W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1"

Transkrypt

1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa i ramiona mają długość po dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Rozwiązanie. Sposób I. Rozważamy trapez równoramienny ABCD, w którym krótsza podstawa CD oraz ramiona AD i BC mają długość. Naszym celem jest znalezienie takiej długości dłuższej podstawy AB, dla której pole trapezu ABCD jest największe. Niech punkty E i F będą odpowiednio rzutami wierzchołków D i C na podstawę AB. Oczywiście odcinki AE i F B mają tę samą długość. Przyjmijmy AE BF. Ponadto EF CD. Niech wreszcie α BAD. Oczywiście α (0, π ). D C h A α E F B Pole trapezu ABCD jest równe AB + CD ( + ) + P ABCD DE h ( + ) h ( + cos α) sin α 16(1 + cos α) sin α. Rozważmy następującą funkcję zmiennej rzeczywistej : określoną dla (0, π ). Wówczas f() (1 + cos ) sin f () sin + (1 + cos ) cos (1 cos ) + cos + cos cos + cos 1 ( cos 1)(cos + 1). Oczywiście w rozważanym przedziale mamy cos +1 > 0. Zatem f () 0 wtedy i tylko wtedy, gdy cos 1 gdy π 3. Nietrudno także stwierdzić, że w przedziale (0, π 3 funkcja f jest rosnąca, a w przedziale π 3, π ) jest malejąca. teraz już łatwo obliczamy długość podstawy AB, dla której pole trapezu jest największe: AB cos π

2 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony To pole jest wtedy równe 8 + h 6 sin π Rozwiązanie. Sposób II. Rozważamy trapez równoramienny ABCD, w którym krótsza podstawa CD oraz ramiona AD i BC mają długość. Naszym celem jest znalezienie takiej długości dłuższej podstawy AB, dla której pole trapezu ABCD jest największe. Niech punkty E i F będą odpowiednio rzutami wierzchołków D i C na podstawę AB. Oczywiście odcinki AE i F B mają tę samą długość. Przyjmijmy AE BF. Oczywiście (0, ). Ponadto EF CD. D C A E F B Pole trapezu ABCD jest równe AB + CD P ABCD DE ( + ) 3 ( ). ( + ) + ( + ) ( )( + ) Rozważamy następujące liczby rzeczywiste (nietrudno zauważyć, że są one dodatnie dla z przedziału (0, )): Wówczas pole trapezu jest równe a 1 a a 3 + oraz a 1 3. P a1 a a 3 a a 1 a a 3 a. Z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla czterech liczb dodatnich dostajemy nierówność: a1 a a 3 a a 1 + a + a 3 + a 3 ( + ) + (1 3) 6. Zatem a1 a a 3 a 6 36,

3 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 3 P 1 3 a 1 a a 3 a Równość zachodzi dla takiego, że a 1 a a 3 a, dla. Można też sprawdzić bezpośrednio, że dla mamy P ABCD ( + ) Zatem największe pole ma trapez ABCD, w którym AB 8 i to pole jest równe P ABCD 1 3. Rozwiązanie. Sposób III. Traktujemy trapez jako połowę sześciokąta, powstałego przez doklejenie do naszego trapezu jego odbicia symetrycznego względem prostej AB. Otrzymany sześciokąt ma obwód równy. Z twierdzenia izoperymetrycznego Zenodora wynika, że spośród sześciokątów o obwodzie największe pole ma sześciokąt foremny o boku. Zatem największe pole ma trapez będący połową sześciokąta foremnego, a więc taki, w którym AB 8. To kończy dowód. Popatrzmy teraz na modyfikację zadania 18. Zadanie 18a. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa ma długość 7 dm i każde z ramion ma długość 3 dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Rozwiązanie. Sposób I. Rozważamy trapez ABCD, w którym krótsza podstawa CD ma długość 7 oraz ramiona AD i BC mają długość 3. Naszym celem jest znalezienie takiej długości dłuższej podstawy AB, dla której pole trapezu ABCD jest największe. Niech punkty E i F będą odpowiednio rzutami wierzchołków D i C na podstawę AB. Oczywiście odcinki AE i F B mają tę samą długość. Przyjmijmy AE EF. Ponadto EF CD 7. Oczywiście (0, 3). D C h A E F B Pole trapezu ABCD jest równe P ABCD AB + CD DE ( + 7) + 7 h ( + 7) h ( + 7) 3 ( + 7) (3 + )(3 ) ( + 7) ( + 3)(3 ). Rozważmy następującą funkcję zmiennej rzeczywistej : f() ( + 7) ( + 3)(3 )

4 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony określoną dla (0, 3). Wówczas f () ( 1)( + 7)( + 9). Zauważmy teraz, że jeśli (0, 1), to f () < 0 oraz jeśli (1, 3), to f () > 0. Stąd wynika, że w przedziale (0, 1 funkcja f jest rosnąca i w przedziale 1, 3) funkcja f jest malejąca. Zatem w przedziale (0, 3) funkcja f przyjmuje największą wartość w punkcie 1; inaczej mówiąc, jeśli (0, 3), to f() f(1). Korzystamy teraz z następującej własności pierwiastków: jeśli 0 a b, to a b. Z tej własności wynika, że dla dowolnej liczby (0, 3) prawdziwa jest nierówność P ABCD f() f(1) Ponadto, jeśli 1, to P ABCD 16. To znaczy, że największe pole ma trapez ABCD, w którym AB 9 i to największe pole jest równe P ABCD 16. Rozwiązanie. Sposób II. Rozważamy trapez ABCD, w którym krótsza podstawa CD ma długość 7 oraz ramiona AD i BC mają długość 3. Naszym celem jest znalezienie takiej długości dłuższej podstawy AB, dla której pole trapezu ABCD jest największe. Niech punkty E i F będą odpowiednio rzutami wierzchołków D i C na podstawę AB. Oczywiście odcinki AE i F B mają tę samą długość. Przyjmijmy AE EF. Ponadto EF CD 7. Niech wreszcie α BAD. Oczywiście α (0, π ). D C h A α E F B Pole trapezu ABCD jest równe AB + CD ( + 7) + 7 P ABCD DE h ( + 7) h (7 + 3 cos α) 3 sin α 3(7 + 3 cos α) sin α. Rozważmy następującą funkcję zmiennej rzeczywistej : określoną dla (0, π ). Wówczas f() (7 + 3 cos ) sin f () 3 sin + (7 + 3 cos ) cos 3(1 cos ) + 7 cos + 3 cos 6 cos + 7 cos 3 (3 cos 1)( cos + 3). Oczywiście w rozważanym przedziale mamy cos + 3 > 0. Zatem f () 0 wtedy i tylko wtedy, gdy cos 1 3. Niech 0 oznacza liczbę z przedziału (0, π ), dla której

5 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 5 cos Nietrudno wtedy stwierdzić, że w przedziale (0, 0 funkcja f jest rosnąca, a w przedziale 0, π ) jest malejąca. Teraz już łatwo obliczamy długość podstawy AB, dla której pole trapezu jest największe: AB cos Wreszcie obliczamy pole. Zauważmy najpierw, że sin 0 1 cos Stąd sin 0 3, skąd wynika, że h 3 sin 0. Zatem P ABCD h Rozwiązanie. Sposób III. Rozważamy trapez równoramienny ABCD, w którym krótsza podstawa CD ma długość 7, a ramiona AD i BC mają długość 3. Naszym celem jest znalezienie takiej długości dłuższej podstawy AB, dla której pole trapezu ABCD jest największe. Niech punkty E i F będą odpowiednio rzutami wierzchołków D i C na podstawę AB. Oczywiście odcinki AE i F B mają tę samą długość. Przyjmijmy AE EF. Oczywiście (0, 3). Ponadto EF CD 7. D C A E F B Tak jak w sposobie I obliczamy pole trapezu ABCD: P ( + 7) 9 ( + 7) ( + 3)(3 ). W tym sposobie rozwiązania chcemy zastosować nierówność między średnią geometryczną i arytmetyczną, podobnie jak to miało miejsce w sposobie II rozwiązania zadania 18. Jednak tym razem rozwiązanie wymaga nowego pomysłu. Popatrzmy bowiem, co się stanie, gdy przeniesiemy dosłownie pomysł z rozwiązania zadania 18. Wybierzmy następujące cztery liczby rzeczywiste: a 1 a + 7, a oraz a 9 3. Oczywiście dla z przedziału (0, 3) te liczby są dodatnie. Wówczas pole trapezu jest równe a1 a a 3 a P 1 a 1 a a 3 a. 3 3

6 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 6 Z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla czterech liczb dodatnich dostajemy nierówność: a1 a a 3 a a 1 + a + a 3 + a ( + 7) + ( + 3) + (9 3) Tak jak poprzednio: a1 a a 3 a 169, P 1 a 1 a a 3 a ,39. Okazuje się jednak, że otrzymaliśmy tylko ograniczenie górne na pole trapezu. Mianowicie w nierówności między średnimi tym razem nie może mieć miejsca równość. Jest tak dlatego, że dla żadnego nie zachodzi równość a 1 a a 3 a, Zadanie wymaga więc innego pomysłu. Wybieramy mianowicie następujące liczby rzeczywiste: a 1 a + 7, a oraz a 1. Wówczas Z nierówności między średnimi dostajemy a1 a a 3 a P. 8 a1 a a 3 a a 1 + a + a 3 + a ( + 7) + ( + 6) + (1 ) 3 8. Zatem a1 a a 3 a 8 6, P 1 8 a 1 a a 3 a ,63. Równość tym razem ma miejsce dla takiego, dla którego a 1 a a 3 a, dla 1. Rzeczywiście możemy sprawdzić, że dla 1 mamy P ABCD (1 + 7) Tak więc największe pole ma trapez ABCD, w którym AB 9 i to pole jest równe 16.

7 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 7 Uwaga. Powstaje naturalne pytanie, w jaki sposób zostały znalezione liczby a 1, a, a 3 i a w tym rozwiązaniu zadania 18a. W tej uwadze spróbuję wyjaśnić tę kwestię. Przyjrzyjmy się jeszcze raz rozwiązaniu zadania 18. Chcieliśmy w nim znaleźć największą wartość wyrażenia P () ( + ) 3 ( ). W tym celu wybraliśmy cztery liczby a 1, a, a 3 i a tak, by iloczyn pod pierwiastkiem w wyrażeniu P () różnił się co najwyżej stałą od iloczynu a 1 a a 3 a występującym pod pierwiastkiem we wzorze na średnią geometryczną. To był pierwszy warunek. Aby go spełnić, wystarczyło przyjąć a 1 a a 3 + oraz a. Wtedy jednak niewiadoma wystąpiłaby także we wzorze na średnią arytmetyczną: a 1 + a + a 3 + a Chcemy jednak, by średnia arytmetyczna liczb a 1, a, a 3 i a pozwalała obliczyć poszukiwaną największą wartość wyrażenia P (); w szczególności, by nie zależała od. Zatem zmieniliśmy nieco liczbę a : Teraz mamy a 3 ( ) 1 3. P () a1 a a 3 a 3 oraz a 1 + a + a 3 + a 3( + ) + (1 3) 6. Drugie wymaganie zostało spełnione. Jest jednak jeszcze trzecie wymaganie. Chcemy, by w nierówności między średnimi mogła mieć miejsce równość. Pamiętamy, że równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby są równe, tzn. wtedy i tylko wtedy, gdy a 1 a a 3 a. To znaczy, że chcemy, by dla pewnej wartości zmiennej miała miejsce równość + a 1 a a 3 a 1 3. W zadaniu 18 ta równość była osiągana dla. Wówczas bowiem mieliśmy: oraz Jak widzieliśmy wyżej, w zadaniu 18a nie można było tak łatwo dobrać liczb a 1, a, a 3 i a. Przypomnijmy, że chcemy znaleźć największą wartość wyrażenia P () ( + 7) ( + 3)(3 ).

8 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 8 Przyjmijmy zatem: a 1 a p( + 7), a 3 q( + 3) oraz a r(3 ) dla odpowiednio dobranych liczb rzeczywistych p, q i r. Wówczas a 1 a a 3 a p qr ( + 7) ( + 3)(3 ), a więc iloczyn a 1 a a 3 a różni się tylko stałą od iloczynu znajdującego się pod pierwiastkiem w wyrażeniu P (). Pierwsze wymaganie jest zatem spełnione. Drugie wymaganie polegało na tym, by we wzorze na średnią arytmetyczną nie występowała zmienna. Popatrzmy zatem na tę średnią arytmetyczną: a 1 + a + a 3 + a p( + 7) + q( + 3) + r(3 ) (p + q r) + 1p + 3q + 3r. Drugie wymaganie zostanie spełnione, gdy przyjmiemy r p + q. Zróbmy więc tak. Mamy zatem a 1 a p( + 7), a 3 q( + 3) oraz a (p + q)(3 ). Musimy jeszcze spełnić wymaganie trzecie. Chcemy, by dla pewnej wartości miała miejsce równość a 1 a a 3 a, p( + 7) q( + 3) (p + q)(3 ). Rozwiążmy zatem równanie p( + 7) q( + 3): p( + 7) q( + 3), p + 7p q + 3q, p q 3q 7p, (p q) 3q 7p, 3q 7p p q. Zauważmy, że musimy tak dobrać liczby p i q, by p q. Gdyby bowiem p q (oraz liczby p i q były różne od zera), to dla żadnego nie otrzymalibyśmy równości a 1 p( + 7) q( + 3) a + 3. Mogliśmy zatem podzielić obie strony równania przez p q. Teraz rozwiążmy równanie p( + 7) (p + q)(3 ). p( + 7) (p + q)(3 ), p + 7p 6p p + 3q q, 3p + q 3q p, (3p + q) 3q p, 3q p 3p + q.

9 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 9 Będziemy musieli tak dobrać p i q, by liczby a 1, a, a 3 i a były dodatnie. Będziemy zatem szukać dodatnich liczb p i q. Zatem będziemy mieli 3p + q 0. Rozwiązaliśmy dwa równania. Ale liczba w obu równaniach musi być taka sama. To daje następujący warunek, który muszą spełniać liczby p i q: 3q 7p p q 3q p 3p + q. Przekształćmy to równanie w sposób równoważny: (3q 7p)(3p + q) (3q p)(p q), 9pq + 3q 1p 7pq 3pq 3q p + pq, 6q pq 0p 0, 3q pq 10p 0, (3q + 5p)(q p) 0. Ponieważ szukamy p i q dodatnich, więc 3q + 5p 0. Zatem q p 0. Przyjmijmy więc p 1 oraz q. Wówczas r p + q i otrzymamy następujące liczby a 1, a, a 3 i a : a 1 a + 7, a 3 ( + 3) + 6 oraz a (3 ) 1. To są dokładnie te liczby, które wzięliśmy w rozwiązaniu zadania 18a. Zauważmy także, że w zadaniu 18a nie da się zastosować twierdzenia izoperymetrycznego Zenodora. Rozwiążemy teraz zadanie 18a w postaci ogólnej. Zadanie 18b. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, którego krótsza podstawa ma długość a i każde z ramion ma długość b (przy czym oczywiście a > 0 i b > 0). Oblicz, jaką długość powinna mieć dłuższa podstawa tego trapezu, aby do pomieszczenia wpadało przez to okno jak najwięcej światła, aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zobaczymy tym razem dwa sposoby rozwiązania tego zadania (rozwiązanie trygonometryczne jest dobrym ćwiczeniem dla Czytelnika). Zastanowimy się także nad tym, dla jakich liczb całkowitych a i b zadanie będzie miało rozwiązanie, w którym dłuższa podstawa będzie miała długość wyrażającą się liczbą wymierną. Zobaczymy zestawy takich danych. Rozwiązanie. Sposób I. Rozważamy trapez ABCD, w którym krótsza podstawa CD ma długość a oraz ramiona AD i BC mają długość b. Naszym celem jest znalezienie takiej długości dłuższej podstawy AB, dla której pole trapezu ABCD jest największe. Niech punkty E i F będą odpowiednio rzutami wierzchołków D i C na podstawę AB.

10 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 10 Oczywiście odcinki AE i F B mają tę samą długość. Przyjmijmy AE EF. Ponadto EF CD a. Oczywiście (0, b). D C h A E F B Pole trapezu ABCD jest równe P ABCD AB + CD DE ( + a) + a h ( + a) h ( + a) b ( + a) (b + )(b ) ( + a) ( + b)(b ). Rozważmy następującą funkcję zmiennej rzeczywistej : f() ( + a) ( + b)(b ) a 3 (a b ) + ab + a b określoną dla (0, b). Wówczas f () 3 6a (a b ) + ab ( + a)( + a b ). Interesujące nas miejsce zerowe pochodnej jest dodatnim pierwiastkiem trójmianu kwadratowego + a b. Znajdźmy zatem ten pierwiastek. Obliczamy wyróżnik trójmianu a + 8b. Otrzymujemy pierwiastek dodatni: 1 a + Zauważmy też, że drugi pierwiastek a + 8b a. a a + 8b + a tego trójmianu jest ujemny. Można też zauważyć, że znaleziony pierwiastek 1 wewnątrz przedziału (0, b). Oczywiście leży a + 8b > a a,

11 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 11 więc 1 > 0. Dowodzimy teraz, że 1 < b. W tym celu przekształcamy w sposób równoważny nierówność a + 8b a < b, a + 8b a < b, a + 8b < a + b, a + 8b < (a + b), a + 8b < a + 8ab + 1b, 0 < 8ab + 8b. Ostatnia nierówność jest oczywiście prawdziwa, co dowodzi, że 1 < b. Popatrzmy teraz na rozkład pochodnej na czynniki: f () ( + a)( 1 )( ). Oczywiście, jeśli (0, 1 ), to f () < 0 oraz jeśli ( 1, b), to f () > 0. Stąd wynika, że w przedziale (0, 1 funkcja f jest rosnąca i w przedziale 1, b) funkcja f jest malejąca. Zatem w przedziale (0, b) funkcja f przyjmuje największą wartość w punkcie 1 ; inaczej mówiąc, jeśli (0, b), to f() f( 1 ). Korzystamy teraz ponownie z następującej własności pierwiastków: jeśli 0 y, to y. Z tej własności wynika, że dla dowolnej liczby (0, b) prawdziwa jest nierówność P ABCD f() f( 1 ). Ponadto, jeśli 1, to P ABCD f( 1 ). To znaczy, że największe pole ma trapez ABCD, w którym AB 1 + a i to największe pole jest równe: P ABCD ( 1 + a) b 1 ( ) a + 8b a + a a + 8b + 3a 1 16 ( a + 8b + 3a ) Przyjmijmy nowe oznaczenie: Wówczas 1 c a b a + 8b a a + 8b + a 16 16b a 8b + a a + 8b 16 8b + a a + 8b a. c a + 8b. oraz P ABCD 1 16 (3a + c) 8b + ac a.

12 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Rozwiązanie. Sposób II. Rozważamy trapez równoramienny ABCD, w którym krótsza podstawa CD ma długość a, a ramiona AD i BC mają długość b. Naszym celem jest znalezienie takiej długości dłuższej podstawy AB, dla której pole trapezu ABCD jest największe. Niech punkty E i F będą odpowiednio rzutami wierzchołków D i C na podstawę AB. Oczywiście odcinki AE i F B mają tę samą długość. Przyjmijmy AE EF. Oczywiście (0, b). Ponadto EF CD a. D C A E F B Tak jak w sposobie I obliczamy pole trapezu ABCD: P () ( + a) b ( + a) ( + b)(b ). W tym sposobie rozwiązania chcemy zastosować nierówność między średnią geometryczną i arytmetyczną, podobnie jak to miało miejsce w sposobie III rozwiązania zadania 18a. Tak jak w zadaniu 18a rozwiązanie wymaga pomysłu. Jeśli bowiem a b i wybierzemy liczby rzeczywiste a 1 a + a, a 3 + b oraz a 3b 3, to dla żadnego nie zachodzi równość a 1 a a 3 a, a więc nie otrzymamy równości między średnią geometryczną i arytmetyczną. Będziemy musieli wybrać inne liczby a 1, a, a 3 i a. Tak jak w uwadze po rozwiązaniu zadania 18a, dobierzemy odpowiednie liczby rzeczywiste p, q i r tak, by dla liczb: a 1 a p( + a), a 3 q( + b) oraz a r(b ) nierówność między średnimi dała właściwe oszacowanie pola trapezu. Najpierw zauważamy, że P () ( + a) ( + b)(b ) oraz a 1 a a 3 a p qr ( + a) ( + b)(b ), P () a1 a a 3 a p. qr

13 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 13 Tak jak w uwadze po rozwiązaniu zadania 18a, przyjmijmy r p + q. Wówczas wzór na średnią arytmetyczną przyjmie postać: a 1 + a + a 3 + a p( + a) + q( + b) + (p + q)(b ) ap + bp + bq ap + bp bq. Mamy spełnione dwa wymagania sformułowane w uwadze po rozwiązaniu zadania 18a. Iloczyn liczb a 1 a a 3 a różni się stała od iloczynu pod pierwiastkiem we wzorze na P () oraz średnia arytmetyczna liczb a 1, a, a 3 i a nie zależy od. Teraz zajmiemy się trzecim wymaganiem, by dla pewnego miała miejsce równość Równość a 1 a 3 daje równanie: Rozwiązujemy to równanie: Równość a 1 a daje równanie: Rozwiązujemy to równanie: a 1 a a 3 a. p( + a) q( + b). p + ap qz + bq, p q bq ap, (p q) bq ap, bq ap p q. p( + a) (p + q)(b ). p + ap bp p + bq q, 3p + q bp + bq ap, (3p + q) bp + bq ap, bp + bq ap. 3p + q Ponieważ oba równania mają dać tę samą wartość niewiadomej, więc otrzymujemy warunek, który muszą spełniać liczby p i q: bq ap p q bp + bq ap. 3p + q

14 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Przekształcamy otrzymane równanie w sposób równoważny: (bq ap)(3p + q) (bp + bq ap)(p q), 3bpq + bq 3ap apq bp bpq + bpq bq ap + apq, bpq + bq ap apq bp 0, bq + (b a)pq (a + b)p 0. Ponieważ, tak jak w uwadze po rozwiązaniu zadania 18a, poszukujemy dodatnich liczb p i q, możemy podzielić obie strony równania przez p, wprowadzając nową niewiadomą t q p : bt + (b a)t (a + b) 0. Obliczamy wyróżnik trójmianu po lewej stronie równania: (b a) + b(a + b) b ab + a + ab + b a + 8b. Przyjmijmy, że c, gdzie c > 0. Zatem c a + 8b. Wówczas t 1 (b a) c b oraz t (b a) + c. b Oczywiście t 1 < 0. Nietrudno pokazać, że t > 0. Przyjmijmy zatem Mamy zatem oraz Wówczas mamy nierówność q (b a) + c a + c b oraz p b. a 1 a b( + a), a 3 (a + c b)( + b) a (p + q)(b ) (a + b + c)(b ). a1 a a 3 a a 1 + a + a 3 + a, b (a + c b)(a + b + c)( + a) ( + b)(b ) b( + a) + (a + c b)( + b) + (a + b + c)(b ). Uprośćmy wyrażenia stojące po obu stronach nierówności: b (a + c b)(a + b + c) b ((a + c) (b) ) b (a + ac + c b ) b (a + ac + a + 8b b ) b (a + ac + b ) 8b (a + ac + b )

15 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 15 oraz b( + a) + (a + c b)( + b) + (a + b + c)(b ) b + ab + a + ab + c + bc b b + ab a + b b + bc c 6ab + bc. Nierówność między średnimi przybiera zatem postać 8b (a + ac + b )( + a) ( + b)(b ) 8b (a + ac + b )( + a) ( + b)(b ) Podnieśmy obie strony nierówności do kwadratu: Zatem 6ab + bc, b(3a + c). 8b (a + ac + b )( + a) ( + b)(b ) b (3a + c), ( + a) ( + b)(b ) P () przy czym równość ma miejsce dla bq ap p q b(c b a) ab b (a + c b) b(3a + c) 8 a + ac + b. b(3a + c) 8 a + ac + b, b(a + c b a) b a c b(c a b) b a c b(c a b)(b a + c) (b a c)(b a + c) b(bc ac + c ab + a ac 8b + ab bc) (b a) c b(bc ac + c ab + a 8b ) 16b 8ab + a (a + 8b ) b(bc ac + a ab) 8b(b a) b(bc ac + a + 8b ab + a 8b ) 8b 8ab b(bc ac + a ab) 8b(b a) Zatem największa wartość wyrażenia P () jest równa b(3a + c) 8 a + ac + b. (b a)(c + a) (b a) c a. Otrzymaliśmy inną postać tego wyrażenia niż w sposobie 1. Można jednak dość łatwo przekonać się (szczegóły obliczeń pozostawię jako ćwiczenie), że 1 16 (3a + c) 8b + ac a b(3a + c) 8 a + ac + b.

16 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 16 Tak jak w poprzednim zadaniu interesujące jest to, w jaki sposób można dobrać dane do tego zadania, by otrzymać wyniki wymierne. Chodzi zatem o taki wybór licz a i b, by wyróżnik a + 8b był kwadratem liczby całkowitej. Równanie a + 8b c ma dość proste rozwiązanie. Nie będę jednak go tu przytaczał. Podam tylko tabelę trójek (a, b, c) liczb całkowitych dodatnich spełniających to równanie. Podaję tylko takie trójki, w których NWD(a, b) 1 oraz 1 a, b 50. Oto ta tabela: a b c

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

LXI Olimpiada Matematyczna

LXI Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.

Otrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m. Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 142395 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Które z podanych

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom podstawowy Marzec 09 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. D 8 9 8 7. D. C 9 8 9 8 8 9 8 9 8 ( 89 )

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 18 KWIETNIA 2015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dla każdej liczby

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 4 MARCA 201 CZAS PRACY: 10 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Suma sześciu kolejnych liczb

Bardziej szczegółowo

Szkice rozwiązań zadań z arkuszy maturalnych zamieszczonych w 47. numerze Świata Matematyki, który można nabyć w sklepie na

Szkice rozwiązań zadań z arkuszy maturalnych zamieszczonych w 47. numerze Świata Matematyki, który można nabyć w sklepie na Szkice rozwiązań zadań z arkuszy maturalnych zamieszczonych w 47. numerze Świata Matematyki, który można nabyć w sklepie na www.swiatmatematyki.pl 1. Wypiszmy początkowe potęgi liczby Zestaw podstawowy

Bardziej szczegółowo

1. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: x 5

1. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: x 5 Matematyka Liceum Klasa II Zakres podstawowy Pytania egzaminacyjne 07. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: 5 A. y = B. y = 5 C. y = D. y =.. Dana jest funkcja liniowa f() = + 4. Które

Bardziej szczegółowo

Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki)

Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki) Obozowa liga zadaniowa (seria I wskazówki) 1. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: 9 czy 3 1? 9 < 30 8 10 < 9 10 3 0 < 3 1.. Rozstrzygnij, która liczba jest większa: 81 czy 3 49? 81 > 80 56 10 > 43

Bardziej szczegółowo

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 183264 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dziedzina funkcji

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 05/06 FORMUŁA DO 0 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 06 Zadanie. ( pkt) Rozwiąż nierówność + 5 + 6

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla

A. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom podstawowy. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania 22 = 2

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom podstawowy. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania 22 = 2 Vademecum KRYTERI OENINI OPOWIEZI Próbna Matura z OPERONEM Operon 00% MTUR 07 V EMEUM ZKRES POSTWOWY KO WEWNĄTRZ Poziom podstawowy Zacznij przygotowania do matury już dziś Listopad 06 Zadania zamknięte

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 klasa 2 (pp)

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 klasa 2 (pp) Kod ucznia Nazwisko i imię ucznia M A T E M A T Y K A klasa -(pp) MAJ 07 Czas pracy: 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 4 stron (zadania -4). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania listopad 2016 Zadania zamknięte = = = 2. = =1 (D) Zad 3. Październik x; listopad 1,1x; grudzień 0,6x. (D) Zad 5. #./ 0'!

Rozwiązania listopad 2016 Zadania zamknięte = = = 2. = =1 (D) Zad 3. Październik x; listopad 1,1x; grudzień 0,6x. (D) Zad 5. #./ 0'! Zad 1., Rozwiązania listopad 2016 Zadania zamknięte 2 2 4 2 Zad 2. log 50 log 2log log 252 czyli 1 Zad 3. Październik x; listopad 1,1x; grudzień 0,6x.!,!," średnia: 0,9& czyli średnia to 90% października

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

Matura próbna matematyka poziom rozszerzony

Matura próbna matematyka poziom rozszerzony Matura próbna matematyka poziom rozszerzony Zadanie 1 (1pkt) Jaki jest zbiór wartości funkcji f(x) = 5 cos x 1, jeśli x π, π? 4 (a) 0, + //gdy pominie przedział na x i policzy dla x R (b) 0, 7 + //prawidłowa

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt

Bardziej szczegółowo

OLIMPIADA MATEMATYCZNA

OLIMPIADA MATEMATYCZNA OLIMPIADA MATEMATYCZNA Na stronie internetowej wwwomgedupl Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów (OMG) ukazały się ciekawe broszury zawierające interesujące zadania wraz z pomysłowymi rozwiązaniami z

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 19 MARCA 2016 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 54 3 24 2 18

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 2 MARCA 2019 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Cena towaru bez podatku

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 14 KWIETNIA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 30 2 3 5

Bardziej szczegółowo

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 19

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 2 czerwca 2017

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 78353 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 4 jest

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-R CZERWIEC 0 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad. 3

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2

========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2 Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1

Bardziej szczegółowo

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...

; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze... Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Materiał ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy Styczeń 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12 168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13 Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13 35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY 9 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY 9 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH

1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY 4 MARCA 2017 CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Ile jest liczb x należacych

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Proponowane rozwiazania Matura 2013 MATEMATYKA Poziom rozszerzony

Proponowane rozwiazania Matura 2013 MATEMATYKA Poziom rozszerzony POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MATEMATYKI I NAUK INFORMACYJNYCH Proponowane rozwiazania Matura 013 MATEMATYKA Poziom rozszerzony Autorzy: Kamil Kosiba Tomasz Kostrzewa Wojciech Ożański Agnieszka Piliszek

Bardziej szczegółowo

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3

Matura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3 Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189

Bardziej szczegółowo

Proponowane rozwiazania Matura 2013 MATEMATYKA Poziom podstawowy

Proponowane rozwiazania Matura 2013 MATEMATYKA Poziom podstawowy POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MATEMATYKI I NAUK INFORMACYJNYCH Proponowane rozwiazania Matura 013 MATEMATYKA Poziom podstawowy Autorzy: Tomasz Kostrzewa Agnieszka Piliszek Wojciech Ożański Michał Zwierzyński

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 10 MARCA 2018 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 4 7 8 25 0, 5

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 4 CZERWCA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita

Bardziej szczegółowo

Matematyka rozszerzona matura 2017

Matematyka rozszerzona matura 2017 Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 1 KWIETNIA 017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Suma sześciu kolejnych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 06/07 FORMUŁA OD 05 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 07 Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr 3 5 6

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań

PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Zasady oceniania zadań PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Numer

Bardziej szczegółowo

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2019 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2019 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 4 czerwca 2019

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda, Marcin Kurczab. Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym

Elżbieta Świda, Marcin Kurczab. Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym Elżbieta Świda, Marcin Kurczab Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadanie (matura maj 009) Ciąg ( 3, + 3, 6 +, ) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich.

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego

Bardziej szczegółowo