Politechnika Gdaska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Transkrypt

1 Poliechika Gdaka Wydział Elekroechiki i Auomayki Kaedra Iyierii Syemów Serowaia Podawy Auomayki Elemey przekzałceia Laplace a w erowaiu Maeriały pomocicze do wicze ermi T8 Opracowaie: Kazimierz Duzikiewicz, dr hab. i. Michał Grochowki, dr i. Rober Piorowki, dr i. Tomaz Rukowki, dr i. Gdak, padzierik 9

2 Wprowadzeie Liiowy układ cigły opiay rówaiem róiczkowym -ego rzdu moa przedawi w poaci: (a) m m d y d y dy d u d u du a a a a y bm b m m b m b u d d d d d d lub wykorzyujc zak umy: a i d y i i i d j m j d u ( ) b j d j (b) gdzie: m. Do rozwizaia rówaia (a), czyli wyzaczeia przebiegu zmieej wyjciowej y ( ) w okreloym przedziale czau, porzeba je zajomo przebiegu zmieej wejciowej u ( ) w ym przedziale oraz zajomo waruków poczkowych zmieej y w chwili. Dla rówaia pierwzego rzdu porzeby je jede waruek poczkowy, dla rówaia drugiego rzdu porzebe dwa waruki poczkowe id. Iym poobem rozwizywaia układów opiaych rówaiem róiczkowym -ego rzdu je zaoowaie przekzałceia (raformay) Laplace a. Zapi liiowego układu cigłego w poaci rówaia róiczkowego -ego rzdu ie je jedyym poobem zapiu. Układ e moa rówie opia w poaci rówa au i rówaia wyjcia oraz w formie ramiacji operaorowej. Traformaa Laplace a W wyiku przekzałceia (raformay) Laplace a apuje przekzałceie rówaia róiczkowego zwyczajego w rówaie algebraicze, kórego zmie je operaor Laplace'a. Oaecze rozwizaie rówaia róiczkowego uzykiwae je poprzez zaoowaie odwroej raformay Laplace'a. Przekzałceie Laplace a okrela zaleo: f F f e d def { } () gdzie f ( ) je cigł fukcj czau. Zmiea zepoloa o operaor Laplace'a okreloy wzorem + j. Wyraeie () ma e, gdy całka prawej roy ego wyraeia je zbiea, z.: f e d < (3)

3 Rówaie () azywa i jedoro raforma Laplace'a w kórej wykoywae je f przed całkowaie dla od do. Zaem, wzykie iformacje zaware w fukcji czaem pomijae lub przyjmowae jako rówe zero. Załoeie o ie akłada adych ograicze a oowaie raformay Laplace'a do rozwizywaia problemów w liiowych układach erowaia. W zwykłych problemach w dziedziie czau, cza odieieia je przyjmoway jako. W układach fizyczych w kórych ygał wejciowy je przyłooy w chwili, odpowied a o pobudzeie ie moe pojawi i wczeiej, i w ; z. odpowied ie moe wyprzedza pobudzeia. Traformaa Laplace a je przekzałceiem jedowarociowym, z. daej fukcji cigłej F. f ( ) odpowiada ylko jeda raformaa Właoci raformay Laplace a przedawioe w abeli. Tabela. Właoci raformay Laplace a Włao Wzór k f k F k ała Moeie przez al { } Liiowo Całkowaie w dziedziie rzeczywiej Róiczkowaie w dziedziie rzeczywiej a). pierwza pochoda b). druga pochoda Całkowaie w dziedziie zepoloej (zmieej ) Róiczkowaie w dziedziie zepoloej (zmieej ) { a f ± b f } a F ( ) ± b F ( ) a, b ałe F ( ) f d + f d d f k ( k F ( ) f ) ( ) d k d f ( ) a). F ( ) f ( ) d d f ( ) b). F ( ) f ( ) f d f F ( ) d d F { f ( ) } ( ) d Przeuicie w dziedziie rzeczywiej { f ( T )} T e F ( ) Przeuicie w dziedziie zepoloej α { e f ( ) } F ( α ) Twierdzeie o waroci poczkowej lim f ( ) lim F ( ) T ała Twierdzeie o waroci kocowej lim f ( ) lim F ( ) { } Zmiaa kali f ( a T ) Splo fukcji (wierdzeie Borela) F a a { f f } F ( ) F ( ) a ała dodaia ( ) gdzie : f f f τ f τ dτ

4 Twierdzeie o waroci kocowej je pomoce w aalizie i projekowaiu układów erowaia. Waro kocowa fukcji czaowej wyzaczaa je poprzez zajomo zachowaia jej raformay operaorowej w pukcie. Twierdzeie o waroci kocowej F zawiera bieguy, kórych cz rzeczywia je je ieprawdziwe, jeeli wyraeie rówa dodaia lub rówa zero. Podawowe raformay Laplace a pokazae w abeli. Tabela. Podawowe raformay Laplace a Fukcja f() Traformaa F() Fukcja f() Traformaa F() e δ ( ) impul Diraca ( ) kok jedok. δ T ( ) ( k T ) T k e e α e α e α e β i co i! co + + α α +α β α ( + α ) ( + β ) α e i α e co ( + α ) + + ( + ) ( + ) + α + + α + α + W Zadaiach, i 3 przedawioo przykłady wyzaczaia raforma fukcji. Zadaie Daa je fukcja kokowa poaci: f dla < A dla (4) gdzie A je ał. Korzyajc z defiicji raformay Laplace a dokoa raformay Laplace a fukcji (4).

5 Rozwizaie Zadaia Rozwaajc fukcj kokow (4) dla i korzyajc z defiicji raformay Laplace a () mamy: A A (5) F ( ) { f ( )} { A} A e d e Szczególym przypadkiem fukcji kokowej je fukcja kokowa dla kórej A. Je o zw. jedokowa fukcja kokowa. Zadaie Daa je fukcja poaci: f dla < A i dla (6) gdzie A, ałymi. Korzyajc z defiicji raformay Laplace a dokoa raformay Laplace a fukcji (6). Rozwizaie Zadaia Rozwaajc fukcj (6) dla i korzyajc z defiicji raformay Laplace a () mamy: F ( ) { } A j j A A A i e e e d j j j + j + f { } UWAGA: W obliczeiach wykorzyao apujc zaleo: Wyprowadzeie zaleoci (7a): (7) j j i ( e e ) (7a) j Porówujc poa wykładicz i rygoomerycz liczby zepoloej mamy: { ( ) ( )} ( ) ( ) j j z e z co + j i e co + j i (7b) Rówoczeie zachodzi (korzyajc z parzyoci i ieparzyoci fukcji rygoomeryczych): ( ) ( ) ( ) ( ) j j e co + j i e co j i (7c)

6 Odejmujc zaleo (7b) do (7c) uzykujemy: e e j i co e e j ( ) ( ) j j j j (7d) Popujc aalogiczie uzykamy wzór a co ( ) (dodajc zaleo (7b) do (7c)): e + e co co e + e ( ) ( ) j j j j (7e) Zadaie 3 Daa je fukcja poaci: α f dla < e dla (8) gdzie α je ał. Korzyajc z defiicji raformay Laplace a dokoa raformay Laplace a fukcji (8). Rozwizaie Zadaia 3 Rozwaajc fukcj (8) dla i korzyajc z defiicji raformay Laplace a () mamy: F ( ) { } α α ( α + ) ( α + ) f { e } e e d e d e (9) α + + α UWAGA: W obliczeiach załooo, e pełioy je waruek zbieoci całki, zw. > α. Korzyajc z przekzałceia Laplace a moemy rówie przekzałca rówaia róiczkowe przechodzc z dziedziy czau do dziedziy operaora, a apie oujc odwroe przekzałceie Laplace a (opiae w dalzej czci maeriału) uzyka rozwizaie rówaia róiczkowego. W Zadaiu 4 pokazao wykorzyaie przekzałceia Laplace a w rówaiu róiczkowym.

7 Zadaie 4 Dae je rówaie róiczkowe poaci: d y d y ( ) z warukami poczkowymi: y ( ) i y u () d d d y y d. Dokoa raformay Laplace a rówaia (). Rozwizaie Zadaia 4 Dokoujc raformay Laplace a rówaia () i korzyajc z apujcych właoci: moeie przez ał i liiowo (włao i abela ) mamy: d y d y y ( ) d d 8 d y d y d d { } { u ( )} () y { } u () Korzyajc z właoci róiczkowaia w dziedziie rzeczywiej dla pierwzej i drugiej pochodej (włao 4 abela ) orzymujemy: (3) 8 Y y y + 5 Y y + Y U Wawiajc waruki poczkowe mamy: 8 Y ( ) + 5 Y ( ) + Y ( ) U ( ) (4a) 8 Y Y Y U + + (4b) ( 8 5 ) Y ( ) 6 8 U ( ) + + (4c)

8 Odwroa raformaa Laplace a Operacj wyzaczaia fukcji f ( ) z daej fukcji F ( ) (zw. orygiał fukcji wykouje i przy uyciu odwroej raformay Laplace a: c+ j F F e d { } - F ) f dla π j (5) c j dla < gdzie c je ał, kóra je wikza od czci rzeczywiych wzykich puków fukcji a F ie iieje. płazczyie, w kórych fukcja Rówaie (5) opiuje całkowaie wzdłu liii zajdujcej i a płazczyie. Dla proych fukcji, operacja zajdowaia odwroej raformay operaorowej polega a wyzukaiu odpowiediej fukcji z abeli raforma Laplace'a. Dla fukcji złooych, odwroa raformaa Laplace'a zajdowaa je przez rozkład a ułamki proe i apie przez zaoowaie abeli raforma lub meod liczeia reiduów. W meodzie rozkładu a ułamki proe fukcja F ( ) powia by przedawioa w poaci wymierej. Przy pełieiu waruków a fizycz realizowalo układu (opie liczika ie moe by wikzy od opia miaowika), zuka i pierwiaków miaowika fukcji wymierej F ( ). Moliwe apujce yuacje: pierwiaki rzeczywie pojedycze, pierwiaki zepoloe parami przoe, pierwiaki wielokroe. Syuacja pierwiaki rzeczywie pojedycze Zajc pierwiaki miaowika fukcj F ( ) moa przedawi w apujcej poaci: F N ( ) ( )... ( ) Rozkładajc fukcj (6) a ułamki proe uzykujemy: N A B P ( ) ( )... ( ) ( ) ( ) ( ) (6) (7) Wpółczyiki A,B,...,P zajdujemy rozwizujc układ rówa powały przez porówaie wyrae (z odpowiedim opiem operaora ) lewej i prawej roy zaleoci (7).

9 Syuacja pierwiaki zepoloe parami przoe W ej yuacji zajc pierwiaki miaowika fukcj F ( ) moa wyrazi zaleoci: F N ( a + b + c) Rozkładajc fukcj (8) a ułamki proe mamy: N A + B ( a + b + c) ( a + b + c) (8) (9) Napie wygodie je doprowadzi fukcj (9) do apujcej poaci: + α + α + + α + ( ) ( ) () i korzya z abeli raforma (parz abela ). Syuacja 3 pierwiaki wielokroe Zajc pierwiaki miaowika fukcj F ( ) moa zapia jako: F N ( ) r Rozkładajc fukcj () a ułamki proe mamy: N A B P ( ) ( ) ( ) ( ) r r () () Wpółczyiki A,B,...,P zajdujemy rozwizujc układ rówa powały przez porówaie wyrae (z odpowiedim opiem operaora ) lewej i prawej roy zaleoci (). W Zadaiu 5 wyzaczoo orygiał fukcji F ( ) z wykorzyaiem rozkładu a ułamki proe. Zadaie 5 Daa je fukcja poaci: F 6 ( + ) (3) Soujc rozkład a ułamki proe zale orygiał fukcji (3).

10 Rozwizaie Zadaia 5 Miaowik fukcji F() ma jede pierwiaek rzeczywiy podwójy, zaem dokoujc rozkładu a ułamki proe mamy: 6 A B + ( + ) + ( + ) (4) Obliczamy wpółczyiki A i B: 6 A + A + B (5a) A 6 A 6 A + B B (5b) Orzymujemy: ( + ) + ( + ) (6) Korzyajc z właoci przekzałceia Laplace a (właoci i abela ) oraz dokoujc odwroej raformay Laplace a (abela ) mamy: f ( ) 6 + ( + ) (7a) f 6 e e (7b)