Podstawy opisu dynamiki punktu materialnego

Transkrypt

1 Podstaw opisu dnaiki punktu aterialnego Ruch ałego obiektu, któr oże przbliżać koncepcjnie jako punkt obdarzon asą (tzw. punkt aterialn) będzie opiswać podając wektor położenia tego punktu jako funkcję czasu. Musi też paiętać, że każd taki opis waga wbrania układu współrzędnch. Mateatcznie ruch punktu jest znan, jeżeli potrafi podać położenie punktu w dowoln czasie (z zadanego przedziału), co w przjęt układzie doniesienia oznacza, że zna wektor położenia jako funkcję czasu: 3 r( t) [ x( t), ( t), z( t)]. () Na przkład ruch jednostajn po linii prostej będzie opisan funkcją r( t) r t, dla t, () 0 gdzie r 0 jest położenie punktu w chwili t 0 (oże to bć uown początek, od którego zaczna liczć czas), jest prędkością z jaką porusza się punkt. Zauważ, że prędkość jest wektore, i w t przpadku jest to stał wektor (nie zależ od czasu). Jeżeli w opisie wektorow () przejdzie do współrzędnch, to otrza równości dla poszczególnch współrzędnch x( t) x0 xt, ( t) 0 t, z( t) z0 zt, (3) gdzie oczwiście r0 [ x0, 0, z0], [,, ]. x z Inn przkłade oże bć ruch po okręgu o proieniu R. Jeżeli założ, że ruch ten odbwa się w płaszczźnie równoległej do XY (czli z z0 ) oraz ze stałą szbkością, to równania opisujące ten ruch będą następujące x( t) x0 R cos( t), ( t) 0 Rsin( t), z( t) z0, (4) gdzie ( x0, 0, z 0) jest środkie okręgu, a jest stałą prędkością kątową w ruchu po okręgu. Jeżeli ruch odbwa się w płaszczźnie XY, to w zasadzie wstarcz posługiwać się wzorai dla x( t), ( t). Zate ruch jest opisan wted przez x( t) x0 R cos( t), ( t) 0 Rsin( t). (5)

2 Prędkość Jeżeli punkt aterialn porusza się w przestrzeni i ruch ten opisan jest przez funkcję rt ( ), to oże zdefiniować prędkość tego punktu jako pochodną wektora położenia względe czasu, gdż pochodną funkcji ożna interpretować jako wielkość ierzącą szbkość zian. Zate z definicji ( t). (6) Jest to naturalne uogólnienie prędkości rozuianej jak przrost drogi do czasu, w któr ten przrost nastąpił. Obliczanie pochodnej funkcji wektorowej polega na różniczkowaniu poszczególnch współrzędnch tej funkcji wektorowej. Tak więc, jeżeli w przjęt układzie współrzędnch a r( t) [ x( t), ( t), z( t)], to prędkość jest równa dx( t) d( t) dz( t) ( t),,. (7) Zauważ, że na ogół prędkość zależ od czasu (zarówno długość wektora jak i jego kierunek). ( ) ( ) Czasai pochodną będzie oznaczali też sbole pri: ( ) dr t dx t t : r ( t), : x ( t) itd. Przkład. Obliczć wektor prędkości dla podanch ruchów. a) r( t) [ 3 t, t, t], b) r t t t ( ) [, 3,0], c) r( t) [3cos( t), 3sin( t)] (ruch tlko w płaszczźnie XY). Rozwiązanie. Wstarcz tlko skorzstać z (7), czli wkonać różniczkowanie względe czasu a) b) v( t) [( 3 t),( t),( t) ] [3,, ]. Zate w t przpadku jest to stała prędkość. Składowe tej prędkości w kierunkach osi układu XYZ są następujące: vx 3, v, vz. Szbkość (czli długość wektora prędkości) jest v v vx v vz (3) () ( ) 4. v( t) [ t,( 3 t ),0 ] [, 6 t, 0]. W t przpadku wektor prędkości nie jest stał zienia się jego długość (ale kierunek jest stał). Szbkość wnosi v (6 t) 36 t.

3 c) v( t) [( 3cos( t)),( 3sin( t)) ] [ 6sin( t),6cos( t)]. Widać, że teraz wektor prędkości zienia kierunek z upłwe czasu, ale jego długość jest stała v t t t t t ( ) ( 6sin( )) (6cos( )) 6 sin ( ) cos ( ) 6 6. Przspieszenie Kolejną bardzo ważną charakterstką ruchu jest przspieszenie. Opisuje ono jak szbko zienia się prędkość. Foralna definicja jest taka: jeżeli ruch zachodzi z prędkością ( t), to przspieszenie jest pochodną wektora prędkości względe czasu d () t at ( ). (8) Jak już wie, obliczanie pochodnej funkcji wektorowej polega na różniczkowaniu poszczególnch współrzędnch tej funkcji wektorowej. Tak więc dla ( t) [ ( t), ( t), ( t)] przspieszenie jest równe x z d () () x t d t dz () t at ( ),,. (9) Przkład. Obliczć przspieszenia dla ruchów z poprzedniego przkładu. Rozwiązanie. Rozwiązując poprzedni przkład podaliś wzor na prędkość. Ab wliczć przspieszenia należ teraz zróżniczkować odpowiednie prędkości. dv() t a) vt ( ) [3,, ], zate at ( ) [3,, ] [0,0,0] 0. Przspieszenie jest więc wektore zerow. Należało się tego spodziewać, gdż prędkość bła stała, a zete nie zieniała się w czasie. Przspieszenie jako iara zienności prędkości usi więc bć zerowe. dv() t b) v( t) [, 6 t, 0], zate a( t) [, (6 t), 0] [0,6,0]. Tak więc przspieszenie jest stałe ale niezerowe. c) v( t) [ 6sin( t),6cos( t)], zate dv() t a( t) [( 6sin( t)),(6cos( t)) ] [ cos( t), sin( t)] [cos( t),sin( t)]. Widać, ze wektor przspieszenia jest teraz zienn, ale okazuje się, ze jego długość jest stała: a t a t t t t t ( ) ( ) [cos( ),sin( )] cos ( ) sin ( ). Dnaika punktu aterialnego Dotchczas zajowaliś się ateatczn opise ruchu. Jeżeli chce jednak wkonwać sulacje odelujące jakieś zjawiska rzeczwiste, to ruch usi wnikać z praw fizcznch rządzącch ti zjawiskai. W przpadku prędkości, które są dużo niejsze od prędkości światła, fizczną teorią, która daje taki opis jest echanika klasczna. W szczególności opis ruchu bazuje na pojęciu

4 sił jako cznnika sprawczego. Zależność ruchu od sił oże bć wprowadzona w oparciu o jedno z podstawowch praw echaniki klascznej, któr jest tzw. II zasada dnaiki Newtona. W odniesieniu do punktu aterialnego ożna ją wrazić równanie a( t) F( t, r( t), ( t)), (0) które ówi, że przspieszenie ciała jest wprost proporcjonalne do całkowitej sił, która działa na to ciało, a odwrotnie proporcjonalne do as tego ciała. Zauważ, że siła wstępująca w równaniu (0) oże w ogólności zależeć od czasu, położenia lub prędkości, natoiast nie oże zależeć od przspieszenia. W przpadku, gd siła jest stał wektore (niezależn od czasu, położenia lub prędkości), to z równania (0) wnika, że przspieszenie jest wted stałe, a. Taki ruch nazwa jednostajnie zienn, i łatwo jest wprowadzić wzór na wektor położenia w funkcji czasu gdzie r położenie początkowe, 0 0 prędkość początkowa. r( t) r0 0t at, () W przpadku, gd siła nie jest stała, podanie wzoru na rozwiązanie równania (0) takiego, jak () na ogół nie jest ożliwe. Musi wted stosować odpowiednie nuerczne etod przbliżone. Nuerczne etod całkowania równania (0) Tak naprawdę równanie wektorowe (0) jest nicz inn jak układe równań różniczkowch skalarnch. Jest to układ drugiego rzędu, gdż po lewej stronie wstępują pochodne drugiego rzędu. Gd rozpisze to równanie dla poszczególnch współrzędnch x( t), ( t), z( t ), to otrza d x() t dx d dz Fx t, x( t), ( t), z( t), ( t), ( t), ( t), d () t dx d dz F t, x( t), ( t), z( t), ( t), ( t), ( t), d z() t dx d dz Fz t, x( t), ( t), z( t), ( t), ( t), ( t), () gdzie funkcje Fx, F, F z są zadane (znane sił), a szuka funkcji z( t), ( t), z( t ). Istnieje cał obszern dział ateatki, któr zajuje się nuerczni etodai znajdowania rozwiązań takich równań, jak (). Dalej poda kilka standardowch procedur, które ogą bć wkorzstane do sulacji. Algort Verleta Zasadniczo etodę tą stosuje się do sulacji ruchu wielu oddziałującch ze sobą cząstek oraz w grach wideo. Nasza stuacja jest prostsza, gdż a po prostu jedną cząstkę (punkt aterialn), na któr działa siła. Jednakże, ab ożna bło stosować podstawową etodę Verleta, siła ta nie oże

5 zależeć od prędkości. Może zależeć od czasu i od położenia. Ma więc następującą postać II zasad dnaiki Newtona Standardowa ipleentacja etod opiera się o następując scheat a( t) F( t, r( t)). (3) ) oblicz r( t t) r( t) ( t) t a( t)( t), gdzie at () oblicza ze wzoru (3), ) oblicz ( t t / ) ( t) a( t) t, 3) oblicz a( t t) ze wzoru na siłę (3), czli a( t t) F( t t, r( t t)), 4) oblicz ( t t) ( t t / ) a( t t) t. Przkład. (wahadło ateatczne) Wkorzsta procedurę Verleta do nuercznego całkowania ruchu wahadła. Mała kulka jest zawieszona na bardzo lekkiej i nierozciągliwej nitce od długości. W t przpadku najlepiej opiswać położenie nie prz pooc wektora położenia rt () tlko prz pooc kąta wchlenia d d ( t). Wted prędkość kątowa jest równa ( t) ( t), a przspieszenie kątowe ( t) ( t). Uwzględniając, że siła wpadkowa jest w każd oencie prostopadła do proienia (tzn. jest stczna do okręgu po któr porusza się punkt aterialn), otrzuje F( t, ) g sin. Droga w ruchu po okręgu jest równa długości łuku, z kolei długość tego łuku jest związana z kąte zależnością s, więc związek poiędz prędkością liniową a kątową to v( t) l( t). Stąd drugie prawo Newtona a postać Stąd a wzor dv( t) d( t) a( t) l g sin ( t) g sin ( t). d() t g ( t) sin ( t), l d() t ( t), (4) które odelują ruch wahadła. Zauważ, że we wzorach tch nie wstępuje asa kulki! Z tch równań usi wliczć kąt jako funkcje czasu, ( t). Metoda Verleta sprowadza się w t przpadku do następującch iteracji (paiętaj o zaianie oznaczeń: r( t) ( t), v( t) ( t), a( t) ( t)) :

6 g ) oblicz ( t t) ( t) ( t) t ( t)( t), gdzie ze (4) a ( t) sin ( t), ) oblicz ( t t / ) ( t) ( t) t, g 3) oblicz ( t t) ze wzoru (4), czli ( t t) sin ( t t), l 4) oblicz ( t t) ( t t / ) ( t t) t. Metoda jawna Eulera W t przpadku korzsta z tego, że pochodna funkcji w dan punkcie oże bć użta do wliczenia przrostu tej funkcji wg prostej foruł df () t f ( t t) f ( t) t. (5) Wzór powższ daje t lepsze przbliżenie, i niejsze jest t, tzn. i bliższe zeru jest t. Stosuje teraz wzór (5) do prędkości () ( ) ( ) d t t t t t ( t) a( t) t, (6) gdzie a( t) F( t, r( t), ( t)), a następnie stosuje (5) do wektora położenia Procedura obliczeniowa t=0 r(0), v (0) są dane while (t < t_end) { r ( t t) r ( t) v( t) t v( t t) v( t) F( t, r ( t), v( t)) r ( t) r ( t t) v( t) v( t t) r( t t) r( t) t r( t) ( t) t (7) t t t } Zastosuje teraz prostą etodę Eulera do ruchu w stał polu grawitacjn z uwzględnienie oporu powietrza. Przkład (ruch punktu aterialnego w stał polu grawitacjn z uwzględnienie oporu) Jeżeli obiekt porusza się w ośrodku, któr nie jest próżnią, to w sposób nieuchronn pojawiają się sił oporu. W ogóln przpadku sił te ogą ieć dość skoplikowan charakter (np. zależność od

7 kształtu obiektu). Najprostsza stuacja dotcz ałego obiektu (punkt aterialn) poruszającego się w środowisku gazow (np. powietrze) z niezbt dużi prędkościai. Może wted przjąć, że siła oporu jest proporcjonalna do prędkości (kierunek oczwiście będzie przeciwn do wektora prędkości), czli Fopór k, (8) gdzie k współcznnik oporu, prędkość obiektu. Oprócz sił oporu działa jeszcze stała siła grawitacji F g. Obie te sił pokazane są na rsunku poniżej. graw Rsunek. Ruch punktu aterialnego (ał obiekt) w pobliżu powierzchni Ziei (stałe pole grawitacjne) z uwzględnienie oporu powietrza proporcjonalnego do prędkości, -kv. Zate, całkowita siła wnosi F F F g k, a równanie ruchu będzie iało postać graw opór d g k. (9) Zagadnienie ożna sprowadzić do probleu dwuwiarowego (w płaszczźnie prostopadłej do powierzchni Ziei), więc [, ], g [0, g], x k [ k, k ], g [0, g], x k k F [ x, g ]. Może teraz zapisać scheatcznie procedurę Eulera zastosowaną do tego ruchu t=0 x(0), (0), vx(0), v (0) są dane while (t < t_end) {

8 } x( t t) x( t) v ( t) t; ( t t) ( t) v ( t) t k vx ( t t) vx( t) vx( t) k v ( t t) v ( t) vx( t) g x( t) x( t t); ( t) ( t t) v ( t) v ( t t); v ( t) v ( t t) x x t t t x