Modelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate Wykład X
|
|
- Jadwiga Paluch
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Modelowanie przepłwu ciecz przez ośrodi porowate Wład X Worzstanie funcji potencjału zespolonego filtracji do rozwiązwania zagadnień dwuwiarowch przepłwu filtracjnego. Rozwiązwanie płasich zagadnień etodą analitczną bło w czasach, gd oputer nie iał powszechnego zasięgu, a ich zdolności obliczeniowe bł ograniczone, jedną etodą uzsania rozwiązań zagadnień filtracji pozwalającch na wonwanie obliczeń inżniersich w onretnch zagadnieniach budownictwa wodnego, ochron środowisa i hdrogeologii inżniersiej. Obecnie istnieją przjazne dla użtownia progra oputerowe, tóre pozwalają na nawet doow sprzęcie oputerow rozwiązwać złożone zagadnienia brzegowe. Metoda rozwiązań przedstawionch w t podrozdziale nic nie straciła jednaże na swojej wartości. Uzsane przedstawioni poniżej etodai rozwiązania pozwalają dobrze zrozuieć sens fizczn otrzanch w rozwiązaniu funcji oraz przeprowadzić pełną analizę uzsanch rozwiązań, co jest ożliwe tlo w ograniczon zaresie w przpadu rozwiązań etodai nuerczni. Wiele prezentowanch poniżej rozwiązań, stanowiącch istotną część podręczniów aadeicich i publiacji oraz onografii poświęconch teorii filtracji, zawdzięcza [Połubarinovej-Koczinie, 1977], i szole rosjsiej w t taże uczon: [Aravinowowi i innch, 1953], [Filczaovowi, 196] oraz w Polsce [Rebezie, 1984, 199, 1998]. Uzsane tą etodą rozwiązania służą iędz inni do testowania prograów obliczeń płasich zagadnień przepłwu etodai nuerczni. Zajie się przładai zastosowań powższej etod do zagadnień istotnch z puntu widzenia budownictwa wodnego. Przedstawi na początu rozwiązania zagadnień ze zwierciadłe swobodn ające swoje zastosowanie przede wszsti w analizie przepłwów przez przepuszczalne grodze ziene, wał przeciwpowodziowe. Następnie oówi sposób znajdowania funcji potencjału zespolonego Ω dla przpadu opłwu fundaentu budowli piętrzącch, ściane szczelnch, oraz opłwu budowli piętrzącej ze współdziałającą ścianą szczelną i drenaże. W rozwiązaniach tch, uzsanch przez innch autorów, przedstawi poszerzoną analizę uzsanch wniów oraz dodatowo przedstawi obliczenia potencjału sił asowch filtracji oraz przewidwanej stref upłnnienia gruntu po przeroczeniu warunu granicznego stateczności filtracjnej. 9.1 Rozwiązania zagadnień brzegowch ze zwierciadłe swobodn Szczelina drenażowa w warstwie nieprzepuszczalnej (Parabola Liasset a).. Rozważ półprzestrzeń wpełnioną ośrodie porowat o współcznniu filtracji, tóra jest ograniczona od dołu granicą nieprzepuszczalną (rs.45) Rs. 45 Scheat zadania dotczącego dopłwu do szczelin drenażowej.
2 Wzdłuż granic nieprzepuszczalnej na odcinu o długości równej d pracuje dren pozio wształcon w forie wąsiej szczelin drenażowej. Wsute działania drenu w obszarze półprzestrzeni wtwarza się strefa wód gruntowch oddzielona od stref aeracji powierzchnią swobodną. Poszuuje taiej funcji Ω, ab został spełnione waruni brzegowe wzdłuż drenu, wzdłuż warstw nieprzepuszczalnej oraz wzdłuż linii powierzchni swobodnej wód gruntowch. Na powierzchni swobodnej, gd poija ciśnienie powietrza i nie uwzględnia wstępowanie wód apilarnch, uszą bć spełnione następujące waruni brzegowe: I Φ + =, (1.1) Ψ = Ψ, (1.) gdzie Ψ stała odpowiadająca wartości funcji prądu dla powierzchni swobodnej. Wzdłuż granic nieprzepuszczalnej [ = ; ] (patrz rs. 7.35), usi bć spełnion warune: Ψ =. (1.3) Wzdłuż granic przepuszczalnej [ = ; ] (patrz rs. 7.35), warune brzegow a postać: Wbiera olejne funcje z f ( ) Φ =. (1.4) = Ω, pocznając od funcji liniowej. Funcja liniowa, ja łatwo sprawdzić, nie spełnia warunów brzegowch. Rozpatrz następnie funcję wadratową. Ponieważ w t przpadu dla dowolnego puntu obszaru filtracji: z A = Ω. (1.5) sprawdzi, cz funcja ta oże ieć powierzchnię swobodną, spełniającą waruni brzegowe. Dla powierzchni swobodnej a waruni brzegowe (1.1) i (1.), a więc wstawiając je do równania (1.5) otrzuje: ( + ) + i = A i. (1.6) Ψ Po wonaniu prostch przeształceń oże zapisać: ( + AΨ ) = A + AΨ + i, stąd dostaje: ( Ψ ) = A (1.7) oraz AΨ =. (1.8) Z równania (1.8) otrzuje bezpośrednio wartość stałej A: 1 = Ψ A (1.9) Podstawiając wartość stałej A z (1.9) do równania (1.7) otrzuje funcję opisującą ształt linii zwierciadła swobodnego spełniającą nałożone na tę linię waruni brzegowe:
3 Ψ = +. (1.1) Ψ Krzwa oreślona powższ równanie jest nazwana w nietórch anglosasich podręczniach aadeicich (np. Castan ego []) parabolą Liasseta. Oznaczając wierzchołe paraboli przez d, z Q = Ψ a równania (1.1) oże oreślić relację poiędz wdatie dopłwając do drenu odciętą d: Przład liczbow. Q = d. (1.11) Przjując różne wartości d otrzuje rzwe zwierciadła swobodnego. Przjując =, 1 / s i oznaczając przez L = 1 przjęt przez nas zasięg leja depresji ierzon od początu uładu współrzędnch, oznacz przebieg rzwej zwierciadła swobodnego dla ilu przjętch wartości d: d d =,1 =, 1 Q =., L s d d = 1, =, 1 Q =., L s d d =, =, Q =.4. L s Na rs. 45 przedstawiono ształt rzwej depresji dla podanch wżej danch w bezwiarow uładzie współrzędnch: Q Q = + L L L L. (1.1)
4 Rs. 46. Krzwa zwierciadła swobodnego w zależności od odciętej d [d=,1,,5, 1, ];(obliczenia progra Maple8). Kładąc: a: Znając stałą A, funcję potencjału zespolonego Ω ożna zapisać w postaci: 1 Ψ z = Ω. (1.13) Ω = Φ + i Ψ, 1 + i = i Ψ ( Φ + Ψ). Po prostch przeształceniach dostaje: 1 = Ψ ΦΨ = ( Φ Ψ ), (1.14). (1.15) Ψ Sprawdzi obecnie, cz są spełnione założone waruni brzegowe na pozostałch brzegach. Wie, że wzdłuż granic nieprzepuszczalnej (ujena półoś ) powinien bć spełnion warune Ψ =. Wstawia Ψ = do wrażeń (1.14) i (1.15). Otrza: Φ = Ψ ; =. (1.16) Φ <, równania (1.16) są równaniai ujenej półosi. Φ =. Ponieważ dla dowolnej Wzdłuż granic przepuszczalnej (szczelin drenażowej) winien bć spełnion warune Podstawiając Φ = do wrażeń (1.14) i (1.15) otrza: ponieważ dla dowolnego na odcinu Ψ = Ψ ; =, (1.17) Ψ > równania (1.17) są równaniai opisująci dodatnią półoś Ψ < <. Można, więc stwierdzić, że przjęta funcja potencjału zespolonego Ω spełnia wszstie założone waruni brzegowe zadania. Ab wznaczć linię prądu dla Ψ = const przeształci, wrażenia (1.14) i (1.15). Z wrażenia (1.15) wznacz Φ : Ψ Φ = Ψ. (1.18)
5 i podstawiając do wrażenia (1.14) dostaje: Ψ Ψ = + Ψ Ψ. (1.19) Rs. 47 Linie prądu w zadaniu ze szczeliną drenażową. Podstawiając pod Ψ olejne wartości z przedziału (, ) Ψ otrza olejne linie prądu (rs. 47). Ja to wnia ze wzoru (1.19), wszstie linie prądu opisują równania parabol, tórch wierzchołi znajdują się na dodatniej półosi na odcinu Ψ < (rs. 47). Równania powierzchni ewipotencjalnch otrza obliczając z równania (1.15) Ψ : Ψ = Ψ Φ (1.) i podstawiając (1.) do równania (1.14) dostaje równania linii ewipotencjalnch w postaci: Ψ Φ Φ Ψ, (1.1) = tóre stanowią dla przjętch wartości stałch Φ rodzinę parabol o wierzchołach na ujenej półosi. Siatę hdrodnaiczną dla rozpatrwanego przpadu przedstawiono na rs. 48. Wiedząc, że Q = Ψ oże obliczć wdate dla całego obszaru filtracji: Q = Ψ. (1.) 9.1. Szczelina drenażowa w warstwie przepuszczalnej.
6 Rs. 49. Scheat zadania szczelin drenażowej w warstwie przepuszczalnej. Przpade ten różni się od poprzedniego t, że zaiast warstw nieprzepuszczalnej a przłączoną do obszaru przepłwu półprzestrzeń przepuszczalną (rs.49). Nie będzie szczegółowo analizowali tego przpadu, gdż sposób postępowania jest identczn ja w poprzedni podrozdziale. Rs. 5. Siata hdrodnaiczna przepłwu dla przpadu szczeln drenażowej w warstwie przepuszczalnej. Wszstie linie prądu są współognisowi parabolai o równaniach uzsanch w podrozdziale VII z tą różnicą, że dla Ψ należ jedna przjować wartości od Ψ do. Siatę hdrodnaiczną przepłwu dla tego przpadu przedstawiono na rs. 5. Zajie się za to onstrucją izobar (linii jednaowego ciśnienia), izotach (linii jednaowej prędości), izolin (linii, wzdłuż tórch wetor prędości posiada jednaow ierune). Konstrucja Izobar. W celu oreślenia rodzin rzwch izobarcznch przpoina zależności iędz potencjałe prędości, a ciśnienie: P Φ = γ w +. Zależność tę ożna napisać w postaci:
7 P Φ = +. γ w Stąd widać, że ając oreśloną siatę hdrodnaiczną przepłwu ożna znaleźć izobar etodą graficznego dodawania (rs. 51). Rs. 51. Siata izobar uzsana etodą graficznego dodawania. Przjuje dla przładu, że w obszarze filtracji a oreślone linie jednaowej wsoości hdraulicznej Wreśla linię pozioą o równaniach: H Φ = = 1;;3;4 K. (rs.51). N = 1, =, = 3, K =. p γ = 1 = W przecięciu linii = 1 z linią H = +1 dostaje 1, z linią H = itd. Oreśla w ten sposób punt, w tórch p γ w p γ w w p γ w = = we wszstich puntach ta uzsanej rzwoliniowej siati. Łącz a taą saą wartość i dostaje izobar dla p γ w =1, p γ w = itd.. Dla rozpatrwanego zagadnienia nietrudno znaleźć równanie izobar. W t celu wstarcz włączć Ψ z równania (1.15) i po podstawieniu do (1.14) rozwiązać to równanie względe Φ. Otrza równanie czwartego stopnia: 1 4 Ψ Φ + Φ Ψ =. (1.3) Przrównując Φ + do stałej C otrza dla izobar równanie czwartego stopnia: [ + Ψ ] ( C ) ( C ) Ψ =. (1.4) Rodzina izotach i izolin. Oreślenie siati izotach i izolin jest ważne wted, gd istnieje niebezpieczeństwo sufozji rozrzedzania gruntu itp., na przład pod zaporai wodni. Izotach i izolin znaoicie ułatwiają na analizę stateczności filtracjnej gruntu w obszarze budowli wodnch.
8 Wonaj operację obliczenia logartu prędości zespolonej filtracji i rozdziel część rzeczwistą i urojoną: Stąd dostaje: ln w = ln w + i arg w. (1.5) w = ln v + iϑ v gdzie: wartość bezwzględna wetora prędości ϑ - ąt iędz wetore a osią odciętch. Ponieważ ln w jest funcją analitczną, więc linie ln = v cons i ϑ = ln, (1.6) cons tworzą rodzin rzwch wzajenie ortogonalnch. W rozpatrwan przez nas przpadu szczelin drenażowej w warstwie przepuszczalnej, oże więc uzsać równanie izotach i izolin w postaci zaniętej. Istotnie na podstawie (1.13) a: Stąd: w Ω = Ψ z. (1.7) dω = dz z Ψ =. (1.8) Logart prędości zespolonej równ jest: w 1 z i tg ln = ln Ψ z = ln + arg. (1.9) Rs.5 Rodzina izotach i izolin. Widać stąd, że izotach stanowią oncentrczne oła o proieniu r = const i środu w ognisu parabol (,), natoiast izolin są to proienie, wchodzące z ognisa (rs. 5). Wielość prędości
9 równa jest współcznniowi filtracji wzdłuż oręgu, tór jest stczn do swobodnej powierzchni (w iejscu stu tej powierzchni ze szczelina drenażową). Pole wetorowe prędości filtracji. Wchodząc z równania (1.3), otrzuje funcję potencjału prędości Φ. Rozwiązując równanie dwuwadratowe: Φ + Ψ Φ Ψ =, 4 z tórego dostaje funcję potencjału prędości w postaci: ( ) Φ = ± Ψ + +. (1.3) Różniczując funcję potencjału prędości po filtracji v r : i dostanie bezpośrednio sładowe prędości v + + Φ d L L L = = L + L L (1.31) oraz v + + d L L L =, (1.3) L + L L gdzie uwzględniono, że Ψ = d. Wartości sładowej v są zawsze dodatnie bez względu na obszar filtracji (pod i nad osią ), natoiast sładowa zależ od znau osi nad osią zna jest ujen, a pod osią dodatni. Na rs. 53 przedstawiono wres sładowej spadu hdraulicznego = dla różnch pozioów ziennej. W przpadu dodatnich wartości rzędnch wres a i v swój sens tlo w obszarze przepłwu ograniczon zwierciadłe swobodn przepłwu.
10 Rs. 53 Wres sładowej prędości v v w zależności od poziou a) / L =.1, b) / L =.1, c) / L =.5, d) / 1. i : L =, e) / L =.. Worzstując wzór (1.3), otrzuje wres sładowej prędosci filtracji wartości rzędnej (rs. 54-I) i ujench wartości rzędnch (rs. 54b-II). v dla dodatnich I II Rs. 54 Wres sładowej v w zależności od poziou i : a) / L =.1, b) / L =.1, c) / L =.5, d) / L = 1., e) / L =.. Znając funcje potencjału prędości Φ oże oreślić funcję potencjału R reprezentującą współdziałanie pola potencjalnego przepłwu filtracjnego z pole sił ciężości cząste gruntu dla dodatniej półosi (dla ujenej półosi nie zna oddziałwania od ciężaru naziou): ρg R = Φ (1.33) otrzuje dla rozpatrwanego przpadu:
11 ρ gdzie ρ os ( 1 f )) Ψ ( ) R = ± g + +, (1.34) = oreśla ciężar objętościow gruntu z uwzględnienie wporu. Różniczując potencjał sił asowch R po ziennch i dostaje sładowe sił asowch działającch na szielet ośroda porowatego S r : S + + R d L L L = = ρg L + L L (1.35) i S + + d L L L = ρ g L + L L. (1.36) Przładowo przedstawi wpłw filtracji na wielość sił asowch oddziałującch na szielet ośroda (rs. 55 i 56). Na pierwsz z rsunów przedstawiono pole wetorowe sił asowch S r dla przpadu, gd a do cznienia z niewieli wdatie Q =,, co odpowiada srajnej odciętej linii s zwierciadła swobodnego d =,1 prz przjęciu zasięgu leja depresji L = 1, Rs. 55. Pole sił asowch dla Q, =. Dla porównania poazano pole sił asowch, gd a do cznienia z dziesięciorotnie więsz d =. wdatie, co odpowiada odciętej 1, s
12 Rs. 56. Pole sił asowch dla Q, =. Z porównania obdwu rsunów wnia, ja znaczn wpłw ają sił unoszenia filtracji na wielość wpadowch sił asowch oddziałwującch na szielet ośroda. Na rs. 56 daje się zauważć wetor sierowane w przeciwn ierunu do sił ciężości, co oże powodować loalne upłnnienie gruntu. Szczególnie niebezpieczne dla stateczności filtracjnej są w t przpadu sładowe pozioe sił asowch w oolice drenu. Korzstając ze wzoru (4.646) i upraszczając nieco nasze zagadnienie, oblicz zasięg stref granicznej uwzględniając jednie sładową pozioą filtracji S. Warune stanu granicznego filtracji dla rozpatrwanego przpadu a postać: s d L + + L L L + L L tg ρg ( ϕ ), (1.37) gdzie ϕ at tarcia wewnętrznego ośroda. Powższ warune prowadzi do oreślenia rzwej granicznej obejującej obszar, w tór spełnion jest warune (7.1) czli sładowe pozioe prędości przeraczają wartości dopuszczalne, ab nie nastąpiło upłnnienie ośroda porowatego. Oczwiście zgodnie z przjęti w rozdziale IV założeniai, załada, że ośrode nie posiada spójności, czli c =, Pa. Wzór na rzwą graniczną a w t przpadu postać: = A L L A L A A L, (1.38) prz cz g A = KG ( ) ( ρg ) tg ϕ d L ρ os = 165 oraz g 3 3. Krzwe graniczne dla ilu wartości d L (załadając, że ϕ =, ρ = 1 KG ) przedstawiono na rs. 57.
13 Rs. 57. Zasięg rzwch granicznch dla różnch wartości d=, 1,.5,,1. Powższe zależności został otrzane bez uwzględnienia sił tarcia wniającch z obciążenia ciężare ośroda znajdującego się w strefie filtracji, ają więc jednie znaczenie poglądowe. Uwzględnienie tch sił jest w t przpadu nieożliwe, gdż nie załadaliś oreślonej wsoości nadładu. Oczwiście znając tę wartość, bez trudu oże oreślić rzeczwist przebieg rzwch granicznch dla ażdego z rozważanch przpadów Przepłw przez grodzę zieną posadowioną na podłożu o nieograniczonej iąższości. Rozważ przepłw przez grodzę zieną przepuszczalną dla wod, przedstawioną scheatcznie w przeroju na rs Rozwiązanie tego zagadnienia zostało szczegółowo oówione w prac [Reebez, 1998], i w inn ujęciu w prac [Strzeleciego, Kosteciego, 6a]. Powtarzając za Rebezą to postępowania, przeprowadzi następnie szczegółową analizę uzsanego rozwiązania. Rs. 58. Scheat zagadnienia brzegowego. W przpadu zagadnień ze swobodn zwierciadłe wod nie zna ształtu zwierciadła swobodnego. Jest to więc zadanie z nieznan brzegie i nie oże bezpośrednio worzstać wzoru Christoffela-Schwarza. Ab ożna bło jednaże rozwiązać ten proble, została opracowana etoda dodatowego odwzorowania poprzez funcję potencjału Żuowsiego [Połubarinova-Koczina, 1977]. Potencjał Żuowsiego wraża się prz pooc zespolonego potencjału Ω wzore: i θ = z Ω = θ1 + iθ. (1.39)
14 Stosuje się taże inne postaci potencjału Żuowsiego, np. θ = z + iω / lub θ = Ω iz. Podstawiając pod z = + i, dostaje część rzeczwistą i urojoną potencjału Żuowsiego: Ψ Φ θ1 = + oraz θ =. (1.4) Dla przjętego uładu odniesienia ja na rs. 58 oże przedstawić scheat obliczeniow naszego zagadnienia na płaszczźnie potencjału zespolonego i na płaszczźnie potencjału Żuowsiego rs Na płaszczźnie potencjału zespolonego Ω zna wartości potencjału w puntach: A Ω = oraz θ =, B Ω = H oraz θ = L, ψ c C Ω = H + iψ c oraz θ = L +, D Ω = H + i oraz θ =, (1.41) gdzie H oznacza różnicę wsoości hdraulicznej przed i za grodzą zieną. Rs. 59. Scheat obliczeniow zagadnienia brzegowego grodz zienej. Analiza wzoru Christoffela-Schwarza i scheatu obliczeniowego na rs. 59 poazuje, że do uwzględnienia we wzorze: są dwa punt oraz podstawienie: t dt z M N = ( 1) α ( ) α...( ) α n t a t a t a π π n π π A a1 = ; α1 = ; π B a = L; α = ; z zastapi przez Ω, t zastapi przez θ,, (1.4) co pozwala zapisać wzór Christoffela-Schwarza dla naszego zagadnienia w postaci:
15 Po pocałowaniu dostaje: θ dθ Ω = M + N 1 1 θ. (1.43) ( θ L) im arcsin L θ Ω = + N L. (1.44) Znając wartości potencjału zespolonego w puntach A i B, oże wznaczć stałe M i N z uładu równań: π i M + N =, π i M + N = H. (1.45) Dostaje: M H i π = oraz H N =. Ostatecznie zależność poiędz potencjałe zespolon Ω oraz potencjałe Żuowsiego a postać: H L θ Ω = arccos π L. (1.46) Po prostch przeształceniach wzór (1.46) ożna zapisać w postaci: Ω L πω z + i = 1 cos H. (1.47) Uwzględniając, że z = + i oraz Ω = Φ + iψ, dostanie po wonaniu przeształceń algebraicznch: oraz H Ψ % L = + 1 cos( Φ) cosh ( Ψ% ) π H Φ % L = + sin Φ Ψ π ( ) sinh ( % ) % (1.48) %, (1.49) gdzie π Φ % = Φ i H π Ψ % = Ψ. H Oreśl linię zwierciadła swobodnego podstawiając we wzorach (1.48) i (1.49): Ψ % = oraz Φ % = π. (1.5) H
16 Ostatecznie dostaje równanie zwierciadła swobodnego: H 1 arcsin L π L L =. (1.51) H Przjując =,5;1;1,5, rzwą zwierciadła swobodnego przedstawiono na rs. 6. L Rs. 6 Kształt zwierciadła swobodnego w zależności od H bezwiarowch u = L oraz = L. b L dla ziennch Oblicz następnie wartość funcji prądu dla ciecz dopłwającej do puntu C. Korzstając ze wzoru (1.48) oraz z warunu, jai powinien bć spełnion w puncie C (warune estreu funcji): dostaje: dz = dω, (1.5) H H Ψ C = arcsin h π π L. (1.53) Korzstając ze wzorów (1.49) i (1.5), oże obliczć równania linii prądu dla postaci: % w Ψ = const
17 Ψ% H 1 + H π arccos L L = + L π L cosh Ψ% Ψ% H π + 1 L L shψ%, cosh Ψ% (1.54) gdzie Ψ% oraz powierzchni ewipotencjalnch dla Φ = const % : H Φ% H arcsin π = h L L + L π L sin Φ% Φ 1 H % π + 1 cos Φ % 1 + L L, sin Φ% (1.55) gdzie %. Φ π Obliczając linie prądu i powierzchnie ewipotencjalne dla rozpatrwanego zagadnienie, na podstawie wzorów (1.54) i (1.55) dostaje siatę hdrodnaiczną przepłwu, tórą prezentuje na rs. 7.51, przjując dla Φ % wartości:,.5*π /,.5* π /,.75* π /, 1.* π /, 1.5*π /, 1.5* π /. Rs Siata hdrodnaiczna przepłwu prz filtracji przez grodzę zieną posadowioną na nieograniczonej warstwie przepuszczalnej dla H L = 1..
18 L L Często dla celów pratcznch istotna jest długość cznna drenażu pozioego, czli odległość, gdzie, zgodnie ze scheate przedstawion na rs. 58, L oreśla odciętą puntu C. Znając wartość funcji prądu dla linii prądu przechodzącej przez punt C wzór (1.53) oże obliczć odciętą L na podstawie wzoru (1.48): i L πψ L + ih = ( H + iψ C ) + 1 cos π + i H Z równania (1.56) oblicz wartość odciętej L : C. (1.56) L H H H L = 1 + cosh arcsin h arcsin h π L π π L. (1.57) Wartość odległości BC oznacz przez d i na podstawie wzoru (1.57) oblicz: L H H H d = L L = 1 cosh arcsin arcsin h + π L π π L. (1.58) Przładowo oblicz względną wartość długości odcina CB d / L w zależności od H L H dla wartości, co przedstawiono na rs. 6 L Rs. 6. Długość cznna drenu w zależności od h = H L. Oblicz następnie wdate dopłwając do drenu na odcinu BCB, tór uwzględniając dopłw od gór i od dołu wniesie: H H Q = Ψ = L arcsin h L π L. (1.59) Załadając, że 3 = 1 s oraz L 1, = wartość wdatu dopłwające na długości d do drenu wnosi w zależności od H L, dla wartości co przedstawiono na rs. 63. L Oczwiście jest to wdate na jednostę długości grodz (przjie w nasz przpadu na 1b grodz). H
19 Rs. 63. Funcja wdatu Q 3 / s dopłwającego do drenu w zależności od h = H L. Przejdź następnie do obliczenia pola wetorowego prędości v r. Wchodząc z równania (7.9): Ω L πω z + i = 1 cos H zróżniczuje je po dz. Otrza związe poiędz prędością przepłwu i funcją potencjału zespolonego Ω w postaci: w = π L Ωπ i + sin H H,, (1.6) gdzie w - oznacza prędość zespoloną filtracji. Po odpowiednich przeształceniach dostaje następującą postać sładowch prędości filtracji v i v : π L sin Φ% cosh Ψ% v = H π L π 1+ cosφ% sinh Ψ % L + sin Φ% cosh Ψ% H H π L 1+ ( cosφ% ) sinh Ψ% H v =. π L π cos Φ% sinh Ψ % L sin Φ% cosh Ψ% H H, (1.61) Ja widać, powższe wzor nie pozwalają na bezpośrednie obliczenie wartości sładowch prędości w obszarze filtracji, gdż nie a ożliwości bezpośredniego oreślenia wartości Φ % i Ψ % jao funcji i, gdż równania (1.54) i (1.55) są równaniai uwiłani. W pośredni sposób oże jednaże oreślić wartości sładowch, obliczając dla oreślonch wartości Φ % i Ψ % współrzędne puntów, w tórch te wartości wstępują, a następnie obliczć sładowe prędości filtracji v r. Dla przładu oże policzć sładowe prędości filtracji wzdłuż zwierciadła swobodnego filtracji. Wie, że w t przpadu:
20 π Ψ % = i Φ % =. (1.6) H Uwzględniając, że równanie rzwej zwierciadła swobodnego a postać: H 1 arcsin L π L L =, oblicz sładowe prędości filtracji wzdłuż zwierciadła swobodnego: π L sin arcsin π L H L, 1+ sin arcsin H H L 1. π L π L + H H L v = H π L π L v = 1 sin arcsin (1.63) Dla zobrazowania tch wzorów wona obliczenia przjując L / H = i oblicz wielości v / v, odnosząc te wielości względe zwierciadła swobodnego wrażonego rzwą (1.51). oraz / Odpowiednie wres przedstawiono na rs. 64. Rs. 64 Wres v i v wzdłuż linii zwierciadła swobodnego. Korzstając ze wzorów (1.61), oże oreślić wielość sładowch prędości filtracji wzdłuż brzegu BCE. Wstawiając do powższch wzorów wartości % dostaje: Φ = π
21 v v = 1 = π L πψ 1+ sinh H H. (1.64) Rozważ warune stateczności filtracjnej wzdłuż linii CE. Wetor prędości filtracji a ierune przeciwn do sił ciężości. Jeżeli sładowa sił asowch S spełnia warune: S v = ρg +, (1.65) to dla obszaru, w tór ten warune jest spełnion, następuje proces upłnnienia gruntu. Interesować nas będzie obszar (oreślon zienną ) znajdując się poza zasięgie grodz zienej. W obszarze grodz należałob uwzględnić dodatowo rozład sił asowch pochodzącch od ciężaru grodz. Uwzględniając drugi ze wzorów (1.64) w warunu (1.65) oże obliczć graniczną wartość, powżej tórej zachodzi upłnnienie gruntu: H + ρg Ψ gr = arcsin h π L %. (1.66) Ab znaleźć zares odciętej, dla tórej wstępuje proces upłnnienia gruntu, należ poszuać, dla jaiej wartości odciętej odpowiada wartość Ψ %. W t celu worzsta równanie (1.54), przjując = i dostaje równanie: gr Ψ% rh +,5 H π arccos L L + π L cosh Ψ% r Ψ% r H 4 +,5 π +,5sinh ( Ψ% ) 1 L L r =. cosh Ψ% r (1.67) Oreślenie bezpośrednie odciętej jest trudne, gdż powższe równanie jest równanie uwiłan. Jedną z etod oże bć etoda polegająca na poszuiwaniu przecięcia się dwóch funcji uzsanch z przeniesienia jednego z członów równania na drugą stronę równania i oreśleniu ażdej ze stron jao oddzielnej funcji od. Przjując, że funcje te ają postać: F1 ( ) Ψ% rh +,5 L π L = cosh Ψ% r 4 + Ψ% H,5 π r L π ( ) = cos sinh ( Ψ ) 1 L L F % r. H cosh Ψ% r H L równego 1,5 i,5: Poniżej przedstawiono dwa rozwiązania równania tą etodą dla (1.68)
22 a) b) Rs. 65 Rozwiązanie równania uwiłanego a) dla Ja widać z rs. 65, dla H L =1,5; b) dla H L =,5. H L =1,5 nie zachodzi zjawiso upłnnienia, natoiast dla H L =,5 punt graniczn a w przbliżeniu wartość 1,5, więc w obszarze wpłwu wod po stronie odpowietrznej oże nastąpić zjawiso upłnnienia gruntu i jego wporu. W prac Rebez [Rebeza, 1998] przedstawił rozwiązanie dla przpadu grodz posadowionej na gruncie o ograniczonej iąższości. Zadanie to a jedna postać znacznie bardziej sopliowaną niż przedstawione wżej. Z puntu widzenia inżniersiego wsazane jest w zadaniach bardziej złożonch orzstać z etod nuercznch, tóre oówione zostaną w rozdziale IX niniejszej onografii.
6. Teoria Filtracji Część II Tomasz Strzelecki
6. Teoria Filtracji Część II Toasz Strzelecki 6.1 Model D dla przpadku przepłwu ciecz nieściśliwej przez por nieodkształcalnego szkieletu z wkorzstanie przekształceń konforench. 6.1.1 Funkcja potencjału
Bardziej szczegółowoZagadnienia przepływu wody pod ciśnieniem.
Modelowanie przepłwu ciecz przez ośrodki porowate Wkład XI Zagadnienia przepłwu wod pod ciśnienie.. Płaski fundaent zapor wodnej na warstwie o nieskończonej iąższości. Na przepuszczalnej warstwie o współcznniku
Bardziej szczegółowoQ strumień objętości, A przekrój całkowity, Przedstawiona zależność, zwana prawem filtracji, została podana przez Darcy ego w postaci równania:
Filtracja to zjawiso przepływu płynu przez ośrode porowaty (np. wody przez grunt). W więszości przypadów przepływ odbywa się ruchem laminarnym, wyjątiem może być przepływ przez połady grubego żwiru lub
Bardziej szczegółowo1. RACHUNEK WEKTOROWY
1 RACHUNEK WEKTOROWY 1 Rozstrzygnąć, czy możliwe jest y wartość sumy dwóch wetorów yła równa długości ażdego z nich 2 Dane są wetory: a i 3 j 2 ; 4 j = + = Oliczyć: a+, a, oraz a 3 Jai ąt tworzą dwa jednaowe
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Zmienna losowa ozszerzenie znaczenia funcji zmiennej rzeczwistej na przpadi, ied zmienna niezależna nie jest liczbą rzeczwistą: odległość to funcja par puntów, obwód trójąta, to funcja oreślona na zbiorze
Bardziej szczegółowoWAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez
Liczb zespolone Ciało liczb zespolonch Niech C = R. Zdefiniujm dwa działania w C. Dodawanie + : C C zdefiniowane jest przez (, ) + (, ) = ( +, + ). Ćwiczenie. Obliczm (, ) + (, 0) =.................................................
Bardziej szczegółowoĆw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań
KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyi i Informatyi Stosowanej Aademia Górniczo-Hutnicza Wyład 12 M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12
Bardziej szczegółowoZadania do rozdziału 5
Zadania do rozdziału 5 Zad.5.1. Udowodnij, że stosując równię pochyłą o dającym się zmieniać ącie nachylenia α można wyznaczyć współczynni tarcia statycznego µ o. ozwiązanie: W czasie zsuwania się po równi
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoPomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym
. Rodzaj poiaru.. Poiar bezpośredni (prost) W przpadku poiaru pojednczej wielkości przrząde wskalowan w jej jednostkach wartość niedokładności ± określa graniczn błąd przrządu analogowego lub cfrowego
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowoRównanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki
napisał Michał Wierzbici Równanie Fresnela W anizotropowych ryształach optycznych zależność między wetorami inducji i natężenia pola eletrycznego (równanie materiałowe) jest następująca = ϵ 0 ˆϵ E (1)
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna przestrzeni
ALGEBRA LINIOWA 1 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr zimowy 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Wetory, długość wetora Geometria analityczna przestrzeni Zadanie 1 [5.1] Obliczyć długości podanych
Bardziej szczegółowoWykres linii ciśnień i linii energii (wykres Ancony)
Wyres linii ciśnień i linii energii (wyres Ancony) W wyorzystywanej przez nas do rozwiązywania problemów inżyniersich postaci równania Bernoulliego występuje wysoość prędości (= /g), wysoość ciśnienia
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
Bardziej szczegółowo13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia
Bardziej szczegółowoDRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie
DRGANIA MECHANICZNE ateriały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Saochodów i Maszyn Roboczych studia inżyniersie prowadzący: gr inż. Sebastian Korcza część 5 płaszczyzna fazowa Poniższe ateriały tylo dla
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wykład nr 2. dr hab. Piotr Fronczak
Metod numerczne Wład nr dr hab. Piotr Froncza Przbliżone rozwiązwanie równań nieliniowch Jedno równanie z jedną niewiadomą Szuam pierwiastów rzeczwistch równania =. zwle jest uncją nieliniową zatem orzstam
Bardziej szczegółowoDRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH
Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza
Bardziej szczegółowoMATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO
IMIE I NAZWISKO MATURA PRÓBNA KLASA I LO CZAS PRACY: 90 MIN. SUMA PUNKTÓW: 60 ZADANIE (5 PKT) Znajdź wszstkie funkcje liniowe określone na zbiorze ;, którch zbiorem wartości jest przedział ; 0. ZADANIE
Bardziej szczegółowoKoła rowerowe malują fraktale
Koła rowerowe malują fratale Mare Berezowsi Politechnia Śląsa Rozważmy urządzenie sładającego się z n ół o różnych rozmiarach, obracających się z różnymi prędościami. Na obręczy danego oła, obracającego
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Parcie na ściankę zakrzywioną
WYKŁD.3. Parcie na ściankę zakrzwioną Parcie ciecz na dowolną zakrzwiona powierzchnie jest geoetrczna sua par eleentarnch. Obliczenie tego parcia polega na wznaczeniu jego składowch, jako rzutów na osie
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoW przypadku przepływu potencjalnego y u z. nieściśliwego równanie zachowania masy przekształca się w równanie Laplace a: = + + t
J. Szantr Wkład nr 3 Przepłw potencjalne 1 Jeżeli przepłw płn jest bezwirow, czli wszędzie lb prawie wszędzie w pol przepłw jest rot 0 to oznacza, że istnieje fnkcja skalarna ϕ,, z, t), taka że gradϕ.
Bardziej szczegółowoPodstawy opisu dynamiki punktu materialnego
Podstaw opisu dnaiki punktu aterialnego Ruch ałego obiektu, któr oże przbliżać koncepcjnie jako punkt obdarzon asą (tzw. punkt aterialn) będzie opiswać podając wektor położenia tego punktu jako funkcję
Bardziej szczegółowoef 3 (dziedzina, dziedzina naturalna) Niech f : A R, gdzie A jest podzbiorem płaszczyzny lub przestrzeni Zbiór A nazywamy dziedziną funcji f i oznacza
FUNKCJE WÓCH I TRZECH ZMIENNYCH (było w semestrze II) ef 1 (funcja dwóch zmiennych) Funcją f dwóch zmiennych oreśloną na zbiorze A R o wartościach w R nazywamy przyporządowanie ażdemu puntowi ze zbioru
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu
J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania
Bardziej szczegółowoWrocław 2003 STATECZNOŚĆ. STATYKA 2 - projekt 1 zadanie 2
Wrocław 00 STATECZNOŚĆ STATYKA - projet zadanie . Treść zadania Dla ray o scheacie statyczny ja na rysunu poniżej należy : - Sprawdzić czy uład jest statycznie niezienny - Wyznaczyć siły osiowe w prętach
Bardziej szczegółowo[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia.
rzkład 10.3. Łuk paraboliczn. Rsunek przedstawia łuk wolnopodpart, którego oś ma kształt paraboli drugiego stopnia (łuk paraboliczn ). Łuk obciążon jest ciśnieniem wewnętrznm (wektor elementarnej wpadkowej
Bardziej szczegółowoRekonstrukcja zderzenia dwóch samochodów osobowych podstawowe zasady i praktyka ich stosowania
Reonstrucja zderzenia dwóch saochodów osobowch podstawowe zasad i prata ich stosowania dr inŝ. Mirosław Gidlewsi Politechnia Radosa, WŜsza zoła Biznesu, RN RTiRD gr inŝ. Lesze Jeioł Politechnia Radosa
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowo4.15 Badanie dyfrakcji światła laserowego na krysztale koloidalnym(o19)
256 Fale 4.15 Badanie dyfracji światła laserowego na rysztale oloidalnym(o19) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie stałej sieci dwuwymiarowego ryształu oloidalnego metodą dyfracji światła laserowego. Zagadnienia
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoWykład 21: Studnie i bariery cz.1.
Wyład : Studnie i bariery cz.. Dr inż. Zbigniew Szlarsi Katedra Eletronii, paw. C-, po.3 szla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szlarsi/ 3.6.8 Wydział Informatyi, Eletronii i Równanie Schrödingera
Bardziej szczegółowoWykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)
Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) 24.02.2014 Prawa Keplera Na podstawie obserwacji zgromadzonych przez Tycho Brahe (głównie obserwacji Marsa)
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 15. Rozdział 8: Drgania samowzbudne
WYKŁAD 5 Rozdział 8: Drgania samowzbudne 8.. Istota uładów i drgań samowzbudnych W tym wyładzie omówimy właściwości drgań samowzbudnych [,4], odróżniając je od poznanych wcześniej drgań swobodnych, wymuszonych
Bardziej szczegółowoDodatek 10. Kwantowa teoria przewodnictwa I
Dodate 10 Kwatowa teoria przewodictwa I Teoria lascza iała astępujące aaet: (1) zierzoe wartości średiej drogi swobodej oazał się o ila rzędów wielości więsze iż oczeiwae () teoria ie dawała poprawc zależości
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 4 ZADANIA - ZESTAW 4
ZADANIA - ZESTAW 4 Zadanie 4. 0-0,4 c 0 0, 0, Wznacz c. Wznacz rozkład brzegowe. Cz, są niezależne? (odp. c = 0,3 Zadanie 4.- 0-0,4 0,3 0 0, 0, Wznaczć macierz kowariancji i korelacji. Cz, są skorelowane?
Bardziej szczegółowoKoła rowerowe kreślą fraktale
26 FOTON 114, Jesień 2011 Koła rowerowe reślą fratale Mare Berezowsi Politechnia Śląsa Od Redacji: Fratalom poświęcamy ostatnio dużo uwagi. W Fotonach 111 i 112 uazały się na ten temat artyuły Marcina
Bardziej szczegółowoWykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)
Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5 METODY OPTYMALIZACJI NIELINIOWEJ BEZ OGRANICZEŃ
WYKŁAD 5 METODY OPTYMALIZACJI NIELINIOWEJ BEZ OGRANICZEŃ Wstęp. Za wyjątie nielicznych funcji, najczęściej w postaci wieloianów, dla tórych ożna znaleźć iniu na drodze analitycznej, pozostała więszość
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA II. znaleźć f(g(x)) i g(f(x)).
MATEMATYKA II PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Równania i nierówności Zadanie Wyznaczyć dziedziny i wzory dla f f, f g, g f, g g, gdzie () f() =, g() =, () f() = 3 + 4, g() = Zadanie Dla f() = 3 5 i g() = 8 znaleźć f(g()),
Bardziej szczegółowo) q przyłożona jest w punkcie o współrzędnej x = x + x. Przykład Łuk trójprzegubowy.
rzkład 0.. Łuk trójprzegubow. Rsunek 0.. przedstawia łuk trójprzegubow, którego oś ma kształt półokręgu (jest to łuk kołow ). Łuk obciążon jest ciężarem konstrukcji podwieszonej. Narsować wkres momentów
Bardziej szczegółowoWstęp do Sztucznej Inteligencji: Laboratorium Sterownik rozmyty
Wstęp do Sztucznej Inteligencji: Laboratorium Sterowni rozmt Zbior rozmte pozwalają w sposób usstematzowan modelować pojęcia niepreczjne, jaimi ludzie posługują się na co dzień. Przładem może bć wrażenie
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoKONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE
POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WBiIŚ KATEDRA KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH ZAJĘCIA 4 KONSTRUKCJE DREWNIANE I MUROWE Mgr inż. Julita Krassowsa 1 CHARAKTERYSTYKI MATERIAŁOWE. Wartość wtrzmałości obliczeniowej f id f
Bardziej szczegółowo3. Kinematyka podstawowe pojęcia i wielkości
3. Kinematya odstawowe ojęcia i wielości Kinematya zajmuje się oisem ruchu ciał. Ruch ciała oisujemy w ten sosób, że odajemy ołożenie tego ciała w ażdej chwili względem wybranego uładu wsółrzędnych. Porawny
Bardziej szczegółowoPierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej
Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g. zakres rozszerzony
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g zares rozszerzony 1. Wielomiany bardzo zna pojęcie jednomianu jednej zmiennej; potrafi wsazać jednomiany podobne; potrafi
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 1.1 : Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach. π 4. (a) sin(x + y) dxdy, R = π 4, π ] [ dy = sin(x + y)dy = dx =
achunek prawdopodobieństwa MAP6 Wdział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wkładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przkład do list : Całki podwójne Przkład do zadania. : Obliczć dane całki podwójne po wskazanch
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Fizyka I (B+C) Wykład IV: Ruch jednostajnie przyspieszony Ruch harmoniczny Ruch po okręgu Klasyfikacja ruchów Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne prostoliniowy, odbywajacy
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2: CAŁKI POTRÓJNE
WYKŁAD : CAŁKI OTRÓJNE 1 CAŁKI OTRÓJNE O ROSTOADŁOŚCIANIE Oznaczenia w definicji całi po prostopadłościanie: = {(: a x, c y d, p z q} prostopadłościan w przestrzeni; = { 1,,, n } podział prostopadłościanu
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowoMacierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)
Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać
Bardziej szczegółowoCharakterystyki geometryczne figur płaskich. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji
Charakterstki geometrczne figur płaskich dr hab. inż. Tadeusz Chż Katedra Mechaniki Konstrukcji Wielkości geometrczne charakterzujące przekrój pod względem wtrzmałościowm to: pole przekroju (A), (ang.
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoCałkowanie przez podstawianie i dwa zadania
Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,
Bardziej szczegółowoDrgania harmoniczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Drgania haroniczne Projet współfinansowany przez Unię Europejsą w raach Europejsiego Funduszu Społecznego Drgania haroniczne O oscylatorze haroniczny ożey ówić wtedy, iedy siła haująca działa proporcjonalnie
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowolim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
Bardziej szczegółowoZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR
ZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR ZADANIA w semestrze zimowm Teoria zbiorów funkcje. Podać interpretację geometrczną zbiorów: A B jeżeli A = i B = A B X = X X X gdzie X = gdzie A= { : } B = d) { }
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoPowtórzenie na kolokwium nr 4. Dynamika punktu materialnego
Powtórzenie na olowiu nr 4 Dynaia puntu aterialnego 1 zadanie dynaii: znany jest ruh, szuay siły go wywołująej. Znane funje opisująe trajetorię ruhu różnizujey i podstawiay do równań ruhu. 2 zadanie dynaii:
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoStan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:
Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoStany stacjonarne w potencjale centralnym
3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 149 Rozdział 14 Stany stacjonarne w potencjale centralnym 14.1 Postawienie problemu 14.1.1 Przypomnienie lasycznego problemu Keplera Rozważmy cząstę
Bardziej szczegółowoZałącznik D (EC 7) Przykład analitycznej metody obliczania oporu podłoża
Załącznik D (EC 7) Przykład analitycznej metody obliczania oporu podłoża D.1 e używane w załączniku D (1) Następujące symbole występują w Załączniku D: A' = B' L efektywne obliczeniowe pole powierzchni
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoStatyka płynów - zadania
Zadanie 1 Wyznaczyć rozkład ciśnień w cieczy znajdującej się w stanie spoczynku w polu sił ciężkości. Ponieważ na cząsteczki cieczy działa wyłącznie siła ciężkości, więc składowe wektora jednostkowej siły
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowoZaliczenie wykładu Technika Analogowa Przykładowe pytania (czas zaliczenia minut, liczba pytań 6 8)
Zaliczenie wyładu Technia Analogowa Przyładowe pytania (czas zaliczenia 3 4 minut, liczba pytań 6 8) Postulaty i podstawowe wzory teorii obowdów 1 Sformułuj pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa Wyjaśnij
Bardziej szczegółowo( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego
Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego /9 Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego Chodzi o wyznaczenie pochodnych cząstowych funcji błędu E względem parametrów elementów uładu
Bardziej szczegółowoModelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate
Modelowanie rzeływu cieczy rzez ośrodi orowate Wyład IV Model D dla rzyadu rzeływu cieczy nieściśliwej rzez ory nieodształcalnego szieletu. 4.. Funcja otencjału rędości. Rozwiązanie onretnego zagadnienia
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 9 ALGEBRA
Algebra WYKŁAD 9 Krzwe sożkowe Definicja Prosa sczna do krzwej K w punkcie P jes o prosa, będąca granicznm położeniem siecznch s k przechodzącch przez punk P i P k gd punk P k dąż zbliża się do punku P
Bardziej szczegółowoObwody prądu przemiennego bez liczb zespolonych
FOTON 94, Jesień 6 45 Obwody prądu przeiennego bez liczb zespolonych Jerzy Ginter Wydział Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego Kiedy prowadziłe zajęcia z elektroagnetyzu na Studiu Podyploowy, usiałe oówić
Bardziej szczegółowoPrzygotowanie do poprawki klasa 1li
Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku
Bardziej szczegółowoMateriały do wykładów na temat Obliczanie sił przekrojowych i momentów przekrojowych. dla prętów zginanych.
ateriały do wyładów na temat Obliczanie sił przerojowych i momentów przerojowych dla prętów zginanych Wydr eletroniczny. slajdów na. stronach przeznaczony do celów dydatycznych dla stdentów II ro stdiów
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 4-5
ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch - Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs... s.. rzed przstąpieniem
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr Wykład nr 27 Przepływy w kanałach otwartych I
J. Szantyr Wykład nr 7 Przepływy w kanałach otwartych Przepływy w kanałach otwartych najczęściej wymuszane są działaniem siły grawitacji. Jako wstępny uproszczony przypadek przeanalizujemy spływ warstwy
Bardziej szczegółowoTemat: Prawo Hooke a. Oscylacje harmoniczne. Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, siła sprężysta, prawo Hooke a, oscylacje harmoniczne,
sg M 6-1 - Teat: Prawo Hooe a. Oscylacje haroniczne. Zagadnienia: prawa dynaii Newtona, siła sprężysta, prawo Hooe a, oscylacje haroniczne, ores oscylacji. Koncepcja: Sprężyna obciążana różnyi asai wydłuża
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoLinia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej
Linia dwuprzewodowa Obliczanie pojemności linii dwuprzewodowej 1. Wstęp Pojemność kondensatora można obliczyć w prosty sposób znając wartości zgromadzonego na nim ładunku i napięcia między okładkami: Q
Bardziej szczegółowo