4. UKŁADY REGULACJI AUTOMATYCZNEJ

Transkrypt

1 4. UKŁADY REGULACJI AUOMAYCZNEJ Najprozy uład regulacji ałowarościowej łada ię z obieu, człou regulacyjego, człou porówującego oraz oru pomiarowego - pęli przężeia zwroego. Zadaiem aiego uładu regulacji je urzymywaie wybraego parameru w proceie (zmieej proceowej) a wazaej warości. Jeśli przez r ozaczymy warość zadaą, zaś przez y zmieą proceową (pomiar warości wyjściowej z obieu), o warość uchybu e będzie rówa e r y. Zmiea proceowa y będzie rówa warości zadaej r wówcza, gdy uchyb e. Schema ypowego uładu regulacji przedawioo a ry. 4.. Ry. 4.. Schema ypowego uładu regulacji. Ry. 4.. Obie regulacji. regulacja = erowaie w uładzie zamięym (ze przężeiem zwroym) 4.. Obiey regulacji i ich opi maemayczy Obie regulacji je o uład dyamiczy, w órym moża wymuić pożądae przebiegi proceów za pomocą oddziaływań erujących. Pola orma (PN-78/M-4) oreśla obie regulacji jao obie erowaia w uładzie regulacji. Wielością wyjściową obieu je paramer, órego warość pozwala wioować o przebiegu proceu czyli y a ryuu 4.. Wielościami wejściowymi ą zarówo wymuzeia erujące u, ja i załócające z. W ogólości wielości u, y, z mogą być weorami o wielu ładowych. Obiey regulacji, ze względu a opi maemayczy, możemy layfiować aępująco: obiey acjoare ich właściwości ie zmieiają ię wraz z upływem czau, zaem warość wyjścia zależy ylo od wejść u(, z( i au obieu w chwili o (waruów począowych), obiey ieacjoare ie mają powyżzej właości (właściwości obieu zmieiają ię wraz z upływem czau, p. a ue arzeia), obiey ciągłe obiey dyree obiey liiowe obiey ieliiowe ygały wejściowe oraz ygały wyjściowe ą opiae fucjami ciągłymi, ieciągłe ygały wejściowe i wyjściowe mogą przyjmować jedyie ściśle oreśloe warości z pewego zbioru ończoego (częo zdarza ię aa yuacja, że obie poiada p. wejścia dyree, a wyjścia ciągłe ompliuje o dodaowo opi maemayczy), opiują je liiowe rówaia różiczowe do ich pełego opiu ie możemy oować liiowych rówań różiczowych.

2 Od ego, do jaiej grupy ależy rozważay obie regulacji, zależy meodya opiu maemayczego ego obieu. Podae powyżej lay obieów ie ą grupami rozłączymi. Rzeczywie obiey regulacji ależą rówocześie do ilu z wymieioych la, p. obie acjoary ieliiowy. Liiowe obiey regulacji W laie liiowych obieów regulacji moża wydzielić aępujące grupy: obiey o ałych upioych obiey aycze obiey o ałych rozłożoych obiey aaycze Obiey o ałych upioych opiywae ą rówaiami różiczowymi liiowymi o ałych wpółczyiach. Obiey o ałych rozłożoych opiywae ą rówaiami różiczowymi o pochodych cząowych. W rówaiach ych oprócz pochodych czaowych wyępują rówież pochode zależe od wpółrzędych geomeryczych rozważaego obieu. Przyro wielości wyjściowej,x) mierzoej w aach dyamiczych zależy od wymuzeń oraz miejca pomiaru ej wielości w obiecie. Przyładem aiego obieu może być wymiei ciepła - emperaura w wymieiu zależy zarówo od czau ( ja i od miejca geomeryczego (x), w órym ją mierzymy. () () () (3) (4) y o Odpowiedzi oowe obieów ayczych: () wymuzeie oowe, () obie jedoiercyjy, () dwuiercyjy, (3) - wieloiercyjy, (4) jedoiercyjy z opóźieiem. Ry Odpowiedź oowa, obie ayczy. Odpowiedzi oowe obieów aayczych: () - wymuzeie, () - obie całujący, () - całujący z iercją, (3) całujący z opóźieiem. Ry Odpowiedź oowa, obie aayczy. Obiey aycze (z wyrówaiem) oiągają po wymuzeiu oowym a rówowagi rwałej. Na wymuzeie oowe o warości u o obie odpowie w aie ualoym ygałem o pewej warości y o. Obiey aaycze odpowiadają a wymuzeie oowe ieograiczoym wzroem ygału wyjściowego y. pamięaj: w uładzie liiowym obowiązuje zaada uperpozycji

3 Opi maemayczy ramiacje operaorowe. Do opiu liiowych acjoarych uładów regulacji (przedawiaych rówaiami różiczowymi liiowymi o ałych upioych) ouje ię częo meodę ramiacji operaorowych. Obliczeia opierają ię a worzeiu i przezałcaiu chemaów bloowych reprezeujących uład regulacji auomayczej. ramiacja je ouiem raformay odpowiedzi y obieu do raformay wymuzeia u podaego a wejście obieu, przy zerowych waruach począowych. Zaem jeśli przez U() ozaczymy raformaę wymuzeia, przez Y() raformaę odpowiedzi obieu, o ramiacja operaorowa ego obieu będzie opiaa rówaiem G()=Y()/U(), por. ry Oreśla oa yeyczie właości dyamicze uładu, ie zależy ai od ygału wejściowego ai od ygału wyjściowego - a jedyie od paramerów uładu. Opi ygałów u oraz y w dziedziie operaora powaje a drodze raformay Laplace a ych ygałów opiaych w dziedziie czau. Jeżeli ygał wejściowy rozważay w dziedziie czau ozaczymy przez u(, o raformaa Laplace a ego ygału ozaczaa jao U() będzie obliczoa z Ry ramiacja obieu. podaej iżej całi ozaczoej (4.). Aalogiczie oblicza ię Y(). U() u() e p. f e () () F() = e - Poieważ obliczaie całi Laplace a może być uciążliwe i czaochłoe, opracowae zoały ablice raforma podawowych człoów i ygałów auomayi. Na aępej roie zamiezczoo ablicę ramiacji ypowych człoów liiowych oraz raformay podawowych ygałów (fucji) oowaych w auomayce. (4.) ramiacja = raformaa ygału wyjściowego = Y() raformaa ygału wejściowego = U() przy zerowych waruach począowych Zając ramiację uładu moża obliczyć przebieg odpowiedzi a dowole wymuzeie u(, orzyając ze wzoru: (4.) y ( ) L { G ( ) U} Ozaczmy F L{ f( }. Podawowe właości raformay Laplace a o:. liiowość: L{ a f ( a f ( } a F a F (4.3). całowaie: L{ f( ) d} F (4.4) a 3. przeuięcie: L{ e f( } F( a) (4.5) 4. zmiaa ali: L{ f( a} F( ) (4.6) a a 5. różiczowaie: L f F f { ( )} ( ) ( ) f ( )... f ( ) (4.7) Poiżej przedawioo ypowe liiowe człoy auomayi oraz ygały wymuzające. 3

4 abl. 4.. Podawowe człoy dyamicze. Nazwa Opi w dziedziie czau ramiacja operaorowa Odpowiedź oowa Czło proporcjoaly u( Czło iercyjy d u( Czło całujący idealy u( Czło całujący z iercją d u( ( ) Czło różiczujący idealy du( Czło różiczujący z iercją d du( Czło ocylacyjy o d d u( o o o Czło iercyjy drugiego rzędu jw. ale dla p )( ) ( p Czło opóźiający y u( ) ( e 4

5 abl. 4.. ypowe fucje przebiegów wymuzających. Nazwa Opi w dziedziie czau raformaa Laplace a Przebieg czaowy impul Diraca ( o jedoowy ( ) wymuzeie liiowe a a wymuzeie parabolicze a a 3 Przyład Obieem erowaia je zbiori (ry. 4.6), do órego doprowadzaa je ciecz z przepływem q [m 3 /]. Ciecz ze zbioria wypompowywaa je z przepływem q p za pomocą pompy P. Gęość cieczy wyoi [g/m 3 ]. Poziom cieczy w zbioriu wyoi h [m], a powierzchia przeroju poprzeczego A [m ]. Należy porządzić model maemayczy aiego obieu. Ry Obie regulacji dla Przyładu. Przyępując do worzeia opiu (modelu) ależy oreślić zare zachowań obieu, óre będzie odzwierciedlał az opi. Załadamy, że worzoy model ie będzie uwzględiał yuacji, w órej w zbioriu zabrało cieczy lub poziom cieczy wzrół admierie, prowadząc do wylewaia ię jej ze zbioria. Dla aich założeń worzymy bila may w zbioriu (z. ie uwzględiamy ograiczeń). A dh () q () qp () - rówaie bilau may (4.8) Jeżeli przez q, q p, h ozaczymy odpowiedio warości dopływu, odpływu i poziomu w yuacji rówowagi (w zw. aie omialym, ualoym), o zachodzić będą rówości: q q q, qp q q p p, h h h, q q p Zaem po podawieiu orzymujemy 5

6 d(h h) A ( q q ) ( qp q p ), q qp (4.9) Rówaie dzielimy oburoie przez i obliczamy raformaę Laplace a (dla przyroów) Q AH Q Q H p Q A W celu uprozczeia zapiu pomiięo argumey fucji, pozoao jeda przy owecji, że mała liera jao azwa fucji ozacza fucję w dziedziie czau, zaś liera duża raformaę ej fucji - p. f f(, F F. Schema bloowy rozważaego obieu przedawioo a ryuu 4.7. p (4.) Obie az je zaem obieem wielowymiarowym - o dwu wejściach i jedym wyjściu oraz ma charaer całujący (je o obie acjoary, liiowy i aayczy). pamięaj: Ry Schema bloowy obieu. obieu wielowymiarowego ie moża opiać jedą ramiacją, ramiacja przedawia zależość jedego wyjścia od jedego wejścia chema bloowy obieu = graficza reprezeacja opiu maemayczego ego obieu Nieliiowe ułady regulacji Dążąc do zaoowaia przy projeowaiu ieliiowych uładów regulacji echii projeowaia oparej a modelu liiowym obieu ouje ię meodę liearyzacji. Meoda a polega a przybliżeiu uładu ieliiowego woół wybraego puu pracy uładem liiowym. Aaliycza meoda liearyzacji polega a rozwiięciu rozparywaego rówaia różiczowego (ieliiowego) w zereg aylora. Rozwiięcia doouje ię w ooczeiu puu pracy dla wzyich wpółczyiów rówaia ie będących ałymi, pozoawiając ylo wyrazy liiowe i odrzucając ieliiowe wraz z rezą. Wyępujące w rozwiięciu wpółczyii ałe (reprezeowae przez pochode cząowe) wyzacza ię a podawie au ualoego dla oreśloego puu pracy. Ioą zaleą modelowaia liiowego je fa, iż odpowiedź wielowejściowego uładu liiowego możemy przedawić w formie umy odpowiedzi a wymuzeia podawae olejo a wejścia rozparywaego uładu (zaada uperpozycji). Rozparzmy a począe uład fizyczy o ygale wejściowym x( i ygale wyjściowym (obie jedowymiarowy) opiay ieliiowym rówaiem różiczowym pierwzego rzędu (4.6). Pu (x,y ) je puem pracy (omialym) dla azego uładu: d f ( x, y), f ( x, y) (4.6) 6

7 Poieważ ieliiowość ie obejmuje pochodej względem czau, zaem zliearyzować wyarczy ylo ieliiową fucję f. Szereg aylora dla puu (x,y ) po odrzuceiu wyrazów ieliiowych i rezy będzie miał poać rówaia (4.7). f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y) f ( x, y ) x y (4.7) x y Dla przypadu ogólego, uład fizyczy o ygale wejściowym x( i ygale wyjściowym opiyway je rówaiem poaci: ( ) ( ) g x, x',..., x, y, y', y (4.) () i dx( () i d x() gdzie: x x(), x', x dla i, 3,..., (aalogiczie y...) Załóżmy poao, że puem pracy je pu (x,y ). pamięaj: pu pracy je puem rówowagi obieu - dla aiego puu wzyie pochode względem czau zerują ię, z.: ( i) d x( (x,y d ) =, ( i ) (x,y ) = dla i,3,..., (4.) Poieważ g (...) (zob. (4.)), o i g x, y ) - a ualoy. (4.3) ( orzymamy zliearyzowae rówaie dla przyroów x i y poaci: (4.5) Dla ieliiowych rówań różiczowych rzędu pierwzego zależości (4.) oraz (4.5) będą miały poać: g g g g g( x, x', y, y' ) x x' y y' (4.6) x x' y y' P P P P gdzie: P x y dx(, x x(, ' x, Ideyfiacja ypowych obieów regulacji Ideyfiacja obieu erowaia polega a worzeiu modelu i oreśleiu jego paramerów (wpółczyiów) a podawie oberwacji. Najprozą i ajbardziej rozpowzechioą w auomayce meodą ideyfiacji obieu je aaliza odpowiedzi obieu a ściśle oreśloe (i zae) wymuzeie. Podając a wejście obieu oreśloe ygały eowe moża oreślić, w zależości od porzeb, charaeryyi aycze, dyamicze, bądź częoliwościowe obieu. ypowymi ygałami eowymi ą: o jedoowy, o prędości (wymuzeie liiowe), wymuzeie rójąe, wymuzeie rapezowe, wymuzeie iuoidale czy eż wymuzeie prooąe. Najprozym poobem oreśleia ramiacji obieu je aproymowaie jego iezaej ramiacji odpowiedią zaą ramiacją (p. dającą podobą odpowiedź oową ja orygialy obie. Jeżeli odpowiedź oowa obieu je zbliżoa do odpowiedzi obieu wieloiercyjego, o ramiację aiego obieu moża przybliżyć ramiacją obieu 7

8 jedoiercyjego z opóźieiem (meoda Küpfmüllera) lub ramiacją obieu wieloiercyjego rzędu (meoda Srejca). Jeśli aomia odpowiedź obieu je zbliżoa do odpowiedzi obieu całującego z iercją, o ramiację aiego obieu moża przybliżyć ramiacją obieu całującego (idealego) z opóźieiem. Bardziej populare (ze względu a ławość oowaia) ą meody przybliżaia obieów wyżzych rzędów obieami pierwzego rzędu z opóźieiem. Aproymacja uładu modelem iercyjym I rzędu z opóźieiem (meoda Küpfmüllera) r, u P z odpowiedź obieu yu Ry Aproymacja modelem iercyjym I rzędu z opóźieiem. r Na ry.4.9 poazao poób graficzego wyzaczaia wpółczyiów ramiacji aproymującej w poaci: o Gm e, (4.7) z gdzie yu r. Wpółczyii z i odczyuje ię z wyreu prowadząc yczą w pucie przegięcia P odpowiedzi oowej obieu. Wzmocieie o oreśla ię jao y / r. o u Aproymacja modelem całującym z opóźieiem r, u odpowiedź oowa / Ry. 4.. Aproymacja modelem całującym z opóźieiem Przyład 5 Ry. 4.. Odpowiedź oowa obieu z Przyładu 5. r ramiacja aproymująca ma eraz poać: G o m e. (4.8) Wpółczyii ramiacji aproymującej zajdujemy a podawie odpowiedzi oowej obieu (zajdujemy aympoę ego przebiegu i oreślamy z wyreu oraz o ). Na drodze eperymeu orzymao odpowiedź oową obieu ja a ry. 4.. W celu oreśleia wpółczyiów ramiacji prowadzimy w pucie przegięcia P yczą do przebiegu odpowiedzi oowej obieu. Na podawie wyreu odczyujemy:.5 o.5, =.7, z = = ramiacja modelująca ma zaem poać: G m.5 e

9 Ułady ocylacyje W ajprozym przypadu uład ocylacyjy je uładem liiowym drugiego rzędu. Opiuje go wówcza ramiacja (4.3). G gdzie - ore drgań właych,, (4.3) - pulacja właa, - wpółczyi łumieia. Waruiem wyąpieia w ym uładzie ocylacji je. Syuacji, gdy (ujeme łumieie) odpowiada pobudzaie drgań w uładzie - ampliuda ych drgań araa do ieończoości (eoreyczie). Praycze zaoowaie ma przypade, gdy drgaia ą łumioe. Dla drgaia w uładzie ie wyąpią, a obie aje ię uładem dwuiercyjym. Dla w uładzie wyępują przebiegi aperiodycze-ryycze (ajzybze z możliwych, ale jezcze bez przeregulowaia). Ry Odpowiedź oowa uładu ocylacyjego drugiego rzędu. Na ryuu 4.4 przedawioo przebieg odpowiedzi uładu ocylacyjego drugiego rzędu a wymuzeie oowe - rzywa. Jeśli ramiacja obieu je daa wzorem (4.3), o wzór opiujący odpowiedź oową będzie miał poać: e i ar cg ( (4.33) Wpółczyi łumieia je dodai ( ), zaem ampliuda ocylacji ygału wyjściowego maleje. Odbywa ię o wzdłuż obwiedi h (, h ( (4.34). Po odpowiedio długim czaie ygał wyjściowy oiągie warość ualoą y u ( (. e h (, e h ( (4.34) 9

10 Dla rozparywaej odpowiedzi oowej defiiuje ię aępujące paramery: A przeregulowaie p %, p e % (4.35) % y u % Zaem wpółczyi łumieia moża obliczyć a podawie przeregulowaia p orzyając ze wzoru (4.35). p% l (4.36) p% l opień łumieia A A d, cza araaia 9 % %, 3 p.8 (4.38) % d e (4.37) Je o cza jai porzebuje ygał wyjściowy a przejście z % do 9% wego au ualoego (y u ) - zob. ryue 4.4. cza regulacji - defiiuje ię go dla oreśloego odchyleia - zob. ryue 4.4. Jeżeli podamy w proceach warości ualoej, o cza regulacji będzie moża obliczyć a podawie wzorów podaych w abeli 4.3. abl Oreślaie czau regulacji 5 r [] = Ry Odpowiedzi oowe ilu obieów.

11 Widać zaem, iż zwięzeie pulacji właej uładu przy iezmieioym łumieiu powoduje, że uład aje ię zybzy przy iezmieioym przeregulowaiu. Zwięzeie wpółczyia łumieia przy iezmieioej pulacji właej uładu zmiejza warość przeregulowaia przy iezaczym powolieiu reacji uładu (zob. ry. 4.5) Wymagaia awiae uładom regulacji auomayczej Dla uładów ze przężeiem zwroym oreśla ię aępujące ramiacje: Ry ypowy uład regulacji ze przężeiem zwroym. E( ) G e ramiacja uchybowa (4.39) R( ) E( ) G ez ramiacja uchybowo-załóceiowa (4.4) Z( ) Y G z ramiacja uładu zamięego (4.4) R( ) Y G yz ramiacja wyjściowo-załóceiowa (4.4) Z( ) Od uładu regulacji auomayczej ajczęściej wymaga ię, by wielość regulowaa była rówa zadaej ( r( Y R( ) ), zaś uchyb regulacji był zerowy, iezależie od załóceń i wielości zadaej ( e( E() ). ramiacje (4.39),...,(4.4) powiy być zaem rówe: G z, G yz, G e oraz G ez. Sabilość Sabilość je fizyczą cechą uładów dyamiczych. Sabilość moża badać eperymealie oberwując odpowiedzi czaowe uładu a róie impuly - pod waruiem, że eperyme je dopuzczaly, lub aaliyczie - jeżeli zamy opi maemayczy obieu. uład je abily w daym pucie rówowagi jeżeli wyrącoy ze au rówowagi, po zaiięciu pobudzeia powraca do ego au rówowagi