ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW. Spis treści

Transkrypt

1 ANALIZA CZĘSOLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW Spi reści. Dykree widmo ygałów okreowych. Związek między zeregiem i raormacją Fouriera 3. Waruki iieia i odwracalości raormacji Fouriera 4. Widma ygałów 5. Właości raormacji Fouriera 6. Przykład raorma Fouriera 7. Uogólioa raormacja Fouriera

2 rochę hiorii Baro Jea Bapie Joeph FOURIER Z wyróżieiem ukończył zkołę wojkową w Auxerre. Zoał auczycielem Ecole Normal a poem Poliechiki w Paryżu. Napoleo miaował go zarządcą Dolego Egipu w wyiku ekpedycji z 798 roku. Po powrocie do Fracji zoał preekem w Greoble. Baroem zoał w 89 roku. Oaeczie w 86 roku zoał ekrearzem Akademii Nauk a aępie jej człokiem w 87. W okreie od 88 roku do 85 roku apiał omowy Opi Egipu. Rówaiem ciepła zaiereował ię w 87 roku. W opublikowaej w 8 roku pracy pokazał jak zereg zbudoway z iuów i koiuów moża wykorzyać do aalizy przewodicwa ciepła w ciałach ałych. Nad zeregami rygoomeryczymi pracował do końca życia, rozzerzając ę problemaykę a raormację całkową.

3 Dykree widmo ygałów okreowych Dla ygałów pełiających dwa waruki: C, moża uworzyć zereg gdzie / oraz c c co c d c a b b a arc g widmo azowe widmo ampliudowe a co d b i d 3

4 Niech Od zeregu do raormacji Fouriera + / + czyli, e j/ j/ e d gdzie e j j e d j Po zmiaie graic całkowaia e d Dodakowo iech 4

5 Od zeregu do raormacji Fouriera Podawiając oraz orzymujemy j e d dla j Ze wzoru e ozaczając d j orzymujemy e d 5

6 Bramka prookąa i jej widmo Fouriera Sygał - Obliczyć widmo ygału dla dla i Cza Ampliuda ^ Widmo je ukcją rzeczywią -/ - / -/ / j e d j e j Częoliwość Poługując ię deiicją raormacji Fouriera i 6

7 Deiicja raormacji Fouriera ˆ Ogólie j e d j e d Dla a i Częo i lub / i 7

8 Waruki odwracalości raormacji Fouriera wierdzeie. Niech day będzie ygał L aki, że jego raormaa Fouriera L, wedy wierdzeie. e j j e dd w każdym pukcie dla kórego ygał je ciągły. Jeżeli ygał L L o wedy jego raormaa ˆ L. 8

9 Widma ygałów j e d r ji e A e j j, A - widma ampliudowe, - widma azowe,, r i - widmo rzeczywie, - widmo urojoe. r i iˆ arcg rˆ 9

10 Widma ygałów arc g : /, / / / r i i dla A i r dla arg ˆ zaem dla dla A A < Wzajema jedozaczość między widmem a widmami ampliudowymi i azowymi: razem z lub A razem z iˆ arcg rˆ A ˆ

11 Parzyość widma rzeczywiego i ampliudowego oraz ieparzyość widma urojoego i azowego e j d co j i d r ji gdzie r co d i i d r i r r i i ˆ ˆ iˆ arcg rˆ

12 Właości widm r i arc g i r e j d co j i d r ji Dla ygału orzymujemy ˆ rˆ co d Dla ygału orzymujemy ˆ jiˆ j i d

13 raormacja Fouriera je przekzałceiem liiowym Addyywość j e d j Jedorodość a e d a Zaem j a b e d a b 3

14 Zachowaie iloczyu kalarego wierdzeie Rayleigha d d Wyika ąd, ˆ, ˆ 4

15 Zachowaie eergii wierdzeie Parevala L L zaem d d 5

16 Zachowaie odległości Skoro d o przyjmując ˆ d dzięki liiowości raormacji Fouriera orzymujemy d ˆ ˆ d 6

17 Ograiczoe ośiki Aaliycza ukcja -ukcja różiczkowala, kórej pochode ą rówież różiczkowale. Ozacza o, że ukcja aaliycza zmieej zepoloej może być lokalie z. w pewym ooczeiu dowolego puku przedawioa w poaci zeregu poęgowego j d e ˆ j d e j d d ˆ j d e j d d ˆ ˆ L d d d Ozacza o, że widmo ˆ je ukcją aaliyczą.! ˆ ˆ d d Niech ygał ma ograiczoy ośik.

18 Zaada ieozaczoości Heieberga Ozacza o, że widmo może być lokalie, z. w pewym ooczeiu dowolego puku, przedawioe w poaci zeregu poęgowego ˆ ˆ d! ^ czyli ośik widma ie może być ograiczoy! d a - -/ -/ -/ / Impul prookąy i jego widmo ampliudowe. Poępując podobie moża udowodić, że jeżeli ośik widma je ograiczoy, o ośik ygału ie może być ograiczoy.

19 Nieozaczoość Heieberga Środek rozłożeia eergii ygału * Środek rozłożeia eergii widma ygału d * ˆ Uormowae kwadray odchyleń adardowych dla rozkładów eergii d * d * ˆ d Zaada Heieberga 5, 9

20 Dualość raormacji Fouriera j e d e j e j d d Orzymujemy zależość zwaą dualością raormacji Fouriera j j e d e d

21 3 π π 3 i 3 ˆ π π i ˆ Zmiaa kali czau ygału a a a / ˆ

22 Przeuięcie w dziedziie czau i częoliwości Przeuięcie w dziedziie czau j bo e d e j po podawieiu rówa ię j j e e d Przeuięcie w dziedziie częoliwości j e j e Sumując oburoie orzymujemy co

23 3 3 jπ π iπ π iπ ˆ jπ exp jπ π iπ π iπ jπ exp ˆ ˆ Przeuięcie w dziedziie czau

24 Przeuięcie w dziedziie częoliwości π i ˆ exp jπ π π i ˆ ˆ coπ π coπ 4

25 Różiczkowaie w dziedziie czau Jeżeli : - ygał i jego koleje pochode aż do rzędu - ą ciągłe, - pochoda rzędu iieje prawie wzędzie, - ygał i wzykie jego pochode aż do rzędu poiadają raormay Fouriera, czyli doaeczie zybko dążą do zera dla o d d j 5

26 Różiczkowaie w dziedziie czau d d iπ ˆ π ji π ˆ π 6

27 Różiczkowaie w dziedziie częoliwości r ji r r i i Oburoie różiczkując orzymujemy d r d r d d di d di d Moża udowodić, że j d ˆ d Waruek wyarczający d 7

28 Splo w dziedziie czau gdy L d Splo ozaczamy Przemieość plou,, d d Gdy i Mui być aby dla o d ie było rówe zeru ˆ d ˆ 8

29 Przykład plou w dziedziie czau 9

30 3 jπ coπ π iπ ˆ π iπ ˆ jπ π iπ π iπ ˆ ˆ * Wzory do ryuków Splaae ygały Splo w dziedziie czau i jego widmo

31 Splo w dziedziie częoliwości i całkowaie w dziedziie czau Splo w dziedziie częoliwości g g dg Całkowaie w dziedziie czau Waruek d j d 3

32 Impul paraboliczy Dla ygału 6 6 dla dla i zaleźć kładową parzyą i ieparzyą oraz wyzaczyć ich widma. 3

33 Rozłożeie a część parzyą i ieparzyą Każdy ygał moża jedozaczie rozłożyć a umę p gdzie ygał parzyy p ygał ieparzyy z. p p Z eoreyczych rozważań wiemy, że ygał parzyy ma widmo czyo rzeczywie a ieparzyy widmo czyo urojoe. Dla rozważaego przykładu orzymujemy 6 p 6 33

34 Widmo części parzyej Poługując ię ożamością j p 6 e d a e d a e a a 3 a gdzie a j orzymujemy widmo czyo rzeczywie 6co 3 p 7 i 34

35 Prezeacja części parzyej p Sygał ^ p Widmo ampliudowe Cza Częoliwość 35

36 Widmo części ieparzyej j e d 6 Poługując ię ożamością e a a a e d a gdzie a j orzymujemy widmo czyo urojoe ˆ j i co 36

37 Prezeacja części ieparzyej Sygał ^ Widmo ampliudowe Cza Częoliwość 37

38 Wykrey do powyżzego przykładu Sygał Widmo ampliudowe ^ 6 - Cza Częoliwość 38

39 Wykrey do kolejego przykładu Sygał Widmo ampliudowe 6 ^ Cza Częoliwość 39

40 Przykład raormay Fouriera Wyzaczyć widmo ygału Ze wzoru deiiującego raormaę Fouriera j j e d e d dla dla dla pozoałych Poługując ię ożamością e d a a orzymujemy a e a a 3 co i i4 j ˆ i co co4 4

41 Wykrey do kolejego przykładu Sygał Widmo ampliudowe ^.5 Cza Częoliwość 4

42 Przykład raormay Fouriera Wyzaczyć widmo ygału dla 5, i dla pozoałych Poługując ię deiicją raormay Fouriera 5, j j e d e d i4 i i j co4 co co 4

43 Wykrey do kolejego przykładu Sygał Widmo ampliudowe ^ - - Cza -5/ -4 / -3/ -/ - / / / 3/ 4/ 5/ Częoliwość 43

44 Kolejy przykład raormay Fouriera Obliczyć widmo ygału dla dla dla Poługując ię deiicją raormay Fouriera Po całkowaiu j j e d e d Po podawieiu graic j e j j i j e j 44

45 Wykrey do kolejego przykładu Sygał Widmo ampliudowe ^ - Cza -3/ -/ - / / / 3/ Częoliwość 45

46 Kolejy przykład raormay Fouriera Obliczyć widmo ygału Korzyając z zależości dla dla dla d i poługując ię wierdzeiem o raormacie z całki j orzymujemy widmo czyo rzeczywie i 46

47 Wykrey do jezcze jedego przykładu Sygał Widmo ampliudowe ^ 3 Cza -3/ -/ - / / / 3/ Częoliwość 47

48 Jezcze jede przykład dziiaj Jakie je widmo ygału e dla dla Poługując ię deiicją raormacji Fouriera j e d j e j j 48

49 Kolejy pouczający przykład raormay Fouriera Dla ygału w poaci ukcji Gaua widmo ma poać exp exp j 49

50 Wykrey do kolejego pouczającego przykładu Sygał Widmo ampliudowe = = ^ = = Cza - - Częoliwość 5

51 Uogólieie raormacji Fouriera lim gdzie lim uogólioa raormaa Fouriera, czyli raormaa w eie graiczym 5

52 Widma impulu Diraca i ygału ałego Widmo impulu Diraca dla dla dla i lim lim zaem raormaa Fouriera ygału ałego 5

53 lub raormay Fouriera ygałów okreowych a a co bi j ce Widmo co c co 5, 5, co 5, 5, i 5, j 5, j j j e co ji e a 5, a jb a jb c 53

54 Różiczkowaie w dziedziie częoliwości iπ π ˆ jπ jiπ ˆ 54

55 Iloczy w dziedziie czau ˆ i ˆ coπ ˆ * ˆ coπ π iπ i π π 55

56 Iloczy w dziedziie czau 56

57 raormacja Fouriera ygału z iezerową warością średią gdzie ma zerową warość średią lim d 57

58 raormacja Fouriera ygału -D Widmo ygału dwu-wymiarowego ˆ x, y x, y e j x x y y dxdy x y xy,, e d d x y j x y x y 58

59 Wielowymiarowe przekzałceia Fouriera Jeśli x, o j x x e dx dx x x j x x e d d 59