opisu.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

, gdzie b 4c 0 oraz n, m ( 2). 2 2 b b b b b c b x bx c x x c x x

Wykład 19. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ grudnia 2011

Podprzestrzenie macierzowe

Funkcja generująca rozkład (p-two)

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

Analiza obwodów elektrycznych z przebiegami stochastycznymi. Dariusz Grabowski

tek zauważmy, że podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy dla funkcji zespolonych zmiennej rzeczywistej pochodne wyższych rze

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

I kolokwium z Analizy Matematycznej

Podprzestrzenie macierzowe

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jarosława Dąbrowskiego ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO

Niepewności pomiarowe

ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1

Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

( ) ( ) ( τ) ( t) = 0

Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW ANALOGOWYCH NA SYGNAŁY CYFROWE

Matematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

3. Funkcje elementarne

z przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Ciągi liczbowe wykład 3

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW ANALOGOWYCH NA SYGNAŁY CYFROWE

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Niezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

WYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

Mechanika analityczna wprowadzenie

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Ćwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny

W(s)= s 3 +7s 2 +10s+K

Wykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

n 2 1. lim n 3 sin 2. lim k 2 + n 2 3. lim 8 k n + 2 k + 5 n 2 Oblicz granice n lim n 2 3 π + log(8) x π + log(64) lim sin sin lim

Zauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

1. Element nienaprawialny, badania niezawodności. Model matematyczny elementu - dodatnia zmienna losowa T, określająca czas życia elementu

Relacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Metody oceny efektywności projektów inwestycyjnych

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

Transkrypt:

WYKŁAD r. Elemey rachuku operaorowego Podawą rachuku operaorowego je zw. przekzałceie Laplace a, mające poać przekzałceia całkowego, przyporządkowujące fukcjom pewe owe fukcje, iego argumeu. Mówi ię, że pewa fukcja F argumeu zepoloego je raformaą w eie Laplace a fukcji f argumeu rzeczywiego, określoej dla > i zwaej orygiałem, co je oowae w poaci F ( f ( ] (.3 jeżeli między ymi fukcjami zachodzi relacja w poaci F ( F( e d o przekzałceie (.4 zwae je przekzałceiem całkowym Laplace a (.4 W ablicy podao raformay Laplace a dla zeregu orygiałów, z jakimi moża ię pokać w prakyce. Tablica pełi rolę łowika, pozwalającego łumaczyć klayczy zapi ygałów, jako ich przebieg w czaie, a zapi operaorowy ych ygałów, w poaci fukcji F(. Zapi operaorowy łuży ie ylko do oowaia ygałów, główie do oowaia charakeryyk dyamiczych układów liiowych; w ym przypadku F( je raformaą pewego, charakeryyczego dla daego układu przebiegu ygału wyjściowego f ( kórym o ygałem układ odpowiada a adardowe wymuzeie wejściowe. Typowe wymuzeia adardowe zeawioe zoały w abeli r. L.P Opi Wykre Orygiał Trafor maa. Skok jedokowy (fukcja Heaviide a x(, < x (,

. Wymuzeie kokowe o dowolej warości x( x, < x( x, x 3. Wymuzeie impulowe ( fukcja Diraca x(, < x (,, > 4. 5. Wymuzeie liiowo araające Wymuzeie parabolicze x( x( x ( a a a x ( a 3 Tabela r. Typowe wymuzeia adardowe Możliwa je rówież raformaa odwroa, pozwalająca a określeie fukcji czau f ( odpowiadającej daej fukcji zmieej zepoloej F(.Odwroe przekzałceie Laplace a wyraża ię zależością : L [ F( ] Πj σ j σ j F( e d gdzie: σ ała więkza od odcięej zbieżości fukcji F( (.5

L.p Orygiał Traformaa Orygiał Traformaa. e α α 3.4 e ± m α! ( α ( 5,6. ( e α α ( α α 7,8. i α α 9,. iα e ±α e α ( α α α e e α α α ( α co α coα ( m α ( α ( α ( α ( α α α Tabela r. Orygiały i raformay Laplace a. Podawowe właości rachuku operaorowego Twierdzeie o liiowości Zgodie z ym wierdzeiem możik ały oraz ymbol umowaia mogą być wyieioe przed ymbol L przekzałceia Laplace a ak jak moża je wyoić przed ymbol całkowaia W zczególości : raformaa umy rówa ię umie raforma raformaa iloczyu ałej i fukcji rówa je iloczyowi ałej i raformay fukcji. Podawowe zaczeie ego wierdzeia polega a ym, że doarcza oo przełaki do prakyczego wykorzyaia odwroego przekzałceia Laplace a j. pozukiwaia orygiałów gdy zaa je raformaa. Rozkłada ię daą raformaę a ułamki proe, przechodząc aępie do orygiałów wyraz po wyrazie korzyając z abeli r. f ( g( ] f ( ] g( ] F( G( k f ( ] k f ( ] k F(, k co (.6

Twierdzeie o różiczkowaiu Fudameale zaczeie wierdzeń o różiczkowaiu i całkowaiu polega a ym, że prowadzą oe do algebraizacji problemów aaliyczych liiowych ciągłych. W zczególym ale ypowym przypadku w kórym ie igerują waruki począkowe z. f (, operacje aaliycze różiczkowaia i całkowaia orygiału ą reprezeowae w dziedziie raforma przez operacje algebraicze odpowiedio możeia i dzieleia przez zmieą "" przekzałceia Laplace a. df ( ] f ( ] f F( f d d f ( df ] f ( ] f d d d f ( d gdzie : f ( f lim f ( ] F( f ( f ( f f f df d,..., d,..., f graica praworoa F( f pochode fukcji f Twierdzeie o całkowaiu W przypadku gdy fukcja pierwoa f ( L [ f ( d] f ( ] F( L [... f ( d] 3 f d f f ( ] F( (.7 (.8 Twierdzeie o fukcji okreowej Jeżeli dla daej fukcji okreowej f ( f ( kt k,,3,4... zaa je za jede okre

je T L [ f ( ] f ( e d F L T [ f ] T T ( o jej raformaa rówa F ( ( (.9 e Twierdzeie o przeuięciu rzeczywiym W przypadku gdy przeuięcie czaowe wyoi τ τ τ L [ f ( τ ] e L [ f ( ] e F( (. Twierdzeie o przeuięciu zepoloym W odieieiu do przeuięcia w poaci dowolej liczby zepoloej λ ± λ L [ e f ( ] F( ± λ (. Twierdzeie o warości końcowej lim f ( lim F( w zakreie iieia graicy lim (. Twierdzeie o warości począkowej lim f ( lim F( w zakreie iieia graicy lim (.3 Twierdzeie o zmiaie kali L [ f ( a ] F( (.4 a a Twierdzeie o plocie fukcji (wierdzeie Borela L [ f f ( ] F ( F ( (, (.5

gdzie plo fukcji f ( f ( f ( τ f ( τ dτ f ( τ f ( τ dτ je operacją przemieą, łączą, rozdzielą względem dodawaia Splo je rówy zero wedy i ylko wedy, gdy co ajmiej jeda z fukcji f ( lub f ( je rówa zero.. Tramiacja operaorowa Tramiacja operaorowa je określaa dla układów acjoarych opiaych rówaiem różiczkowym liiowym o ałych kupioych.dokoując przekzałceia Laplace a względem obu ro ego rówaia, przy zerowych warukach począkowych,orzymuje ię ( l i bi Y ( ( i j j a X ( j gdzie : Y ( y( ], X ( x( ] (. Tramiacją operaorową azywamy ouek raforma ygału wyjściowego i wejściowego układu przy zerowych warukach począkowych, co w przypadku rówaia (. prowadza ię do zapiu G( a a l l l l b b... a a... b b (. Tramiacja operaorowa określa właości dyamicze układu, ie zależy ai od ygału wejściowego ai ygału wyjściowego - a jedyie od paramerów układu. Zając ramiację operaorową układu moża obliczyć przebieg odpowiedzi y ( a dowole wymuzeie x( korzyając z odwroego przekzałceia Laplace a : y( L [ G( X ( ] (.3!!! Miejca zerowe liczika ramiacji zwae ą zerami ramiacji.!!! Miejca zerowe miaowika ramiacji zwae ą bieguami.