Równania dla potencjałów zależnych od czasu

Transkrypt

1 Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności B = A, E = ϕ A Prawo Faraday a jest wówczas spełnione tożsamościowo (1 E = ϕ A = B = A (2 ponieważ pochodna po czasie jest przemienna z pochodnymi po x, y, z wystepującymi w rotacji oraz dlatego, że = 0. Prawo Ampera prowadzi do dość skomplikowanego równania na potencjały: B = A = ( A A = (3 E = µ 0 j + µ 0 ɛ 0 = µ 0 j µ 0 ɛ 0 ϕ + 2 A 2 Uporządkowując wyrazy możemy równanie (3 zapisać w postaci A µ 0 ɛ 0 2 A 2 ( = µ ϕ 0 j + A + µ 0 ɛ 0 Gdyby udało się nam wyzerować wyrażenie w nawiasach po prawej stronie, to równanie przyjęło by postać niejednorodnego równania falowego. Można zauważyć, że potencjały A i ϕ można poddać przekształceniu cechowania A = A + λ, ϕ = ϕ λ (5 gdzie λ = λ( r, t jest dowolną funkcją. Fizycznie obserwowalne wektory pola elektromagnetycznego E i B, obliczone za pomocą wzorów (1 nie zmieniają się pod wpływem przekształceń cechowania. E = ϕ A = ϕ + λ A + λ = E (6 B = A = A + λ = B (4 1

2 Swobodę wyboru potencjałów A i ϕ można wykorzystać do uproszczenia formy równania (4. Poszukajmy takiej funkcji cechowania λ( r, t, aby wyrażenie w nawiasach po prawej stronie równania (4 dla przekształconych potencjałów A i ϕ zerowało się. Stąd A + µ 0 ɛ 0 ϕ = 0 (7 A + µ 0 ɛ 0 ϕ + λ µ 0 ɛ 0 2 λ 2 = 0 (8 Funkcja cechowania λ musi więc spełniać niejednorodne równanie falowe: λ µ 0 ɛ 0 2 λ 2 = A µ 0 ɛ 0 ϕ = f ( r, t (9 z zadaną prawą stroną (członem niejednorodnym f ( r, t. W podręcznikach z metod matematycznych fizyki pokazuje się, że dla niejednorodnego równania falowego z zadaną funkcją f ( r, t zawsze istnieje rozwiązanie ogólne w postaci całki. Dla nas ważne jest tylko, że istnieje możliwość rozwiązania równania (9. Przy odpowiednim wyborze funkcji cechowania λ( r, t można więc uprościć formę równania (4. Zakładamy warunek cechowania Lorentza A + µ 0 ɛ 0 ϕ = 0 (10 Dla pól niezależnych od czasu równianie (10 sprowadza się do warunku cechowania Coulomba A = 0 z magnetostatyki. Przy założeniu cechowania Lorentza potencjał wektorowy spełnia niejednorodne równanie falowe A µ 0 ɛ 0 2 A 2 = µ 0 j (11 Członem niejednorodnym (źródłem pola jest zadana gęstość przepływu prądu j ( r, t. Jeśli wyrażamy pole magnetyczne przez potencjał wektorowy, to prawo Gaussa B = 0 jest spełnione tożsamościowo: B = 0. Prawo Gaussa dla pola elektrycznego, przy wykorzystaniu równań (1 daje ρ = E = ϕ + A ɛ 0 (12 2

3 Poprzez warunek cechowania Lorentza (10, dywergencję potencjału wektorowego możemy wyrazić przez pochodną po czasie potencjału skalarnego. Otrzymamy wówczas następujące równanie ϕ µ 0 ɛ 0 2 ϕ 2 = ρ ɛ 0 (13 Przy założeniu cechowania Lorentza potencjał skalarny ϕ spełnia więc także niejednorodne równanie falowe. Członem niejednorodnym (źródłem pola jest zadana gęstość ładunku ρ( r, t. Dla pól niezależnych od czasu niejednorodne równania falowe (11 i (13, w których opuszczamy pochodne po czasie, redukują się do równań Poissona, znanych z elektrostatyki i magnetostatyki. Ogólne rozwiązanie niejednorodnego równania falowego Ogólne rozwiązanie niejednorodnego równania falowego (13 przypomina swoją formą ogólne rozwiązanie równania Poissona ϕ( r, t = 1 ρ( r, t r d (14 4πɛ 0 R gdzie R = r r, a całkowanie odbywa się po całej objętości, w której znajduje się ładunek elektryczny. Wektor r wskazuje na ustalony punkt obserwacji, wktórym określamy wartość potencjału, wektor r wskazuje na objętość d. Gęstość ładunku bierzemy we wcześniejszej chwili czasu t r (r=retarded, tak aby w czasie t t r od źródła pola do punktu obserwacji dotarł sygnał biegnący z prędkością c. t t r = R c (15 Potencjał zadany wzorem (14 nazywamy potencjałem opóźnionym. Aby sprawdzić, czy powyższa całka jest rzeczywiście rozwiązaniem równania (13 obliczmy ϕ, gdzie różniczkowanie dotyczy składowych wektora r. Przy całkowaniu po wektor r pełni rolę stałej, więc możemy zamienić kolejność różniczkowania i całkowania. ϕ = 1 4πɛ 0 3 ( ρ d (16 R

4 Rysunek 1: Jeśli chodzi o gęstość ładunku ρ( r, t t, to różniczkowanie dotyczy drugiego argumentu t r = t R/c zależnego w sposób uwikłany od położenia punktu obserwacji r. Laplasjan pod całką obliczamy w następujący sposób: ρ ( 1 R = R ρ = (ρ 1R + 1R ρ = ρ 1 R + 1 R ρ + 2 ρ 1 R (17 Obliczamy poszczególne wyrażenia w powyższym wzorze: 1 R = 4πδ( R (18 gdzie δ( R oznacza deltę Diraca, przy całkowaniu zamieniającą r na r. ρ = ρ t r = ρ 1 ρ 1 R = r r c r c e R (19 Dalej obliczamy iloczyn skalarny gradientów w równaniu (17: 2 ρ 1 ( ρ 1 = 2 R r c e R e R = 2 ρ (20 R 2 R 2 c r Z kolei gdzie ρ = ρ = ρ r 1 c e R 1 c ρ r e R (21 ρ = 2 ρ 1 r r 2 c R = 2 ρ 1 r 2 c e R (22 4

5 Tak więc ( ( 1 e R = R R 1 = R + 1 R R R R = R + 3 R 3 R = 2 R (23 1 R ρ = 1 2 ρ 2 ρ (24 Rc 2 r 2 R 2 c r Sumując wyrażenia (18, (24 i (20 otrzymujemy ρ R = 4ρ πδ( R 1 2 ρ Rc 2 r 2 Laplasjan potencjału skalarnego wynosi więc ϕ = 1 4πɛ 0 ρ R d = 1 ɛ 0 ρ δ( R d µ 0 4π ( ρ d (26 R r 2 W pierwszej z całek po prawej stronie delta Diraca oznacza zamianę r na r, a co za tym idzie R na zero. ρ( r, t r δ( r r d = ρ( r, t (27 Przy obliczniu drugiej pochodnej po czasie opóźnionego potencjału skalarnego danego równaniem (14 możemy wejść z różniczkowaniem pod znak całki. 2 ϕ µ 0 ɛ 0 = µ 0 2 4π 1 2 ρ R d = µ 0 2 4π 1 2 ρ d (28 R r 2 ponieważ t = t r R/c, więc pochodne gęstości ładunku po t i po t r są sobie równe. Jak widać potencjał opóźniony dany równaniem (14 rzeczywiście jest rozwiązaniem niejednorodnego równania falowego (13. W taki sam sposób można sprawdzić analogiczne ogólne rozwiązanie niejednorodnego równania falowego (11 dla potencjału wektorowego, w postaci całki z gęstości prądu j ( r, t r. A( r, t = µ 0 4π j ( r, t r R d (29 5

6 Pole elektromagnetyczne ładunku punktowego poruszającego się ze stałą prędkością Pole elektromagnetyczne wokół poruszającego się ładunku punktowego zadane jest poprzez potencjały Liénarda-Wiecherta. gdzie ϕ = 4πɛ 0 r, A = v c 2 ϕ (30 r = R R v c (31 Wektor R prowadzi od punktu w którym znajduje się ładunek do punktu obserwacji, w którym określone są potencjały. Aby obliczyć potencjały w chwili czasu t we wzorach (30 należy wziąć położenie ładunku i jego prędkość we wcześniejszej chwili czasu t r t r = t R c (32 Różnica czasu t t r potrzebna jest na przejście sygnału od źródła pola (ładunku do punktu obserwacji z prędkością światła. Występowanie w potencjałach Liénarda- Wiecherta czasu t r znacznie utrudnia wyciągnięcie fizycznych wniosków co do charakteru pola elektromagnetycznego wytwarzanego przez ładunek punktowy. Dla ładunku poruszającego się ze stałą prędkością v = const można pokusić się o usunięcie t r z równań i wyrażenie potencjałów poprzez położenie ładunku w chwili czasu t jednoczesnej z chwilą ich obserwacji. Założmy, że ładunek punktowy porusza się ze stałą prędkością v wzdłuż osi z kartezjańskiego układu współrzędnych. Zadanie ma symetrię cylindryczną, więc punkt obserwacji możemy umieścić w punkcie (x 0, z 0 na płaszczyźnie xz. Przez R oznaczmy odległość między punktem obserwacji i położeniem ładunku w chwili czasu t r, przez ρ odległość między punktem obserwacji i położeniem ładunku w chwili czasu t (patrz rys. 2. Droga jaką przebędzie ładunek w przeciągu czasu t t r wynosi z = v(t t r = R v c (33 Obliczamy wielkość r występującą we wzorze (31. 6

7 Rysunek 2: r = R R v c = R Rv cos θ (34 c r 2 = R 2 + R2 v 2 cos 2 θ 2 R2 v c 2 c cos θ Korzystając z twierdzenia cosinusów w trójkącie R, ρ, z ρ 2 = R 2 + R 2 v2 c v 2 2R2 cos θ (35 c możemy w równaniu na r 2 usunąć wyraz mieszany zawierający cos θ i otrzymać następujące wyrażenie r 2 = ρ 2 v2 c 2 R2 sin 2 θ (36 Kąt θ można wyrazic przez kąt α korzystając z kolei z twierdzenia sinusów stąd ρ sin α = R sin θ ( r 2 = ρ 2 1 v2 c 2 sin2 α 7 (37 (38

8 Potencjał skalarny wytwarzany przez ładunek punktowy wynosi więc ϕ = 4πɛ 0 ρ 1 1 v2 sin 2 α c 2 (39 gdzie ρ jest odległością od ładunku do punktu obserwacji mierzoną w tej samej chwili czasu t. Kąt α jest kątem pod jakim widać tor ładunku z punktu obserwacji. Pozostało nam teraz uzależnić potencjał skalarny od współrzędnych kartezjańskich (x 0, z 0 punktu obserwacji. Jak wynika z rysunku 2 Stąd ρ cos α = z 0 vt, ρ sin α = x 0, ρ 2 = (z 0 vt 2 + x 2 0 (40 r 2 = (z 0 vt 2 + x 2 0 (1 v2 c 2 (41 Równanie linii ekwipotencjalnych ϕ = const, czyli r 2 = const ma więc postać (z 0 vt 2 + x 2 0 (1 v2 = const (42 Jest to równanie elipsy o środku w punkcie (z = vt, x = 0 równym położeniu ładunku w chwili t spłaszczonej wzdłuż osi z, czyli w kierunku ruchu ładunku. Obraz linii ekwipotencjalnych wokół ładunku punktowego poruszającego się ze stałą prędkością przypomina więc działanie tak zwanego skrócenia Lorentza w szczególnej teorii względności. Linie ekwipotencjalne wokół ładunku noszą nazwę elipsy Heavside a. Był to angielski inżynier elektryk, który pierwszy domyślił się, że tak powinno wygląć pole elektryczne poruszającego się ładunku 1 Potencjał wektorowy zgodnie ze wzorem (30 wynosi c 2 A z = v c 2 ϕ = v c 2 1 4πɛ 0 r (43 Pole elektryczne wytwarzane przez ładunek punktowy możemy obliczyć ze wzoru E = ϕ A (44 1 Oliver Heaviside (1889, On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric, Philosophical Magazine, 5 27 (167:

9 Ponieważ zadanie ma symetrię cylindryczną wystarczy obliczyć składowe E x i E z. Pochodne obliczamy względem współrzędnych punktu obserwacji (x 0, z 0. Stąd E z = 4πɛ 0 E x = ϕ x 0, E z = ϕ A z z 0 = ϕ v ϕ z 0 c 2 (45 E x = ( 1 r = (46 4πɛ 0 x 0 r 4πɛ 0 r 2 x 0 ( 1 v ( ( 1 r == + v r z 0 r c 2 4πɛ 0 r 4πɛ 0 r 2 z 0 c 2 Pochodne cząstkowe r zgodnie ze wzorem (41 wynoszą r = x 0 (1 v2 r, = z 0 vt r, = v z 0 vt (47 x 0 r c 2 z 0 r r Składowe pola elektrycznego ładunku wynoszą więc E x = 4πɛ 0 r x 3 0 (1 v2, E c 2 z = 4πɛ 0 r (z 3 0 vt (1 v2 c 2 (48 Można zauważyć, że wektor pola elektrycznego E = [E x, E z ] E = (1 v2 [x 4πɛ 0 r 3 c 2 0, z 0 vt] (49 jest proporcjonalny do wektora [x 0, z 0 vt] łączącego położenie ładunku w chwili t i położenie punktu obserwacji. Pole elektryczne ładunku poruszającego się ze stałą prędkością jest więc radialne. Linie sił pola elektrycznego nie są prostopadłe do linii ekwipotencjalnych. Obraz pola elektrycznego poruszającego się ładunku przypomina pole kulombowskie poddane działaniu skrócenia Lorentza. Obliczając rotację potencjału wektorowego (43 otrzymamy pole magnetyczne ładunku punktowego. Ponieważ zadanie ma symetrię cylindryczną wskazane jest wykonanie rotacji w układzie cylindrycznym. B φ = A z (50 r gdzie r = x 0 jest odległością punktu obserwacji od osi z. Na podstawie wzoru (45 otrzymujemy 9

10 Rysunek 3: B φ = v c 2 Powyższe równanie można zapisać w formie wektorowej ϕ x 0 = v c 2 E x (51 B = 1 c 2 v E (52 Linie sił pola magnetycznego wirują wokół osi z po której porusza się ładunek punktowy. Przypomina to pole magnetyczne wokół przewodnika z prądem. Wzory (49 i (52 można także otrzymać wykonując transformację Lorentza dla pola elektromagnetycznego, przy przejściu do układu odniesienia poruszającego się z prędkością v względem nieruchomego ładunku punktowego. 10