16. CHARAKTERYSTYKI CZASOWE UKŁADÓW SLS

Transkrypt

1 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS 6. CHAATEYSTYI CZASOWE UŁADÓW SS 6.. SPOT FUNCJI A) DEFINICJA Niec ane bęą wie unkcje () i () całkowalne w każym przeziale (, ), <, wówcza ploem yc unkcji nazywać bęziemy unkcję q() określoną la w poób naępujący () () ( ) ( ) q( ) (6.) * Operację worzenia plou nazywamy plaaniem unkcji () i () lub ic mnożeniem ploowym. Inerpreacja graiczna plou ozparzmy unkcje () i () () ( ) () ( ) - w pierwzym eapie wykreślamy unkcje () i () przyjmu- jąc za zmienną całkowania 3 4 W eapie rugim worzymy lurzane obicie (-) unkcji () -4 (- ) ( ) Naępnie przeuwamy unkcję (-) wzłuż oi o pewną (- ) warość, przyjmijmy w eekcie uzykujemy unkcję ( -). Całkujemy iloczyn unkcji () ( -) ze wzglęu na - je,5 o pole po krzywą wypakową ()*() unkcji () i ( -). Warość plou () () w cwili je równa emu polu powierzcni. ( ) mzulim@wa.eu.pl /

2 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS B) WŁASNOŚCI SPOTU właność - plaanie unkcji je przemienne: () * () () * () ( ) ( ) ( ) ( ) (6.) właność - plaanie unkcji je łączne: () * () * ( ) ( ) * [ ( ) * ( ) ] [ ( ) * ( ) ]* () (6.3) właność 3 - plaanie unkcji je rozzielne wzglęem oawania: [ () () ]* () ( ) * ( ) ( ) * ( ) (6.4) plo unkcji () z unkcją jenokową () () * ( ) (6.5) Zaem mnożenie ploowe unkcji () przez unkcję jenokową () je równoznaczne z całkowaniem unkcji () w przeziale (,) plo unkcji () z unkcją impulową Diraca δ() Na poawie einicji () * δ () δ () * () δ ( ) ( ) Ponieważ δ() inieje ylko przy - co oznacza, że należy brać po uwagę warość unkcji (-) ylko w punkcie, a więc (-) może być zaąpiona przez (). Zaem () * δ () δ ( ) () () δ ( ) () ą ( ) * ( ) ( ) Ponao () * ( ) ( ) δ (6.6a) δ (6.6b) mzulim@wa.eu.pl /

3 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS C) TWIEDZENIE BOEA O SPOCIE Jeną z najważniejzyc właściwości przekzałcenia aplace a je wierzenie o plocie zw. wierzenie Borela: [ () ( ) ] F ( ) F ( ) (6.7a) * lub [ ( ) F ( ) ] ( ) * ( ) (6.7b) F gzie: [ ( ) ], F [ ( ) ] F D) TWIEDZENIE O TANSFOMACIE POCHODNEJ SPOTU Tranormaa aplace a poconej plou [ () * () ] F F (6.8a) (6.8b) czyli [ F F ] [ () * () ] mzulim@wa.eu.pl 3 /

4 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS mzulim@wa.eu.pl 4 / E) CAŁA DUHAMEA () () [ ] ( ) ( ) * (6.9) wyrażenie o nazywamy całką Duamela (całką uperpozycji) Zgonie z wierzeniem o różniczkowaniu całki wzglęem parameru (jeśli obie unkcje () i () mają ciągłe pocone la >) napizemy () () [ ] * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' (6.a) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ' (6.b) a korzyając z przemienności plou orzymamy pozoałe poacie całki Duamela () () [ ] () ( ) ( ) ( ) * ' (6.c) () () [ ] ( ) () ( ) ( ) * ' (6.)

5 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS 6.. OPEATOOWE FUNCJE UŁADU ozparzmy ukła elekryczny, na kóry ziała wymuzenie przyczynowe () (napięciowe lub prąowe) i la kórego pozukiwaną unkcją je opowieź r() (prąowa lub napięciowa). () ukła r() SS Jeśli wielkości () i r() wyępują na yc amyc zacikac o rozparywany ukła aje ię wójnikiem. Jego an opiany je parą unkcji: prąu wejściowego i napięcia a) i ()() u()r() b) u ()() Z i()r() I() I() Z U() Z() U() Y() W zależności o wymuzenia opowieź wyznaczamy ze wzoru U Z I (6.a) ( ) Y ( ) U ( ) Z I (6.b) Z() operaorowa IMpeancja gzie: Y() operaorowa amitancja Dla obu yc unkcji ukłau pełniającyc związek ( ) Z( ) Y (6.) oujemy określenie : operaorowa IMMITANCJA mzulim@wa.eu.pl 5 /

6 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS W przypaku wyorębnienia wóc par zacików mamy o czynienia z czwórnikiem. Jeśli wymuzenie je związane z jeną bramą a opowieź z rugą o relacje pomięzy nimi - ounek opowiezi o wymuzenia nazywamy TANSMITANCJĄ operaorową. F () () () ( ) przy zerowyc W.P. czyli ( ) ( ) F( ) (6.3) F (6.4) Wyróżniamy operaorową: U() () u I() U() u ranmiancję napięciową U ( ) I ( ) (6.5a) U U() () iu I() U() ranmiancję prąowo-napięciową i u I ( ) U ( ) (6.5b) U I () I() () i U() i ranmiancję prąową I ( ) U ( ) (6.5c) I I() () ui I() U() ranmiancję napięciowo-prąową u i U ( ) I ( ) (6.5) I mzulim@wa.eu.pl 6 /

7 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS ozparzmy wa zczególne przypaki unkcji wymuzającej () Gy unkcją wymuzającą je unkcja impulowa Diraca δ() Czyli () δ () [ δ ( ) ] F( ) wówcza F () (6.6) F () ()() () Oznacza o, że unkcja ranmiancji () je ożama z operaorową opowiezią ukłau na wymuzenie impulowe. Można zaem nazwać ją operaorową unkcją impulową ukłau. Gy unkcją wymuzającą je unkcja koku jenokowego () Czyli () () [ () ] F() wówcza F H (6.7) F ()/ () ()()/H() Tę zczególną opowieź H() nazywamy operaorową opowiezią ukłau na wymuzenie kokiem jenokowym. mzulim@wa.eu.pl 7 /

8 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS Zaem relacje pomięzy operaorową unkcją impulową ukłau () i operaorową opowiezią ukłau na wymuzenie kokiem jenokowym H() ą naępujące: () ( ) H (6.8) H () () Znajomość jenej z yc unkcji pozwala ławo określić rugą CHAATEYSTYI CZASOWE Czaową carakeryykę ukłau o określonym wejściu i wyjściu - anowi przebieg ygnału wyjściowego, gy na wejściu ziała wymuzenie bęące ygnałem wzorcowym. Najczęściej używanymi ygnałami wzorcowymi w proceac baania ukłaów ą: ygnał impulowy δ() ygnał koku jenokowego () ozparzmy ponownie zależność (6.4) F() gzie: F() [()] je ranormaą wymuzenia () [k()] je ranmiancją operaorową Zaem zgonie z wierzeniem Borela (6.7b) oryginał opowiezi r() określony je unkcją plou () k() () r * (6.9) F () () () - () *k() r() mzulim@wa.eu.pl 8 /

9 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS A) CHAATEYSTYA IMPUSOWA Jeśli ygnałem wzorcowym je unkcja impulowa Diraca δ() o zgonie z (6.9) i (6.6) r r () k( ) * δ ( ) k( ) () [ ( ) ] k() (6.) zaem k() zwana CHAATEYSTYĄ IMPUSOWĄ UŁADU (unkcją/carakeryyką impulową) je ożama z opowiezią ukłau na wymuzenie impulem Diraca. B) CHAATEYSTYA SOOWA Jeśli ygnałem wzorcowym je unkcja koku jenokowego () o zgonie z (6.7) r () [ H ] () (6.) zaem () zwana CHAATEYSTYĄ SOOWĄ UŁADU (unkcją/carakeryyką przejściową) je ożama z opowiezią ukłau na wymuzenie kokiem jenokowym. C) ZWIĄZI POMIĘDZY CHAATEYSTYAMI Z relacji (6.8) wynikają naępujące związki H ( ) () () H k() k ( ) () (6.9) mzulim@wa.eu.pl 9 /

10 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS Znając carakeryykę czaową ukłau r () jako opowieź na ygnał wzorcowy (), możemy wyznaczyć opowieź ukłau na owolny ygnał przyczynowy, korzyając z zależności r () ( ) F (6.3) F Mając carakeryykę impulową k() można wyznaczyć opowieź ukłau na owolny ygnał przyczynowy (), korzyając z wierzenia Borela (6.7) oraz einicji plou (6.) i jego właności (6.): ( ) ( ) r( ) k (6.4a) ( ) ( ) r( ) k (6.4b) Mając carakeryykę kokową () można wyznaczyć opowieź ukłau na owolny ygnał przyczynowy (), korzyając z wierzenia o ranormacie poconej plou (6.8) oraz całki Duamela (6.): r r r r ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6.5a) ' () ( ) () ( ) ( ) (6.5b) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6.5c) ' () ( ) () ( ) ( ) (6.5) mzulim@wa.eu.pl /

11 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS mzulim@wa.eu.pl / PZYŁAD : Znając carakeryykę przejściową ukłau () () e Wyznaczyć opowieź ego ukłau (prą w obwozie i()) na wymuzenie przyczynowe liniowe () () w zależności o paramerów pierwonyc ego ukłau. Zal. (6.5c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r ' ( ) ( ) ( ) ' () i () ( ) ( ) e 3 ( ) ( ) e e e e e e () e

12 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS 6.4. ZWIĄZI MIĘDZY CHAATEYSTYAMI CZASOWYMI I CZĘSTOTIWOŚCIOWYMI WPOWADZENIE Znajomość ranmiancji bąź immiancji operaorowej ukłau pozwala wyznaczyć carakeryykę częoliwościową anu ualonego la ukłau klay SS, abilnego, prawie we wzykic punkac ω (. ), przez proe poawienie jω. Zaem ( jω ) ( ) jω (6.6) Wykorzyując jenoronne przekzałcenie aplace a (.3) możemy powyżze równanie przekzałcić w zależność łuzną la ω (. ) ( j ) k( ) e k() jω jϖ ω e (6.7) Orzymujemy zaem jenoronne przekzałcenie Fouriera, kóre inieje wey i ylko wey, gy k () < Jak wiemy (jω), czyli carakeryyka ampliuowo-azowa, je wielkością zepoloną, kórą możemy przeawić w poaci algebraicznej lub wykłaniczej: j arg jω j arg jω jω jω e ω e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mzulim@wa.eu.pl /

13 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS ZWIĄZI GANICZNE CHAATEYSTY Twierzenie o warości począkowej i końcowej unkcji (): - jeśli F [ () ] oraz inieje granica lim ( ) ( ) lim F ( ) - jeśli F [ () ] oraz inieje granica ( ) ( ) ( ) lim, o, o (6.8) lim F (6.9) Zaem jeśli operaorową unkcją ukłau je ranmiancja () a carakeryyka impulowa poiaa kończone granice zarówno la jak i, o łuzne ą związki lim lim k( ) k( ) (6.3) Jeśli weźmiemy po uwagę carakeryykę kokową (przejściową) ukłau, o możemy zapiać przy założeniu, że () poiaa granice zarówno la jak i oraz uwzglęniając zależności (6.8) lim H lim H lim ( ) lim ( ) (6.3) naępnie uwzglęniając wzór (6.6) orzymujemy: mzulim@wa.eu.pl 3 /

14 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS lim lim lim ( ω ) ( ) jω ω lim ( ω ) ( ) jω ω (6.3) Są o związki o barzo użym znaczeniu prakycznym. Wynika z nic jenoznacznie, że jeśli znamy np. carakeryykę ampliuową (ω), o jej graniczne warości określają jenoznacznie graniczne warości unkcji kokowej (przejściowej) () i owronie. () ( ω) ω ZWIĄZI PAAMETÓW CHAATEYSTY Jako poawowe paramery carakeryyk czaowyc przyjmuje ię mięzy innymi: n cza naraania, o cza opóźnienia, Z - zwi mzulim@wa.eu.pl 4 /

15 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS Cza naraania n - ukłau olnoprzepuowego einiujemy jako cza wzrou carakeryyki kokowej (przejściowej) ukłau o, o,9 warości ualonej (6.33) n,9, Cza opóźnienia o - ukłau olnoprzepuowego einiujemy jako cza wzrou carakeryyki kokowej (przejściowej) ukłau o o,5 warości ualonej (6.34) o,5 u,9,5 (), o n n,35,45 (6.35) g o, (6.36) g Funkcję zwiu Z() - ukłau górnoprzepuowego einiujemy: () ( ) ( ) ( ) ( ) Z u (6.37) ( ) ( ) ( ) lub unkcję zwiu w procenac Z %() % (6.38) () () Z( i ) Dla małyc warości ( ) π Z% (6.39) g i mzulim@wa.eu.pl 5 /

16 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS PZYŁAD : Dla ukłau przeawionego na ryunku, mając ane 9kΩ, kω, CmF, wyznaczyć: u () C u (). carakeryykę kokową,. cza naraania i opóźnienia, 3. carakeryykę impulową. A.. Poajemy kok jenokowy na wejście ukłau i przeawiamy cema operaorowy ukłau U () /C U () U () Z () U () gzie: Z C C C orzyając z zielnika napięcia wyznaczamy operaorową unkcję ukłau Z () C Z ( C) C C 9 mzulim@wa.eu.pl 6 /

17 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS Wyznaczamy operaorową opowieź ukłau na wymuzenie kokiem jenokowym (zależność 6.7) H 9 ( 9) UWAGA: znając H() możemy wyznaczyć (zal.6.3) ( ) lim H lim lim 9 9 ( 9) ( ) lim H ( ) lim, Wyznaczamy carakeryykę czaową kokową ukłau (zal.6.) () [ H ( ) ] ( 9) ( a) a a ( e ) p.9. () 9 9 ( 9 ) () e () 9 mzulim@wa.eu.pl 7 /

18 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS (),,e 9 ()...8 ( ) A.. Cza naraania n -,9, Cza opóźnienia o -,5 n o Wiemy już, że ( ) ual ( ), mzulim@wa.eu.pl 8 /

19 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS ( ),9,, 9,9,,e 9,9,e 9,e 9,9,, e 9, 9 ln(,),33 9 ą:, 73,9 ( ),,,, ą:, 95, czyli: n,73,95,9,,977 ( ),5,, 5,5 ą:, 64,5 czyli: o,5,64,64 mzulim@wa.eu.pl 9 /

20 OBWODY I SYGNAŁY Wykła 6 : Carakeryyki czaowe ukłaów SS A.3. Spoób Znając carakeryykę kokową, można wykorzyać zal. 6.. k () () wykorzyujemy zal.6.: k,,e k 9 () e () 9 (), e () Spoób Znając operaorową unkcję ukłau () 9 () [ ( ) ] e () a e a p k( ) mzulim@wa.eu.pl /