6. Teoria Filtracji Część II Tomasz Strzelecki

6. Teoria Filtracji Część II Toasz Strzelecki 6.1 Model D dla przpadku przepłwu ciecz nieściśliwej przez por nieodkształcalnego szkieletu z wkorzstanie przekształceń konforench. 6.1.1 Funkcja potencjału prędkości. Rozwiązanie konkretnego zagadnienia przepłwu filtracjnego powinno bć traktowane jako zadanie trójwiarowe. Jednak rozwiązanie szeregu zagadnień etodai analitczni nastręcza duże trudności, a w przpadku etod nuercznch jesteś ograniczeni wielkością paięci aszn ateatcznch. Szczegółowe oówienia etod rozwiązwania zagadnień D cztedlnik znajdzie w onografii [Strzelecki i inni, 8]. Dlatego rozpatruje często przepłw w określon przekroju zakładając, że w pobliżu tego przekroju własności ośrodka, geoetria układu warstw, a więc i paraetr przepłwu są w przbliżeniu takie sae. Wówczas składowa prędkość noralna do przekroju jest równa zero. Jeżeli w zasięgu rozpatrwanego obszaru zienia się układ warstw lub własności ośrodka, wówczas ożna rozwiązać zagadnienie w kilku przekrojach, przjując jednakże do obliczeń zawsze scheat dwuwiarow. W przpadku płaskiego przepłwu filtracji równanie przepłwu ciecz nieściśliwej przez ośrodek jednorodn izotropow ożna zapisać w postaci: Φ Φ + = (6.1) lub Φ =. (6.) Równanie jest ważne w przpadku, gd rozpatruje przepłw przez ośrodek jednorodn i izotropow. Φ,. Przrównując funkcję Φ do Rozwiązanie równania (6.) jest funkcja potencjału prędkości ( ) stałej C, takiej, że kh C kh, (6.3) 1 gdzie H1 i H są to ekstrealne wsokości hdrauliczne na brzegach obszaru filtracji wwołujące przepłw wod w rozpatrwan obszarze, to dla: C cons Φ = = (6.4) (, ) dostaje równanie linii jednakowego potencjału C, któr będzie nazwać powierzchnią ekwipotencjalną. 6.1.. Funkcja prądu. Przepłw filtracjn odbwa się wzdłuż linii noralnch do powierzchni ekwipotencjalnch. Wkaże, że jest tak w rzeczwistości. W przpadku przeciwn, gdb linia prądu nie bła noralna 1

do linii ekwipotencjalnch, ożna b określić składową prędkości przepłwu stczną do powierzchni ekwipotencjalnej. Rs. 6.1 Związek dla linii prądu. J Jak wnika z (6.4) gradient hdrauliczn wzdłuż powierzchni ekwipotencjalnej jest równ zeru, więc zeroweu gradientowi hdrauliczneu odpowiedałab skończona wartość prędkości filtracji, co sprzeczne jest z prawe Darc. Rozpatrz dla przkładu pewien odcinek linii prądu, (linia poprowadzona w polu prędkości filtracji w ten sposób, że stczne do niej w każd punkcie wskazują kierunek wektora prędkości) na rs. 6.1. Weź dwa punkt [A(, ) i B(, )] znajdujące się na linii prądu i oddalone od siebie o nieskończenie ał odcinek ds. Z punktu A przeprowadzi stczną do linii prądu i wzdłuż niej określi obraz graficzn wektora prędkości r w punkcie A(, ). Rzutując wektor na kierunek pozio i pionow, dostanie współrzędne wektora r i r. Wektor r wraz ze współrzędni r i r tworz trójkąt prostokątn ADE. Ponieważ punkt B znajduje się nieskończenie blisko punktu A, ożna przjąć z dokładnością do ałch wższego rzędu, że stczna AE pokrwa się z sieczną AB, więc ADE ABC. Stąd a: d d =. (6.5) Równanie (6.5) ożna zapisać inaczej: d d + =, (6.6) ale które powinno bć spełnione w dowoln punkcie linii prądu. Ψ, określona w obszarze filtracji, taka że różniczka zupełna Załóż, że istnieje funkcja ( ) tej funkcji wnosi: d d d Ψ =. (6.7) Jak wie, warunkie konieczn i wstarczając na istnienie różniczki zupełnej w postaci:

df F d F d = + (6.8) 1 jest warunek: F = 1 F. (6.9) W nasz przpadku: F F = =, (6.1) 1, więc, ab istniała różniczka zupełna w postaci (6.8), powinien bć spełnion warunek: =, (6.11) co oże zapisać inaczej w postaci: + =. (6.1) Równanie (6.1) jest równanie ciągłości przepłwu dla przpadku przepłwu płaskiego z ( = ). Wkazaliś więc, że istnieje różniczka zupełna funkcji w postaci (6.8). Wraź pochodne cząstkowe funkcji Ψ prz pooc składowch wektorów prędkości. Ponieważ różniczkę zupełną funkcji Ψ ożna zapisać w postaci: d Ψ d d Ψ Ψ = +, (6.13) dostaje: Ψ = Ψ =. (6.14) Z równania (6.6) wnika, że dla każdej linii prądu: więc linię prądu określa równanie: d Ψ =, (6.15) Ψ (, ) = cons, (6.16) dlatego funkcję Ψ będzie nazwali funkcją prądu. Zbadaj relację funkcji prądu Ψ i funkcji potencjału Φ. W t celu skorzsta ze związków: 3

Ψ = Φ i =, Ψ = Φ i =, stąd dostanie: i Φ Ψ = Φ Ψ =, (6.17). (6.18) Związki (6.17) i (6.18) są związkai Cauch - Rieanna, więc zgodnie z pracą [Trajdosa-Wróbla, 1965] rodzin krzwch: const i cons Φ = Ψ = (6.19) są wzajenie ortogonalne. Układ tch linii w przpadku zagadnień filtracji nazwa siatką hdrodnaiczną przepłwu. Różniczkując związek (6.17) po i związek (6.18) po dostaje: Φ Ψ =, Φ Ψ =. (6.) Ponieważ w powższch związkach (6.) lewe stron są identczne, oże zapisać: Ψ Ψ + =. (6.1) Funkcja prądu Ψ spełnia więc równanie Laplace a, co oże zapisać w postaci: Ψ =. (6.) Rozwiązanie konkretnego zagadnienia sprowadza się do rozwiązania równań różniczkowch: Φ =, Ψ =. (6.3) 4

W wniku rozwiązania powższch równań różniczkowch oże określić siatkę hdrodnaiczną przepłwu. Sposob rozwiązania płaskich zagadnień filtracji zostaną przedstawione w podrozdziale VIII.... Rs: 6. Obliczenie wdatku przepłwającego poiędz dwoa liniai prądu. Rozważ niewielki obszar siatki hdrodnaicznej przepłwu przedstawion na rs. 7.. Oblicz wdatek przepłwając poiędz dowolną linią prądu Ψ a linią oddaloną o nieskończenie ał odcinek Ψ + dψ. Ponieważ wdatek ciecz przepłwającej przez powierzchnię ds*1 wnosi: dq d =, (6.4) wdatek przepłwając przez powierzchnię ekwipotencjalną reprezentowaną linią A i B wnosi: Q A B d =. (6.5) Całkę krzwoliniową we wzorze (6.5) ożna zastąpić całką iterowaną: B ds d d = ( ). (6.6) A B A Na podstawie wzoru (6.7) wie, że stąd: d d d Ψ =, (6.7) Q d = Ψ = Ψ Ψ = Ψ Ψ 1. (6.8) Ψ1 Znając więc wartości funkcji prądu odpowiadającch dwó linio prądu (przechodzące przez punkt A i B na rs. 4.1), ożna określić wdatek przepłwając poiędz ti liniai prądu, któr odpowiadają odpowiednie wartości funkcji prądu Ψ1, Ψ. 6.1.3 Siatka hdrodnaiczna przepłwu. Większość praktcznch zadań teorii filtracji ożna traktować jako zadanie płaskie lub osiowo setrczne (opłw budowli wodnej, przepłw przez grodzę ziene, dopłw do rowu lub studni). 5

Rozwiązanie konkretnego zadania będzie polegało na określeniu w obszarze filtracji potencjału prędkości Φ i funkcji prądu Ψ. Graficzn przedstawienie rozwiązania zagadnienia będzie układ linii Φ =const i Ψ =const tworzącch siatkę hdrodnaiczną przepłwu. W podrozdziałach 7.1 i 7. wprowadzono równania różniczkowe, jakie spełniają funkcję Φ i Ψ, a ianowicie: - dla zagadnień płaskich: Φ = i Ψ =, (6.9) - dla zagadnień osiowch setrcznch: r Φ = i r Ψ =, (6.3) gdzie: r 1 = r + + r. (6.31) Funkcje Φ i Ψ uszą spełniać również warunki brzegowe. Dla przpadku płaskiego zagadnienia przepłwu siatkę hdrodnaiczną przedstawiono przkładowo na rs. 6.3. Rs. 6.3 Przkład siatki hdrodnaicznej przepłwu. 6.1.4 Warunki brzegowe i początkowe. W konkretnch zadaniach ogranicz się do kilku rodzajów warunków brzegowch na granicach obszaru filtracji: a) na granicach nieprzepuszczalnch, b) na granicach przepuszczalnch, c) wzdłuż linii wznaczonej przez powierzchnię swobodnch wód gruntowch, d) wzdłuż linii wpłwu wod ponad zwierciadłe wod swobodnej, e) na granic dwóch ośrodków przepuszczalnch o różnch współcznnikach filtracji. 6

Rs7.4 Rodzaje granic obszaru. Rodzaje granic obszaru dla przkładowo przjętego obszaru filtracji przedstawiono na rs. 7.4. Nieprzepuszczalne granice obszaru filtracji wznaczają: - ścianki szczelne (linia JN), - założone granice obszaru filtracji (linia ALMH), - linie kontaktu obszaru filtracji z warstwai nieprzepuszczalni, - kontur zapór (linia łaana DCBPOGFE). Granice nieprzepuszczalne są liniai prądu (patrz definicja linii prądu) i dlatego funkcja prądu wzdłuż tch linii a wartość stałą: cons Ψ =. (6.3) Ponieważ składowa noralna do granic nieprzepuszczalnej prędkości filtracji jest równa zeru, warunek brzegow na funkcję potencjału prędkości a postać Φ = n, (6.33) gdzie: n noralna do granic nieprzepuszczalnej. Zazwczaj granice nieprzepuszczalne złożone są z odcinków prostch. Przjij, że równane takiego odcinka a postać: f = ( ). (6.34) Równania (6.3) lub (6.33) ożna rozpatrwać jako warunki, które winn bć spełnione wzdłuż granic nieprzepuszczalnej opisanej równanie (6.34). Granice przepuszczalne. Prz dużch roziarach zbiornika wodnego ożna założć, że rozkład ciśnienia p wzdłuż granic przepuszczalnch jest zgodn z prawai hdrostatki. 7

Rs. 7.5 Warunki brzegowe na granicach przepuszczalnch. Dlatego w dowoln punkcie M znajdując się na granic AB (rs.7.5) iędz grunte a zbiornikie wodn, wartość ciśnienia wnosi: p p H = + a w ( ) γ, (6.35) gdzie: p a ciśnienie atosferczne, γ w - ciężar własn wod, H 1 - wsokość hdrodnaiczna w punkcie M w układzie osi (, ) wsokość położenia w układzie osi (, ) 1 Ponieważ funkcja potencjału prędkości wraża się wzore: P k Φ = ( + ) +. (6.36) w γ Wartość funkcji Φ w dowoln punkcie M wnosi: P k a H c M Φ = ( + 1) +. (6.37) w γ Z tego wnika, że dla dowolnego punktu M, znajdującego się na granic przepuszczalnej w kontakcie z wodą, funkcja potencjału: cons Φ =. (6.38) Inni słow, granica przepuszczalna jest granicą stałego potencjału prędkości. Wzdłuż granic przepuszczalnej, składowe stczne wektora prędkości są równe zeru. Z tego wnika warunek brzegow na funkcję prądu: Ψ = n, (6.39) gdzie n to noralna do granic przepuszczalnej. W przpadku, gd granica przepuszczalna stanowi krzwą wrażoną równanie: 8

f = ( ). (6.4) Będzie traktować związki (6.38) lub (6.39) jako warunki, które uszą bć spełnione wzdłuż tej granic opisanej równanie (6.4). Powierzchnia swobodna wód gruntowch Powierzchnia swobodna wód gruntowch stanowi linię rozgraniczającą obszar wód grawitacjnch od gruntu suchego lub od stref wód kapilarnch, gd uwzględni własności kapilarne gruntu. Rs.6.6 Warunki brzegowe na linii swobodnej powierzchni wód gruntowch. W pierwsz przpadku zakłada, że ciśnienie na kontakcie gruntu nawodnionego i suchego jest równe ciśnieniu atosferczneu. Korzstając ze wzoru (6.36) na linii swobodnej powierzchni zwanej także krzwą depresji, uzskuje warunek: k cons Φ + =. (6.41) Gd oś jest skierowana w dół, warunek (6.41) zastępuje warunkie: k cons Φ =. (6.4) Uwzględniając strefę kapilarną wód gruntowch przjuje, że na powierzchni swobodnej ciśnienie posiada wartość stałą, niejszą od cisnienia atosfercznego o wielkość odpowiadającą wsokości wzniesienia kapilarnego wod w gruncie: gdzie: h k - wsokość wzniosu kapilarnego. p p h γ a w k =, (6.43) Obserwacje wkazują, że prz ruchu wód gruntowch należ przjować hk niejsze od uzskanego podczas badania wzniosu kapilarnego w rurce z grunte (praca [Wieczst, 198, Jeske i innch, 1966]). Podstawiając wartość p do wzoru (6.3) otrza znów warunek (6.41) lub (6.4) lecz z inną wartością stałej. Krzwa depresji jest jednocześnie skrajną linią prądu dla danego obszaru filtracji. Musi więc bć spełnion warunek: cons Ψ = (6.44) Warunki ((6.41); (6.44)) lub ((6.4); (6.44)) są warunkai brzegowi na linii powierzchni swobodnej wód gruntowch. Wstępowanie na jedn brzegu jednocześnie dwóch warunków brzegowch wskazwałob teoretcznie na naddeterinację warunków brzegowch na t brzegu. Musi sobie jednak zdawać sprawę z faktu, że linia reprezentująca powierzchnię swobodną jest a 9

priori nieznana. Ma więc w t przpadku do rozwiązania zagadnienie z nieznan brzegie. Istnieje więc konieczność wstępowania dwóch warunków brzegowch, a zagadnienie nie posiada nieuzasadnionej nadwżki jednego warunku brzegowego. Swobodna powierzchnia wód gruntowch oże bć zasilana przez opad, tajanie śniegu itp. W t wpadku ówi się, że istnieje infiltracja z powierzchni terenu do swobodnej powierzchni wód gruntowch. Zgodnie z pracai [Wieczstego,198],[Rebez, 1998] przjuje się w taki przpadku następującą zasadę określania dopłwu do swobodnej powierzchni: Wdatek wod przez dowolną część swobodnej powierzchni jest proporcjonaln do rzutu pozioego łuku tej powierzchni lub inaczej, jest proporcjonaln do różnic odciętch końców tego łuku. Zgodnie z ctowaną wżej zasadą, uzskuje warunek na powierzchni swobodnej w postaci: Ψ Ψ = ε, (6.45) gdzie: Ψ i Ψ, są to wartości funkcji prądu w punktach powierzchni swobodnej o odciętch ε i, ilość wod dopłwającej podczas jednostki czasu na jednostkę długości pozioego rzutu łuku krzwej depresji (intenswność filtracji). Dla rozpatrzonego przpadku intenswność infiltracji wnosiε >. Uwzględniając parowanie ze swobodnej powierzchni wod, a do cznienia z tzw. infiltracją ujeną. Warunek brzegow przjie postać (6.45) z tą różnicą, że będzie posiadał wartość ujeną. Ogólnie ożna powiedzieć, że warunki: (6.41) lub (6.4) i (6.45) są najbardziej ogólni warunkai dla krzwej depresji, prz cz ε oże bć dodatnie (infiltracja), ujene (parowanie) lub równe zeru. Linia wsięgu. Linię wpłwu wod ponad zwierciadłe wod swobodnej, będzie nazwali linią wsięgu. Obszar wsięgu ogą istnieć po stronie odpowietrznej grodz zienej na ściankach studni, rowów drenażowch itp. Wzdłuż linii wsięgu ciśnienie winno bć równe ciśnieniu atosferczneu, a więc usi bć spełnion warunek (6.41) lub (6.4). Wzdłuż linii wsięgu warunek brzegow wrażon poprzez funkcję prądu a postać: Ψ = cons. (6.46) Warunki na granic wstępowania dwóch gruntów o różnch współcznnikach filtracji. Warunki na granic wstępowania dwóch gruntów o różnch współcznnikach filtracji usi określić, gd a do cznienia z ośrodkie uwarstwowion. 1

i k Rs. 6.6 Granica dwóch ośrodków o różnch współcznnikach filtracji. Załóż, że woda gruntowa przepłwa przez dwa grunt z różni współcznnikai filtracji 1, granicząci z sobą wzdłuż linii L M (rs 7.6 ). Dla każdej z warstw wzdłuż linii kontaktu LM funkcja potencjału prędkości a postać: p k c 1 Φ 1 = 1( + ) + w 1, (6.47) γ p k c Φ = ( + ) + w, (6.48) γ prz cz: 1 p i p odpowiednie ciśnienie na linii kontaktu w pierwszej i drugiej warstwie. Ponieważ prz przejściu wod przez granicę dwóch ośrodków, ciśnienie winno się zieniać w sposób ciągł, a: (6.49) p 1 p =. Korzstając z warunku (6.49) i wrażeń (6.47) i (6.48) otrzuje warunek brzegow na funkcję potencjału prędkości w postaci: lub gd dowolną stałą przjąć równą zeru: Φ c 1k Φ = k+ (6.5) 1 Φ1k Φ k =. (6.51) 1 k 11

Drugi warunek otrza wiedząc, że składowa noralna wektora prędkości jest identczna w jedn i drugi ośrodku (z prawa ciągłości przepłwu). Oznaczając przez 1 n i noralne n składowe wektora prędkości wzdłuż linii kontaktu ośrodków, L M a: =. (6.5) n n 1 Oznaczając następnie dla każdego z ośrodków funkcje prądu Ψ 1 i Ψ i korzstając ze wzoru (6.16), warunek (6.5) ożna zapisać w postaci: Ψ1s Ψ = s, (6.53) gdzie: s stczna wzdłuż linii kontaktu. Obierając stałą całkowania równą zeru, otrza na linii granicznej warunek (6.53) w postaci: Ψ 1 = Ψ. (6.54) Równania (6.51) lub (6.5) stanowią warunki brzegowe, jakie winn bć spełnione wzdłuż linii kontaktu dwóch ośrodków o różnch współcznnikach filtracji. Zróżniczkuje teraz (6.51) po ziennej stcznej do łuku linii kontaktu warstw o różnch współcznnikach: 1 Φ 1 Φ = k 1s k s 1 Wprowadzając składowe stczne wektora prędkości 1. (6.55) s s i otrza: Na podstawie rs. 4.17 ożna zapisać: s 1 1 n k s s 1 tg α 1 1 k =. (6.56) s = i = tgα, (6.57) gdzie α 1 i α oznaczają kąt iędz noralną do linii granicznej i wektorai prędkości. Uwzględniając zależności iędz składowi stczni i noralni wektorów prędkości w obdwu ośrodkach ((6.51); (6.56) i (6.57)), dostaje: tg k n α 1 tgα =. (6.58) 1 k Równanie (6.58) określa prawo załaania struienia filtracji na kontakcie dwóch warstw o różnch współcznnikach filtracji. 1

6. Metod rozwiązwania równań hdrodnaiki wód podziench płaskich zagadnień filtracji etodai analitczni. 6..1 Funkcja potencjału zespolonego. Rozważania przedstawione w t podrozdziale oparte są na wnikach prac badawczch [Połubarinoej-Koczin, 1977] oraz teorii funkcji analitcznch oówionej w onografii [Trajdosa-Wróbla, 1965] oraz pracach [Rebez, 1984,199, 1998], [Castan ego, 1967], [Filcakoa, 196], [Wieczstego, 198]. Wprowadź do naszch rozważań dowolną funkcję analitczną Ω = Ω( z). Każdą funkcję analitczną ożna przedstawić w postaci kobinacji liniowej dwóch funkcji ziennch, Ψ, w postaci: rzeczwistch Φ ( ) i ( ) ( + i) = Φ(, ) + iψ(, ) Ω = Ω. (6.59) Wkaże teraz, że funkcje Φ i Ψ spełniają równania wprowadzone w rozdziale IV. Na wstępie rozważ własności funkcji analitcznej Ω. W t celu przponij, że zienną zespoloną z wraża wzore: z i = +, (6.6) gdzie i = 1. Pierwsze i drugie pochodne ziennej zespolonej po i są równe: z z = 1, =, z z = i, =. Różniczkę zupełną funkcji z oblicza ze wzoru: stąd: z z z = d + d, dz = dz + id. Oblicz następnie pierwsze pochodne funkcji Ω po i. Dostanie: a następnie Ω Ω z = z Ω Ω z = z Ω Ω skąd dostaje, że =, z Ω Ω z czego wnika, że = i. z 13

Powższe zależności pozwalają zapisać: Wiedząc, że: Ω Ω = i. (6.61) i Ω Φ Ψ = + i Ω Φ Ψ = + i (6.6) (6.63) oraz wstawiając związki (7.158) i (7.159) do równania (7.157) dostaje: i Φ Ψ Φ Ψ + =. Równanie powższe jest spełnione, gd część rzeczwista i urojona jest równa zero. Otrzuje stąd związki: Φ Ψ Φ Ψ = i =. (6.64) Związki (6.64) są związkai Cauch Rieanna [Trajdos-Wróbel, 1965]. Jak wie z geoetrii analitcznej, funkcje Φ (, ) = const i Ψ(, ) = const są wzajenie ortogonalne i spełniają warunek prostopadłości krzwch płaskich: Φ Ψ + Φ Ψ = (6.65) Oblicz następnie drugie pochodne funkcji Ω po i : Ω = Ω = Ω = z Ω = z Ω Ω =, z z z Ω = Ω = Ω Ω Ω Ω i = i = i i =. z z z z z Suując stronai powższe związki dostaje: Ponieważ Ω =. (6.66) 14

dostanie: i = + i = + Ω Φ Ψ Ω Φ Ψ (6.67) i Ω = Φ + Ψ. (6.68) Biorąc pod uwagę związek (6.68) i równanie (6.66) otrzuje następujące dwa równania: Φ = i Ψ =. (6.69) Może więc stwierdzić, że funkcje Φ i Ψ spełniają równania (6.69) i związki (6.64). Są więc, zgodnie z rozważaniai przedstawioni w podrozdziale IV., odpowiednio: funkcją prądu Ψ i funkcją potencjału prędkości Φ. Funkcję Ω będzie nazwali dalej funkcją potencjału zespolonego i wrazi ją prz pooc funkcji Φ i Ψ w postaci: Ω = Φ + i Ψ. (6.7) Spróbuje następnie wznaczć prędkość filtracji w dowoln punkcie obszaru filtracji prz pooc funkcji potencjału zespolonego. Ze wzorów (6.64) wie, że: Φ Ψ = = ; Φ Ψ = =. (6.71) Oblicz pochodną funkcji Ω po ziennej zespolonej z: ( z) dω Ω' ( z) =. (6.7) dz Różniczka zupełna funkcji Ω wraża się wzore: Ω Ω dω ( z) = d + i d. Wrażając funkcję Ω w postaci (6.7) i uwzględniając (6.71) dostaje: Φ Ψ Ψ Φ dω ( z) = + i d + i i d. Korzstając następnie ze związków (6.71) oże zapisać: ( z) = ( i )( d id) dω, + stąd 15

( z) = i w Ω'. (6.73) = Rs. 6.7 Scheat do wizualizacji zespolonej prędkości filtracji. Funkcję w( z ) będzie nazwali prędkością zespoloną filtracji. Znając funkcję w, ożna określić funkcję w sprzężoną z funkcją w (rs.6.7) : Długość wektora filtracji r ożna wrazić wzore: w = + i. (6.74) r = w w. (6.75) Znając funkcję potencjału zespolonego ożna określić funkcję i prędkości zespolonej filtracji, a, co za t idzie, określić składowe wektora filtracji. 6.. Sposób rozwiązwania płaskich zagadnień przepłwu etodą przekształceń konforench. Sposób rozwiązwania płaskich zagadnień teorii filtracji prz wkorzstaniu funkcji analitcznej przedstawiono w wielu onografiach i podręcznikach akadeickich. Pierwsze prace wraz z liczni przkładai został wkonane przez Połubarinoą-Koczinę w latach 4- tch XX wieku [Połubarinoa-Koczina, 1977]. Wiele późniejszch autorów publikacji (np. [Castan, 1967] korzstało z etodki rozwiązwania płaskich zagadnień teorii filtracji opracowanej przez tę uczoną. W niniejszej prac oówi etodkę postępowania pozwalającą na znalezienie rozwiązań w postaci zakniętej dla najbardziej istotnch zadań z zakresu budownictwa wodnego. Przedstawi ponadto przkład liczbowe dla niektórch zagadnień brzegowch, ab zorientować cztelnika o przdatności przedstawionego sposobu uzskiwania rozwiązań praktcznch probleów inżnierskich. Określ na brzegach obszaru filtracji warunki brzegowe. Następnie poszukuj takiej funkcji analitcznej, która spełnia warunki brzegowe zadania. Jeżeli istnieje trudność w określeniu bezpośrednio funkcji potencjału zespolonego, oże poszukiwać funkcji prędkości zespolonej, spełniającej warunki brzegowe zadania, a następnie określić poprzez 16

całkowanie funkcję potencjału zespolonego. Następnie należ rozdzielić funkcję Ω na część rzeczwistą i urojoną uzskując tą drogą funkcje Φ i Ψ. Pozwala to na wznaczenie linii Φ = const i Ψ = const, tworzącch w obszarze filtracji siatkę hdrodnaiczną przepłwu. Korzstając z własności funkcji prądu Ψ, oże określić wdatek poiędz dowolnie wbrani z obszaru filtracji linii prądu. Sposób rozwiązania zobrazuje na przkładach konkretnch zagadnień brzegowch. Przedstawiona etoda jest łatw sposobe wkorzstania odwzorowań konforench. Dla bliższego wjaśnienia, cz są rozwiązania oparte na odwzorowaniach konforench, weź pod rozwagę funkcję analitczną: Z = f ( z), (6.76) którą ożna wrazić `prz pooc dwóch funkcji X i Y wzore: i która jest funkcją ziennej zespolonej z i równania Cauch Rieanna, czli jeżeli: Z = X + iy (6.77) X Y X Y =, oraz =, = +. Jeżeli funkcja f ( ) z jest ciągła i spełnia wówczas funkcja f ( z ) jest holoorficzna w całej płaszczźnie ziennej zespolonej z. Jeżeli dodatkowo założ, że funkcje X i Y ają ciągłe pierwsze i drugie pochodne cząstkowe, to ożna wkazać, że są to funkcje haroniczne czli, że: X oraz Y = =. W prac [Trajdosa Wróbla, 1965] przedstawiono dowod dwóch twierdzeń: Twierdzenie I Jeżeli w funkcji haronicznej u( X, Y ) wprowadzi nowe zienne,, względe którch zienne są haroniczni sprzężoni, to funkcja (, ), (, ) = (, ) u X Y u X Y będzie haroniczna względe nowch ziennch. Twierdzenie II, Jeśli X ( ) i (, ) ( X, Y ) jakobian (, ) ( X, Y ) są funkcjai haroniczni sprzężoni. Y są funkcjai haroniczni sprzężoni i w pewn obszarze ich jest różn od zera, to w t obszarze funkcje odwrotne ( X, Y ) i 17

Załóż, że funkcja Z f ( z) = jest holoorficzna i posiada pierwszą pochodną różną od zera. Jeżeli jakobian odwzorowania jest różn od zera: J X X = Y Y (6.78) X Y z tego wnika, że J = + = f '( z), zgodnie z przjęt założenie. W taki przpadku obraze linii jest linia, a obraze obszaru obszar. Niech przez ustalon punkt z przechodzi zadana gładka liniac. Wówczas przez obraz Z tego punktu przechodzi gładki obraz C ' tej linii. Wbierz na linii C punkt z bliski z. Obraze punktu z będzie oczwiście punkt Z na krzwej C ' bliski Z. Poprowadź przez z i z sieczną linii C oraz przez punkt Z i Z (niebędącą na ogół obraze siecznej linii C ) sieczną linii C ' [rs. 41]. Rs. 6.8 Odwzorowanie funkcji holoorficznej (wg. [Trajdosa Wróbla, 1967]). Wie z przjętego założenia, że f ( z ) Z Z ' = li z z z z. (6.79) Obliczając arguent pochodnej dostaje: Z Z Arg f '( z ) = Arg li = z z z z = li Arg Z Z li Arg z z = Θ θ + kπ, ( ) ( ) z z z z (6.8) 18

gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Z tego wnika, że każda krzwa wchodząca z punktu z doznaje obrotu, prz odwzorowaniu za poocą funkcji holoorficznej, o kąt równ ( ) Arg f ' z o treści:. W prac udowodniono twierdzenie o kącie względn poiędz dwoa liniai Twierdzenie III Kąt względn poiędz dwoa liniai w dan punkcie nie ulega zianie prz odwzorowaniu za poocą funkcji holoorficznej o pochodnej w t punkcie różnej od zera. ' ' Rozpatrz dwie krzwe C 1 i C na płaszczźnie z oraz odpowiadające i obraz C 1 i C przedstawione na rs. 4 Zgodnie z oznaczeniai na rs. 4 i uwzględniając poprzednie rozważania wzór (6.8) oże zapisać: ω = Θ1 θ1 = Θ θ. (6.81) Powższa równość zachodzi z dokładnością do wielokrotności kąta π. Odwzorowanie zachowujące względne kąt nazwa odwzorowanie konforen. Każda funkcja holoorficzna o pochodnej różnej od zera określa przekształcenie konforene. Jeżeli w przekształceniu konforen kąt nie ulegają zianie, a długości zieniają się proporcjonalnie do odułu pochodnej, to pola zieniają się proporcjonalnie do kwadratu odułu pochodnej, co wnika bezpośrednio z definicji jakobianu(6.78) przekształcenia konforenego. Rs. 6.9 Idea odwzorowań konforench (wg. [Trajdosa Wróbla, 1967]). Dwa podstawowe zagadnienia teorii odwzorowań konforench to: znalezienie obrazu danego zbioru (linii, obszaru) prz zadan odwzorowaniu konforen, znalezienie odwzorowania konforenego, które daneu obszarowi przpisuje określon obraz, będąc również obszare. Drugie z zagadnień jest bardziej skoplikowane i nie zawsze potrafi je rozwiązać. O jego rozwiązalności świadcz jednakże twierdzenie Rieanna, będące jedn z podstawowch twierdzeń teorii odwzorowań konforench. 19

Twierdzenie Rieanna. Każde dwa jednospójne obszar, którch brzegi składają się więcej niż z jednego punktu, ożna na siebie odwzorować konforenie. Twierdzenie Reianna, jak to pokazał [Trajdos Wróbel, 1967], zawiera jednakże jedno istotne założenie o jednospójności obu obszarów, wnikające z tego, że odwzorowanie konforene jest rodzaje odwzorowania topologicznego, prz któr zachowuje się rodzaj spójności obszaru. Jeśli każdej wartości ziennej zespolonej z przporządkuje jedną wartość funkcji Ω : Ω = Φ(, ) + iψ(, ) oraz założ, że istnieje taka funkcja f ( z ), posiadająca pierwszą pochodną po z, taką, że: ( z) Ω = f, (6.8) to oże stwierdzić,że Ω jest funkcją ziennej zespolonej z, co ożna zapisać w postaci wzoru (6.8). Można więc stwierdzić, że funkcja ta przporządkowuje punkto płaszczzn z = + i punkt płaszczzn Ω = Φ + i Ψ (rs. 7.33). Może, więc wsnuć wniosek, że funkcja f ( z ) odwzorowuje płaszczznę ziennej z na płaszczznę ziennej Ω i jest funkcją holoorficzną. Przjij dla przkładu: oraz Φ = Ψ =. (6.83) Podobnie jak w przpadku płaszczzn ziennej zespolonej z na płaszczźnie Ω, proste Φ = C i Ψ = C 1 przecinają się pod kąte prost. Wnika stąd bezpośrednio, że odwzorowanie f(z) zachowuje kąt. A właśnie takie odwzorowanie, które zachowuje kąt, co pokazaliś powżej, nazwa odwzorowanie konforen. a b Rs. 6.1 Siatka hdrodnaiczna przepłwu na płaszczźnie z=+i ( a ) i na płaszczźnie Z = X + iy ( b ).

, ) i, = i (rs. 7.1) na płaszczźnie z = + i będzie nazwać pozioicai odwzorowania konforenego. W przpadku zagadnień bardziej złożonch płaskiego przepłwu teorii filtracji wód podziench a do cznienia z stuacją, gd znan jest obszar filtracji oraz wartości funkcji / Krzwe Z ( = C ) oraz Y ( ) C Φ i Ψ na jego brzegu, natoiast nie zna funkcji realizującej odwzorowania konforene wewnątrz obszaru, a wiec do cznienia z zagadnienie trudniejsz. Tego tpu proble pozwala na rozwiązać teoria przekształceń konforench oparta na wzorze Christoffela Schwarza. Wzór ten pozwala wg. [Połubarinoej-Koczin, 1977] określić funkcje realizujące przekształcenie konforene na obszar wielokątne, jeżeli przjie, że na płaszczźnie z=+i jest określon wielokąt o wierzchołkach M i (M 1,M,...M n) (rs. 7.11). Kąt a odpowiadające poszczególn wierzchołko tego wielokąta oznacz α, a przez będzie oznaczać współrzędne rzeczwiste tch wierzchołków. Jeżeli, przez t określi zienną całkowania (zienna zespolona), to wzór Christoffela Schwarza realizując odwzorowanie konforene t ożna przedstawić dt w postaci: z M N = n t a 1 t a t a + α α α. (6.84) 1 1 1 n ( 1) π ( ) π...( ) π i Rs. 6.11 Scheat do wzoru Christoffela Schwarza. Kąt α i odpowiadające określon punkto A i we wzorze (6.84) odcztuje z a wielokąta na rs. 44. Wielkości stałch odpowiadające części rzeczwistej ziennej t są stałi rzeczwisti. Wartość tch stałch po uwzględnieniu stałej całkowania N odpowiadają długości boków wielokąta o wierzchołkach A i. Stałe M i N są stałi wrażoni przez liczb zespolone. Stosując wzór (6.84) należ ieć na uwadze zgodnie z pracą [Rebez, 1998] kilka jego właściwości: 1. człon we wzorze Christoffela Schwarza, któr zawiera stałą a =, jest w ni poijan,. trz stałe a ogą ieć wartość dowolną. Wnika to z twierdzenia Rieanna o jednoznaczności odwzorowań konforench. Zazwczaj przjuje się wartość tch stałch równą,1,. i k 1

Praktczne wkorzstanie wzoru Christoffela - Schwarza znaleźć ożna w pracach [Połubarinoej-Koczin, 1977], [Araina i innch, 1953], [Castan ego, 1967], [Rebez, 1998] i wielu innch. Bardzo istotn eleente budowania rozwiązań brzegowch jest stosowanie etod superpozcji rozwiązań zagadnień prostszch prz analizowaniu zagadnień bardziej n skoplikowanch. Generalnie ożna stwierdzić, że jeżeli Ω1, Ω, K Ω są potencjałai zespoloni określająci przepłw proste, to potencjał Ω będąc suą tch potencjałów przepłwów prostch jest, zgodnie z pracą [Rebez, 1998], potencjałe odpowiadając przepłwowi złożoneu w postaci: c c c c n n Ω = Ω + Ω + Ω + K Ω, (6.85) c c c c n prz cz 1,, 3, K są stałi. 1 1 3 3 6..3 Wkorzstanie funkcji potencjału zespolonego filtracji do rozwiązwania zagadnień dwuwiarowch przepłwu filtracjnego. Rozwiązwanie płaskich zagadnień etodą analitczną bło w czasach, gd koputer nie iał powszechnego zasięgu, a ich zdolności obliczeniowe bł ograniczone, jedną etodą uzskania rozwiązań zagadnień filtracji pozwalającch na wkonwanie obliczeń inżnierskich w konkretnch zagadnieniach budownictwa wodnego, ochron środowiska i hdrogeologii inżnierskiej. Obecnie istnieją przjazne dla użtkownika progra koputerowe, które pozwalają na nawet doow sprzęcie koputerow rozwiązwać złożone zagadnienia brzegowe. Metodka rozwiązań przedstawionch w t podrozdziale nic nie straciła jednakże na swojej wartości. Uzskane przedstawioni poniżej etodai rozwiązania pozwalają dobrze zrozuieć sens fizczn otrzanch w rozwiązaniu funkcji oraz przeprowadzić pełną analizę uzskanch rozwiązań, co jest ożliwe tlko w ograniczon zakresie w przpadku rozwiązań etodai nuerczni. Wiele prezentowanch poniżej rozwiązań, stanowiącch istotną część podręczników akadeickich i publikacji oraz onografii poświęconch teorii filtracji, zawdzięcza [Połubarinoej-Koczinie, 1977], i szkole rosjskiej w t także uczon: [Arainowowi i innch, 1953], [Filczakoowi, 196] oraz w Polsce [Rebezie, 1984, 199, 1998]. Uzskane tą etodą rozwiązania służą iędz inni do testowania prograów obliczeń płaskich zagadnień przepłwu etodai nuerczni. Zajie się przkładai zastosowań powższej etod do zagadnień istotnch z punktu widzenia budownictwa wodnego. Przedstawi na początku rozwiązania zagadnień ze zwierciadłe swobodn ające swoje zastosowanie przede wszstki w analizie przepłwów przez przepuszczalne grodze ziene, wał przeciwpowodziowe. Następnie oówi sposób znajdowania funkcji potencjału zespolonego Ω dla przpadku opłwu fundaentu budowli piętrzącch, ścianek szczelnch, oraz opłwu budowli piętrzącej ze współdziałającą ścianką szczelną i drenaże. W rozwiązaniach tch, uzskanch przez innch autorów, przedstawi poszerzoną analizę uzskanch wników oraz dodatkowo przedstawi obliczenia potencjału sił asowch filtracji oraz przewidwanej stref upłnnienia gruntu po przekroczeniu warunku granicznego stateczności filtracjnej. 6..3.1 Rozwiązania zagadnień brzegowch ze zwierciadłe swobodn. 6..3.1.1 Szczelina drenażowa w warstwie nieprzepuszczalnej (Parabola Liasset a).

. Rozważ półprzestrzeń wpełnioną ośrodkie porowat o współcznniku filtracji k, która jest ograniczona od dołu granicą nieprzepuszczalną (rs.6.1) Rs. 6.1 Scheat zadania dotczącego dopłwu do szczelin drenażowej. Wzdłuż granic nieprzepuszczalnej na odcinku o długości równej d pracuje dren pozio wkształcon w forie wąskiej szczelin drenażowej. Wskutek działania drenu w obszarze półprzestrzeni wtwarza się strefa wód gruntowch oddzielona od stref aeracji powierzchnią swobodną. Poszukuje takiej funkcji Ω, ab został spełnione warunki brzegowe wzdłuż drenu, wzdłuż warstw nieprzepuszczalnej oraz wzdłuż linii powierzchni swobodnej wód gruntowch. Na powierzchni swobodnej, gd poija ciśnienie powietrza i nie uwzględnia wstępowanie wód kapilarnch, uszą bć spełnione następujące warunki brzegowe: k Φ + =, (6.86) I Ψ = Ψ, (6.87) gdzie Ψ stała odpowiadająca wartości funkcji prądu dla powierzchni swobodnej. Wzdłuż granic nieprzepuszczalnej [ = ; ] (patrz rs. 7.1), usi bć spełnion warunek: Ψ =. (6.88) Wzdłuż granic przepuszczalnej [ = ; ] (patrz rs. 7.1), warunek brzegow a postać: Wbiera kolejne funkcje z f ( ) Φ =. (6.89) = Ω, pocznając od funkcji liniowej. Funkcja liniowa, jak łatwo sprawdzić, nie spełnia warunków brzegowch. Rozpatrz następnie funkcję kwadratową. Ponieważ w t przpadku dla dowolnego punktu obszaru filtracji: z A = Ω. (6.9) 3

sprawdzi, cz funkcja ta oże ieć powierzchnię swobodną, spełniającą warunki brzegowe. Dla powierzchni swobodnej a warunki brzegowe (6.86) i (6.87), a więc wstawiając je do równania (6.9) otrzuje: ( k + ) + i = A i. (6.91) Ψ Po wkonaniu prostch przekształceń oże zapisać: ( + AkΨ ) = Ak + AΨ + i, stąd dostaje: ( Ψ ) = A k (6.9) oraz AkΨ =. (6.93) Z równania (6.93) otrzuje bezpośrednio wartość stałej A: 1 = kψ A (6.94) Podstawiając wartość stałej A z (6.94) do równania (6.9) otrzuje funkcję opisującą kształt linii zwierciadła swobodnego spełniającą nałożone na tę linię warunki brzegowe: k Ψ = +. (6.95) Ψ k Krzwa określona powższ równanie jest nazwana w niektórch anglosaskich podręcznikach akadeickich (np. Castan ego []) parabolą Liasseta. Oznaczając wierzchołek paraboli przez d, z równania (6.95) oże określić relację poiędz wdatkie dopłwając do drenu Q = Ψ a odciętą d: Przkład liczbow. Q = kd. (6.96) Przjując różne wartości d otrzuje krzwe zwierciadła swobodnego. Przjując k =, 1 / s i oznaczając przez L = 1 przjęt przez nas zasięg leja depresji ierzon od początku układu współrzędnch, oznacz przebieg krzwej zwierciadła swobodnego dla kilku przjętch wartości d: 4

d d =,1 =, 1 Q =., L s d d = 1, =, 1 Q =., L s d d =, =, Q =.4. L s Na rs. 7.13 przedstawiono kształt krzwej depresji dla podanch wżej danch w bezwiarow układzie współrzędnch: Q Q = + L kl L k L. (6.97) Rs. 6.13 Krzwa zwierciadła swobodnego w zależności od odciętej d [d=,1,,5, 1, ];(obliczenia progra Maple8). Kładąc: a: Znając stałą A, funkcję potencjału zespolonego Ω ożna zapisać w postaci: 1 kψ z = Ω. (6.98) Ω = Φ + i Ψ, 5

1 + i = i kψ ( Φ + Ψ). Po prostch przekształceniach dostaje: 1 = kψ ΦΨ = k ( Φ Ψ ), (6.99). (6.1) Ψ Sprawdzi obecnie, cz są spełnione założone warunki brzegowe na pozostałch brzegach. Wie, że wzdłuż granic nieprzepuszczalnej (ujena półoś ) powinien bć spełnion warunek Ψ =. Wstawia Ψ = do wrażeń (6.99) i (6.1). Otrza: Φ = ; =. (6.11) kψ Ponieważ dla dowolnej Φ <, równania (6.11) są równaniai ujenej półosi. Wzdłuż granic przepuszczalnej (szczelin drenażowej) winien bć spełnion warunek Φ =. Podstawiając Φ = do wrażeń (6.99) i (6.1) otrza: Ψ = k Ψ ; =, (6.1) ponieważ dla dowolnego Ψ > równania (6.1) są równaniai opisująci dodatnią półoś na odcinku Ψ < <. Można, więc stwierdzić, że przjęta funkcja potencjału zespolonego Ω k spełnia wszstkie założone warunki brzegowe zadania. Ab wznaczć linię prądu dla = const Ψ przekształci, wrażenia (6.99) i (6.1). Z wrażenia (6.1) wznacz Φ : kψ Φ = Ψ. (6.13) i podstawiając do wrażenia (6.99) dostaje: kψ Ψ = + Ψ kψ. (6.14) 6

Rs 6.13 Linie prądu w zadaniu ze szczeliną drenażową. Podstawiając pod Ψ kolejne wartości z przedziału (, ) Ψ otrza kolejne linie prądu (rs. 7.13). Jak to wnika ze wzoru (6.14), wszstkie linie prądu opisują równania parabol, którch wierzchołki znajdują się na dodatniej półosi na odcinku < (rs. 7.13). k Równania powierzchni ekwipotencjalnch otrza obliczając z równania (6.1) Ψ : Ψ Ψ = kψ Φ (6.15) i podstawiając (6.15) do równania (6.99) dostaje równania linii ekwipotencjalnch w postaci: kψ Φ Φ kψ, (6.16) = które stanowią dla przjętch wartości stałch Φ rodzinę parabol o wierzchołkach na ujenej półosi. Siatkę hdrodnaiczną dla rozpatrwanego przpadku przedstawiono na rs. 48. Wiedząc, że Q = Ψ oże obliczć wdatek dla całego obszaru filtracji: Q =. (6.17) Ψ 6..3.1. Szczelina drenażowa w warstwie przepuszczalnej. 7

Rs. 6.14 Scheat zadania szczelin drenażowej w warstwie przepuszczalnej. Przpadek ten różni się od poprzedniego t, że zaiast warstw nieprzepuszczalnej a przłączoną do obszaru przepłwu półprzestrzeń przepuszczalną (rs.7.14). Nie będzie szczegółowo analizowali tego przpadku, gdż sposób postępowania jest identczn jak w poprzedni podrozdziale. Rs. 6.15 Siatka hdrodnaiczna przepłwu dla przpadku szczeln drenażowej w warstwie przepuszczalnej. Wszstkie linie prądu są współogniskowi parabolai o równaniach uzskanch w podrozdziale 7..3.1.1 z tą różnicą, że dla Ψ należ jednak przjować wartości od Ψ do. Siatkę hdrodnaiczną przepłwu dla tego przpadku przedstawiono na rs. 7.15. Zajie się za to konstrukcją izobar (linii jednakowego ciśnienia), izotach (linii jednakowej prędkości), izoklin (linii, wzdłuż którch wektor prędkości posiada jednakow kierunek). Konstrukcja Izobar. W celu określenia rodzin krzwch izobarcznch przpoina zależności iędz potencjałe prędkości, a ciśnienie: 8

P Φ = k γ w +. Zależność tę ożna napisać w postaci: P Φ = +. γ k w Stąd widać, że ając określoną siatkę hdrodnaiczną przepłwu ożna znaleźć izobar etodą graficznego dodawania (rs. 51). Rs. 6.16. Siatka izobar uzskana etodą graficznego dodawania. Przjuje dla przkładu, że w obszarze filtracji a określone linie jednakowej wsokości hdraulicznej H Φ = = k 1;;3;4K. (rs.6.16). Wkreśla linię pozioą o równaniach: N = 1, =, = 3, K =. p p W przecięciu linii = 1 z linią H = +1 dostaje = 1 1 =, z linią H = + = 1 = 1 γ w γ w p itd. Określa w ten sposób we wszstkich punktach tak uzskanej krzwoliniowej siatki. γ w p p p Łącz punkt, w którch a taką saą wartość i dostaje izobar dla =1, = γ w γ w γ w itd.. Dla rozpatrwanego zagadnienia nietrudno znaleźć równanie izobar. W t celu wstarcz włączć Ψ z równania (6.1) i po podstawieniu do (6.99) rozwiązać to równanie względe Φ. Otrza równanie czwartego stopnia: 9

1 4 kψ Φ + Φ kψ =. (6.18) Przrównując Rodzina izotach i izoklin. Φ + k do stałej C otrza dla izobar równanie czwartego stopnia: [ + kψ ] ( C k) ( C k) k Ψ =. (6.19) Określenie siatki izotach i izoklin jest ważne wted, gd istnieje niebezpieczeństwo sufozji rozrzedzania gruntu itp., na przkład pod zaporai wodni. Izotach i izoklin znakoicie ułatwiają na analizę stateczności filtracjnej gruntu w obszarze budowli wodnch. Wkonaj operację obliczenia logartu prędkości zespolonej filtracji i rozdziel część rzeczwistą i urojoną: Stąd dostaje: ln w = ln w + i arg w. (6.11) ln w = ln + iϑ, (6.111) gdzie: wartość bezwzględna wektora prędkości ϑ - kąt iędz w wektore a osią odciętch. cons cons Ponieważ ln jest funkcją analitczną, więc linie ln = i ϑ = tworzą rodzin krzwch wzajenie ortogonalnch. W rozpatrwan przez nas przpadku szczelin drenażowej w warstwie przepuszczalnej, oże więc uzskać równanie izotach i izoklin w postaci zakniętej. Istotnie na podstawie (6.98) a: Stąd: k z Ω = Ψ. (6.11) dω kψ w = =. (6.113) dz z Logart prędkości zespolonej równ jest: k w 1 z i tg ln = ln Ψ z = ln + arg. (6.114) 3

Rs.7.17 Rodzina izotach i izoklin. Widać stąd, że izotach stanowią koncentrczne koła o proieniu r = const i środku w ognisku parabol (,), natoiast izoklin są to proienie, wchodzące z ogniska (rs. 7.17). Wielkość prędkości równa jest współcznnikowi filtracji k wzdłuż okręgu, któr jest stczn do swobodnej powierzchni (w iejscu stku tej powierzchni ze szczelina drenażową). Rs. 7.18 Wkres składowej w zależności od poziou i : a) / L =.1, b) / L =.1, c) / L =.5, d) / L = 1., e) / L =.. II 31

Znając funkcje potencjału prędkości Φ oże określić funkcję potencjału R reprezentującą współdziałanie pola potencjalnego przepłwu filtracjnego z pole sił ciężkości cząstek gruntu dla dodatniej półosi (dla ujenej półosi nie zna oddziałwania od ciężaru naziou): ρg R = Φ (6.115) k otrzuje dla rozpatrwanego przpadku: gdzie ρ os ( 1 f )) Ψ k ( ) R = ± ρg + +, (6.116) = określa ciężar objętościow gruntu z uwzględnienie wporu. Różniczkując potencjał sił asowch R po ziennch i dostaje składowe sił asowch działającch na szkielet ośrodka porowatego S r : S + + R d L L L = = ρg L + L L (6.117) i S + + d L L L = ρ g. (6.118) L + L L Przkładowo przedstawi wpłw filtracji na wielkość sił asowch oddziałującch na szkielet ośrodka (rs. 6.19 i 6.). Na pierwsz z rsunków przedstawiono pole wektorowe sił asowch S r dla przpadku, gd a do cznienia z niewielki wdatkie Q =, s, co odpowiada skrajnej odciętej linii zwierciadła swobodnego d =,1 prz przjęciu zasięgu leja depresji L = 1, 3

Rs. 6.19. Pole sił asowch dla Q =,. s Dla porównania pokazano pole sił asowch, gd a do cznienia z dziesięciokrotnie większ wdatkie, co odpowiada odciętej d = 1,. Rs. 6.. Pole sił asowch dla Q =,. s Z porównania obdwu rsunków wnika, jak znaczn wpłw ają sił unoszenia filtracji na wielkość wpadkowch sił asowch oddziałwującch na szkielet ośrodka. Na rs. 7. daje się zauważć wektor skierowane w przeciwn kierunku do sił ciężkości, co oże powodować lokalne upłnnienie gruntu. Szczególnie niebezpieczne dla stateczności filtracjnej są w t przpadku składowe pozioe sił asowch w okolice drenu. Korzstając ze wzoru (6.117) i upraszczając nieco nasze zagadnienie, oblicz zasięg stref granicznej uwzględniając jednie składową pozioą filtracji S. Warunek stanu granicznego filtracji dla rozpatrwanego przpadku a postać: 33

d L + + L L L + L L tg ρ g ( ϕ ), (6.119) gdzie ϕ kat tarcia wewnętrznego ośrodka. Powższ warunek prowadzi do określenia krzwej granicznej obejującej obszar, w któr spełnion jest warunek (6.119) czli składowe pozioe prędkości przekraczają wartości dopuszczalne, ab nie nastąpiło upłnnienie ośrodka porowatego. Oczwiście zgodnie z przjęti założeniai, zakłada, że ośrodek nie posiada spójności, czli c =, Pa. Wzór na krzwą graniczną a w t przpadku postać: 1 1 1 = + + 1 4A L L A L A A L, (6.1) prz cz g A = KG 165 ( ) ( ρg ) tg ϕ d L ρ os = oraz 3 3. Krzwe graniczne dla kilku wartości d L (zakładając, że ϕ =, gρ = 1 KG ) przedstawiono na rs. 7.1. Rs. 6.1. Zasięg krzwch granicznch dla różnch wartości d=, 1,.5,,1. Powższe zależności został otrzane bez uwzględnienia sił tarcia wnikającch z obciążenia ciężare ośrodka znajdującego się w strefie filtracji, ają więc jednie znaczenie poglądowe. Uwzględnienie tch sił jest w t przpadku nieożliwe, gdż nie zakładaliś określonej wsokości nadkładu. Oczwiście znając tę wartość, bez trudu oże określić rzeczwist przebieg krzwch granicznch dla każdego z rozważanch przpadków. 6..3.1.3 Przepłw przez grodzę zieną posadowioną na podłożu o nieograniczonej iąższości. 34

Rozważ przepłw przez grodzę zieną przepuszczalną dla wod, przedstawioną scheatcznie w przekroju na rs. 6.. Rozwiązanie tego zagadnienia zostało szczegółowo oówione w prac [Reebez, 1998], i w inn ujęciu w prac [Strzeleckiego, Kosteckiego, 6a]. Powtarzając za Rebezą tok postępowania, przeprowadzi następnie szczegółową analizę uzskanego rozwiązania. Rs. 6.. Scheat zagadnienia brzegowego. W przpadku zagadnień ze swobodn zwierciadłe wod nie zna kształtu zwierciadła swobodnego. Jest to więc zadanie z nieznan brzegie i nie oże bezpośrednio wkorzstać wzoru Christoffela-Schwarza. Ab ożna bło jednakże rozwiązać ten proble, została opracowana etoda dodatkowego odwzorowania poprzez funkcję potencjału Żukowskiego [Połubarinoa-Koczina, 1977]. Potencjał Żukowskiego wraża się prz pooc zespolonego potencjału Ω wzore: i θ = z Ω = θ1 + iθ. (6.11) k Stosuje się także inne postaci potencjału Żukowskiego, np. θ = z + iω / k lub θ = Ω ikz. Podstawiając pod z = + i, dostaje część rzeczwistą i urojoną potencjału Żukowskiego: Ψ Φ θ1 = + oraz θ =. (6.1) k k Dla przjętego układu odniesienia jak na rs. 58 oże przedstawić scheat obliczeniow naszego zagadnienia na płaszczźnie potencjału zespolonego i na płaszczźnie potencjału Żukowskiego rs. 7.3. Na płaszczźnie potencjału zespolonego Ω zna wartości potencjału w punktach: 35

A Ω = oraz θ =, B Ω = kh oraz θ = L, ψ c C Ω = kh + iψ c oraz θ = L +, k D Ω = kh + i oraz θ =, (6.13) gdzie H oznacza różnicę wsokości hdraulicznej przed i za grodzą zieną. Rs. 6.3. Scheat obliczeniow zagadnienia brzegowego grodz zienej. Analiza wzoru Christoffela-Schwarza i scheatu obliczeniowego na rs. 6.3 pokazuje, że do uwzględnienia we wzorze: t dt z M N = + 1 1 1 1 ( 1) α ( ) α...( ) α n t a t a t a π π n π są dwa punkt oraz podstawienie: π A a1 = ; α1 = ; π B a = L; α = ;, (6.14) z zastapi przez Ω, t zastapi przez θ, co pozwala zapisać wzór Christoffela-Schwarza dla naszego zagadnienia w postaci: Po pocałkowaniu dostaje: θ dθ Ω = M + N. (6.15) 1 1 θ ( θ L) 36

im arcsin L θ Ω = + N. (6.16) L Znając wartości potencjału zespolonego w punktach A i B, oże wznaczć stałe M i N z układu równań: π i M + N =, π i M + N = kh. (6.17) kh Dostaje: M i kh = oraz N =. π Ostatecznie zależność poiędz potencjałe zespolon Ω oraz potencjałe Żukowskiego a postać: kh L θ Ω = arccos π L. (6.18) Po prostch przekształceniach wzór (6.18) ożna zapisać w postaci: Ω L πω z + i = 1 cos. (6.19) k kh Uwzględniając, że z = + i oraz Ω = Φ + iψ, dostanie po wkonaniu przekształceń algebraicznch: oraz H Ψ % L = + 1 cos ( Φ% ) cosh ( Ψ% ) (6.13) π H Φ % L = + sin ( Φ% ) sinh ( Ψ% ), (6.131) π gdzie π Φ % = Φ i kh π Ψ % = Ψ. kh Określ linię zwierciadła swobodnego podstawiając we wzorach (6.13) i (6.131): Ψ % = oraz Φ % = π. (6.13) H Ostatecznie dostaje równanie zwierciadła swobodnego: 37

H 1 = arcsin. (6.133) L π L L H Przjując =,5;1;1,5, krzwą zwierciadła swobodnego przedstawiono na rs. 7.4. L Rs. 6.4 Kształt zwierciadła swobodnego w zależności od bezwiarowch u = L oraz = L. b H L dla ziennch Oblicz następnie wartość funkcji prądu dla ciecz dopłwającej do punktu C. Korzstając ze wzoru (6.13) oraz z warunku, jaki powinien bć spełnion w punkcie C (warunek ekstreu funkcji): dostaje: dz =, (6.134) dω kh H Ψ C = arcsin h π π L. (6.135) Korzstając ze wzorów (6.131) i (6.13), oże obliczć równania linii prądu dla w postaci: Ψ % = const 38

Ψ% H 1 + H π arccos L L = + L π L cosh Ψ% Ψ% H 1 4 + 1 π + 1 L L shψ%, cosh Ψ% (6.136) gdzie Ψ% oraz powierzchni ekwipotencjalnch dla Φ % = const : H Φ% H arcsin π = h L L + L π L sin Φ% Φ 1 H % π + 1 cos Φ % 1 + L L, sin Φ% (6.137) gdzie Φ% π. Obliczając linie prądu i powierzchnie ekwipotencjalne dla rozpatrwanego zagadnienie, na podstawie wzorów (6.136) i (6.137) dostaje siatkę hdrodnaiczną przepłwu, którą prezentuje na rs. 7.51, przjując dla Φ % wartości:,.5*π /,.5* π /,.75* π /, 1.* π /, 1.5* π /, 1.5* π /. 39

Rs. 6.5. Siatka hdrodnaiczna przepłwu prz filtracji przez grodzę zieną posadowioną na nieograniczonej warstwie przepuszczalnej dla H L = 1.. Często dla celów praktcznch istotna jest długość cznna drenażu pozioego, czli odległość L L, gdzie, zgodnie ze scheate przedstawion na rs. 6.5, L określa odciętą punktu C. Znając wartość funkcji prądu dla linii prądu przechodzącej przez punkt C wzór (6.135) oże obliczć odciętą L na podstawie wzoru (6.13): i L πψ L + ih = ( kh + iψ C ) + 1 cos π + i k kh Z równania (6.138) oblicz wartość odciętej L : C. (6.138) L H H H L = 1 + cosh arcsin h arcsin h π L π π L. (6.139) Wartość odległości BC oznacz przez d i na podstawie wzoru (6.139) oblicz: L H H H d = L L = 1 cosh arcsin arcsin h + π L π π L. (6.14) Przkładowo oblicz względną wartość długości odcinka CB d / L w zależności od H L H dla wartości, co przedstawiono na rs. 6.6 L Rs. 6.6. Długość cznna drenu w zależności od h = H L. Oblicz następnie wdatek dopłwając do drenu na odcinku BCB, któr uwzględniając dopłw od gór i od dołu wniesie: H H Q = Ψ = kl arcsin h L π L. (6.141) 4

Zakładając, że k 3 = 1 s oraz L 1, = wartość wdatku dopłwające na długości d do drenu wnosi w zależności od H L, dla wartości co przedstawiono na rs. 6.7. L Oczwiście jest to wdatek na jednostkę długości grodz (przjie w nasz przpadku na 1b grodz). H Rs. 6.7. Funkcja wdatku Q 3 / s dopłwającego do drenu w zależności od h = H L. Przejdź następnie do obliczenia pola wektorowego prędkości r. Wchodząc z równania (7.9): Ω L πω z + i = 1 cos, k kh zróżniczkuje je po dz. Otrza związek poiędz prędkością przepłwu i funkcją potencjału zespolonego Ω w postaci: k w =, (6.14) π L Ωπ i + sin H kh gdzie w - oznacza prędkość zespoloną filtracji. Po odpowiednich przekształceniach dostaje następującą postać składowch prędkości filtracji i : 41

π L sin Φ% cosh Ψ% = k H π L π 1+ cos Φ% sinh Ψ % L + sin Φ% cosh Ψ% H H π L 1+ ( cos Φ% ) sinh Ψ% H = k. π L π cos Φ% sinh Ψ % L + 1 + sin Φ% cosh Ψ% H H, (6.143) Jak widać, powższe wzor nie pozwalają na bezpośrednie obliczenie wartości składowch prędkości w obszarze filtracji, gdż nie a ożliwości bezpośredniego określenia wartości Φ % i Ψ % jako funkcji i, gdż równania (6.136) i (6.137) są równaniai uwikłani. W pośredni sposób oże jednakże określić wartości składowch, obliczając dla określonch wartości Φ % i Ψ % współrzędne punktów, w którch te wartości wstępują, a następnie obliczć składowe prędkości filtracji r. Dla przkładu oże policzć składowe prędkości filtracji wzdłuż zwierciadła swobodnego filtracji. Wie, że w t przpadku: π Ψ % = i Φ % =. (6.144) H Uwzględniając, że równanie krzwej zwierciadła swobodnego a postać: H 1 = arcsin, L π L L oblicz składowe prędkości filtracji wzdłuż zwierciadła swobodnego: π L sin arcsin π L H L, 1+ sin arcsin H H L 1. π L π L + H H L = k H π L π L = k 1 sin arcsin (6.145) Dla zobrazowania tch wzorów wkona obliczenia przjując L / H = i oblicz wielkości / k oraz / k, odnosząc te wielkości względe zwierciadła swobodnego wrażonego krzwą (6.133). Odpowiednie wkres przedstawiono na rs. 6.8. 4

Rs. 6.8 Wkres k i k wzdłuż linii zwierciadła swobodnego. Korzstając ze wzorów (6.143), oże określić wielkość składowch prędkości filtracji wzdłuż brzegu BCE. Wstawiając do powższch wzorów wartości Φ % = π dostaje: = 1 = k. (6.146) π L πψ 1+ sinh H kh Rozważ warunek stateczności filtracjnej wzdłuż linii CE. Wektor prędkości filtracji a kierunek przeciwn do sił ciężkości. Jeżeli składowa sił asowch S spełnia warunek: S = ρg +, (6.147) k to dla obszaru, w któr ten warunek jest spełnion, następuje proces upłnnienia gruntu. Interesować nas będzie obszar (określon zienną ) znajdując się poza zasięgie grodz zienej. W obszarze grodz należałob uwzględnić dodatkowo rozkład sił asowch pochodzącch od ciężaru grodz. Uwzględniając drugi ze wzorów (6.146) w warunku (6.147) oże obliczć graniczną wartość, powżej której zachodzi upłnnienie gruntu: H + ρg Ψ % gr = arcsin h. (6.148) π L Ab znaleźć zakres odciętej, dla której wstępuje proces upłnnienia gruntu, należ poszukać, dla jakiej wartości odciętej odpowiada wartość Ψ %. W t celu wkorzsta równanie (6.136), przjując = i dostaje równanie: 43 gr

Ψ% kr H +,5 H π arccos L L + π L cosh Ψ% kr Ψ% krh 4 +,5 π +,5sinh ( Ψ% ) 1 L L kr =. cosh Ψ% kr (6.149) Określenie bezpośrednie odciętej jest trudne, gdż powższe równanie jest równanie uwikłan. Jedną z etod oże bć etoda polegająca na poszukiwaniu przecięcia się dwóch funkcji uzskanch z przeniesienia jednego z członów równania na drugą stronę równania i określeniu każdej ze stron jako oddzielnej funkcji od. Przjując, że funkcje te ają postać: F1 ( ) Ψ% krh +,5 L π L = cosh Ψ% kr H (6.15) 4 + Ψ%,5 π kr L π ( ) = cos sinh ( Ψ ) 1 L L F % kr. H cosh Ψ% kr Poniżej przedstawiono dwa rozwiązania równania tą etodą dla H L równego 1,5 i,5: a) b) Rs. 6.9 Rozwiązanie równania uwikłanego a) dla Jak widać z rs. 7.9, dla H L =1,5; b) dla H L =,5. H L =1,5 nie zachodzi zjawisko upłnnienia, natoiast dla H =,5 punkt graniczn a w przbliżeniu wartość 1,5, więc w obszarze wpłwu wod po stronie odpowietrznej oże nastąpić zjawisko upłnnienia gruntu i jego wporu. W prac Rebez [Rebeza, 1998] przedstawił rozwiązanie dla przpadku grodz posadowionej na gruncie o ograniczonej iąższości. Zadanie to a jednak postać znacznie bardziej skoplikowaną niż przedstawione wżej. L 44

6..3. Zagadnienia przepłwu wod pod ciśnienie. 6..3..1 Płaski fundaent zapor wodnej na warstwie o nieskończonej iąższości. Na przepuszczalnej warstwie o współcznniku filtracji k, ograniczonej linią AD spoczwa fundaent zapor wodnej na odcinku BC. Rs. 6.3. Scheat zagadnienia przepłwu pod fundaente zapor wodnej. Po lewej stronie (patrz rs.6.3) zapor znajduje się zbiornik wod, w któr pozio wod ponad terene wnosi H 1. Po prawej stronie a korto rzeki, prz cz pozio wod ponad teren w przekroju (rs. 7.3) wnosi H. Wzdłuż półprostch AB i CD a do cznienia z brzegie przepuszczaln, więc składowa stczna prędkości do tch brzegów jest równa zeru: = ;. (6.151) Natoiast dla brzegu BC a do cznienia z brzegie nieprzepuszczaln, więc składowa noralna do tego brzegu jest równa zeru: = ;. (6.15) Wie ponadto, że dla ± lub ± obdwie składowe prędkości winn dążć do zera, więc prędkość zespolona w: w i = (6.153) powinna również dążć do zera, czli: li w = z ±. (6.154) 45

Warunki brzegowe zadania dają się przedstawić w prostej postaci prz pooc składowch prędkości (6.151), (6.15), więc będzie poszukiwali funkcji potencjału zespolonego w sposób pośredni, poprzez określenie najpierw funkcji prędkości zespolonej w. Przjując układ współrzędnch, jak na rs. 7.53, widzi zgodnie z (6.151) i (6.15), że: w - dla < b - dla > b a wartość rzeczwistą, w a wartość urojoną. Przjij wstępnie, że funkcja prędkości zespolonej wraża się wzore: w = b z. (6.155) w z Funkcja a wartości rzeczwiste dla = < i wartości urojone dla z = >. Funkcja ta spełnia warunki brzegowe dla dodatniej półosi, natoiast nie spełnia ich dla półosi ujenej. Przjij następnie, że funkcja w równa się: w = b + z (6.156) z z i a wartości rzeczwiste dla = > i urojona dla = <, spełnia więc warunki dla ujenej półosi, natoiast nie spełnia warunku brzegowego dla dodatniej półosi. Łatwo sprawdzić, że funkcja powstała z ilocznu funkcji (6.155) i (6.156): w = b z (6.157) przjuje wartości rzeczwiste dla < b oraz wartości urojone dla > b, spełnia więc dwa pierwsze warunki brzegowe (6.151) i (6.15). Nie spełnia natoiast warunku trzeciego (6.154), któr zakłada, że prędkość zespolona w powinna bć równa zero dla z. Powższ warunek i warunki brzegowe (6.151) i (6.15) spełnia natoiast funkcja: M w =, (6.158) b z gdzie: M - to wielkość zespolona stała. Funkcja (6.158) nie jest jedną spełniającą warunki (6.151), (6.15), (6.154), jednakże, jak to wkaże później, jest jedną, która odpowiada warunko określon przez nasze zadanie. Gd c przenoż funkcję (6.158) przez funkcję wierną z rzeczwisti współcznnikai i, której stopień licznika nie przewższa stopnia ianownika w postaci: n n gdzie oraz i zespolonej w postaci: n ( z c) ( z a), to liczb naturalne rzeczwiste otrza funkcję prędkości 46

n M ( z c) ( z a) b z w =. (6.159) Funkcja ta spełnia warunki brzegowe c (6.151), a (6.15), (6.154). Posiada ona jednak dodatkowe a własności w punktach =, = i =, =. Przjij również na przkład, że =. Przechodząc do granic w punktach = ± b, = z lewej i prawej stron wektor prędkości π π 1 powinien obrócić się o kąt. W rozpatrwan przpadku obraca się o kąt + π. a Zakładając a < b otrza w punkcie =, = dodatkow punkt osobliw pod fundaente zapor wodnej. Można wkazać, że prz n= i =1 jest to wted punktowe źródło wod lub dren. Funkcja ta jest wkorzstana w zadaniach z rurą drenażową, ustuowaną pod fundaente budowli piętrzącej. Funkcja (6.159) oże stanowić podstawę do budow rozwiązań zagadnień brzegowch bardziej złożonch od rozpatrwanego w t podrozdziale. Wznacz obecnie funkcje potencjału zespolonego Ω. Korzstając z zależności: w = dω dz i ze wzoru (7.169) dostaje: Ω = Φ + i Ψ = wdz + N. Po scałkowaniu funkcji prędkości zespolonej określonej wzore (6.158) otrzuje funkcję potencjału zespolonego Ω w postaci: z Ω = M arcsin + N. (6.16) b Sprawdź obecnie, cz stosując wzór Christoffela Schwarza, czli etodę odwzorowań konforench uzska dla rozpatrwanego przpadku taką saą funkcję potencjału zespolonego Ω. W t celu usi określić obszar filtracji na płaszczźnie zespolonej Ω dzięki znajoości warunków brzegowch zagadnienia. Jak widać to na rs. 7.31, obszar ten jest ograniczon prosti Ψ = oraz półprosti określoni równaniai Φ = i Φ = kh. Punkt charakterstczne pokazane na rsunku 7.54 A, B, C, D oraz punkt określając początek układu odniesienia ają swoje iejsce na płaszczźnie Ω. 47

Rs. 6.31. Odwzorowanie obszaru filtracji na płaszczźnie potencjału zespolonego Ω. Punkt charakterstczne A, B, C, D i punkt znajdują się zarówno na płaszczźnie Ω, jak również na płaszczźnie z, ożna więc skorzstać ze wzoru Christoffela Schwarza i wznaczć równanie potencjału zespolonego Ω. Dla ułatwienia rozważań przepisz ten wzór poniżej: t dt z M N = n t a 1 t a t a + α α α. 1 1 1 n ( 1) π ( ) π...( ) π Zauważ na wstępie, że rozpatrwan przez nas obszar na płaszczźnie Ω a postać wielokąta, w któr wstępują dwa kąt α 1 i α prz wierzchołkach B i C. Na płaszczźnie ziennej zespolonej z a natoiast do cznienia z półpłaszczzną. Kąt prz wierzchołkach A i D, poija się gdż na płaszczźnie ziennej zespolonej z odpowiada i odcięta ± zgodnie z właściwością całki Christoffela Schwarza. Odpowiednie wartości w powższ wzorze będą następujące: a1 b, a b, π π = = α1 =, α =, z = Ω, t = z. (6.161) Po uwzględnieniu tch wartości we wzorze Christoffela Schwarza przedstawi go w postaci: z dz Ω = M + N, (6.16) 1 1 ( z + b) ( z b) co prowadzi do następującej postaci funkcji potencjału zespolonego Ω : Ω = im arcsin z + N. (6.163) b 48

Otrzaliś więc postać funkcji potencjału zespolonego w postaci nieco różniącej się od uzskanej drogą intuicjną (6.16). Pokaże, że obdwie postacie tego rozwiązania są ekwiwalentne i prowadzą do identcznej siatki hdrodnaicznej przepłwu. Ab określić funkcję potencjału zespolonego Ω, należ wznaczć stałe M i N dla obdwu postaci rozwiązania. Wie, że funkcja potencjału prędkości równa się: P Φ = k γ w + + C, gdzie: C dowolna stała zależna od przjęcia przez nas poziou powierzchni odniesienia potencjału prędkości Φ. Przjij stałą C w taki sposób, ab wzdłuż poziou wod w rzece (wzdłuż brzegu CD) p funkcja potencjału Φ bła równa zero. Założwsz prz t, że ciśnienie atosferczne a=, oblicza: kh + =. C Stąd: C = kh Może ostatecznie stwierdzić, że funkcja Φ wraża się wzore: P = k + γ w Oblicza Φ wzdłuż brzegu AB. ( H ) Φ ( ) Φ AB = k H 1 H.. (6.164) Określając różnicę H1 H przez H dostaje: Φ AB = kh. (6.165) Funkcja prądu wzdłuż fundaentu BC równa się dowolnej stałej, przjując jednakże, że stała ta jest równa zeru a: Ψ BC =. (6.166) Na podstawie przeprowadzonch b wżej rozważań, oże stwierdzić, że w punkcie B o współrzędnch =, = Ψ = i Φ = kh, (6.167) b natoiast w punkcie C o współrzędnch =, = : 49

(6.168) Ψ = i Φ =. Podstawiając związki (6.167) i (6.168) do wzoru (6.16) dostaje układ równań: π M + N =, 3π M + N = kh. Po rozwiązaniu tego układu równań algebraicznch dostaje: kh M =, khπ N =. (6.169) (6.17) Podstawiając stałe M i N do wzoru (6.16) otrzuje: kh Ω = π z kh arcsin b (6.171) lub po wkorzstaniu własności funkcji trgonoetrcznch oże funkcję potencjału zespolonego zapisać inaczej: Ω = kh z arccos π b. (6.17) Analogicznie, korzstając z tch sach warunków (6.167) i (6.168), oże obliczć stałe dla rozwiązania w postaci wzoru (6.163). Dostaje dla tego przpadku układ równań: π im + N =, im + N =, (6.173) z którego otrzuje stałe: im kh kh =, N =. (6.174) π Po podstawieniu tch stałch do wzoru (6.163) dostaje dokładnie taką saą postać funkcji potencjału zespolonego Ω jak we wzorze (6.16): 5

kh Ω = π z kh arcsin b. Pokazaliś więc, że obdwie drogi rozuowania prowadzą do jednakowego wniku. Przekształcając wzór (6.17) a: πω z = bcos. (6.175) kh Wstawiając Ω = Φ + iψ oraz z = + i oże stwierdzić, że zależność (6.175) a postać: Oznaczając: πφ πψ + i = bcos + i. (6.176) kh kh πφ = Φ % oraz kh πψ = Ψ %, (6.177) kh a: ~ ~ ( Φ + Ψ) + i = bcos i. (6.178) Wiedząc na podstawie tablic ateatcznch [Rizik, Gradstein, 1964] lub prograów ateatcznch, że: ( ) cos Φ % + iψ % = cos Φ% cos hψ % + isin Φ% sin hψ %, równanie (6.178) ożna zapisać w postaci: (6.179) + i = b cos Φ% coshψ % + ibsin Φ% sin hψ%, a stąd po przeniesieniu wszstkich członów równania na jedną stronę równania i korzstając z faktu, że równanie (6.179) jest wówczas spełnione, gd część rzeczwista i urojona jest równa zeru, dostaje dwa związki: Obliczając ze związku (6.181) Φ ~ sin : = bcos Φ % cos hψ %, (6.18) = bsin Φ % sin hψ %. (6.181) 51

oraz ze związku (6.18) cos Φ ~ : a także kładąc: dostaje równanie: sin Φ % = bsin hψ% cos Φ % = bcos hψ%, sin ~ ~ Φ + cos Φ = 1, Dla różnch wartości b cos h Ψ% b sin hψ% + = 1. (6.18) Ψ ~ = const równanie (6.18) reprezentuje linie prądu przepłwającej 1 = bcos h Ψ % i ciecz w ośrodku gruntow. Są to elips o ogniskach w punktach ( ) = bsin h ( Ψ ). Wznaczając następnie ze związków (6.18) i (6.181) funkcje cos równania dla funkcji hiperbolicznch: h Ψ % i sin h Ψ % i korzstając z % % (6.183) sin h Ψ cos h Ψ = 1 dostaje równanie: b cos ~ Φ b sin ~ Φ = 1 (6.184) 5

cons cons Rs. 6.3. Izolinie funkcji Φ = i Ψ = reprezentujące siatkę hdrodnaiczną przepłwu. Dla kolejnch, gd π Φ%, równanie (6.184) opisują izolinie reprezentujące w przestrzeni powierzchnie ekwipotencjalne. Są nii hiperbole. Układ linii prądu opisanch równaniai (7.81) dla Ψ i izolinii reprezentującch powierzchnie ekwipotencjalne opisanch równaniai (6.184) tworzą siatkę hdrodnaiczną przepłwu, którą dla rozpatrwanego przpadku przedstawiono na rs. 6.3. Określ następnie składowe prędkości r w obszarze filtracji. Prędkość zespolona wraża się wzore: kh w = π b z, (6.185) więc: kh i = π b z. (6.186) Rozdzielając prawą stronę równania na części rzeczwistą i urojoną, a następnie przenosząc wszstkie wrażenia na jedną stronę, dostanie równanie, z którego oże bezpośrednio wznaczć składowe i prędkości filtracji. Dostaje: kh b b ± + + + + = b, (6.187) π + + 4 ( ) 4 ( ) kh b b + + + = b, (6.188) π + + 4 ( ) 4 ( ) prz cz znak bierze dla >, a znak + bierze dla <. 53

Dla przkładu na rs. 6.33 i 6.34 przedstawiono wkres prędkości i na kilku pozioach b b b b b H k s =,, =, 4, =, 6, =,8, =, zakładając, że 4 b = 5, = 1 / oraz = 1. Rs. 6.33. Rozkład składowej π k prędkości filtracji pod fundaente budowli b b b b b piętrzącej a) dla =,,b) =, 4,c) =, 6,d) =,8,e) = ; (obliczenia i wkres Matheatica 5). Rs. 7.34. Rozkład składowej π k prędkości filtracji pod fundaente budowli b b b b piętrzącej.a) dla =, b, b) dla =,4, c) dla =,6, d) dla =,8, e) dla = ; (obliczenia i wkres Matheatica 5). Korzstając z wrażeń (7.86) i (7.87) oże wznaczć wektorowe pole prędkości, które dla ograniczonego wcinka przedstawiono na rs. 6.35 54

Rs.6.35 Pole prędkości filtracji pod fundaente budowli piętrzącej; (obliczenia i wkres Matheatica 5). Równanie izotach otrza obliczając: a równanie izoklin: r = + = const, (6.189) = tgϕ = const. (6.19) Interesując jest rozkład prędkości wzdłuż brzegu AD. Wzor na składowe uzskać bezpośrednio ze wzorów (6.187) i ((6.188), podstawiając w nich =. Wzdłuż fundaentu prędkość filtracji równa jest składowej pozioej prędkości i wnosi: i oże kh = π b. (6.191) Wzdłuż powierzchni przepuszczalnch prędkość filtracji równa jest składowej pionowej wnosi: = Signu ( )* π kh b. (6.19) i 55

Rs. 6.36. Rozkład prędkości przepłwu wzdłuż brzegu AD. Rozkład prędkości wzdłuż brzegu AD przedstawiono na rsunku 6.36. Jak widać z rsunku, w pobliżu punktów = ± b wartość prędkości dąż do ±. Wnik ten jest rezultate stosowania liniowego prawa przepłwu Darc ego. W rzeczwistości po przekroczeniu pewnej wartości spadku hdraulicznego przepłwu prawo filtracji jest nieliniowe. Przedstawiona powżej etodologia rozwiązania probleu nie pozwala jednakże na uwzględnienie nieliniowego prawa przepłwu. Do obliczeń stateczności zapór wodnch istotn jest rozkład ciśnień pod fundaente budowli, wwołan przepłwe filtracjn. Przepisz wzór (6.18): Ponieważ wzdłuż fundaentu: dostaje: πφ πψ = bcos cos h. kh kh =, Ψ =, πφ = bcos. (6.193) kh Oznaczając przez h wsokość hdrauliczną w doln punkcie obszaru filtracji, a: Φ = kh. (6.194) Podstawiając (6.194) do (6.193), dostaje: H h = arccos π b. 56

Ponieważ wzdłuż fundaentu budowli piętrzącej =, ciśnienie p równa się: γ wh p = γ wh = arccos. (6.195) π b Rozkład ciśnień wzdłuż fundaentu zapor przedstawiono na rs. 6.37. Rs. 6.37. Rozkład ciśnienia pod fundaente budowli piętrzącej. Uzskan rozkład ciśnienia pozwala na obliczenie wpadkowej sił parcia na fundaent budowli piętrzącej. Można wkazać, że wielkość ta jest równa wielkości parcia, gd przjie rozkład ciśnienia w postaci trójkąta. Istotną różnicą jest iejsce położenia wpadkowej. Znajduje się ono w większej odległości od prawego brzegu fundaentu budowli piętrzącej, więc oent wwracając wnikając z działania tej sił jest większ niż w przpadku przjęcia rozkładu trójkątnego ciśnienia ciecz na fundaent. Dla pełnego obrazu oawianego klascznego rozwiązania opłwu fundaentu budowli piętrzącej przedstawi sposób obliczenia wdatku przepłwającego pod jej fundaente. Oczwiście całkowit wdatek jest nieskończon, ponieważ warstwa a nieskończoną iąższość. Oblicz więc wdatek przepłwając pod fundaente budowli piętrzącej poiędz liniai prądu ająci swój początek w punktach = b i =. Wiedząc, że wdatek Q przepłwając poiędz dwoa liniai prądu, równa się różnic wartości funkcji prądu: Q = Ψ oraz że wartość funkcji prądu dla pierwszej linii prądu, biegnącej wzdłuż fundaentu, wnosi: Ψ = oże stwierdzić, że poszukiwan wdatek równa się wartości funkcji prądu przechodzącej przez rozpatrwan punkt =, czli: 57

Wstawiając do (6.18) = dostaje: Q = Ψ. (6.196) kh kh arccos ln + Q h = = b. (6.197) π b π b Przjując wartości rs. 7.38. k 4 = 1, H=5, przedstawiono krzwą wdatku w zależności od b na Rs. 6.38. Zależność wdatku od współrzędnej wpłwu linii prądu (obliczenia i wkres Matheatica 5). u = ; b 6..3.. Ścianka szczelna w gruncie przepuszczaln o nieskończonej głębokości. Dla zniejszenia prędkości wlotowch filtracji pod fundaente budowli wodnch lub ochron wkopów ziench konstruuje się w gruncie ścianki szczelne (rs. 7.39) często z etalowch płt profilowch. Rs. 6.6. Scheat ścianki szczelnej. 58

Budowa siatki hdrodnaicznej dla przpadku siatki szczelnej jest istotna, w przpadku rozwiązwania praktcznch zadań opłwania fundaentu budowli ziench. Sposób poszukiwania rozwiązania dla tego przpadku wnika bezpośrednio ze znalezionego rozwiązania dla przpadku zagadnienia płaskiego opłwania budowli piętrzącej. Rs. 6.39 Opłwanie ścianki szczelnej. Gdb w poprzednio oówion zadaniu zaienić współrzędne, lub inaczej obrócić scheat zadania przedstawion na rs. 6.3 o 9, to otrza przepłw zaieszczon na rs. 6.39. Rsunek ten przedstawia pionową ściankę szczelną o długości L, opłwaną przez wodę gruntową pod wpłwe różnic wsokości hdraulicznej H. Uwzględniając powższe rozuowanie, funkcję potencjału zespolonego ożna przedstawić w postaci: Ω = M arcsin z N (6.198) gdzie M, N nieznane stałe stałe. Przjując warunki brzegowe jak na rs. 7.39 w punkcie B i C: w punkcie B z = a Φ = kh, ψ =, kh w punkcie C z = il a Φ =, ψ =. W powższch warunkach założliś, że wzdłuż ścianki przepłwa pierwsza linia prądu, dla której przjęliś wartość równą zero. Podstawiając powższe warunki brzegowe do równania (6.153) dostaje: 1. dla punktu B: 59

kh sin =, (6.199) M z czego dostaje: kh M = nπ. Kładąc n = 1 a: M kh = ; (6.) π. dla punktu C: kh sin kh π il =, (6.1) N dostaje więc wartość stałej N równą: Może więc wzór (6.198) przedstawić w postaci: N = il. (6.) z πω = sin. (6.3) il kh Podstawiając do wzoru (6.3) z = + i oraz Ω = Φ + iψ dostaje równanie: ( ) + Lcos Φ% sin hψ % + i Lsin Φ% cos hψ % =, (6.4) πφ gdzie Φ % πψ = oraz Ψ % =. kh kh Korzstając ze wzoru: ( i ) sin Φ % + Ψ % = sin Φ% cosh Ψ % + i cos Φ% sinh Ψ % i przrównując część rzeczwistą i urojoną w równaniu (6.4) do zera dostaje: 6

= Lcos Φ% sin hψ%, = Lsin Φ% cos hψ%. (6.5) Korzstając następnie ze wzoru jednkowego dla funkcji trgonoetrcznch, a: L sinh Ψ% L cosh Ψ% + = 1. (6.6) Uzskane równanie (6.6) jest równanie linii prądu, jakie stanowią elips o półosiach Lsinh Ψ i L cosh Ψ %. Wkorzstując następnie wzór jednkow dla funkcji hiperbolicznch, otrzuje: l sin Φ% l cos Φ% = 1. (6.7) Powższe równanie (6.7) jest równanie linii ekwipotencjalnch dla wartości π Φ%, które stanowi rodzina hiperbol o półosiach Lsin Φ% i Lcos Φ%. Linię prądu stanowią połówki elips (rs 7.4), natoiast linie ekwipotencjalne są hiperbolai Rs. 6.4. Siatka hdrodnaiczna przepłwu w przpadku ścianki szczelnej.. Na podstawie związku: dω w = dz oże obliczć zespoloną prędkość przepłwu, która a w t przpadku postać: kh i π = = w i L 1 + z. (6.8) 61

Postępując podobnie jak w przpadku przepłwu pod fundaente budowli piętrzącej oże znaleźć składowe prędkości i : ( ) 4 ( ) kh + L + + L =, π + L + 4 ( ) 4 ( ) kh + L + + + L = Signu( ). π + L + 4 (6.9) Rozkład składowch prędkości i nich przedstawiono wkres funkcji ( ) rzędna na wkresie obliczana jest dla wartości przedstawiono na rs. 7.65 i 7.66. Na pierwsz z dla =,. l,.4 l,.6 l,.8 l,.98 l, l, prz cz π L kh. π l Rs. 6.41. Rozkład prędkości na pozioach: kh a) =, b) =,L, c) =,6L, d) =,8L, e) =,98L, f) = L ; (obliczenia i wkres Mapple 8). Na drugi z nich (rs.7.4) przedstawiono wkres wartości funkcji =,,4 L,,8 L, L kh dla wartości 6

Rs. 6.4. Rozkład prędkości dla: kh a) =, b) =.4L, c) =.8L, d) =,98L,f) = L ; (obliczenia i wkres Mapple 8). Oblicz następnie wartość ciśnienia p w obszarze filtracji prz założeniu, że wartość ciśnienia atosfercznego wnosi p a =. Ab uzskać funkcję ciśnienia, należ określić na początku funkcję potencjału zespolonego Φ %, korzstając ze wzorów (6.5). Z drugiego z nich wznacz funkcję sin Φ% : Korzstając ze związku: sin Φ % = Lcosh cosh Ψ sinh Ψ = 1 Φ%. (6.1) % %, (6.11) oże po podniesieniu do kwadratu związku (6.1) napisać: sin Φ % = L ( 1+ sinh Ψ% ). (6.1) Podstawiając następnie związek (6.1) do równania (7.31) : otrza równanie: sinh Ψ % = Lcos Φ% 63

4 sin Φ% 1 + + sin Φ % + =. (6.13) L L L Rozwiązanie tego równania a postać: 1 Φ % = arcsin + + 1 + + 1 4 (6.14) L L L L L Korzstając ze wzoru:, Dostaje ostatecznie: H 1 p = ρg + arcsin + + 1+ sign( ) + + 1 4 π L L L L L.(6.15) Przkładowo rozkład ciśnienia prz przjęciu stałch ρ g = 1 kg, wartość H = 5 3 przedstawiono na rs. 7.68. Rs. 6.43. Rozkład ciśnienia na różnch głębokościach: a) /l=,b) /l=,5, c) h/l=1,, d) /l=1,5; b) (obliczenia i wkres Mapple 8). Znając funkcje potencjału prędkości Φ, oże określić funkcję potencjału R reprezentującą współdziałanie pola potencjalnego przepłwu filtracjnego z pole sił ciężkości cząstek gruntu: ρg R = Φ, (6.16) k 64

= 1 ρosg, os gdzie ( f ) ρ oznacza gęstość ciecz. ρ oznacza ciężar objętościow gruntu z uwzględnienie wporu, Korzstając ze wzoru (6.14) oraz wzoru (6.16), potencjał R, zwan potencjałe pola sił asowch filtracji, ożna wrazić wzore: ρgh R = arcsin + + 1 + + 1 4 + R π L L L L L. (6.17) Na podstawie związków poiędz potencjałe pola sił asowch filtracji oraz siłai asowi oddziałwująci na ośrodek porowat oże określić składowe pola wektorowego sił asowch (sił unoszenia i ciężkości gruntu z uwzględnienie wporu) wzorai: S S R g Φ = = ρ, k R g Φ = = ρ. k Obliczając odpowiednio pochodne cząstkowe potencjału pola sił asowch filtracji dostaje: S 3 ρgh + + L L L L = + + 1 u * 8π L L u L L + 1+ u L L (6.18) oraz S 3 + ρgh = L L L L + + 1 u * 8π L L u L L * + 1 + u, L L (6.19) 4 4 gdzie u = + + + 1. L L L L L L Korzstając z powższch wzorów oże uzskać przestrzenn obraz zienności składowch sił asowch filtracji, co przedstawiono na rs. 6.44. 65

Rs. 6.44. Wizualizacja wartości funkcji składowch sił asowch filtracji ; (obliczenia i wkres Mapple 8). Szczególnie istotne dla badania procesu stateczności filtracjnej są składowe S sił asowch filtracji. Ziana ich kierunku określa obszar, w któr następuje upłnnienie gruntu, a w rezultacie wpór ieszanin wodno-gruntowej. Jak to szczegółowo oówiliś w rozdziale IV, oże określić, prz jakiej wielkości różnic wsokości hdraulicznej następuje powstanie stanu granicznego powodującego upłnnienie ośrodka. T Dla przkładu przjując następujące wartości stałch: = ρos ( 1 f ) = 1.3, 3 ρ g = 1. T, oże obliczć zienność funkcji S 3 na kilku głębokościach L. H H H Przjując wartości = 1oraz = 1 i L = 1 oże przedstawić rozkład tej L L składowej wzdłuż osi ( rs. 7.7). a) b) c) Rs. 6.45. Wkres składowej S dla: H H H a) = 1, b), = 5 c) 1 L L L = ; (obliczenia i wkres Mapple 8). 66