Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Transkrypt

1 Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

2 . Kredytobiorca otrzyma od baku kredyt w 6 traszach, płatych a początku roku w odstępach 3 letich. Wysokość pierwszej traszy wyiesie , a kaŝda koleja trasza będzie miejsza od poprzediej o ustaloą liczbę R. KaŜda trasza kredytu spłacaa jest, począwszy od mometu jej otrzymaia, w postaci rety o rówych płatościach a koiec kolejych lat. W przypadku kaŝdej z powyŝszych ret ostatia rata jest płata a koiec roku, który kończy 25 leti okres czasu, który zaczął się w momecie otrzymaia pierwszej traszy kredytu. Wyzacz wartość R (podaj ajbliŝszą wartość), jeŝeli wiadomo, Ŝe całkowite zadłuŝeie kredytobiorcy po 20 latach od otrzymaia pierwszej traszy kredytu (po zapłaceiu rat wymagaych w tym termiie) wyosi , a rocza stopa procetowa jest rówa 5%. A) B) C) D) E)

3 2. Spółkom A i B zapropoowao astępujące rocze stopy oprocetowaia kredytu w wysokości ml PLN: Spółka Oprocetowaie stałe Oprocetowaie zmiee A 9.00% WIBOR + 0.5% B 2.25% WIBOR + 0.9% Pierwotie spółka A otrzymała kredyt z oprocetowaiem stałym, a B z oprocetowaiem zmieym. Jedak spółka A potrzebuje kredytu o stopie zmieej, podczas gdy spółka B o stopie stałej. Zaprojektowao procetowy kotrakt SWAP (kotrakt zamiay strumiei płatości) z udziałem istytucji fiasowej, w ramach którego istytucja ta zyskała a trasakcjach 0.5% roczie, zaś dla obu spółek kotrakt jest jedakowo atrakcyjy. Ile wyiesie stała stopa procetowa płacoa przez spółkę B w wyiku całościowego rozliczeia? A) 8.90% B) 9.00% C) % D) 20.75% E) 2.25% 3

4 3. Zasady działaia fuduszu oszczędościowo-rozliczeiowego są astępujące: pierwsza wpłata dokoaa a początku pierwszego roku działalości fuduszu wyosi , a początku kaŝdego roku, począwszy od drugiego roku działalości, dokoywaa jest wpłata do fuduszu w wysokości 2 000, a końcu kaŝdego roku (rówieŝ pierwszego) dokoywaa jest wypłata w wysokości 25% aktualego stau fuduszu, stopa procetowa fuduszu wyosi 6%. Wyzacz łączą kwotę wypłacoą z fuduszu w okresie od początku 9 roku do końca 25 roku działalości fuduszu (podaj ajbliŝszą wartość). A) B) C) D) E)

5 4. Portfel aktywów zakładu ubezpieczeń a Ŝycie składa się z trzech istrumetów: istrumet A z udziałem 30%, istrumet B z udziałem 30%, istrumet C z udziałem 40%. Strategia iwestycyja zakłada utrzymaie tej alokacji w horyzocie ajbliŝszych 2 lat. Dla potrzeb wycey portfela zakłada się 4 sceariusze rozwoju ryku fiasowego. Rozpatrując horyzot 2 lat załoŝeia te przedstawiają się astępująco: Symulacja Istrumet Stopy zwrotu R(0, ) R(, 2) Istrumet A Istrumet B Istrumet C Istrumet A Istrumet B Istrumet C Istrumet A Istrumet B Istrumet C Istrumet A Istrumet B Istrumet C R(s,t) jest stopą zwrotu z daego istrumetu w przedziale czasu od s do t. Zakładamy, Ŝe kaŝda z czterech symulacji ma takie samo prawdopodobieństwo realizacji. Wola od ryzyka rocza stopa dyskotowa jest stała w czasie i wyosi 5% w kaŝdej symulacji. Zakład ubezpieczeń dzieli się zyskami z ubezpieczoymi przekazując część adwyŝki zrealizowaego zwrotu poad techiczą stopę procetową. Wypłata świadczeń z tytułu udziału w zyskach a koiec roku t obliczaa jest według wzoru: PS t [ R( t, t),0] = MR * 80% * max i t i techicza stopa procetowa rówa 3%, R(t, t) stopa zwrotu z portfela aktywów zrealizowaa w roku t (w okresie od t do t), MR t rezerwa a koiec roku t. Rozpatrujemy polisę dla której wartość rezerwy a koiec pierwszego roku będzie wyosić MR = 000 PLN, a a koiec drugiego roku MR 2 = 200 PLN. Podaj obecą (a momet t = 0) oczekiwaą wartość świadczeń z tytułu udziału w zyskach wypłacoych w horyzocie 2 lat (kapitalizacja dyskreta): A) B) C) D) 9.04 E)

6 5. Firma ubezpieczeiowa posiada zobowiązaia wyikające z portfela ret pewych. Rety te są płate w wysokości ml PLN a koiec kaŝdego roku przez ajbliŝszych 5 lat oraz w wysokości 2 ml PLN przez kolejych 5 lat. Firma ulokowała całość swoich rezerw a pokrycie powyŝszych zobowiązań w 20 letiej obligacji z 8% kupoem roczym. Oblicz róŝicę pomiędzy duratio pasywów i aktywów, zakładając, iŝ stopa procetowa wyosi 5% (podaj ajbliŝszą wartość). A).5 B) 2.0 C) 2.5 D) 3.0 E) 3.5 6

7 6. Iwestor stosuje strategię motyla (Butterfly spread) zbudowaą w oparciu o europejskie opcje kupa o okresie do wykoaia rok. Profil wypłaty (w zaleŝości od cey istrumetu bazowego w momecie wykoaia S T ) przedstawioy jest a rysuku: Profil wypłaty S_T Obece (a momet t = 0) kwotowaia europejskich opcji sprzedaŝy wystawioych a istrumet bazowy o obecej ceie S 0 = 20 i okresie wykoaia rok, w zaleŝości od cey wykoaia X przedstawioe są w tabeli: Cea wykoaia X Cea opcji sprzedaŝy w t = Zmieość σ (volatility) istrumetu bazowego jest rówa 20%, wola od ryzyka stopa procetowa wyosi 5%. Obecy (a momet t = 0) koszt jaki poiósł iwestor przyjmując strategię motyla, o wypłacie zgodej z rysukiem powyŝej, wyosi (podaj ajbliŝszą wartość): A) 3.90 B) 0.8 C) 7.50 D) E)

8 7. Kredyt jest spłacay za pomocą 5 rosących rat płatych a końcu kaŝdego roku w wysokości, 2, 3,..., 25. WskaŜ wzór wyzaczający wysokość odsetek zapłacoych w 8 racie: A) B) C) D) +& & v a v + a v + a8 +& & v a8 E) Ŝada z powyŝszych odpowiedzi A, B, C, D ie jest poprawa 8

9 8. Dae są dwie -letie rety pewe a i b,. Reta a płaci a koiec kaŝdego roku k k, k ; reta b płaci k a koiec kaŝdego roku k, k. Niech D = dur ( a ) + dur( b ), gdzie dur ( a ) i dur( b ) to duratio ret a i b. Ozaczmy poadto czyik dyskotujący przez v, 0 < v <. Spośród poiŝszych ierówości prawdziwa jest: A) B) C) & ( v ) a D ( ) + a & 2 + ( v ) a D 2 a & 2 2 a D ( ) + a D) & & 2 + ( v ) a D + a 2 E) Ŝada z powyŝszych. 9

10 9. Rozpatrzmy ryek, a którym występują dwa aktywa A i B. Ich wypłaty zaleŝą od tego czy ryek zajduje się w staie hossy czy bessy. Fukcje wypłaty oraz bieŝące cey tych aktywów podaje tabela: Aktywo A Aktywo B Hossa Bessa Cea Poadto, a ryku dostępe są jedostkowe aktywa, które płacą bądź 0, w zaleŝości od tego w którym ze staów zajduje się ryek. Fukcje wypłaty aktywów jedostkowych podaje tabela: Aktywo jedostkowe hossy Aktywo jedostkowe bessy Hossa 0 Bessa 0 Zakładamy, Ŝe ryek ie dopuszcza arbitraŝu. Ile wyosi stopa wola od ryzyka a tym ryku? Podaj ajbliŝszą odpowiedź. A) 0 B) 9 C) 0 D) 3 E) 20 0

11 0. RozwaŜmy amerykańską opcję sprzedaŝy a akcję ie płacącą dywidedy. Termi wygaśięcia dla tej opcji upływa za 3 lata. Obeca cea akcji wyosi 50 a jej cea wykoaia 60. Wiadomo, Ŝe w ciągu kaŝdego roku cea akcji rośie bądź maleje o 25%. Itesywość oprocetowaia wyosi 0.07 (kapitalizacja ciągła). Ile wyosi obeca cea tej opcji przy załoŝeiu braku arbitraŝu? Podaj ajbliŝszą wartość. A) 5 B) 0 C) 5 D) 20 E) 25

12 Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Matematyka fiasowa Arkusz odpowiedzi * Imię i azwisko:... Pesel:... OZNACZENIE WERSJI TESTU... Zadaie r Odpowiedź Puktacja B 2 D 3 C 4 C 5 C 6 A 7 D 8 A 9 B 0 D * Oceiae są wyłączie odpowiedzi umieszczoe w Arkuszu odpowiedzi. Wypełia Komisja Egzamiacyja. 2