Temat 4. ( t) ( ) ( ) = ( τ ) ( τ ) τ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) Podstawowe własności dystrybucji δ(t) (delta Diraca)

Transkrypt

1 Tema 4 Opracował: Leław Dereń Kaedra Teorii Sygnałów Inyu Telekomunikacji Teleinformayki i Akuyki Poliechnika Wrocławka Prawa auorkie zarzeżone Podawowe właności dyrybucji δ() (dela Diraca) ( ) δ gdy ( ) δ d ( ) ( ) δ d d d ( ) ( ) δ Jeżeli f ( ) je funkcją ciągłą w punkcie o δ ( ) δ f f właność filrująca dyrybucji δ() f ( ) δ( ) d f ( ) lub ogólniej jeżeli f je ciągła w punkcie o ( ) ( ) f δ f δ ( ) f δ d f Wzykie całki i pochodne wyępujące w powyżzych włanościach należy rozumieć jako całki i pochodne dyrybucyjne Dodakowe właności: lim f δ d f δ d f ε ε ε > lim f δ d f δ d ε + ε + ε > + f δ d f ( τ ) ( τ ) τ f δ f δ d f ( ) ( τ ) ( τ ) τ ( ) f δ f δ d f Przykłady obliczania całek dyrybucyjnych oznacza plo funkcji

2 Tema 4 r + co δ + co d ln + e ln + e ln ( + e ) δ( ) ( + e ) d 3 3 e g + e g + e co π e co π e δ( ) d e e e δ ( ) d 4 e δ( ) d (dyrybucja + e δ d Zad ( ) δ je poza przedziałem całkowania) Obliczyć pochodną dyrybucyjną funkcji f ( ) e ( ) d d e f f ( ) d d d d ( e ) ( ) + e ( ) d d e + e δ e + δ ( ) ( ) ( ) ( ) Wykrey funkcji f ( ) i jej pochodnej przedawiono na ry Na wykreach dyrybucję Diraca będziemy oznaczać za pomocą rzałki co nie oznacza że wykreem dyrybucji je rzałka Oznaczenie o należy rakować jako ymbol dyrybucja nie je funkcją i nie ma wykreu Z ry widać że obliczanie pochodnych dyrybucyjnych funkcji nieciągłej prowadza ię do obliczenia zwykłej pochodnej w ych przedziałach czau w kórych a pochodna inieje a naępnie w punkach nieciągłości * należy doryować dyrybucje Diraca Ry pomnożone przez różnicę praworonnej i leworonnej granicy funkcji w ych punkach W niekórych proych przypadkach przebieg pochodnej można nazkicować bez zapiywania funkcji Zilurowano o przykładami na ry * Rozparujemy funkcje ograniczone a więc w punkach nieciągłości muzą inieć kończone granice leworonna i praworonna ale nie muzą być one obie równe

3 Tema 4 r 3 in π δ( 4) δ( ) π π π co ( ) δ δ( ) δ( 4) (a) (b) (c) ( ) δ Ry Przekzałcenia Laplace a i jego podawowe właności Przekzałcenie Laplace a należy do grupy przekzałceń całkowych i je zdefiniowane jako { f ( ) } f ( ) e d F ( ) L gdzie f ( ) je funkcją (dyrybucją) ypu wykładniczego * naomia je paramerem zepolonym nazywanym zepoloną pulacją Tranformaa Laplace a rzeczywiej funkcji czau je rzeczywią funkcją zmiennej zepolonej zn F ( ) F ( ) W dalzych rozważaniach będziemy dodakowo zakładać że f ( ) je funkcją przyczynową czyli f ( ) dla < Przy ym założeniu przekzałcenie Laplace a je przekzałceniem jednoznacznym zn na podawie F ( ) można w poób jednoznaczny odworzyć funkcję f ( ) oując odwrone przekzałcenie Laplace a zdefiniowane jako c+ j d f ( ) L { F ( ) } F ( ) e πj c j Będziemy używać również uprozczonych oznaczeń F ( ) i F ( ) f ( ) f równoważnych odpowiednio z L { f ( ) } F ( ) i { } L F f * Funkcją ypu wykładniczego nazywamy aką funkcją kórej warość bezwzględna rośnie nie zybciej niż funkcja wykładnicza Ponieważ wzykie funkcje opiujące przebiegi fizyczne ą akimi funkcjami więc warunkiem ym nie będziemy ię bliżej zajmować

4 Tema 4 r 4 Najważniejze właności przekzałcenia Laplace a zoały zeawione w ablicy Właności e wynikają bezpośrednio z definicji przekzałcenia W ablicy przyjęo L f F L g G naępujące oznaczenia: { } { } Tablica Właności przekzałcenia Laplace a Lp Oryginał Tranformaa Komenarz a f ) + a g( ) a F ) + a G( ) ( ( ξ e f ( ) F ( ξ ) Liniowość przekzałcenia a a liczby rzeczywie lub zepolone Przeunięcie w dziedzinie ξ liczba rzeczywia lub zepolona d 3 f ( ) d F ( ) f ( ) Różniczkowanie (dyrybucyjne) w dziedzinie 4 f ( τ ) dτ F( ) 5 f ) ( ) F ( ) e ( Całkowanie (dyrybucyjne) w dziedzinie Przeunięcie w dziedzinie d 6 f () F( ) Różniczkowanie w dziedzinie d 7 f ( a) a > F a a Skalowanie f ( ) g( ) f ( τ ) g( τ ) dτ 8 9 f ( ) g( ) c j F ( ) G( ) Splo w dziedzinie F ( ) G ( ) πj c+ j Mnożenie funkcji w dziedzinie F( λ ) G( λ )d λ πj

5 Tema 4 r 5 Tranformay najczęściej poykanych funkcji zoały zeawione w ablicy Tablica Tranformay elemenarnych funkcji (dyrybucji) f ( ) F ( ) δ( ) ( ) e a ( ) n ( ) ( n )! ( ) inω coω e e a a inω coω inω coω ( ) ( ) + a n ω +ω + ω ω ( a) + +ω + a ( + a) + ω ω ( +ω ) ( + ω ) ω Znajomość właności i ranforma zeawionych w ablicach i będzie porzebna przy rozwiązywaniu zadań i byłoby rzeczą ze wzech miar pożądaną ich zapamięanie

6 Tema 4 r 6 Zad Obliczanie ranforma Laplace a 3 Obliczyć ranformaę Laplace a funkcji f ( ) ( 5e co 5 in ) ( ) f 5 f f 3 Ponieważ gdzie f ( ) e co 5 ( ) f ( ) in ( ) o na podawie właności () F ( ) 5L{ f ( )} L { f ( ) } Tranformay f ( ) i f ( ) obliczymy korzyając z odpowiednich właności przekzałcenia I ak kolejno: kładnik : co5 ( ) + 5 d 5 co5( ) d + 5 (właność (6)) + 5 ( ) e co5( ) (właność ()) ( + 3) + 5 kładnik : in ( ) ( ) co ( ) (właność ()) + 4 Oaecznie: F ( ) ( + 3) ( ) ( + 4) Zad 3 Wyznaczyć ranformay Laplace a funkcji impulowych kórych wykrey przedawiono na ry 3 f() f() A Połówka inuoidy Ry (a) (b) T

7 Tema 4 r 7 Funkcję z ry a można analiycznie zapiać jako: ( ) ( ) ( 3) ( 3) ( 3) + ( 5) ( 5) f Tranformaa Laplace a ej funkcji je równa F ( ) 3 5 e + e + e Z kolei funkcję z ry b można zapiać jako π π f ( ) A in ( ) + in ( T ) ( T ) T T a jej ranformaa je równa F ( e T + ) π A T π + T W obu przypadkach wykorzyujemy właności () i (5) z ablicy Zad 4 Wyznaczyć ranformaę Laplace a funkcji okreowej kórej wykre przedawiono na ry 4 Tranformaa funkcji okreowej o okreie T czyli f f kt k ma poać: akiej że FT ( ) F ( ) e T gdzie FT ( ) je ranformaą impulu ft ( ) kóry je równy funkcji T i zero poza ym przedziałem czyli FT ( ) { ft ( ) } naomia f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T Ry 4 f w przedziale L W nazym przykładzie T Po wyznaczeniu ranformay orzymujemy e e e e FT ( ) czyli F ( ) ( e )

8 Tema 4 r 8 Obliczanie odwronych ranforma Laplace a Zad 5 Obliczyć odwroną ranformaę Laplace a funkcji F ( + )( + 3)( + 7) F je funkcją wymierną Ponado opień licznika je mniejzy od opnia Funkcja mianownika a pierwiaki mianownika (bieguny funkcji) ą jednokrone Funkcję aką można rozłożyć na ułamki proe czyli przedawić ją w poaci naępującej umy: F c c c c Wpółczynniki zależności: c wyępujące w ym rozwinięciu obliczamy z naępujących k c F ( + )( + 3)( + 7) c ( + ) F ( ) ( + 3)( + 7) 3 ( + )( + ) c3 ( + 3) F ( ) ( + )( + ) c4 ( + 7) F ( ) Funkcję F() możemy więc zapiać w poaci: 5 3 F ( ) Tranformay odwrone pozczególnych kładników ej funkcji ą już ławe do wyznaczenia (można je znaleźć w ablicy ) Oaecznie więc orzymujemy: ( e e e ) f + Zad 6 Obliczyć odwroną ranformaę Laplace a funkcji F ( )

9 Tema 4 r 9 Meoda (niezalecana) F pełnia akie ame założenia jak funkcja w zad 5 Ma jednak parę Funkcja zepolonych przężonych biegunów Rozkład na ułamki proe będzie więc miał poać: F c c + + c3 + + j3 + j3 + + j3 + j3 Wpółczynniki rozwinięcia obliczamy z naępujących zależności: c F ( ) ( + + j3) + j j3 ( + j3) j3 c F ( + j3) j + j3 ( + + j3) + j3 c F c Rozkład na ułamki proe funkcji F ( ) ma więc poać F 5 + j j j3 + j3 a jej ranformaą odwroną je ( + j3 ( j3) 5 j ) e ( j ) e f Meoda ( ) ( ) j3 j3 j3 j3 5 + e e + j e e j e ( ) ( ) 5 e co3 in 3 Funkcję F ( ) rozkładamy na naępujące ułamki: F c k k c c c k k ( ) ( ) ( ) Z porównania wpółczynników wielomianów liczników przy jednakowych poęgach orzymujemy naępujący układ równań: : c + k 3 : 4c + k 9 : 3c 65 z kórego po rozwiązaniu uzykujemy c 5 k k Oaecznie F

10 Tema 4 r a ranformaa odwrona (w razie wąpliwości waro zajrzeć do ablicy ) 5 e ( co 3 in 3 ) f Wpółczynniki rozkładu na ułamki można również policzyć inaczej Ponieważ równość ( ) je ożamościowa (obowiązuje dla wzykich kóre nie ą pierwiakami mianownika) o podawiając za różne warości liczbowe można orzymać odpowiednią liczbę równań z kórych wyznaczymy pozukiwane wpółczynniki I ak c k + k + c + k + k : c k + k + c + k k : c k + k + c + k k : Z równań ych po rozwiązaniu orzymujemy c k k Meoda 3 Meoda a je modyfikacją podejścia zaoowanego w meodzie Pouluje ię naępujący rozkład funkcji F ( ) : c + 3 F ( ) + α + α Wówcza e ( co 3 + in 3 ) f c α α Wpółczynniki c α α można obliczyć jednym z omawianych poprzednio poobów Orzymuje ię oczywiście c 5 α α Waro u zauważyć że możliwe ą meody miezane W omawianym przykładzie wygodnym wydaje ię być wyliczenie wpółczynnika c ze wzoru ak jak w meodzie naomia k i k ( α i α ) jednym ze poobów opianych w meodzie Zmniejza ię wówcza liczba równań kóre należy rozwiązać Zad 7 Obliczyć odwroną ranformaę Laplace a funkcji F ( + )( + )

11 Tema 4 r Rozkład funkcji F ( ) ma naępującą poać: F c c c c c c na podawie kórej można naychmia wypiać ranformaę odwroną c c f c c c c 3 e e 3 3! 3! ( ) (Skąd ię o wzięło? A no rzeba wyzukać odpowiednią funkcję w ablicy i korzyać z właności () z ablicy ) Jak widać jedynym problemem rachunkowym je wyznaczenie wpółczynników rozkładu c kl Można ego dokonać kilkoma różnymi meodami Meoda Korzyamy z ogólnej poaci rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proe F m α k c kl l ( ) k l k gdzie m je liczbą różnych pierwiaków mianownika funkcji F ( ) naomia kronością pierwiaka k Wówcza wpółczynniki rozkładu można wyliczyć z zależności: ( α l) k α l k d αk ckl ( α k ) F ( ) k l! d Kolejno więc wyliczamy: c ( + )( + ) k α k je F (k α k l ) c ( + ) F ( ) (k α 4 k l ) ( + ) c34 ( + ) F ( ) 3 (k 3 α k 4 l 4) ( + )

12 Tema 4 r 4 3 d 4 d c33 ( + ) F ( )! d d ( + ) ( + ) (k 3 α k 4 l 3) d 4 d c3 ( + ) F ( )! d d ( + ) ( + ) (k 3 α k 4 l ) d 4 d c3 3 ( + ) F ( ) 3 3 3! d 3 d ( + ) 4 3 ( ) ( + ) Rozkład funkcji F ( ) na ułamki proe wygląda więc naępująco: (k 3 α k 4 l ) F a jej ranformaą odwroną je: 3 4 Meoda ( 3 + e ) e f Po prowadzeniu wyrażenia ( ) do wpólnego mianownika i porównaniu liczników lewej i prawej rony orzymujemy naępującą ożamość: c + c + c + ( 3 ) 4 ( 9c 8c 7c3 c3 ) 3 ( 3c 4c 8c3 5c3 c33 ) ( ) ( 48c 6c 8c 4c c c ) c + c + c + c + c + c c

13 Tema 4 r 3 Po przyrównaniu wpółczynników przy jednakowych poęgach orzymujemy naępujący układ równań liniowych c c c c c c 34 6 z kórego wyznaczamy pozukiwane wpółczynniki rozkładu na ułamki proe Meoda 3 Poulujemy naępującą poać rozkładu na ułamki proe c c c c c c ( + )( + ) + + ( + ) ( + ) ( + ) a naępnie poawiamy za różne warości liczbowe (ale akie kóre nie ą biegunami F!) Orzymamy wówcza układ równań liniowych w kórych niewiadomymi funkcji będą pozukiwane wpółczynniki W omawianym przykładzie porzebne będzie ześć równań a więc należy podawić za ześć różnych warości I ak przykładowo: 59 c c c3 c3 c33 c34 5: c c c3 c3 c33 c34 4: c c 3: c3 + c3 c33 + c c3 4c3 8c33 6c34 : c + c c c3 c3 c33 c34 : c c c c3 c3 c33 c34 : Z orzymanych równań wyliczamy pozukiwane wpółczynniki rozkładu na ułamki proe Podawową rudnością przy oowaniu meod i 3 je jak widać konieczność rozwiązania układu równań liniowych Jeżeli mamy aką możliwość o waro korzyać z kóregoś z doępnych programów numerycznych Obliczenia można doyć znacznie uprościć jeżeli zaoować kombinację przedawianych meod zn wyliczyć wpółczynniki c c c 33 meodą (nie liczy ię wedy pochodnych) a pozoałe wpółczynniki meodą lub 3

14 Tema 4 r 4 W przypadku gdy funkcja F ( ) ma jeden (lub więcej) biegun o dużej kroności wówcza najbardziej efekywną meodą rozkładu jej na ułamki proe je meoda Goldone a Meoda 4 (Goldone a) Dokonujemy naępującej zamiany zmiennych: p + czyli p Wówcza ( )( ) ( )( ) p + p 4 p 9 p 6 p 6 p + 8p p + 6 F ( p ) 4 4 p p p p p p a po oburonnym przemnożeniu przez p p 6 p + 8p p + 6 p F p p 3p + Teraz należy zacząć dzielić wielomian licznika przez wielomian mianownika zaczynając dzielenie od najniżzych poęg p 6 p + 8p 6p 3 + p 4 3p + p 3 p + p p 3 6 9p +3p p + 5p 6p 3 + p 4 p + 3p p 3 p 5p 3 + p 4 p 3p 3 + p 4 p 3 p 3 + 3p 4 p 5 3p 4 + p 5 Dzielenie kończymy w momencie gdy w wyniku pojawi ię p 3 (poęga o niżza niż kroność bieguna) Oaecznie możemy zapiać p 3p p F p 3 p + p p + ( p )( p ) Po oburonnym podzieleniu przez p 4 i podawieniu p + orzymujemy F ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) Oani kładnik ma już ylko jednokrone bieguny i po jego rozłożeniu na ułamki proe F orzymujemy pozukiwaną poać funkcji Niekóre programy maemayczne umożliwiają obliczanie zarówno ranforma Laplace a jak i ranforma odwronych Może o być dużym uławieniem przy rozwiązywaniu zadań zachęcamy więc do zapoznania ię z ymi programami Przykładowo ranformaę odwroną funkcji z zad 7 można wyznaczyć w przedawionym poniżej programie MAPLE

15 Tema 4 r 5 Zad 8 > wih(inran): > F:(^4+*^3-4*^-9*-6)//(+)/(+)^4; > f:invlaplace(f); Obliczyć odwroną ranformaę Laplace a funkcji F ( ) Ponieważ opień licznika funkcji F je równy opniowi jej mianownika o w pierwzym eapie należy podzielić wielomian licznika przez wielomian mianownika: Funkcję F() zapiujemy jako F : ( + ) ( + ) 4 f : e ( ) e F F 3 4 ( + )( + )( + ) a jej ranformaą odwroną je { } 3 δ δ co e e f + L F + Zad 9 Obliczyć odwroną ranformaę Laplace a funkcji F e e 3 ( + ) Funkcja F ( ) nie je funkcją wymierną i w związku z ym nie możemy jej rozłożyć na ułamki proe Możemy ją jednak przedawić w poaci + 4 F ( + ) ( + ) ( + ) Funkcje ( ) ( ) ( ) ą odpowiednio równe: 3 3 e e Φ Φ e Φ3 e Φ Φ Φ ą funkcjami wymiernymi i ich ranformay odwrone 3 3 { Φ ( ) } ϕ ( ) 4 ( ) e ( ) L

16 Tema 4 r 6 { Φ ( ) } ϕ ( ) e ( ) Φ ϕ L { 3 } 3 ( ) ( ) e ( ) L Tranformaa odwrona funkcji F ( ) zgodnie z włanością (5) z ablicy je więc równa: f ϕ + ϕ + ϕ ( ) ( 3) e + e ( ) + ( 3) ( 3) e ( 3 ) Sany nieualone w obwodach RLC Operaorowe chemay zaępcze podawowych elemenów obwodów zeawione zoały w ablicy 3 Tablica 3 Operaorowe chemay zaępcze elemenów RLC Elemen Operaorowy chema zaępczy i() R I() R u() Ri ( ) Gu ( ) u i U() RI ( ) GU ( ) U I I() L Li L ( ) i() L u() i L ( ) U() ( ) U LI Li L L u d ( i ) L d i ( ) il ( ) + u ( τ ) dτ L I() i L ( ) U() ( ) L I ( ) U ( ) + i L C i() C I() Cu C ( ) du i ( ) C d + u C ( ) u() u ( ) uc ( ) + i ( τ ) dτ C U() ( ) I CU Cu C I() C U() u C ( ) uc U ( ) I ( ) + C ( )

17 Tema 4 r 7

18 Tema 4 r 8 Zad W obwodzie przedawionym na ry klucz K był rozwary i w obwodzie panował an ualony W chwili klucz zoał zwary Obliczyć napięcie u( ) dla e() Ry Przy rozwiązywaniu ego ypu zadań należy w pierwzej kolejności wyznaczyć warunki począkowe zn napięcia na kondenaorach i prądy płynące przez indukory w chwili (momen uż przed przełączeniem klucza) Korzyamy z założenia że w układzie panował an ualony Ponieważ jedyne pobudzenie w układzie je pobudzeniem ałym więc w anie ualonym w obwodzie nie płynął prąd a kondenaor był naładowany do napięcia równego ile elekromoorycznej źródła czyli uc R ( ) E V L i Możemy eraz konruować operaorowy chema zaępczy obwodu dla > Schema en zoał przedawiony na ry Z I prawa Kirchhoffa orzymujemy równanie I + I Cu + I C 3 L K C R u() E() Ry zaś z prawa Ohma: I ( ) E ( ) U ( ) L + R I ( ) CU ( ) I3 ( ) U ( ) R E gdzie E ( ) L { e( ) } Z równań ych po wyeliminowaniu prądów orzymujemy: E U ( ) CU ( ) CuC ( ) U ( ) L R R czyli E + CuC ( ) L + R U ( ) + C + L + R R Dalze obliczenia czyli obliczenie ranformay odwronej wygodnie będzie prowadzić na zadanych danych liczbowych Po ich podawieniu orzymujemy R Dane: E e V con R Ω R Ω C F L H L I () I () I 3 () Cu C ( ) C R U()

19 Tema 4 r 9 U + ( + + ) ( + + ) ( + ) + ( + ) + + a po obliczeniu ranformay odwronej + ( ) u e co in V Zad W obwodzie przedawionym na ry klucz K był zwary i w obwodzie panował an ualony W chwili klucz en zoał rozwary wyznaczyć napięcie u ( ) L K e() R u() C Ry Dane: e E V con R Ω L H C F Warunkami począkowymi w obwodzie ą: i i u E L C (pamięamy że w anie ualonym przy ałym pobudzeniu wzykie prądy i napięcia ą ałe więc indukory zachowują ię jak zwarcie naomia kondenaory jak rozwarcie) Operaorowy chema zaępczy obwodu dla czaów przedawiono na ry Równanie na napięcia w oczku (jedynym) ego obwodu ma poać: ( ) u RI ( ) C + I ( ) + LI ( ) C I() U() R Ry L C u C ( ) Z równania ego wyznaczymy I u C ( ) L + R + C a naępnie u C ( ) U ( ) RI ( ) R L + R + C

20 Tema 4 r Po podawieniu danych liczbowych orzymujemy U ( ) + + ( + ) czyli po wyznaczeniu ranformay odwronej u e V Zad Wyznaczyć napięcie u() w obwodzie przedawionym na ry a jeżeli pobudzenie e() je przebiegiem impulowym kórego wykre przedawiono na ry b e() R L R C u() e() V 3 4 Dane: R 3Ω R Ω L H C F Ry (a) (b) Pobudzenie e() dla < więc warunki począkowe w układzie ą zerowe Operaorowy chema zaępczy obwodu dla przedawiono na ry Napięcie U ( ) możemy wyliczyć z dzielnika napięcia czyli gdzie U E + C ( R + L) + R e( ) E 3 4 e e + e e L { } Po podawieniu danych liczbowych orzymujemy E() Ry R L R C U() U 3 4 e e + e e ( + ) a po obliczeniu ranformay odwronej u() + ( + ) e () + e ( ) + ( ) e 4 e + + ( 3) e + ( 4) V 4