Mechanika analityczna wprowadzenie

Transkrypt

1 Mechaika aalitycza wprowadzeie 1. Więzy i wpółrzęde uogólioe Jeśli rozważamy ruch układów iewobodych ależy określić ograiczeia ałożoe a ruch tzw. więzy. Gdy układ puktów jet ograiczoy więzami wówcza wpółrzęde protokąte tych puktów ie ą od iebie iezależe i muzą pełiać pewą ilość rówań więzów: f ν x 1 y 1 z 1...x y z t ><= 0 ν = 1...k Klayfikacja więzów: kleroomicze reoomicze geometrycze kiematycze jedotroe dwutroe holoomicze ieholoomicze ideale Liczba wzytkich wpółrzędych puktów jet rówa 3 ograiczeń jet k więc liczba iezależych wpółrzędych wyoi = 3 k liczba topi wobody Układ liiowo iezależych od iebie wpółrzędych parametrów wytarczających do opiu ruchu azywamy wpółrzędymi uogólioymi q 1...q. W związku z tym wzytkie wpółrzęde protokąte układu puktów możemy przedtawić w potaci x i = x i q 1...q y i = y i q 1...q z i = z i q 1...q. Przeuięcia przygotowae Rozważmy iewobody pukt A który mui pozotawać a pewej ieruchomej powierzchi. Załóżmy pewe pomyślae przeuięcie elemetare tego puktu po powierzchi zgodie z więzami oczywiście w płazczyźie tyczej do tej powierzchi. Przeuięcie to ie jet rzeczywite więc ie możemy go ozaczyć dr. Ozaczamy je przez δ r. Przeuięcie takie azywamy przeuięciem przygotowaym. W układzie kartezjańkim δr = δx i + δy j + δz k 1

2 gdzie δx δy δz to wariacje wpółrzędych. Wielkości te ie ą od iebie iezależe. Niech rówaie więzów ma potać f xyz = 0. Po przeuięciu przygotowaym pukt będzie miał wpółrzęde x + δx y + δy z + δz Poieważ z założeia przeuięcie to jet zgode z więzami pukt ie opuzcza powierzchi to muzą być pełioe rówaia f x + δxy + δyz + δz = 0 oraz f x + δxy + δyz + δz f xyz = 0. Otatie wyrażeie to δ f δ f = f x δx + f y δy + f z δz = 0 lub grad f δr = 0. Rówaie to ozacza że δr jet zawze tycze do powierzchi. Dla układu puktów mamy f ν x 1 y 1 z 1...x y z = 0 δr i = [δx i δy i δz i ] ν = 1...k i = 1... lub fν δx i + f ν δy i + f ν δz i = 0 x i y i z i grad f ν δr i = 0. Jeżeli teraz położeie układu rozpatrywać będziemy we wpórzędych uogólioych to zgodie z x i = x i q 1...q y i = y i q 1...q z i = z i q 1...q r i = r i q 1...q mamy przeuięć przygotowaych δq 1...δq a wzory traformacyje przyjmują atępującą potać: δx i = x i δq j δy i = y i δq j δz i = z i δq j lub δr i = r i δq j.

3 3. Praca przygotowaa Załóżmy że puktowi a który działa iła P udzielamy przeuięcia δ r. Wówcza pracę tej iły a tym przeuięciu δl = P δr azywamy praca przygotowaa δl = Pδcoα δ = δr Dla układu puktów i ił mamy δl = δl i = P i δr i = P ix δx i + P iy δy i + P iz δz i Dla układu puktów iewobodych dochodzi praca reakcji więzów Jeśli więzy ą ideale to R i δr i R i δr i = 0 R i δr i Załóżmy teraz że układ puktów zajduje ię w rówowadze. Dla i-tego puktu mamy P i + R i = 0. a dla układu P i δr i + R i δr i = 0 P i δr i + R i δr i = 0. Twierdzeie 1. Warukiem koieczym i wytarczajacym itieia rówowagi w układzie jet by uma prac przygotowaych ił czyych i reakcji więzów a przeuięciach przygotowaych była rówa zeru. Dla więzów idealych mamy P i δr i = 0 Przykład P 1 δ 1 P δ = 0 δ 1 = aδϕ δ = bδϕ 3

4 : Przy dowolym δϕ 0 mamy P 1 a P bδϕ = 0 P 1 a P b = 0 P 1 P = b a Moża wykazać że zaada prac przygotowaych jet rówoważa tatyczym warukom rówowagi. Załóżmy że przemiezczeie dowolego puktu bryły ma potać Poieważ r i i ϕ ą dowole to δr = δr 0 + δ ϕ r i P i δr i = i δr 0 + δ ϕ r i = δr 0 P i + P δr 0 P i + δ ϕ r i P i = 0 P i δ ϕ r i = 0 P i = 0 oraz r i P i = 0 4. Siły uogólioe Praca przygotowaa ił P 1 P... P : δl = P ix δx i + P iy δy i + P iz δz i = Zmieiając kolejość umowaia mamy: Przykład: Wahadło fizycze δl = [ P ix x i δq j + P iy ] x i y i z i P ix + P iy + P iz δq j }{{} Q j iła uogólioa δl = Q j δq j y i δq j + P iz z i δq j δl = P δr A = Pl iϕδϕ δl = Q ϕ δϕ Q ϕ = Pl iϕ = M z Siła uogólioa jet w tym przypadku mometem iły P względem oi obrotu. 4

5 5. Rówowaga w zachowawczym polu ił Układ podday więzom idealym zajduje ię w zachowawczym polu ił We wpółrzędych uogólioych przy czym P ix = V x i Q j = P iy = V y i P iz = V z i. V x i + V y i + V z i x i y i z i Q j = V V = V q 1 q...q Jeżeli układ ma zajdować ię w położeiu rówowagi to V q 1 = 0 V q = 0... V q = 0. Twierdzeie. W położeiu rówowagi układu materialego poddaego więzom idealym i zajdujacego ię w zachowawczym polu ił eergia potecjala tego układu pełia waruki koiecze do itieia ektremum. 6. Ogóle rówaie dyamiki aalityczej Opierając ie a zaadzie d Alemberta możemy każde zadaie z mechaiki prowadzić do rówowagi ił czyych i bezwładości. Korzytając z tego i zaady prac przygotowaych mamy P i m i a i δr i = 0 P i m i r i δr i = 0. W przypadku iewoobodego układu materialego o więzach idealych uma prac przygotowaych ił czyych i ił bezwładości a dowolym przemiezczeiu przygotowaym tego układu rówa ię zeru. Ogóle rówaie dyamiki aalityczej przyjmuje potać: ] [P ix m i ẍ i δx i + P iy m i ÿ i δy i + P iz m i z i δz i = 0 5

6 Przykład Wyzaczyć przypiezeia a 1 i a. Poieważ ić jet ierozciągliwa to a 1 = a = a. Ogóle rówaie dyamiki: m 1 g m 1 a 1 δr 1 + m g m a δr = 0 Ozaczmy δr 1 = δr = δ m 1 g δr 1 = m 1 gδiα m 1 a 1 δr 1 = m 1 aδ m g δr = m gδiβ m a δr = m aδ [m 1 iα m iβg am 1 + m ]δ = 0 m 1 iα m iβg am 1 + m = 0 a = a 1 = a = g m 1 iα m iβ m 1 + m. 7. Rówaia Lagrage a I rodzaju Ogóle rówaie dyamiki aalityczej razem z rówaiami więzów pozwala opiać ruch układu iewobodego to zaczy P i m i r i δr i = 0 f ν r i t = 0 grad f ν δr i = 0 Po wymożeiu otatiego rówaia przez λ ν i dodaiu do pierwzego Poieważ δr i ą dowole to P i m i r i + λ ν grad f ν δr i = 0 m i r i = P i + λ ν grad f ν f ν r i t = 0 λ ν to tzw. ieozaczoe możiki Lagrage a. 6

7 8. Rówaia Lagrage a II rodzaju Ogóle rówaie dyamiki aalityczej jet pełioe dla więzów idealych Pamiętamy że oraz P i m i r i δr i = 0 δr i = r i δq j. r i = r i q 1...q t q j = q j t. Poieważ δq j ą dowole moża założyć że tylko jeda wariacja δq j 0. Wówcza δr i = r i δq j. i ogóle rówaie będzie [ ] P i m i r i r i δq j = 0. Wobec dowolości δq j P i m i r i r i = 0 m r i i r i = P i r i Oczywiście rówań tych możemy ułożyc tyle ile jet wpółrzędych uogólioych. Rozpiując prawą troę mamy P r i x i y i z i i = P ix + P iy + P iz = Q j. m i r i r i = Q j W tym miejcu wprowadzimy dwie tożamości iezbęde do przekztałceia lewej troy rówaia. Biorąc pod uwagę że r i = r i q 1...q t mamy ṙ i = v i = r i q r i q + r i q 1 q t Wielkości q j azywamy prędkościami uogólioymi. Różiczkując powyżzą rówość względem kokretego q j otrzymujemy pierwzą z tożamości: ṙ i q j = r i 7

8 Drugą tożamość otrzymamy różiczkując r i względem czau: d ri = r i q r i q + r i dt q 1 q t Z drugiej troy różiczkując względem q j wyrażeie a ṙ i mamy ṙ i = r i q 1 q Wykorzytując otrzymae tożamości mamy: m r i i r i = d dt m i r i r i = d dt = d dt d ri = ṙ i dt m i ṙ r i i m i ṙ ṙ i i q j [ q j mi ṙ i Czyli dla całego układu m r { [ i d mi v i r i = i dt q j [ ] = d m i v i dt Tak więc oraz q j Eergia kietycza w ogólości jet zatem fukcją r i q q + r i t m i ṙ d i dt m i ṙ i ṙ i ] ri = ] m r i i r i = d T T dt q j d T T = Q j dt q j T = T q 1...q q 1... q t. W przypadku ruchu układu w potecjalym polu ił mamy Q j = V mi ṙ i. mi v i m i v i } =. Wprowadzając fukcję gdzie d T T = V dt q j L = T V T = T q 1... q V = V q 1...q 8

9 mamy d dt T V q j T V = 0 d L L = 0 dt q j Przykład 1: Wahadło matematycze = 1 q 1 = ϕ Ogóla potać rówaia ruchu: Eergia kietycza: d T T dt ϕ ϕ = V ϕ T = 1 mv = 1 ml ϕ T ϕ = ml ϕ d T dt ϕ Jeżeli przyjmiemy że w położeiu rówowagi ϕ = 0 to oraz T ϕ = 0 = ml ϕ V = mgl1 coϕ V ϕ = mgl iϕ Możemy też rozważyć pracę przygotowaą iły ciężkości: π δl = mgδrco + ϕ δr = lδϕ. δl = mglδϕ iϕ 9

10 δl = Qδq = mgl iϕδϕ Q = mgl iϕ = V ϕ Podtawiając do ogólej potaci rówaia Lagrage a II rodzaju mamy: ml ϕ = mgl iϕ co otateczie zapiujemy w potaci ϕ + g l iϕ = 0 Przykład = q 1 = ϕ q = ξ Położeie i prędkość puktu A w kartezjańkim układzie wpółrzędych: x = ξ + l iϕ y = l coϕ ẋ = ξ + l ϕ coϕ ẏ = l ϕ iϕ Eergia kietycza i potecjala: T = 1 mẋ + ẏ = = 1 l m ϕ + ξ + l ϕ ξ coϕ V = mgy + 1 cξ = mgl coϕ + 1 cξ Rówaia Lagrage a II rodzaju dla omawiaego układu: d T dt ϕ d dt T ξ T ϕ = V ϕ T ξ = V ξ Po obliczeiu pozczególych pochodych fukcji T i V otrzymujemy: { ml ϕ + ml ξ coϕ + mgl iϕ = 0 m ξ + ml ϕ coϕ ml ϕ iϕ + cξ = 0 10

11 Dla małego wychyleia ϕ mamy coϕ 1 iϕ ϕ a rówaia ruchu przyjmują potać ϕ + 1 l ξ + g l ϕ = 0 ξ + l ϕ + c m ξ = 0 9. Ogóla potać wyrazeia a eergię kietycza układu materialego Jeśli chcemy toować rówaia Lagrage a eergię kietyczą muimy formułować w wielkościach uogólioych. We wpółrzędych protokątych przy zatoowaiu kowecji umacyjej eergia kietycza ma potać T = 1 m i ẋ i + ẏ i + ż i i = 1... Wpółrzęde kartezjańkie ą fukcjami q j i t. różiczkując x i y i z i względem t mamy ẋ i = x i q 1 + x i q x i q + x i = x i q j + x i q 1 q q t t ẏ i = y i q 1 + y i q y i q + y i = y i q j + y i q 1 q q t t j = 1... ż i = z i q 1 + z i q z i q + z i = z i q j + z i q 1 q q t t. Wtawiając uzykae kładowe prędkości do eergii otrzymujemy T = 1 a kl q k q l + b k q k + 1 c 0 gdzie: xi x i a kl = a lk = m i + y i y i + z i z i q k q l q k q l q k q l xi x i b k = m i q k t + y i y i q k t + z i z i q k t [ xi ] yi zi c 0 = m i + + kl = 1... t t t Z powyżzych wzorów wyika że a kl = a kl q j t b k = b k q j t c 0 = c 0 q j t. Gdy więzy którym podlega układ ą kleroomicze wówcza x i y i z i ie zależą bezpośredio od czau: oraz b k = 0 c 0 = 0. W takim przypadku x i t = y i t = z i t = 0 T = 1 a kl q k q l to zaczy eergia kietycza jet jedoroda forma kwadratowa prędkości uogólioych q j. 11