3. Metody matematycznego opisu właściwości liniowych elementów i układów automatyki

Transkrypt

1 38 3. etody matematyczego opiu właściwości liiowych elemetów i układów automatyki W automatyce ako właściwość elemetu lub układu rozumie ię poób działaia daego elemetu układu, czyli zachowaie ię ego wielkości wyściowych ygałów wyściowych w wyiku oddziaływaia wielkości weściowych ygałów weściowych. Wielkości weściowe i wyściowe elemetu układu ą wielkościami fizyczymi, których wartości moża wyrazić liczbowo. Zatem zależości wielkości wyściowych od weściowych daego elemetu układu, iezależie od ich fizyczych potaci, moża wyrazić w potaci zależości matematyczych, które azywamy modelem matematyczym tego elemetu układu. Opiae poiże metody opiu właściwości odozą ię do liiowych układów edowymiarowych ry. 3., tz. układów i elemetów o edym ygale weściowym i edym ygale wyściowym. Są oe modyfikowae dla potrzeb opiu elemetów układów wielowymiarowych. a b Ry.3.. Schemat blokowy układu : a edowymiarowego, b wielowymiarowego 3.. Rówaie ruchu Podtawowa formą matematyczego opiu właściwości dyamiczych elemetu układu et tzw. rówaie ruchu, azywae także rówaiem dyamiki. Wyraża oo zależość pomiędzy ygałem wyściowym y t a wywołuącym go dowolym ygałem weściowym u t elemetu układu. Rówaie ruchu elemetu układu liiowego o działaiu ciągłym et rówaiem różiczkowym zwyczaym o tałych wpółczyikach typu d y t d y t dy t a... a a a0 y t b m dt dt dt d u t du t b b b0u t dt dt m d u t... m dt 3.

2 39 W rówaiach opiuących układy rzeczywite pełioy et waruek m. W praktyce rówaia ruchu przedtawia ię w potaci zormalizowae, w które a Tramitaca operatorowa Tramitacą operatorową elemetu układu, ozaczaą ymbolem, azywamy touek traformaty Laplace a ygału wyściowego do traformaty Laplace a ygału weściowego wyzaczoy przy założeiu zerowych waruków początkowych. L[ y t] y L[ u t] u przy y0 y 0... y u0 u 0... u m Poddaąc rówaie ruchu 3. przekztałceiu Laplace a z uwzględieiem zerowych waruków początkowych, otrzymue ię m y [ a... a a a0] u [ bm... b b b0 ], kąd po przekztałceiu m y bm... b b b0 3.3 u a... a a a0 W więkzości przypadków tramitaca operatorowa et ilorazem wielomiaów liczika L i miaowika gdzie L 3.4 L m bm... b b b0 a... a a a0 3.5 iaowik tramitaci operatorowe elemetu układu przyróway do zera azywa ię rówaiem charakterytyczym tego elemetu układu. Wykouąc działaia odwrote iż przy wyzaczaiu tramitaci operatorowe, a podtawie tramitaci odtworzyć moża rówaie ruchu. Tramitaca operatorowa i rówaie ruchu ą więc róworzędymi formami matematyczego opiu właściwości dyamiczych. Przekztałcaąc rówaie 3. otrzymue ię

3 40 u y 3.6 Rówaie 3.6 wyraża matematyczy e chematu blokowego elemetu układu automatyki: iloczy traformaty ygału weściowego u i tramitaci operatorowe elemetu układu wpiae wewątrz bloku - ry. 3. et traformatą ygału wyściowego y ; zakłada ię domyślie, że początkowe waruki były zerowe. Ry. 3.. Schemat blokowy elemetu układu automatyki Uwaga! Do celów praktyczych ależy rozzerzyć poęcia zerowych waruków początkowych i tramitaci operatorowe, wyikaące z defiici 3.. Zwykle itereue a zachowaie układu w okolicy określoego puktu pracy puktu rówowagi, w którym ygały weściowy i wyściowy u t i y t maą iezerowe wartości - odpowiedio u 0 i y 0, co uiemożliwia wyzaczeie tramitaci. W takie ytuaci wprowadza ię owe zmiee, tzw. zmiee przyrotowe u u u0 oraz y y i tworzy ię rówaie ruchu ako zależość pomiędzy fukcami ut i y 0 yt, gdzie u t u t u0 i y t y t y0. Umożliwia to wyzaczeie tramitaci operatorowe ako touku traformat L[ y t] y L[ u t] u przy zerowych wartościach początkowych fukci ut, yt i ich pochodych. Przykład 3. Układ fizyczy o ygale weściowym U i ygale wyściowym U opiay et rówaiem różiczkowym: du 3 t U t 4U t dt Należy wyzaczyć tramitacę operatorową tego układu i przedtawić te układ w potaci chematu blokowego. Rozwiązaie

4 4 Poddaąc obie troy rówaia przekztałceiu Laplace a i zakładaąc zerowe waruki początkowe, otrzymue ię 3U U 4U U [3 ] 4U kąd U 4 U 3 Schemat blokowy układu przedtawia ry Ry Schemat blokowy do przykładu 3. Przykład 3. Day et chemat blokowy elemetu automatyki przedtawioy a ry Wyzaczyć rówaie ruchu tego elemetu. Ry Schemat blokowy do przykładu 3. Rozwiązaie Tramitaca operatorowa elemetu ma potać Przekztałcaąc, otrzymue ię F 0 ; F F 0 F F F 0 F Aby odtworzyć rówaie ruchu elemetu, ależy pozczególe wyrazy te zależości poddać odwrotemu przekztałceiu Laplace a, w celu zalezieia ich orygiałów. Poieważ tramitaca operatorowa wyzaczaa et przy zerowych warukach początkowych, to: L L df t F ] dt [ [ F ] F t df [ 0 F ] 0 dt L

5 4 Zatem rówaie ruchu elemetu ma potać df t df t F t 0 dt dt 3.3. Charakterytyka tatycza i charakterytyki dyamicze Charakterytyka tatycza Charakterytyką tatyczą elemetu układu azywamy zależość wielkości wyściowe od wielkości weściowe w taach utaloych, t. w taach, w których wartości wielkości weściowe i wielkości wyściowe ie zmieiaą ię w czaie. Jet oa zależością algebraiczą y f u gdzie y i u to wartości ygału wyściowego wielkości wyściowe i ygału weściowego wielkości weściowe oiągae w taach utaloych. Ry Charakterytyka tatycza elemetu liiowego Charakterytykę tatyczą elemetu układu moża wyzaczyć z rówaia ruchu, przyrówuąc do zera wzytkie pochode wytępuące w tym rówaiu. Jeżeli et to liiowe rówaie różiczkowe w potaci 3., to charakterytyka tatycza opiaa et rówaiem : b y 0 u 3.7 a0 Jet to więc rówaie liii prote - ry Charakterytykę tatyczą moża także wyzaczyć a podtawie tramitaci operatorowe. Poieważ wartość utaloą wielkości wyściowe moża wyrazić ako y lim y t, to a podtawie twierdzeia o wartości końcowe.3 i zależości 3.6 moża apiać y lim y t lim y lim u t 0 0 t Po podtawieiu u u dla u = cot. otrzymue ię

6 43 y u lim Otateczie, uwzględiaąc zależość 3.3, otrzymue ię rówaie charakterytyki tatycze: m b b b b b y u u m... lim lim 0 0 u a a a a a W przypadku kiedy rówaie ruchu otrzymao w wyiku liearyzaci ieliiowego rówaia ruchu, charakterytyka tatycza w potaci 3.7 et przybliżeiem rzeczywite charakterytyki tatycze. Rzeczywitą charakterytykę tatyczą wyzacza ię z ieliiowego rówaia ruchu, zakładaąc zerowe wartości wzytkich pochodych. oże oa być rówież zależością ieliiową. W takim przypadku charakterytyka tatycza otrzymaa z rówaia zliearyzowaego pokrywa ię z rzeczywitą charakterytyką tatyczą tylko w pukcie pracy, względem którego przeprowadzoo liearyzacę będzie to tycza w pukcie pracy do krzywe odpowiadaące rzeczywite charakterytyce tatycze. A więc charakterytyka tatycza wyzaczoa a podtawie zliearyzowaego rówaia ruchu et przybliżeiem rzeczywite charakterytyki tatycze, które wykorzytue ię edyie w okolicy założoego puktu pracy Charakterytyki dyamicze Rówaie ruchu ak i tramitaca operatorowa edozaczie określaą dyamicze właściwości elemetu układu umożliwiaą wyzaczeie przebiegu ygału wyściowego ako wyiku oddziaływaia ygału weściowego o dowolym przebiegu. Jedakże bezpośredio a podtawie rówaia ruchu ai a podtawie tramitaci operatorowe ie moża obie wyobrazić ai oceić zachowaia ię daego elemetu układu. Do ocey, porówaia i badaia dyamiczych właściwości elemetów układów wykorzytue ię przebiegi ygałów wyściowych uzykae w wyiku oddziaływaia a elemet układ typowych ygałów weściowych mówi ię także typowych wymuzeń. Takie przebiegi ygałów wyściowych azywaą ię odpowiedziami elemetu układu a określoy ygał weściowy lub ogólie charakterytykami dyamiczymi daego elemetu układu. Jako typowe wymuzeia aczęście wykorzytywae ą: - ygał w kztałcie impulu Diraca; wymuzeie impulowe ry. 3.6c,

7 44 - ygał w kztałcie koku edotkowego w kztałcie fukci Heaviide a; wymuzeie edotkowe ry. 3.6a, - ygał kokowy ie edotkowy; wymuzeie kokowe ry. 3.6b, - ygał liiowo arataący; wymuzeie liiowo arataące ry. 3.6 d. Charakterytyki dyamicze wyzacza ię przy założeiu zerowych waruków początkowych. Charakterytyki te moża wyzaczać ekperymetalie lub aalityczie, p. a podtawie tramitaci operatorowe, wykouąc odwrote przekztałceie traformaty ygału wyściowego elemetu układu, określoe zależością 3.6 y t L [ y ] L [ u ] 3.0 Ry Typowe wymuzeia toowae do aalizy właściwości dyamiczych elemetów układów automatyki: a wymuzeie edotkowe, b wymuzeie kokowe, c wymuzeie impulowe, d wymuzeie liiowo arataące Odpowiedź charakterytyka impulowa elemetu układu et to przebieg ego wielkości wyściowe y t, uzykay pod wpływem zmia wielkości weściowe w kztałcie impulu Diraca - u t t. Przy założeiu zerowych waruków początkowych, podtawiaąc do wzoru 3.0 traformatę ygału weściowego u, otrzymue ię y t L [ ] L [ ] 3. t u t Odpowiedź impulową ozaczaa et także ymbolem g t, gdyż et orygiałem tramitaci.

8 45 Odpowiedź charakterytyka edotkowa elemetu układu et to przebieg ego wielkości wyściowe y t, uzykay pod wpływem zmia wielkości weściowe w kztałcie koku edotkowego - u t t. Przy założeiu zerowych waruków początkowych, podtawiaąc do wzoru 3.0 traformatę ygału weściowego y t u, otrzymue ię L [ ] 3. t u t Odpowiedź charakterytyka kokowa elemetu układu et to przebieg ego wielkości wyściowe y t, uzykay pod wpływem zmia wielkości weściowe w kztałcie koku o zadae amplitudzie - u t u t. Przy założeiu zerowych waruków początkowych podtawiaąc do wzoru 3.0 traformatę ygału weściowego y t t u ut, otrzymue ię L [ u ] u L [ ] u t t t 3.3 t u t Odpowiedź elemetu układu a ygał liiowo arataący et to przebieg ego wielkości wyściowe y t, uzykay pod wpływem liiowo arataące w czaie wartości wielkości weściowe u t a t, gdzie a et wpółczyikiem proporcoalości. Przy założeiu zerowych waruków początkowych podtawiaąc do wzoru 3.0 a traformatę ygału weściowego u, otrzymue ię a y t L [ ] a L [ ] 3.4 u t at Wymieioe charakterytyki, rówaie ruchu i tramitaca operatorowa ą różymi, ale wzaemie rówoważymi formami przedtawieia właściwości dyamiczych daego elemetu układu Charakterytyki czętotliwościowe; tramitaca widmowa Opiae w rozdziale 3.3. charakterytyki dyamicze przedtawiaą reakcę elemetu układu będącego w taie utaloym a poawiaącą ię w pewym momecie, ozaczaym ako t 0, zmiaę wielkości weściowe. Są więc oe wyzaczae dla czau t 0. Natomiat tzw. charakterytyki czętotliwościowe

9 46 przedtawiaą zachowaie elemetu układu pod wpływem ciągłych, a więc teoretyczie trwaących od t, iuoidalych ocylaci wielkości weściowe. Jeżeli a weście liiowego elemetu układu zotaie wprowadzoy ygał iuoidaly o tałe amplitudzie A i pulaci, a więc eżeli u t A i t ry. 3.7, to po utaiu proceów prześciowych, a wyściu elemetu układu uformue ię także ygał iuoidaly o takie ame pulaci, o amplitudzie A, zwykle przeuięty w fazie względem ygału weściowego. Amplituda A i przeuięcie fazowe zależą od właściwości daego elemetu układu i także od pulaci ygału weściowego. Jeżeli faza ygału wyściowego opóźia ię w touku do fazy ygału weściowego, mówi ię, że et to ueme przeuięcie fazowe ry. 3.7b; eżeli wyprzedza że et to dodatie przeuięcie fazowe ry. 3.7c. Ry Siuoidale ygały elemetu liiowego w fukci czau: a ygał weściowy, b przykład ygału wyściowego elemetu opóźiaącego fazę ygału weściowego o cza t 0 t - ueme przeuięcie fazowe, c przykład ygału

10 47 wyściowego elemetu wyprzedzaącego fazę ygału weściowego o cza t t 0 - dodatie przeuięcie fazowe Przeuięcie fazowe ygału wyściowego względem ygału weściowego moża wyrazić ako przeuięcie w czaie o cza t i wtedy ygał wyściowy wyraża fukca lub ako przeuięcie kątowe, wtedy y t A i t t 3.5 y t A i t 3.6 Jak wpomiao, w zależości od właściwości elemetu układu i pulaci ygału weściowego, wielkości t i mogą przybierać wartości ueme ueme przeuięcie fazowe, zerowe lub dodatie dodatie przeuięcie fazowe. Należy zauważyć, że przeuięcie fazy ygału wyściowego względem ygału weściowego o kąt odpowiada przeuięciu tych ygałów o / edotek czau, a więc t 3.7

11 48 Ry Siuoidale ygały elemetu liiowego w fukci kąta fazowego t : a ygał weściowy, b przykład ygału wyściowego elemetu opóźiaącego fazę ygału weściowego o kąt 0 - ueme przeuięcie fazowe, c przykład ygału wyściowego elemetu wyprzedzaącego fazę ygału weściowego o kąt 0 - dodatie przeuięcie fazowe oża więc zapiać y t A i [ t t ] A i [ t ] A i[ t ] 3.8 Wygodie et przedtawiać ygały iuoidale w fukci kąta fazowego t - ry Do opiu elemetów lub układów, w których wytępuą ygały iuoidalie zmiee, wykorzytue ię tzw. tramitacę widmową. Poęcie tramitaci widmowe związae et z przekztałceiem Fouriera, które fukci czau f t przyporządkowue traformatę F zgodie z zależością zwaą całką Fouriera. F f t e t dt 3.9 Tramitaca widmowa et to touek traformaty Fouriera ygału wyściowego do traformaty Fouriera ygału weściowego. y 3.0 u iędzy tramitacą widmową, a operatorową itiee formaly związek 3. wyikaący ze związku pomiędzy traformatami Laplace a i Fouriera. Zbadamy co reprezetue tramitaca widmowa elemetu układu w przypadku iuoidalych ygałów weściowych. Jeżeli u t A i t, to L[ u t] u A L[i t] 3. Zgodie z wcześiezymi twierdzeiami, ygał wyściowy elemetu układu, po utaiu proceów prześciowych, przymue potać

12 49 y t A i[ t ], a ego traformata Laplace a L [ y t] y A L{i[ t ]} Fukca i[ t ] et odwzorowaiem fukci i t z przeuięciem względem ie o cza t. Zgodie z twierdzeiem. o przeuięciu w dziedziie zmiee rzeczywite moża apiać, że L{i[ t ]} L{i [t ]} e a więc t L[i t], y A e L[ i ] 3.3 Wykorzytuąc wyrażeia 3. i 3.3, tramitacę operatorową elemetu zapiać moża w potaci: y A e u A 3.4 Uwzględiaąc związek 3., z rówaia 3.4 otrzymue ię wykładiczą potać tramitaci widmowe, z które wyika fizyczy e te tramitaci. A e. 3.5 A Tramitaca widmowa et liczbą zepoloą, które moduł wyraża touek amplitudy iuoidalego ygału wyściowego do amplitudy iuoidalego ygału weściowego w fukci pulaci, A 3.6 A a argumet - przeuięcie fazowe ygału wyściowego względem weściowego w fukci pulaci. arg 3.7 Tramitacę widmową ako liczbę zepoloą moża także przedtawić ako umę części rzeczywite P i urooe Q P Q 3.8 oduł i argumet lub część rzeczywita i urooa tramitaci widmowe daego elemetu układu ą fukcami pulaci ygału weściowego. raficze

13 50 reprezetace tramitaci widmowe dla zakreu pulaci od 0 do azywaą ię charakterytykami czętotliwościowymi. Wykorzytywaymi w praktyce potaciami tych charakterytyk ą: charakterytyka amplitudowo fazowa wykre Nyquita, logarytmicza charakterytyka amplitudowa i logarytmicza charakterytyka fazowa wykre Bode a, logarytmicza charakterytyka amplitudowo fazowa wykre Blacka. Charakterytyka amplitudowo-fazowa et to krzywa wykreśloa a płazczyźie zmiee zepoloe o wpółrzędych P i Q, która et miecem geometryczym końca wektora tramitaci widmowe przy zmiaach pulaci od 0 do. Przykładową charakterytykę amplitudowo fazową przedtawioo a ry Na podtawie tego ryuku moża apiać zależości pomiędzy modułem, argumetem, częścią rzeczywitą i urooą tramitaci widmowe: [ P ] [ Q ] 3.9 Q arctg 3.30 P P co 3.3 Q i 3.3 Ry Przykład charakterytyki amplitudowo - fazowe wykre Nyquita elemetu układu opóźiaącego fazę Długość wektora, łączącego początek układu wpółrzędych z puktem a charakterytyce, p. dla pulaci, przedtawia moduł tego wektora dla te pulaci -

14 5 touek amplitudy ygału wyściowego do amplitudy ygału weściowego. Kąt miedzy dodatią oią rzeczywitych i wektorem et rówy kątowi przeuięcia fazowego ygału wyściowego względem ygału weściowego. Na ry. 3.9 kąt reprezetue ueme przeuięcie fazowe. Przydatą do aalizy właściwości elemetu układu automatyki formą graficze prezetaci tramitaci widmowe et także zepół charakterytyk czętotliwościowych: logarytmicza charakterytyka amplitudowa i logarytmicza charakterytyka fazowa ry Ry Przykładowe charakterytyki logarytmicze: a amplitudowa, b fazowa Ry. 3.. Fragmet kali logarytmicze obemuący dwie dekady

15 5 Wykorzytywae ą dwie formy logarytmicze charakterytyki amplitudowe ry. 3.0a. Jeda z ich et graficzym obrazem zależości f, przedtawioym w układzie wpółrzędych, w którym a oiach podae ą wartości i w kalach logarytmiczych. Fragmet kali logarytmicze a oi odciętych, obemuący dwie dekady, pokazao a ry. 3.. Druga forma logarytmicze charakterytyki amplitudowe et graficzym obrazem zależości 0 log f, przedtawioym w układzie wpółrzędych, w którym a oi rzędych et aieioa liiowa kala wielkości L 0log [db], zwae modułem logarytmiczym; edotką te wielkości et decybel db. Na oi odciętych te charakterytyki podae ą wartości pulaci w kali logarytmicze. Logarytmicza charakterytyka fazowa ry. 3.0b et graficzym obrazem zależości f, przedtawioym w układzie wpółrzędych, w którym a oi rzędych ą podae wartości przeuięcia fazowego w topiach lub radiaach w kali liiowe, a oi odciętych - wartości pulaci w kali logarytmicze. Logarytmiczą charakterytykę fazową zwykle umiezcza ię pod charakterytyką amplitudową, co ułatwia odczytywaie wartości modułu i przeuięcia fazowego odpowiadaących dae pulaci. Praktycze zaczeie charakterytyk logarytmiczych wyika z łatwości ich wyzaczaia metodami graficzymi. W praktyce wykorzytywae et także graficze odwzorowaie tramitaci widmowe w układzie tzw. wpółrzędych Blacka - ry. 3., w którym a oi odciętych zadue ię liiowa kala wartości przeuięcia fazowego w topiach lub radiaach, a a oi rzędych liiowa kala wartości modułu logarytmiczego L w decybelach, przy czym oś rzędych przecia oś odciętych ie przy wartości 0 radiaów lecz przy wartości radiaów. Takie odwzorowaie tramitaci widmowe azywa ię logarytmiczą charakterytyką amplitudowo fazową lub wykreem Blacka. Ułatwia oo badaie zapaów tabilości układów patrz rozdział 9.

16 53 Ry. 3.. Przykład logarytmicze charakterytyki amplitudowo fazowe wykre Blacka 3.5. Doświadczale wyzaczaie charakterytyk czętotliwościowych Charakterytyki czętotliwościowe moża wyzaczać aalityczie zarówo dla elemetów układów tabilych ak i ietabilych a podtawie tramitaci operatorowe, wykorzytuąc zależość 3. lub - eżeli ie et zaa tramitaca elemetu układu to charakterytyki czętotliwościowe moża wyzaczać doświadczalie ale edyie elemetów układów tabilych. Schemat układu pomiarowego do ekperymetalego wyzaczaia charakterytyk czętotliwościowych et przedtawioy a ry Przetworiki PP i PP łużą do przetworzeia ygału wymuzeia u t i ygału odpowiedzi y t badaego elemetu a ygały dotoowae do rodzau użytego urządzeia reetruącego reetrator, drukarka, ocylokop, komputer. etodą doświadczalą moża wyzaczać charakterytyki czętotliwościowe edyie w zakreie fizyczie realizowaych wartości pulaci ygału weściowego. Praktyczie pomiary wykoue ię dla kilku, kilkuatu wybraych czętotliwości, obemuących zakre pracy badaego elemetu układu. Itotą prawą et zapewieie iezbęde dokładości realizowaych pomiarów dyamiczych.

17 54 Ry Schemat układu pomiarowego do doświadczalego wyzaczaia charakterytyk czętotliwościowych: PP, PP przetworiki pomiarowe, Re reetrator dwukaałowy, u 0, y 0 kładowe tałe ygałów iuoidalych, f atawiaa czętotliwość ygału geeratora w Hz Przykładowe przebiegi zareetrowae a taśmie reetratora elektryczego dla czętotliwości: f 0.5Hz i f 0.75Hz oraz poób obróbki daych pomiarowych przedtawia ry a b Ry Przykładowe zareetrowae iuoidale przebiegi ygału weściowego i wyściowego badaego układu: a dla czętotliwości 0.5 Hz, b dla czętotliwości 0.75 Hz Sygały weściowy i wyściowy a ry. 3.4 to ygały tadardowe z zakreu 4

18 55 0 ma. Pozwoliło to zatoować tadardowy reetrator dwukaałowy z atawiaym pouwem taśmy w zakreie cm/mi i liiową kalą procetową, co ozacza, że reetrowae wartości 50 % odpowiada ygał ma. Zatooway geerator RC przebiegów wolozmieych umożliwiał atawiaie czętotliwości w zakreie Hz. W tablicy 3. zetawioo wyiki pomiarów i dodatkowych przeliczeń wyików przykładowego doświadczeia, a podtawie których wyzaczoo charakterytyki czętotliwościowe ry Tablica 3. f [Hz] [rad/] A A L [%] [%] [] [ 0 ] [db] Ry Charakterytyki czętotliwościowe wyzaczoe a podtawie przykładowego doświadczeia: a charakterytyka amplitudowo fazowa, b logarytmicza charakterytyka amplitudowa, c logarytmicza charakterytyka fazowa

19 Charakterytyki czętotliwościowe zeregowego połączeia elemetów Wprowadzeie charakterytyk logarytmiczych twarza łatwą metodę wyzaczaia charakterytyk układów będących zeregowym połączeiem kilku elemetów ry Ry Schemat blokowy zeregowego połączeia elemetów Tramitaca operatorowa zeregowego połączeia elemetów o tramitacach,,... et iloczyem tramitaci elemetów kładowych: Tramitaca widmowa takiego połączeia et zatem iloczyem tramitaci widmowych elemetów kładowych: e u y 3.33 Jeżeli zae ą charakterytyki czętotliwościowe pozczególych elemetów e e e 3.34 to oraz... arg 3.36 Logarytmiczy moduł połączeia zeregowego et umą modułów logarytmiczych elemetów kładowych:... 0lg L L L L 3.37 gdzie: 0lg lg 0lg L L L

20 57 Ze wzorów 3.36 i 3.37 wyika, że zarówo logarytmicza charakterytyka amplitudowa ak i logarytmicza charakterytyka fazowa połączeia zeregowego et umą odpowiedich charakterytyk elemetów kładowych.