Lista 3 CAŁKI KRZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE. K cykloida c x y ds K x y x r t t t y r t t t t ) ( 2 ) + ( 2 ) = {(, ) : 1 1 = }

Transkrypt

1 Lista CAŁI RZYWOLINIOWE I POWIERZCHNIOWE Zad 1. Obliczć całki krzwoliniowe nieskierowane po wskazanch krzwch: ds a) = {(, ) : 0 1 = } + + ds = {(, ) : = r( t sin t), = r(1 cos t), 0 t } r > 0 ustalone ) + = {(, ) : = (cos + sin ) = (sin cos ) 0 } ckloida c ds r t t t r t t t t r > 0 ustalone ewolwenta kola d) Znaleźć współrzędne środka cięŝkości jednorodnej krzwej : = {(, ) : = r cost = r sint 0 t } r > 0 ustalone. Zad. Obliczć całki krzwoliniowe skierowane po wskazanch krzwch: a d d ) ( ) + ( ) = {(, ) : 1 1 = } ( ) d + ( + ) d = {(, ) : = cost = sin t 0 t } Zad.. tosując wzór na pole obszaru wraŝonego całką krzwoliniową: 1 D = d d Obliczć pole obszaru D ograniczonego asteroidą = {(, ) : = a cos t = a sin t 0 t } a > 0ustalone Zad. Obliczć pracę L jaką wkona siła F = [, + ] wzdłuŝ łamanej o wierzchołkach w kolejności O(0,0), B(1,0), A(1,1). 1 z 7

2 Zad. 5. tosując twierdzenie Greena obliczć całkę krzwoliniową krzwej zamkniętej skierowanej dodatnio: Pd + Qd wzdłuŝ a) ( + ) d + ( + ) d - brzeg trójkąta o wierzchołkach A(1,1), B(,), C(1,) d d okrąg o równaniu + = R, R>0 ustalone c) d + d d) (1 ) d + (1 + ) d - okrąg o równaniu ( - 1) + = 1 brzeg prostokąta o wierzchołkach (1,1), (1,), (,1), (,) Zad 6. prawdzić, cz w przpadku całki krzwoliniowej I = d + d + + okrąg o równaniu + = r skierowan dodatnio moŝna zastosować twierdzenie Greena do jej obliczenia. Jeśli nie, to obliczć całkę I bezpośrednio. Zad. 7. prawdzić, cz wraŝenie: d + d jest róŝniczką zupełną pewnej funkcji F. Jeśli tak, to znaleźć tę funkcję. Zad. 8. Obliczć wartości całki J = AB d + d + Gdzie A = A(-, ) B = B(6, 8) jest odpowiednio początkiem i końcem krzwej regularnej (gładkiej) przebiegającej w półpłaszczźnie > 0. z 7

3 Zad. 9. Znaleźć funkcję U(, ), dla której podane wraŝenie róŝniczkowe jest róŝniczką zupełną: a) ( ln ) d + d sin sin + d + d Zad. 10. Obliczć wartości podanch całek krzwoliniowch: d d a) A = (0, 1) B = (1,0) wzdluŝ drogi nie przecinającej prostej = AB ( ) + + AB 1 cos d sin cos d A(1, ) B(, ) wzdluŝ drogi nie przecinającej osi 0. Zad. 11. Znaleźć funkcję U(,, z), dla której podane wraŝenie róŝniczkowe jest róŝniczką zupełną: ( ) + ( ) + ( ) a) z d z d z dz ( + ) + ( + ) + ( + + ) z d z d z dz z Zad. 1. Obliczć całki krzwoliniowe: 1 ) km d + d + zdz a A,, z A,, z A A ( + + z ) k > 0 m > 0 ustalone Całkowanie po dowolnej drodze od A 1 do A nie zawierającej punktu O(0,0,0) zd + zd + dz A(,, ) B(,, ) AB Całkowanie po dowolnej drodze od A do B POLE WETOROWE Zad. 1. Wznaczć gradient funkcji skalarnej: z a) F(,, z) = ln + + z + arctg + F(,, z) = + + z + + 6z w punkcie A(1,1,0) oraz długość i kosinus kierunkowe otrzmanego wektora. z 7

4 Zad. 1. Wznaczając dwergencję i rotację pola wektorowego: z a) W = i + j + k gdzie r = + + z r r r W = + + z i + z j + + z k Zad. 15. Wznaczć laplasjan funkcji: a) F(,, z) = + + z F(,, z) = z + z + z c) F(,, z) = z arctg d) F(,, z) = + z POTENCJAŁ POLA WETOROWEGO Zad. 16. Znaleźć potencjał pola wektorowego jeśli on istnieje: a) W = + z, z, 1 W = 1 +, +, z z z CAŁA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA Zad. 17. Obliczć całkę niezorientowaną I (,, ) = F z d jeśli: a) F(,, z) = z + 1+ część powierzchni walca = zawarta międz płaszczznami z = 0, z =, z = 1. F(,, z) = z powierzchnia kuli o równaniu + + z = R c) F(,, z) = + część powierzchni paraboloid z = + odcięta płaszczzną z = 1. 1 d) F(,, z) = + + z powierzchnia boczna walca + = R, 0 z h Zad. 18. Obliczć moment bezwładności względem osi Oz jednorodnej powierzchni o równaniu + + z = R, z 0 i gęstości stałej ρ. z 7

5 CAŁA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA Zad. 19. Obliczć całkę powierzchniową zorientowaną: a P z z Q z R z dolna strona powierzchni koła + R, z = 0 ) (,, ) = + +, (,, ) 0, (,, ) 0 ddz + ddz + z dd Pddz + Qddz + Rdd jeśli: górna część powierzchni kuli + + z = R leŝącej w pierwszej ósemce układu współrzędnch. Zad. 0. Posługując się wzorem Gaussa-Ostrogradskiego obliczć całkę: I = ddz + ddz + z dd zewnętrzna strona powierzchni bocznej stoŝka z = +, 0 z < h Zad. 1. Obliczć strumień wektora pola przez powierzchnię zorientowaną na zewnątrz: a W z ) =,, + 1 z powierzchnia elipsoid + + = 1 a b c W =,, z brzeg obszaru V ograniczonego paraboloidą z = + i plaszczzną + z = Zad.. tosując wzór tokesa obliczć całkę: a) J = d + zd + zdz dodatnio zorientowan okrąg z + = 1, = 1 J = z d z d dz. brzeg ABCA trójkąta o wierzcholkach A(1, 0, 0) B(0,1, 0) C(0, 0,1) Zad.. tosując wzór tokesa obliczć crkulację wektora wzdłuŝ krzwej gd: a) W = + z, + z, + z dodatnio zorientowana linia przecięcia się płaszczzn + + 6z = z płaszczznami układu współrzędnch W =, z, dodatnio zorientowana krawędź przecięcia się paraboloid z = (1 ) z płaszczzną z = 0. Dr rzsztof Orłowski 5 z 7

6 Odpowiedzi do zadań z list Zad.1 a) ln 5 + Zad.1 56 r 15 1 Zad.1 c) ( 1+ ) 1 r Zad.1 d) r c = c = Zad. a) 1 15 Zad. 8 Zad. a 8 Zad. Zad.5 a) Zad.5 R Zad.5 c) 1 Zad.5 d) Zad.6 Zad.7 Tak. F(, ) = + C Zad.8 J = 5 Zad a U = + C.9 ) (, ) ln Zad b U = C.9 ) (, ) Zad.10 a) 1 Zad sin 1 Zad.11 a) U (,, z) = ( + + z ) z + C z Zad.11 U (,, z) = ln ( + ) + z + arctg + C + Zad.1 a) 1 1 km, r = r r1 + + z, r = + + z Zad z + z + + z Zad.1 a) gradf =,, + + z + + z + + z Zad.1 gradf = + +, +, 6z 6 1 gradf ( A) = = 9 cosα = cos β = cos γ = 6 z 7

7 Zad.1 a) divw =, rotw = z Zad.1 divw = + + z + 1, rotw = i + j + z k Zad.15 a) F = Zad.15 F = + z + z Zad.15 c) F = 0 1 Zad.15 d) F = z Zad.16 a) V (,, z) z z C Zad.16 V (,, z) = + + C z Zad.17 a) 8 J = Zad.17 J = R + + z Zad.17 c) + J = 15 Zad.17 d) J = arctg R Zad.18 Zad.19 a) Zad.19 Zad.0 I z = ρ R 5 I = R 5 I = R 8 1 I = h Zad.1 a) I = abc Zad.1 I = 81 Zad. a) I = Zad. J = Zad. a) 7 J = Zad. J = = + + Dr rzsztof Orłowski 7 z 7