Zagadnienia przepływu wody pod ciśnieniem.
|
|
- Bożena Czech
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Modelowanie przepłwu ciecz przez ośrodki porowate Wkład XI Zagadnienia przepłwu wod pod ciśnienie.. Płaski fundaent zapor wodnej na warstwie o nieskończonej iąższości. Na przepuszczalnej warstwie o współcznniku filtracji k ograniczonej linią AD spoczwa fundaent zapor wodnej na odcinku BC. Rs. 63. Scheat zagadnienia przepłwu pod fundaente zapor wodnej. Po lewej stronie (patrz rs.63) zapor znajduje się ziornik wod w któr pozio wod ponad terene wnosi H. Po prawej stronie a korto rzeki prz cz pozio wod ponad teren w przekroju (rs. 7.53) wnosi H. Wzdłuż półprostch AB i CD a do cznienia z rzegie przepuszczaln więc składowa stczna prędkości do tch rzegów jest równa zeru: = 0; 0. (0.) Natoiast dla rzegu BC a do cznienia z rzegie nieprzepuszczaln więc składowa noralna do tego rzegu jest równa zeru: = 0; 0. (0.) Wie ponadto że dla ± lu ± odwie składowe prędkości winn dążć do zera więc prędkość zespolona w: powinna również dążć do zera czli: w i = (0.3) li w = 0. (0.4) z ±
2 Warunki rzegowe zadania dają się przedstawić w prostej postaci prz pooc składowch prędkości (0.) (0.) więc ędzie poszukiwali funkcji potencjału zespolonego w sposó pośredni poprzez określenie najpierw funkcji prędkości zespolonej w. Przjując układ współrzędnch jak na rs widzi zgodnie z (0.) i (0.) że: - dla < - dla > w a wartość rzeczwistą w a wartość urojoną. Przjij wstępnie że funkcja prędkości zespolonej wraża się wzore: w w = z. (0.5) z z = < i wartości urojone dla = >. Funkcja a wartości rzeczwiste dla Funkcja ta spełnia warunki rzegowe dla dodatniej półosi natoiast nie spełnia ich dla półosi ujenej. w Przjij następnie że funkcja równa się: w + z z = > i urojona dla = (0.6) z = < spełnia więc warunki dla ujenej i a wartości rzeczwiste dla półosi natoiast nie spełnia warunku rzegowego dla dodatniej półosi. Łatwo sprawdzić że funkcja powstała z ilocznu funkcji (0.5) i (0.6): w przjuje wartości rzeczwiste dla z = (0.7) < oraz wartości urojone dla > spełnia więc dwa pierwsze warunki rzegowe (0.) i (0.). Nie spełnia natoiast warunku trzeciego (0.4) któr zakłada że prędkość zespolona w powinna ć równa zero dla z. Powższ warunek i warunki rzegowe (0.) i (0.) spełnia natoiast funkcja: w M gdzie: M - to wielkość zespolona stała. = (0.8) z Funkcja (0.8) nie jest jedną spełniającą warunki (0.) (0.) (0.4) jednakże jak to wkaże później jest jedną która odpowiada warunko określon przez nasze zadanie. Gd przenoż funkcję (0.8) przez funkcję wierną z rzeczwisti współcznnikai i której stopień licznika nie przewższa stopnia ianownika w postaci: n gdzie oraz postaci: n i n ( z c) ( z a) to licz naturalne rzeczwiste otrza funkcję prędkości zespolonej w w n M ( z c) ( z a) z =. (0.9) c a punktach = = 0 i = = 0. Przjij również na przkład że a =. Funkcja ta spełnia warunki rzegowe (0.) (0.) (0.4). Posiada ona jednak dodatkowe własności w
3 Przechodząc do granic w punktach = ± =0 z lewej i prawej stron wektor prędkości powinien orócić się o kąt. W rozpatrwan przpadku oraca się o kąt +. a Zakładając a < otrza w punkcie = = 0 dodatkow punkt osoliw pod fundaente zapor wodnej. Można wkazać że prz n=0 i = jest to wted punktowe źródło wod lu dren. Funkcja ta jest wkorzstana w zadaniach z rurą drenażową ustuowaną pod fundaente udowli piętrzącej. Funkcja (0.9) oże stanowić podstawę do udow rozwiązań zagadnień rzegowch ardziej złożonch od rozpatrwanego w t podrozdziale. Wznacz oecnie funkcje potencjału zespolonego Ω. Korzstając z zależności: w = dω dz i ze wzoru (7.69) dostaje: Ω = Φ + i Ψ = wdz + N. Po scałkowaniu funkcji prędkości zespolonej określonej wzore (0.8) otrzuje funkcję potencjału zespolonego Ω w postaci: z Ω = M arcsin + N. (0.0) Sprawdź oecnie cz stosując wzór Christoffela Schwarza czli etodę odwzorowań konforench uzska dla rozpatrwanego przpadku taką saą funkcję potencjału zespolonego Ω. W t celu usi określić oszar filtracji na płaszczźnie zespolonej Ω dzięki znajoości warunków rzegowch zagadnienia. Jak widać to na rs oszar ten jest ograniczon prosti Ψ = 0 oraz półprosti określoni równaniai Φ = 0 i Φ =. Punkt charakterstczne pokazane na rsunku 7.54 A B C D oraz punkt określając początek układu odniesienia 0 ają swoje iejsce na płaszczźnie Ω. Rs Odwzorowanie oszaru filtracji na płaszczźnie potencjału zespolonego Ω. Punkt charakterstczne A B C D i punkt 0 znajdują się zarówno na płaszczźnie Ω jak również na płaszczźnie z ożna więc skorzstać ze wzoru Christoffela Schwarza i wznaczć równanie potencjału zespolonego Ω. Dla ułatwienia rozważań przepisz ten wzór poniżej: 3
4 t dt z M N = n t a t a t a +. α α α 0 n ( ) ( )...( ) Zauważ na wstępie że rozpatrwan przez nas oszar na płaszczźnie Ω a postać wielokąta w któr wstępują dwa kąt α i α prz wierzchołkach B i C. Na płaszczźnie ziennej zespolonej z a natoiast do cznienia z półpłaszczzną. Kąt prz wierzchołkach A i D poija się gdż na płaszczźnie ziennej zespolonej z odpowiada i odcięta ± zgodnie z właściwością całki Christoffela Schwarza. Odpowiednie wartości w powższ wzorze ędą następujące: a a = = α = α = z = Ω t = z. (0.) Po uwzględnieniu tch wartości we wzorze Christoffela Schwarza przedstawi go w postaci: z dz Ω = M + N (0.) 0 ( z + ) ( z ) co prowadzi do następującej postaci funkcji potencjału zespolonego Ω : Ω = im arcsin z + N. (0.3) Otrzaliś więc postać funkcji potencjału zespolonego w postaci nieco różniącej się od uzskanej drogą intuicjną (0.0). Pokaże że odwie postacie tego rozwiązania są ekwiwalentne i prowadzą do identcznej siatki hdrodnaicznej przepłwu. A określić funkcję potencjału zespolonego Ω należ wznaczć stałe M i N dla odwu postaci rozwiązania. Wie że funkcja potencjału prędkości równa się: P Φ = k γ w + + C gdzie: C dowolna stała zależna od przjęcia przez nas poziou powierzchni odniesienia potencjału prędkości Φ. Przjij stałą C w taki sposó a wzdłuż poziou wod w rzece (wzdłuż rzegu pcd) a= funkcja potencjału Φ ła równa zero. Założwsz prz t że ciśnienie atosferczne 0 olicza: Stąd: + =. C 0 C = Może ostatecznie stwierdzić że funkcja Φ wraża się wzore: P = k + γ w Olicza Φ wzdłuż rzegu AB. ( H ) Φ. (0.4) 4
5 ( ) Φ AB = k H H. Określając różnicę H H przez H dostaje: Φ AB =. (0.5) Funkcja prądu wzdłuż fundaentu BC równa się dowolnej stałej przjując jednakże że stała ta jest równa zeru a: = = 0 Ψ BC = 0. (0.6) Na podstawie przeprowadzonch wżej rozważań oże stwierdzić że w punkcie B o współrzędnch Ψ = 0 i Φ = (0.7) natoiast w punkcie C o współrzędnch = = 0 : Ψ = 0 i Φ = 0. (0.8) Podstawiając związki (0.7) i (0.8) do wzoru (0.0) dostaje układ równań: M + N = 0 3 M + N =. (0.9) Po rozwiązaniu tego układu równań algeraicznch dostaje: M = N =. (0.0) Podstawiając stałe M i N do wzoru (0.0) otrzuje: Ω = z arcsin (0.) lu po wkorzstaniu własności funkcji trgonoetrcznch oże funkcję potencjału zespolonego zapisać inaczej: Ω = z arccos. (0.) Analogicznie korzstając z tch sach warunków (0.7) i (0.8) oże oliczć stałe dla rozwiązania w postaci wzoru (0.3). Dostaje dla tego przpadku układ równań: 5
6 im + N = 0 im + N = 0 (0.3) z którego otrzuje stałe: im = N =. (0.4) Po podstawieniu tch stałch do wzoru (0.3) dostaje dokładnie taką saą postać funkcji potencjału zespolonego Ω jak we wzorze Błąd! Nie ożna odnaleźć źródła odwołania.: Ω = z arcsin. Pokazaliś więc że odwie drogi rozuowania prowadzą do jednakowego wniku. Przekształcając wzór (0.) a: Ω z = cos. (0.5) Wstawiając Ω = Φ + iψ oraz z = + i oże stwierdzić że zależność (0.5) a postać: Oznaczając: Φ Ψ + i = cos + i. (0.6) Φ = Φ % oraz Ψ = Ψ % (0.7) a: ~ ~ ( Φ + Ψ) + i = cos i. (0.8) Wiedząc na podstawie talic ateatcznch [Rizik Gradstein 964] lu prograów ateatcznch że: ( ) cos Φ % + iψ % = cos Φ% cos hψ % + isin Φ% sin hψ % równanie (0.8) ożna zapisać w postaci: + i = cos Φ% coshψ % + isin Φ% sin hψ% (0.9) a stąd po przeniesieniu wszstkich członów równania na jedną stronę równania i korzstając z faktu że równanie (0.9) jest wówczas spełnione gd część rzeczwista i urojona jest równa zeru dostaje dwa związki: = cos Φ cos hψ % % (0.30) 6
7 = sin Φ sin hψ % Oliczając ze związku (0.3) Φ ~ sin : oraz ze związku (0.30) cos Φ ~ : %. (0.3) sin Φ % = sin hψ% cos Φ % = cos hψ % a także kładąc: sin ~ ~ Φ + cos Φ = dostaje równanie: cos h Ψ% sin hψ% + =. (0.3) Dla różnch wartości Ψ ~ = const równanie (0.3) reprezentuje linie prądu przepłwającej ciecz w ośrodku gruntow. Są to elips o ogniskach w punktach = cos h ( Ψ % ) i = sin ( Ψ) Wznaczając następnie ze związków (0.30) i (0.3) funkcje cos dla funkcji hiperolicznch: h Ψ % i sin h % h. Ψ % i korzstając z równania % % (0.33) sin h Ψ cos h Ψ = dostaje równanie: cos ~ Φ sin ~ Φ = (0.34) 7
8 Rs Izolinie funkcji cons Φ = i cons Ψ = reprezentujące siatkę hdrodnaiczną przepłwu. Dla kolejnch gd Φ% 0 równanie (0.34) opisują izolinie reprezentujące w przestrzeni powierzchnie ekwipotencjalne. Są nii hiperole. Układ linii prądu opisanch równaniai (7.8) dla 0 Ψ i izolinii reprezentującch powierzchnie ekwipotencjalne opisanch równaniai (0.34) tworzą siatkę hdrodnaiczną przepłwu którą dla rozpatrwanego przpadku przedstawiono na rs Określ następnie składowe prędkości r w oszarze filtracji. Prędkość zespolona wraża się wzore: w = z (0.35) więc: i = z. (0.36) Rozdzielając prawą stronę równania na części rzeczwistą i urojoną a następnie przenosząc wszstkie wrażenia na jedną stronę dostanie równanie z którego oże ezpośrednio wznaczć składowe i prędkości filtracji. Dostaje: ± = (0.37) ( ) 4 ( ) = (0.38) ( ) 4 ( ) prz cz znak ierze dla > 0 a znak + ierze dla < 0. Dla przkładu na rs i 7.57 przedstawiono wkres prędkości H = 0 = 0 4 = 0 6 = 08 = zakładając że = =. i na kilku pozioach k 4 = 0 / oraz 8
9 Rs Rozkład składowej k a) dla = 0 ) = 0 4 c) = 0 6 d) 08 prędkości filtracji pod fundaente udowli piętrzącej = e) (oliczenia i wkres Matheatica 5). = ; Rs Rozkład składowej k.a) dla = 0 ) dla = 0 4 c) dla = 06 d) dla 08 prędkości filtracji pod fundaente udowli piętrzącej (oliczenia i wkres Matheatica 5). = e) dla = ; Korzstając z wrażeń (7.86) i (7.87) oże wznaczć wektorowe pole prędkości które dla ograniczonego wcinka przedstawiono na rs Rs Pole prędkości filtracji pod fundaente udowli piętrzącej; (oliczenia i wkres Matheatica 5). Równanie izotach otrza oliczając: r = + = const (0.39) a równanie izoklin: = tgϕ = const. (0.40) 9
10 Interesując jest rozkład prędkości wzdłuż rzegu AD. Wzor na składowe ezpośrednio ze wzorów (0.37) i ((0.38) podstawiając w nich = 0. Wzdłuż fundaentu prędkość filtracji równa jest składowej pozioej prędkości i wnosi: i oże uzskać =. (0.4) Wzdłuż powierzchni przepuszczalnch prędkość filtracji równa jest składowej pionowej = Signu ( )* i wnosi:. (0.4) Rs Rozkład prędkości przepłwu wzdłuż rzegu AD. Rozkład prędkości wzdłuż rzegu AD przedstawiono na rsunku Jak widać z rsunku w poliżu punktów = ± wartość prędkości dąż do ±. Wnik ten jest rezultate stosowania liniowego prawa przepłwu Darc ego. W rzeczwistości po przekroczeniu pewnej wartości spadku hdraulicznego przepłwu prawo filtracji jest nieliniowe. Przedstawiona powżej etodologia rozwiązania proleu nie pozwala jednakże na uwzględnienie nieliniowego prawa przepłwu. Do oliczeń stateczności zapór wodnch istotn jest rozkład ciśnień pod fundaente udowli wwołan przepłwe filtracjn. Przepisz wzór (0.30): Φ Ψ cos cos h Ponieważ wzdłuż fundaentu: dostaje: =. = 0 Ψ = 0 Φ = cos. (0.43) 0
11 Oznaczając przez h wsokość hdrauliczną w doln punkcie oszaru filtracji a: Φ = kh. (0.44) Podstawiając (0.44) do (0.43) dostaje: h H arccos =. Ponieważ wzdłuż fundaentu udowli piętrzącej = 0 ciśnienie p równa się: γ wh p = γ wh = arccos. (0.45) Rozkład ciśnień wzdłuż fundaentu zapor przedstawiono na rs Rs Rozkład ciśnienia pod fundaente udowli piętrzącej. Uzskan rozkład ciśnienia pozwala na oliczenie wpadkowej sił parcia na fundaent udowli piętrzącej. Można wkazać że wielkość ta jest równa wielkości parcia gd przjie rozkład ciśnienia w postaci trójkąta. Istotną różnicą jest iejsce położenia wpadkowej. Znajduje się ono w większej odległości od prawego rzegu fundaentu udowli piętrzącej więc oent wwracając wnikając z działania tej sił jest większ niż w przpadku przjęcia rozkładu trójkątnego ciśnienia ciecz na fundaent. Dla pełnego orazu oawianego klascznego rozwiązania opłwu fundaentu udowli piętrzącej przedstawi sposó oliczenia wdatku przepłwającego pod jej fundaente. Oczwiście całkowit wdatek jest nieskończon ponieważ warstwa a nieskończoną iąższość. Olicz więc wdatek przepłwając pod fundaente udowli piętrzącej poiędz liniai prądu ająci swój początek w punktach = i = 0. Wiedząc że wdatek Q przepłwając poiędz dwoa liniai prądu równa się różnic wartości funkcji prądu: Q = Ψ oraz że wartość funkcji prądu dla pierwszej linii prądu iegnącej wzdłuż fundaentu wnosi: Ψ = 0
12 oże stwierdzić że poszukiwan wdatek równa się wartości funkcji prądu przechodzącej przez rozpatrwan punkt = 0 czli: Wstawiając do (0.30) = 0 dostaje: Q = Ψ 0. (0.46) arccos ln + Q h = =. (0.47) Przjując wartości k 4 = 0 H=50 przedstawiono krzwą wdatku w zależności od 0 na rs. Rs Zależność wdatku od współrzędnej wpłwu linii prądu (oliczenia i wkres Matheatica 5). u 0 = ; VII Ścianka szczelna w gruncie przepuszczaln o nieskończonej głęokości. Dla zniejszenia prędkości wlotowch filtracji pod fundaente udowli wodnch lu ochron wkopów ziench konstruuje się w gruncie ścianki szczelne (rs. 7.6) często z etalowch płt profilowch. Rs Scheat ścianki szczelnej.
13 Budowa siatki hdrodnaicznej dla przpadku siatki szczelnej jest istotna w przpadku rozwiązwania praktcznch zadań opłwania fundaentu udowli ziench. Sposó poszukiwania rozwiązania dla tego przpadku wnika ezpośrednio ze znalezionego rozwiązania dla przpadku zagadnienia płaskiego opłwania udowli piętrzącej. Rs Opłwanie ścianki szczelnej. Gd w poprzednio oówion zadaniu zaienić współrzędne lu inaczej orócić scheat zadania przedstawion na rs o 90 0 to otrza przepłw zaieszczon na rs Rsunek ten przedstawia pionową ściankę szczelną o długości L opłwaną przez wodę gruntową pod wpłwe różnic wsokości hdraulicznej H. Uwzględniając powższe rozuowanie funkcję potencjału zespolonego ożna przedstawić w postaci: (0.48) Ω = M arcsin z N gdzie M N nieznane stałe stałe. Przjując warunki rzegowe jak na rs w punkcie B i C: w punkcie B z = 0 a Φ = ψ = 0 w punkcie C z = il a Φ = ψ = 0. W powższch warunkach założliś że wzdłuż ścianki przepłwa pierwsza linia prądu dla której przjęliś wartość równą zero. Podstawiając powższe warunki rzegowe do równania (0.3) dostaje:. dla punktu B: z czego dostaje: sin = 0 M (0.49) 3
14 M n =. Kładąc n = a: M = ; (0.50). dla punktu C: sin il = N (0.5) dostaje więc wartość stałej N równą: Może więc wzór (0.48) przedstawić w postaci: N = il. (0.5) z Ω = sin. (0.53) il Podstawiając do wzoru (0.53) z = + i oraz Ω = Φ + iψ dostaje równanie: gdzie Φ Φ = ( ) + L cos Φ% sin hψ % + i Lsin Φ% cos hψ % = 0 (0.54) % oraz Korzstając ze wzoru: Ψ Ψ = %. ( i ) sin Φ % + Ψ % = sin Φ% cosh Ψ % + i cos Φ% sinh Ψ % i przrównując część rzeczwistą i urojoną w równaniu (0.54) do zera dostaje: = L cos Φ% sin hψ% = Lsin Φ% cos hψ%. (0.55) Korzstając następnie ze wzoru jednkowego dla funkcji trgonoetrcznch a: L sinh Ψ% L cosh Ψ% + =. (0.56) 4
15 Uzskane równanie (0.56) jest równanie linii prądu jakie stanowią elips o półosiach L cosh Ψ %. Wkorzstując następnie wzór jednkow dla funkcji hiperolicznch otrzuje: Lsinh Ψ i l sin Φ% l cos Φ% =. (0.57) Powższe równanie (0.57) jest równanie linii ekwipotencjalnch dla wartości Φ% 0 które stanowi rodzina hiperol o półosiach natoiast linie ekwipotencjalne są hiperolai Lsin Φ % i L cos Φ %. Linię prądu stanowią połówki elips (rs 7.64) Rs Siatka hdrodnaiczna przepłwu w przpadku ścianki szczelnej.. Na podstawie związku: dω w = dz oże oliczć zespoloną prędkość przepłwu która a w t przpadku postać: w i i = = L + z. (0.58) Postępując podonie jak w przpadku przepłwu pod fundaente udowli piętrzącej oże znaleźć składowe prędkości i : ( ) 4 ( ) + L + + L = + L + 4 ( ) 4 ( ) + L L = Signu( ). + L + 4 (0.59) 5
16 Rozkład składowch prędkości i przedstawiono wkres funkcji ( ) wkresie oliczana jest dla wartości przedstawiono na rs i Na pierwsz z nich dla 0 0. l 0.4 l 0.6 l 0.8 l 0.98 l l L = prz cz rzędna na. l Rs Rozkład prędkości na pozioach: = ) = 0 L c) = 06L d) = 08L e) = 098L f) L a) 0 (oliczenia i wkres Mapple 8). = ; Na drugi z nich (rs.7.66) przedstawiono wkres wartości funkcji = 0 04 L 08 L L dla wartości Rs Rozkład prędkości dla: 6
17 = ) = 0.4L c) = 0.8L d) = 098L f) L a) 0 (oliczenia i wkres Mapple 8). = ; Znając wzor na współrzędne przedstawiono na rs i oże uzskać graficzną postać pola prędkości którą Rs Graficzna prezentacja pola prędkości r ; (oliczenia i wkres Mapple 8). Olicz następnie wartość ciśnienia p w oszarze filtracji prz założeniu że wartość ciśnienia p =. A uzskać funkcję ciśnienia należ określić na początku funkcję atosfercznego wnosi 0 a potencjału zespolonego Φ % korzstając ze wzorów (0.55). Z drugiego z nich wznacz funkcję sin Φ % : Korzstając ze związku: sin Φ % = L cosh %. (0.60) Φ % % (0.6) cosh Ψ sinh Ψ = oże po podniesieniu do kwadratu związku (0.60) napisać: sin Φ % = L ( + sinh Ψ% ). (0.6) Podstawiając następnie związek (0.6) do równania (7.30) : sinh Ψ % = Lcos Φ% otrza równanie: 4 sin Φ% + + sin Φ % + = 0. (0.63) L L L Rozwiązanie tego równania a postać: 7
18 . (0.64) Φ % = arcsin L L L L L Korzstając ze wzoru: p Φ = k ρg Dostaje ostatecznie: H p = ρg + arcsin sign( ) L L L L L.(0.65) Przkładowo rozkład ciśnienia prz przjęciu stałch ρ g = 000 kg wartość H = 50 3 przedstawiono na rs Rs Rozkład ciśnienia na różnch głęokościach: a) /l=0) /l=05 c) h/l=0 d) /l=5; ) (oliczenia i wkres Mapple 8). Znając funkcje potencjału prędkości Φ oże określić funkcję potencjału R reprezentującą współdziałanie pola potencjalnego przepłwu filtracjnego z pole sił ciężkości cząstek gruntu: gdzie ( f ) = ρosg os ρg R = Φ (0.66) k ρ oznacza ciężar ojętościow gruntu z uwzględnienie wporu ρ oznacza gęstość ciecz. Korzstając ze wzoru (0.64) oraz wzoru (0.66) potencjał R zwan potencjałe pola sił asowch filtracji ożna wrazić wzore: 8
19 ρgh R = arcsin R0 L L L L L. (0.67) Na podstawie związków poiędz potencjałe pola sił asowch filtracji oraz siłai asowi oddziałwująci na ośrodek porowat oże określić składowe pola wektorowego sił asowch (sił unoszenia i ciężkości gruntu z uwzględnienie wporu) wzorai: S S R g Φ = = ρ k R g Φ = = ρ. k Oliczając odpowiednio pochodne cząstkowe potencjału pola sił asowch filtracji dostaje: S 3 ρgh + + L L L L = + + u * 8 L L u L L + + u L L (0.68) oraz S 3 + ρgh = L L L L + + u * 8 L L u L L * + + u L L (0.69) gdzie 4 4 u = L L L L L L Korzstając z powższch wzorów oże uzskać przestrzenn oraz zienności składowch sił asowch filtracji co przedstawiono na rs
20 Rs Wizualizacja wartości funkcji składowch sił asowch filtracji ; (oliczenia i wkres Mapple 8). Szczególnie istotne dla adania procesu stateczności filtracjnej są składowe S sił asowch filtracji. Ziana ich kierunku określa oszar w któr następuje upłnnienie gruntu a w rezultacie wpór ieszanin wodno-gruntowej. Jak to szczegółowo oówiliś w rozdziale IV oże określić prz jakiej wielkości różnic wsokości hdraulicznej następuje powstanie stanu granicznego powodującego upłnnienie ośrodka. T = ρ f =.30 ρ g =.000 T 3 S na kilku głęokościach L. Przjując wartości H H = oraz = 0 i L = 00 oże przedstawić rozkład tej składowej wzdłuż osi ( rs. L Dla przkładu przjując następujące wartości stałch: os ( ) 3 oże oliczć zienność funkcji H L 7.70). a) ) c) Rs Wkres składowej S dla: H a) 0 L H H = ) = 50 c) 00 L L = ; (oliczenia i wkres Mapple 8). Na podstawie wkresów 7.70 oże określić strefę upłnnienia gruntu co przedstawiono na H rs. 7.7dla 50 L H = oraz dla 00 L =. 0
21 H Rs Stref upłnnienia dla 50 L H = oraz 00 L =. Poniżej na rs. 7.7 przedstawiono pole wektorowe S r H dla przpadku gd 50 L = i H L = 00. a) ) c) Rs Pole wektorowe sił asowch filtracji: H a) dla 0 L H H = i ) = 50 c) 00 L L = ; (oliczenia i wkres Mapple 8). H Jak widać dla = 0 nie wstępuje zagrożenie gdż sił ciężkości są znacznie większe od sił L asowch unoszenia. Dla większch wartości jak widać to na rs. 7.7 a już do cznienia ze zjawiskie upłnnienia gruntu i utratą stateczności filtracjnej. VII Złożone zagadnienia opłwu udowli piętrzącch. Rozwiązanie zagadnień ardziej złożonch niż oówione powżej prowadzi często do postaci funkcji analitcznch które trudno jest następnie przekształcić w taki sposó a ożna ło ezpośrednio wznaczć siatkę hdrodnaiczną przepłwu określić pole wektorowe prędkości lu pole sił asowch filtracji uożliwiające ezpośrednią analizę stanu stateczności filtracjnej. Często wznaczając w postaci zakniętej funkcję potencjału zespolonego Ω lu prędkości zespolonej w usi posiłkować się następnie etodai nuerczni a na drodze interpolacji uzskać w dan oszarze poszukiwane linie ekwipotencjalne funkcji jednakowego potencjału prędkości lu funkcji prądu. Rozwiązania takie nie ają oecnie dużego zastosowania w pracach inżnierskich gdż znacznie łatwiej uzskać rozwiązania tch zagadnień prz zastosowaniu profesjonalnch prograów opartch na etodzie eleentów skończonch lu różnic skończonch o cz szerzej w rozdziale IX. Mio to dla celów poznawczch warto pokazać etodkę uzskiwania rozwiązań płaskich zagadnień teorii filtracji prz wkorzstaniu funkcji analitcznch i etod przekształceń konforench. Poniżej oówi w skrócie dwa takie przpadki: opłw fundaentu udowli piętrzącej ze ścianką szczelną oraz opłw fundaentu udowli piętrzącej z rurą drenażową.
22 VII Opłw fundaentu udowli piętrzącej ze ścianką szczelną. W przpadku udowli piętrzącej w fundaent której wontowana jest ścianka szczelna poszukuje rozwiązania korzstając z zasad superpozcji słusznej dla liniowch zagadnień teorii filtracji. Wraża się ona poprzez podwójne wkorzstanie etod przekształceń konforench. Rozważ zagadnienie rzegowe przedstawione scheatcznie na rsunku 7.73 Rs Scheat zadania opłwu fundaentu udowli piętrzącej ze ścianką szczelną. Zgodnie z pracą Reez [Reeza 99] scheat oliczeniow tego zagadnienia prz wkorzstaniu dodatkowej ziennej zespolonej Λ przedstawiono na rs Rs Scheat oliczeniow opłw fundaentu udowli piętrzącej ze ścianką szczelną na płaszczźnie Ω i Λ. Jak łatwo stwierdzić poocniczą funkcję Λ ożna określić z zadania opłwu ścianki szczelnej. Zgodnie z pracą [] funkcja Λ spełniająca warunki rzegowe opłwu ścianki szczelnej a postać: z = L Λ. (0.70) Przjując początek układu współrzędnch ( ) w punkcie kontaktu fundaentu udowli piętrzącej ze ścianką szczelną zakłada że funkcja Λ przjuje wartość dla punktu B ( 0 ) wartość α a dla punktu ( 0) F wartość β.
23 Korzstając ze wzoru Christoffela Schwarza: t dt z M N = n t a t a t a + α α α 0 n ( ) ( )...( ) oraz zgodnie z odwzorowanie oszarów Ω i oliczeniowego że: dla punktu Λ przjuje na podstawie scheatu B a = α oraz α = i dla punktu F a = β oraz α =. Punkt C = = natoiast punkt A i G znajdują się w nieskończoności. i E poija gdż dla nich α3 α4 Przjując więc że z = Ω oraz t = Λ wzór Christoffela Schwarza ożna zapisać dla naszego zadania w postaci: Λ dλ Ω = M + N. (0.7) 0 ( Λ + α )( Λ β ) Wstawiając do wzoru (0.70) wartości funkcji Λ i współrzędne z w punktach B i F dostaje ezpośrednio: α = + oraz β = + L L. (0.7) Korzstając ze wzoru (0.70) oże określić zależność poiędz funkcją Λ i z w postaci: ( i ) ( i) Λ + Λ = + + (0.73) gdzie Λ = Λ + iλ. Ze związku (0.73) dostaje ezpośrednio: Λ = Λ = ( ) ( ) + ± ( ) ( ) + ± (0.74) Ze wzorów (0.74)(7.3) oże oczwiście znaleźć zależności odwrotne: = = ( ) ( ) 4 Λ Λ ± Λ Λ + Λ Λ ( ) ( ) Λ Λ 4 Λ Λ ± Λ Λ + Λ Λ. (0.75) 3
24 Podstawiając warunki rzegowe oże wznaczć stałe zespolone M i N. W rezultacie po wkonaniu całkowania dostaje wzór na funkcję potencjału zespolonego: Λ + α β Ω = arccos α + β. (0.76) Odwracając powższą zależność oraz wkorzstując wzor na cosinus su katów a: Λ + α β Λ cos Φ cosh Ψ % + isin Φ sinh Ψ % = + i α + β α + β % %. (0.77) Na podstawie powższego równania dostaje następując układ równań: % Λ + α β α + β cos Φ cosh Ψ = % % Λ α + β sin Φ sinh Ψ =. % (0.78) Powższ układ równań prowadzi do wznaczenia linii prądu dla Ψ% 0 w postaci równania paraetrcznego: Λ + α β Λ + = ( α + β ) cosh Ψ % ( α + β ) sinh Ψ% (0.79) oraz funkcji ekwipotencjalnch przepłwu w postaci: Λ + α β Λ = ( α + β ) cos Φ % ( α + β ) sin Φ%. (0.80) Przkładową siatkę hdrodnaiczną przepłwu dla α = β przedstawiono na rs
25 Rs Siatka hdrodnaiczna przepłwu dla przpadku fundaentu udowli piętrzącej ze ścianką szczelną [progra autorski] Pole wektorowe prędkości filtracji olicz wznaczając funkcję prędkości zespolonej która jest równa: dω w = = d Λ Λ + α Λ β ( )( ) (0.8) Wiedząc że w = i oże znaleźć paraetrczne równania składowch pola wektorowego prędkości filtracji w postaci: = ( Λ + α β ) ( α )( β ) ( α )( β ) ( α β ) Λ Λ + Λ + Λ Λ + Λ + Λ + ( α )( β ) ( α )( β ) ( α β ) Λ Λ + Λ + Λ Λ + Λ + Λ + = ± ( Λ + α ) + Λ ( Λ + β ) + Λ (0.8) Powższe wzor oraz wrażenia (0.75) pozwalają wznaczć pole prędkości filtracji które przedstawiono na rsunku Rs Pole prędkości przepłwu dla przpadku fundaentu udowli piętrzącej ze ścianką szczelną [progra autorski] Znając wartości składowch prędkości oże określić składowe sił asowch w oszarze filtracji: S g oraz S g k k = ρ = ρ. (0.83) Na podstawie wzorów (0.83) ożna wznaczć pole wektorowe sił asowch S r które przedstawiono na rs dla wartości H / L = 0 i 00. 5
26 Rs Pole sił asowch S r. VII Opłw fundaentu udowli piętrzącej z rurą drenażową. Załóż że ezpośrednio pod fundaente udowli hdrotechnicznej uieszczono rurę drenażową w kształcie półclindrczn (rs. 7.78). Rs Scheat opłwania udowli piętrzącej z rurą drenażową. Niech środek rur znajduje się w punkcie = a. Zgodnie z t co powiedzieliś wżej o ożliwości stosowania zasad superpozcji do rozwiązań zagadnień filtracji oże poszukiwać funkcji prędkości zespolonej w postaci: M M w = z z a z ( ). (0.84) Odwa człon rozwiązania (0.84) cznią zadość warunko rzegow (0.) (0.)) i (0.4) a jednocześnie drugi człon rozwiązań posiada własność drenu lu źródła w punkcie: z = a. Niech wdatek rur drenażowej ędzie oznaczon przez Q. Ponieważ rura dostaje się do rur drenarskiej tlko połową przekroju więc wprowadzi wdatek oliczeniow Q ' któr odpowiada przpadkowi gd woda dostaje się do rur cał przekroje. Ponieważ prędkość wod dopłwająca do drenu winna ć w odwu przpadkach identczna a: 6
27 Q ' r Q r = gdzie: r proień rur drenarskiej. Stąd a że: Q ' = Q W dowoln punkcie oszaru prędkość zespolona w wwołana działanie drenu i różnic pozioów wod w ziorniku i rzece powinna się równać: Q ' w = F z + ( z a) ( ) (0.85) prz cz F(z) jest funkcją holoorficzną w punkcie z = a. Olicza granicę funkcji ( z a) w( z) gd w(z) wraża się wzore (0.85) a z dąż do a: li z a M ( z a) w( z) = a. (0.86) Następnie olicza tą saą granicę gd w(z) wraża się wzore (0.86). Dostaje: ( z a) w( z) z a Q' Q = = li (0.87) stąd znajduje: Q M a =. Prędkość zespoloną filtracji wraża się wzore: M Q a w = ( ) z z z a Olicz następnie potencjał zespolon Ω któr wraża się wzore: Ω = wdz + N Po wkonaniu operacji całkowania a:. (0.88). (0.89) a Q M z Ω = arcsin N z a +. (0.90) 7
28 Znając wartości funkcji Ω w punktach B i D: otrzuje układ równań: dla B Ω = ; z = dla D Ω = 0; z = 3 M a Q + + = N a + a M Q + = 0. N a (0.9) W rezultacie po rozwiązaniu układu równań (0.9) dostaje stałe M i N: M a a Q = a a 3Q N = +. a (0.9) Ostatecznie funkcja potencjału zespolonego wraża się wzore: a a a Q Q z Ω = + + arcsin + a z a a 3Q + +. a (0.93) 8
29 Rozdzielając części urojone i rzeczwiste funkcji wartość funkcji prądu Ψ i funkcji potencjału prędkości Φ : Ω = Φ + iψ oraz z = + i dostaje wzor na MC D Φ = Φ + cos arc E arc cosh E D + C C MC D Ψ = arccos he + arccos E D + C C (0.94) gdzie: a 3Q Φ = + a D B = a a Q A = + a a a C = A B + A B Q a = a M = A B + A E E ± + 4 = + + ± =. Korzstając z powższch wzorów oże określić siatkę hdrodnaiczną przepłwu na rs
30 Rs Linie pradu dla przpadku fundaentu udowli piętrzącej z rurą drenażową. Różniczkując funkcję potencjału zespolonego Ω po dz uzska wzór na prędkość zespoloną filtracji w : a a Q w = + z z a. (0.95) Rozdzielając część rzeczwistą i urojoną dostaje składowe wektora prędkości. Można je otrzać również ezpośrednio różniczkując potencjał prędkości Φ wrażon wzore (0.94) po i po. a Poniżej na rsunku 7.80 przedstawione pole wektorowe prędkości filtracji gd 0 4 = = oraz 3 4 5*0 Q = 0 s = k =. 3 0 s H Rs Pole wektorowe prędkości filtracji. Dla zorazowania rozkładu funkcji potencjału w oszarze filtracji przedstawiono na rs wizualizację trójwiarową tej funkcji. 30
31 Rs Wizualizacja funkcji potencjału prędkości Φ na rzegu = 0. Kształt funkcji potencjału prędkości na płaszczźnie przedstawiono na rs. 7.8 w trójwiarow układzie współrzędnch Φ. Rs Kształt funkcji Φ na płaszczźnie Do chwili oecnej zudowano szereg rozwiązań zagadnień rzegowch etodai analitczni. Część z nich przedstawiono w prac [Połuarinowej-Kocin 977] inne w pracach [Reez 998]. Z punktu widzenia zastosowań praktcznch sprawiają one inżniero trudności ze względu na skoplikowaną pod względe ateatczn forę rozwiązań. Dlatego częściej stosowane są rozwiązania oparte na etodach nuercznch które oówi w rozdziale.ix. 3
6. Teoria Filtracji Część II Tomasz Strzelecki
6. Teoria Filtracji Część II Toasz Strzelecki 6.1 Model D dla przpadku przepłwu ciecz nieściśliwej przez por nieodkształcalnego szkieletu z wkorzstanie przekształceń konforench. 6.1.1 Funkcja potencjału
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Parcie na ściankę zakrzywioną
WYKŁD.3. Parcie na ściankę zakrzwioną Parcie ciecz na dowolną zakrzwiona powierzchnie jest geoetrczna sua par eleentarnch. Obliczenie tego parcia polega na wznaczeniu jego składowch, jako rzutów na osie
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowoModelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate Wykład X
Modelowanie przepłwu ciecz przez ośrodi porowate Wład X Worzstanie funcji potencjału zespolonego filtracji do rozwiązwania zagadnień dwuwiarowch przepłwu filtracjnego. Rozwiązwanie płasich zagadnień etodą
Bardziej szczegółowoPodstawy opisu dynamiki punktu materialnego
Podstaw opisu dnaiki punktu aterialnego Ruch ałego obiektu, któr oże przbliżać koncepcjnie jako punkt obdarzon asą (tzw. punkt aterialn) będzie opiswać podając wektor położenia tego punktu jako funkcję
Bardziej szczegółowoMacierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)
Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać
Bardziej szczegółowo5. ROZWIĄZANIA ZAGADNIEŃ PRZEPŁYWU PŁYNU PRZEZ OŚRODEK POROWATY Michał Strzelecki, Andrzej Kaźmierczak
5. ROZWIĄZANIA ZAGADNIEŃ PRZEPŁYWU PŁYNU PRZEZ OŚRODEK POROWATY Michał Strzelecki, Andrzej Kaźierczak 5.1 Metody rozwiązywania równań hydrodynaiki wód podzienych płaskich zagadnień przepływów ustalonych
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowoPomiar bezpośredni przyrządem wskazówkowym elektromechanicznym
. Rodzaj poiaru.. Poiar bezpośredni (prost) W przpadku poiaru pojednczej wielkości przrząde wskalowan w jej jednostkach wartość niedokładności ± określa graniczn błąd przrządu analogowego lub cfrowego
Bardziej szczegółowo[L] Rysunek Łuk wolnopodparty, paraboliczny wymiary, obciążenie, oznaczenia.
rzkład 10.3. Łuk paraboliczn. Rsunek przedstawia łuk wolnopodpart, którego oś ma kształt paraboli drugiego stopnia (łuk paraboliczn ). Łuk obciążon jest ciśnieniem wewnętrznm (wektor elementarnej wpadkowej
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez
Liczb zespolone Ciało liczb zespolonch Niech C = R. Zdefiniujm dwa działania w C. Dodawanie + : C C zdefiniowane jest przez (, ) + (, ) = ( +, + ). Ćwiczenie. Obliczm (, ) + (, 0) =.................................................
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennch Wkres i warstwice funkcji wielu zmiennch. Przeglad powierzchni stopnia drugiego. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennch. Małgorzata Wrwas Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika
Bardziej szczegółowoW przypadku przepływu potencjalnego y u z. nieściśliwego równanie zachowania masy przekształca się w równanie Laplace a: = + + t
J. Szantr Wkład nr 3 Przepłw potencjalne 1 Jeżeli przepłw płn jest bezwirow, czli wszędzie lb prawie wszędzie w pol przepłw jest rot 0 to oznacza, że istnieje fnkcja skalarna ϕ,, z, t), taka że gradϕ.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoPierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej
Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowo) q przyłożona jest w punkcie o współrzędnej x = x + x. Przykład Łuk trójprzegubowy.
rzkład 0.. Łuk trójprzegubow. Rsunek 0.. przedstawia łuk trójprzegubow, którego oś ma kształt półokręgu (jest to łuk kołow ). Łuk obciążon jest ciężarem konstrukcji podwieszonej. Narsować wkres momentów
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji wykład 5
Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren
Bardziej szczegółowoCałkowanie przez podstawianie i dwa zadania
Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoMłodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego REGUŁA GULDINA
Młodzieżowe Uniwerstet Matematczne Projekt współfinansowan przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu połecznego REGUŁA GULDINA dr Bronisław Pabich Rzeszów marca 1 Projekt realizowan przez Uniwerstet
Bardziej szczegółowolim = 0, gdzie d n oznacza najdłuższą przekątną prostokątów
9. CAŁKA POWÓJNA 9.. Całka podwójna w prostokącie Niech P będzie prostokątem opisanm na płaszczźnie OXY nierównościami: a < < b, c < < d, a f(,) funkcją określoną i ograniczoną w tm prostokącie. Prostokąt
Bardziej szczegółowoPrzepływy laminarne - zadania
Zadanie 1 Warstwa cieczy o wysokości = 3mm i lepkości v = 1,5 10 m /s płynie równomiernie pod działaniem siły ciężkości po płaszczyźnie nachylonej do poziomu pod kątem α = 15. Wyznaczyć: a) Rozkład prędkości.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI WÓCH ZMIENNYCH einicja całki podwójnej po prostokącie einicja Podziałem prostokąta R ={ : a b c d} inaczej: R = [a b] [c d] nazwam zbiór Pn złożon z prostokątów R R... Rn które
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 17751 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Rozważm treść następujacego
Bardziej szczegółowoGeometria analityczna - przykłady
Geometria analityczna - przykłady 1. Znaleźć równanie ogólne i równania parametryczne prostej w R 2, któr przechodzi przez punkt ( 4, ) oraz (a) jest równoległa do prostej x + 5y 2 = 0. (b) jest prostopadła
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut
Miejsce na naklejkę z kodem szkoł OKE ŁÓDŹ CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 008 PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR Czas prac 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, cz arkusz egzaminacjn zawiera
Bardziej szczegółowoKURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 1 Pochodne cząstkowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tlko jedna jest prawdziwa). Ptanie 1 Funkcja dwóch zmiennch a)
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoKinematyka płynów - zadania
Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać,
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowoWięcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Matematka Poziom rozszerzon Listopad W niniejszm schemacie oceniania zadań otwartch są prezentowane przkładowe poprawne odpowiedzi. W tego tpu ch
Bardziej szczegółowoZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR
ZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYDZIAŁU IMIR ZADANIA w semestrze zimowm Teoria zbiorów funkcje. Podać interpretację geometrczną zbiorów: A B jeżeli A = i B = A B X = X X X gdzie X = gdzie A= { : } B = d) { }
Bardziej szczegółowoMATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO
IMIE I NAZWISKO MATURA PRÓBNA KLASA I LO CZAS PRACY: 90 MIN. SUMA PUNKTÓW: 60 ZADANIE (5 PKT) Znajdź wszstkie funkcje liniowe określone na zbiorze ;, którch zbiorem wartości jest przedział ; 0. ZADANIE
Bardziej szczegółowoCharakterystyki geometryczne figur płaskich. dr hab. inż. Tadeusz Chyży Katedra Mechaniki Konstrukcji
Charakterstki geometrczne figur płaskich dr hab. inż. Tadeusz Chż Katedra Mechaniki Konstrukcji Wielkości geometrczne charakterzujące przekrój pod względem wtrzmałościowm to: pole przekroju (A), (ang.
Bardziej szczegółowoZASADY ZACHOWANIA W FIZYCE
ZASADY ZACHOWAIA: ZASADY ZACHOWAIA W FIZYCE Energii Pędu Moentu pędu Ładunku Liczb barionowej ZASADA ZACHOWAIA EERGII Praca sił zewnętrznej W = ΔE calk Ziana energii całkowitej Jeżeli W= to ΔE calk = ZASADA
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚLĄSKA. WYDZIAŁ ORGANIZACJI I ZARZĄDZANIA. Katedra Podstaw Systemów Technicznych - Mechanika Stosowana. y P 1. Śr 1 (x 1,y 1 ) P 2
POLITECHNIKA ŚLĄSKA. WYDZIAŁ ORGANIZACI I ZARZĄDZANIA. Katedra Podstaw Sstemów Technicznch Płaska geometria mas c c 3c Dla zadanego pola przekroju wznaczć: - połoŝenie środka cięŝkości S( s, s ) - moment
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr Wykład 5 Turbulentna warstwa przyścienna
J. Szantr Wkład 5 Turbulentna warstwa przścienna Warstwa przścienna jest to część obszaru przepłwu bezpośrednio sąsiadująca z powierzchnią opłwanego ciała. W warstwie przściennej znaczącą rolę odgrwają
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW
Kopozt RÓWNANIA FIZYCZN DLA KOMPOZYTÓW Równania fizczne dla ateriałów anizotropowch Równania fizczne liniowej teorii sprężstości ożna zapisać w ogólnej postaci ij ijkl kl lub po odwróceniu ij ijkl kl gdzie
Bardziej szczegółowoStan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:
Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane
Bardziej szczegółowo( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.
Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 5 ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA 5 Naprężenia na dwlnej płaszczźnie Jak pamiętam płaski stan naprężenia w punkcie cechuje t że wektr
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 1.1 : Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach. π 4. (a) sin(x + y) dxdy, R = π 4, π ] [ dy = sin(x + y)dy = dx =
achunek prawdopodobieństwa MAP6 Wdział Elektroniki, rok akad. 8/9, sem. letni Wkładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przkład do list : Całki podwójne Przkład do zadania. : Obliczć dane całki podwójne po wskazanch
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Matematka Poziom rozszerzon Listopad W niniejszm schemacie oceniania zadań otwartch są prezentowane przkładowe poprawne odpowiedzi. W tego tpu ch
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba
Bardziej szczegółowoV.4 Ruch w polach sił zachowawczych
r. akad. 5/ 6 V.4 Ruch w polach sił zachowawczych. Ruch cząstki w potencjale jednowyiarowy. Ruch w polu siły centralnej. Wzór Bineta 3. Przykład: całkowanie wzoru Bineta dla siły /r Dodatek: całkowanie
Bardziej szczegółowo2. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH
dam Bodnar: Wtrzmałość Materiałów. Charakterstki geometrczne figur płaskich.. CHRKTERSTKI GEOMETRCZNE FIGUR PŁSKICH.. Definicje podstawowch charakterstk geometrcznch Podczas zajęć z wtrzmałości materiałów
Bardziej szczegółowoZadania do rozdziału 10.
Zadania do rozdziału 0. Zad.0.. Jaką wsokość musi mieć pionowe zwierciadło ab osoba o wzroście.80 m mogła się w nim zobaczć cała. Załóżm, że ocz znajdują się 0 cm poniżej czubka głow. Ab prawidłowo rozwiązać
Bardziej szczegółowoRuch po równi pochyłej
Sławomir Jemielit Ruch po równi pochłej Z równi pochłej o kącie nachlenia do poziomu α zsuwa się ciało o masie m. Jakie jest przspieszenie ciała, jeśli współcznnik tarcia ciała o równię wnosi f? W jakich
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoPrzykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A
Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
Bardziej szczegółowoUkłady współrzędnych
Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 2 b
Akademia Górniczo Hutnicza Wdział Inżnierii Mechanicznej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wdział Górnictwa i Geoinżnierii Grupa nr: Ocena:
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Bardziej szczegółowoJ. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu
J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 MARCA 015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Przbliżenie dziesiętne
Bardziej szczegółowoGrafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II
Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podsta Automatyki Transmitancja operatorowa i widmowa systemu, znajdowanie odpowiedzi w dziedzinie s i w
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 9 MARCA 019 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Cena nart po obniżce o
Bardziej szczegółowoFINAŁ 10 marca 2007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM PODSTAWOWY Czas pisania 90 minut. x +
FINAŁ 0 marca 007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM PODSTAWOWY Czas pisania 90 minut ZADANIE Największ wspóln dzielnik dwóch liczb naturalnch wnosi 6, a ich najmniejsza wspólna wielokrotność tch liczb równa jest
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie
Bardziej szczegółowoRZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego
NIELINIOWE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. RÓWNANIE JEDNORODNE. KRZYWE ORTOGONALNE. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Nieliniowe równanie różniczkowe Bernoulliego ma postać:
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 4 ZADANIA - ZESTAW 4
ZADANIA - ZESTAW 4 Zadanie 4. 0-0,4 c 0 0, 0, Wznacz c. Wznacz rozkład brzegowe. Cz, są niezależne? (odp. c = 0,3 Zadanie 4.- 0-0,4 0,3 0 0, 0, Wznaczć macierz kowariancji i korelacji. Cz, są skorelowane?
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek
Nazwisko... Data... Wdział... Imię... Dzień tg.... Godzina... Ćwiczenie 36 Badanie układu dwóch soczewek Wznaczenie ogniskowch soczewek metodą Bessela Odległość przedmiotu od ekranu (60 cm 0 cm) l Soczewka
Bardziej szczegółowoWykład Analiza jakościowa równań różniczkowych
Na podstawie książki J. Rusinka, Równania różniczkowe i różnicowe w zarządzaniu, Oficna Wdawnicza WSM, Warszawa 2005. 21 maja 2012 Definicja Stabilność Niech = F (x, ) będzie równaniem różniczkowm. Rozwiązanie
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 9. Ruch drgający swobodny
Wkład FIZYK I 9. Ruch drgając swobodn Katedra Optki i Fotoniki Wdział Podstawowch Problemów Techniki Politechnika Wrocławska http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizka.html RUCH DRGJĄCY Drganie (ruch drgając)
Bardziej szczegółowoEGZAMIN PRÓBNY CZAS PRACY: 180 MIN. SUMA PUNKTÓW: 50 ZADANIE 1 (1 PKT) ZADANIE 2 (1 PKT) ZADANIE 3 (1 PKT) ZADANIE 4 (1 PKT) ZADANIE 5 (1 PKT)
IMIE I NAZWISKO EGZAMIN PRÓBNY CZAS PRACY: MIN. SUMA PUNKTÓW: 5 ZADANIE ( PKT) Dziedzina funkcji f (x) = x jest zbiór x 2 +x 6 A) R \ {, 2} B) (, 2) C) (, ) (2, + ) D) (, 2) (, + ) ZADANIE 2 ( PKT) W pewnej
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 1. (8.10) Rozciąganie statycznie wyznaczalne, pręty o skokowo zmiennym przekroju, kratownice, Obciążenia termiczne.
ĆWICZENIE 1 (8.10) Rozciąganie statycznie wyznaczalne, pręty o skokowo zienny przekroj, kratownice, Obciążenia tericzne. Rozciąganie - przykłady statycznie wyznaczalne Zadanie Zadanie jest zaprojektowanie
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoWykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..)
Wykład 2 - zagadnienie dwóch ciał (od praw Keplera do prawa powszechnego ciążenia i z powrotem..) 24.02.2014 Prawa Keplera Na podstawie obserwacji zgromadzonych przez Tycho Brahe (głównie obserwacji Marsa)
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowo(rachunek różniczkowy dot. funkcji ciągłych)
Podstaw matematczne (rachunek różniczkow dot. unkcji ciągłch) 1) Pochodna unkcji 1 zmiennej () de. () d ( ) d d d lim h ( h) h ( ) (h) () h UWAGA: () tg(α) tangens kąta nachlenia stcznej Warunki e k s
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 9. Ruch drgający swobodny. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak Wkład FIZYK I 9. Ruch drgając swobodn Dr hab. inż. Władsław rtur Woźniak Insttut Fizki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizka.html Dr hab.
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowo