Przekształcenie Laplace a. Definicja i własności, transformaty podstawowych sygnałów

Transkrypt

1 Przekzałcenie Laplace a Deinicja i właności, ranormay podawowych ygnałów

2 Tranormaą Laplace a unkcji je unkcja S zmiennej zepolonej, kórą oznacza ię naępująco: L[ ] unkcja S nazywana bywa również unkcją przekzałconą lub obrazem. To przekzałcenie całkowe zdeiniowane je wzorem: e Aby przekzałcenie o miało en, całka wyępująca po prawej ronie wzoru mui być zbieżna, j. d e d <

3 Odwronie, mając daną S możemy dokonując przekzałcenia odwronego wyznaczyć. c 2πj c jω jω e d przy czym c je ałą więkzą od odcięej zbieżności unkcji S. Pizemy wedy, że: L [ ] unkcja nazywana je również oryginałem unkcji lub unkcją oryginalną.

4 Właności przekzałcenia Laplace a.. Liniowość gdziea,bąałymi ] [ G b a g b a L a a gdziea,bąałymi 2. Całkowanie w dziedzinie rzeczywiej ] [ d L τ

5 3. Różniczkowanie w dziedzinie rzeczywiej W zczególności dla n orzymujemy ] [ d d d L n k k k n n n n gdzie: granica praworonna lim ] [ d d L de

6 4. Całkowanie w dziedzinie zepolonej zmiennej d L[ ] O ile unkcja je ranormowalna wg Laplace a

7 5. Różniczkowanie w dziedzinie zepolonej d d n n L[ n n ], W zczególności dla n mamy: d L[ ] d

8 6. Przeunięcie w dziedzinie rzeczywiej Przez unkcję przeunięą w dziedzinie rzeczywiej czau względemunkcjioodcinek rozumiemyunkcję -. Ponieważ w przekzałceniu Laplace a dokonujemy całkowania w granicach,, część unkcji dla argumenu < mui być w unkcji przeunięejrównazeru.toznaczy,żeunkcja muibyćpoaci: dla < dla > Można o oiągnąć poprzez pomnożenie unkcji - przez przeunięą unkcję koku jednokowego -.

9 Jak wiadomo, unkcja je określona jako: dla dla < > Zaem dla dla < >

10 Oaecznie ranormaa unkcji przeunięej wyraża ię zależnością L[ ] e 7. Przeunięcie w dziedzinie zepolonej a a L[ e ]

11 8. Zmiana kali L [ a ] a a 9. Splo unkcji wierdzenie Borela L [ 2 * ] 2

12 Gdzie plo τ τ τ τ τ τ d * 2 2 τ τ τ d 2 je operacją przemienną, łączną, rozdzielną względem dodawania. Splo je równy zeru wedy i ylko wedy, gdy co najmniej jedna z unkcji lub 2 jeunkcjązerową.

13 Znaczenie prakyczne ma związana z pojęciem plou całka Duhamela L d [ 2 d τ τ dτ ] 2 Z zależności L[ * ] 2 2 wynika oczywiy ak, że iloczyn ranorma nie je ranormaą iloczynu unkcji. Wzór na ranormaę iloczynu je komplikowany na yle, że nie znalazł zerzego zaoowania.

14 Tranormay unkcji impulowych unkcją impulową δ impulem Diraca nazywamy unkcję określoną naępująco: przy czym δ dla dla δ Je o więc maemayczny zapi impulu o niekończenie krókim czaie rwania i jednokowej energii.

15 Typowe wymuzenia w badaniu układów auomayki δ unkcja impulowa δ dela Diraca - unkcja koku jednokowego

16 Z zależności δ wynika, że δ d dla < dla > a zaem δ d

17 Sąd orzymujemy naępujący związek między unkcją kokową a unkcją impulową Ponieważ L [ ] d d δ więc korzyając z zależności na ranormaę pochodnej orzymamy d L[ δ ] L[ ] d

18 Tranormaa unkcji okreowej Tranormaa unkcji okreowej o okreie T dana je wzorem L[ ] T T e gdzie: T T e T d

19 Tranormay najczęściej poykanych unkcji Oryginał Obraz δ n e α 2! n n α e α inω coω α ω 2 ω 2 2 ω 2 2

20 Oryginał inωϕ coωϕ e α inωϕ Obraz inϕ ωcoϕ 2 ω2 coϕ ωinϕ 2 ω2 α ω 2 ω2 e α coωϕ α α 2 ω2

21 Wyznaczanie ranormay odwronej oryginału Do wyznaczenia oryginału unkcji ouje ię dwie meody:. Meoda rozkładu na ułamki proe 2. Meoda reiduów Najczęściej ranormaa unkcji ma poać: b b b a a a a M L m m m n n n n Załóżmy dodakowo, że opień licznika je mniejzy od opnia mianownika, zn. n < mprakycznie wyępuje zależność n m

22 Meoda rozkładu na ułamki proe Mianownik, jako wielomian m-ego opnia ma m pierwiaków zwanych biegunami, w ogólności zepolonych, przy czym niekóre mogą ię powarzać. Niech różnych pierwiaków mianownika będzie p m, kroność i-ego pierwiaka oznaczamy przez α i. Wówcza unkcję można przedawiać w poaci umy ułamków proych, j. akich, kórychmianownikjepewnąpoęgądwumianu- i r j. L M A A2 α... 2 A α i... A pα p p α p p α i A ij i j i α j

23 Przykład Jeżeli powyżzą zależność doprowadzimy do poaci pożądanej dzieląc licznik i mianownik przez wpółczynnik przy najwyżzej poędze mianownika czyli w nazym przykładzie 2 orzymamy Wymprzypadkun,m3 a 2, a 4, b 2 7, b 5, b 9 Pierwiaki mianownika ą równe: -, 2-3, przy czym pierwzy z nich je jednokrony a drugi dwukrony.

24 Rozkład więc będzie ypu: A A2 3 A Wpółczynniki A ij można wyznaczyć różnymi meodami. Przedawiona będzie jedna z nich. Jeżeli powyżzą zależność prowadzimy do wpólnego mianownika i przyrównamy liczniki do iebie, orzymamy: czyli ąd: A 3 2 A 2 3A A A 2 2 6A 4A 2 A 22 9A 3A 2 A A 6A 9A A 4A 3A A A

25 Rozwiązując en układ równań dowolną meodą np. Cramera orzymamy: W W 2 4 2; W 6 2 2; W A A2 A Sąd: A WA 2 ; A2 ; A22 W 4 2 2

26 W rezulacie orzymujemy rozkład na ułamki proe Ponieważ k k i e k L! więc po dokonaniu na ułamki proe orzymujemy naychmia ranormaę odwroną w poaci k i k! [ ] p i j j ij i i e j A L! α

27 Meoda Reiduów Przez reiduum unkcji w biegunie i rozumiemy wpółczynnik A i rozwinięcia unkcji w zereg Laurena w ooczeniu punku i, zn. rozwinięcia n Ain i n gdzienprzyjmujewarościod- do. Część umy dla n> nazywamy częścią główną rozwinięcia. Wpółczynnik A i jeożamyzewpółczynnikiemwyępującymwmeodzierozkładu na ułamki proe i w zależnościach naępnych.

28 Meoda reiduów je ogólniejza od meody rozkładu na ułamki proe, gdyż ma zaoowanie akże do ranorma nie będących unkcjami wymiernymi. undamenalnym wzorem ej meody je L [ ] re[ e i i ] gdzie i biegunyunkcji Jeśli je unkcją wymierną, o re i [ ] e α d i lim αi e i α! i d αi i

29 ] [ ] [ i i i i e re e re W przypadku, gdy biegun je jednokrony orzymamy: Przykład: Znaleźć meodą reiduów. ] [ c b a L Rozparywanaranormaamadwabiegunypojedyncze: -b, 2 -c Reidua w ych biegunach obliczamy ze wzoru powyżej orzymując: c b b e c b a e re e b c a e c a e re ] [ lim ] [ 2

30 Na nazych zajęciach nie będziemy wykorzyywać meody reiduów i ograniczymy ię do meody rozkładu na ułamki proe. Na dziiaj DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ!