Wykład nr 2. Statystyka opisowa część 2. Plan wykładu

Transkrypt

1 Wykład r 2 Statystyka opisowa część 2 Pla wykładu 1. Uwagi wstępe 2. Miary tedecji cetralej 2.1. Wartości średie 2.2. Miary pozycyje 2.3. Domiata 3. Miary rozproszeia 4. Miary asymetrii 5. Miary kocetracji 6. Podsumowaie

2 Statystyka opisowa Cel zwięzłe przedstawieie ogólej charakterystyki istotych właściwości badaej zbiorowości. Podstawowe zadaia: 1. Określeie przeciętego wielkości i rozmieszczeia wartości zmieej miary położeia / tedecji cetralej. 2. Określeie graic zmieości wartości zmieej miary rozproszeia (zmieości, dyspersji). 3. Określeie parametrów rozkładu wartości zmieej miary asymetrii i kocetracji rozkładu oraz podobieństwa struktury. 4. Ocea zmieości zjawisk w czasie. 5. Określeie współzmieości miary współzmieości. Statystyki opisowe w odiesieiu do skal pomiarowych

3 Miary położeia Miary położeia (przecięte) wskazują miejsce, w którym leży wartość ajlepiej reprezetująca wielkości wchodzące w skład szeregu statystyczego. Miary położeia iformują o przeciętym (średim, typowym) poziomie wartości rozważaej cechy. Typowe miary położeia:

4 Średia arytmetycza Stosowae dla skal metryczych Średia arytmetycza Defiiowaa jako 1 = i = 1i gdzie i wartość i-tego pomiaru, a liczebość populacji. Przykład: W pewym doświadczeiu medyczym bada się czas su (w miutach) pacjetów. Zmierzoo u = 12 losowo wybraych pacjetów czas: 435, 389, 533, 324, 561, 395, 416, 500, 499, 397, 356 i 398. Średi czas K+ 398 = =? 12 Własości średiej arytmetyczej: ( i ) i= 1 ie (miej dogode późiej)

5 Ie rodzaje średich arytmetyczych Średia ważoa (w i to tzw. wagi): = w i i= 1 w i= 1 Przykład testu psychologiczego: i i A co z szeregami rozdzielczymi? Średia szeregu puktowego: Jeśli wartości wyików, jakie przybiera zmiea w próbie 1, 2,, k występują z liczością 1, 2,, k, to średia arytmetycza jest zdefiiowaa jako: k i i = i= 1, gdzie k jest liczbą różych wartości zmieej, a = k i i= 1.

6 Przykład: W przedsiębiorstwie zajmującą się produkcją pewych arzędzi badao wydajość pracy (ilość sztuk wyprodukowaych w ciągu dia) 60 pracowików. Ustalmy, jaka jest średia wydajość pracy przypadająca a jedą osobę. Dostępe jest zestawieie:

7 Średia arytmetycza dla szeregu rozdzielczego przedziałowego zdefiiowaa jako: k i & i i = =1, gdzie k jest liczbą różych wartości zmieej, i liczość i-tego przedziału klasowego, & i wartość średia i-tego przedziału klasowego. Kometarz jest to przybliżoy sposób obliczeń. Przykład 4. Czy dotychczasowe sposoby wyzaczaia średiej są zawsze właściwe? Ograiczeia średiej arytmetyczej: wartości skraje mają sily wpływ a jej wartość, średiej arytmetyczej ie moża policzyć, gdy skraje przedziały szeregu są rozwarte, traci swoją wartość pozawczą w przypadku rozkładów silie asymetryczych i wielomodowych, ieadekwata dla iemetryczych skal, prób małoliczych.

8 Przykład obliczeia średiej z szeregu Rozważmy rozkład miesięczych zasadiczych wyagrodzeń pracowików zatrudioych w pewej firmie. ( ) Oblicz średie wyagrodzeie pracowika z wyższym wykształceiem.

9 Ie rodzaje średich Średia uciaa (z parametrem k) : = 1 k = tk 2 k i i k + 1 Średie dla aalizy dyamik zjawisk i stosowae dla skal ilorazowych Średia geometrycza stosowaa dla ocey średiego tempa zmia zjawiska w czasie (oraz gdy w szeregu występują zacze różice między obserwacjami; miej wrażliwa a krańcowe obserwacje odstające ). Zdefiiowaa jako: = K G 1 2 Średie harmoicze: Używaa, gdy wartości zmieej podae są w jedostkach względych, p. przecięta szybkość (w km/godz.), przecięta cea towarów (wyrażoa w liczbie jedostek za jedostkę pieiężą), gęstość zaludieia (os/km 2 ). Średia harmoicza prosta zdefiiowaa jako h = i = 1 1 i

10 Miary pozycyje Określają pozycję pewego (typowego) przypadku w stosuku do iych przypadków (ze względu a ich położeie w zbiorowości). Mediaa (wartość środkowa) próby Jest to wartość, dla której dokładie połowa wyików w próbie jest od iej miejsza lub rówa, a druga połowa jest od iej większa lub rówa. Jak wyzaczać mediaę? med = ( ( + 1) 2) 0,5 ( ( 2) + ( 2+ 1) ) gdy jest ieparzyste gdy jest parzyste Przykład 9. Zapytao 7 osób o wiek i otrzymao astępujące odpowiedzi: 18, 21, 43, 27, 51, 35, 29 lat. Wyzacz mediaę.

11 Wyzaczeie mediay z szeregu rozdzielczego: h0 med = 0 + ( F 1 ) 0 2 gdzie: 0 dola graica przedziału klasowego, który zawiera pierwszych 50% skumulowaych częstości. h 0 rozpiętość przedziału klasowego zawierającego mediaę. 0 częstość odpowiadająca przedziałowi klasowemu zawierającego mediaę. ogóla licza obserwacji. F -1 częstość skumulowaa przedziału poprzedzającego przedział klasowego, który zawiera pierwszych 50% skumulowaych częstości. Przykład obliczeń:

12 Kwatale (decyle, kwartyle, percetyle) Wartości cechy (mierzoej a skali, co ajmiej porządkowej), które dzielą próbę a określoe części pod względem liczby obserwacji. Najczęściej stosowae: kwartale (podział a 4 części), decyle (podział a 10 części), percetyle (podział a 100 części), Ilustracja graficza:

13 Domiata (wartość modala, moda) Defiicja: jest to ta kategoria zmieej omialej (lub porządkowej czy wartość liczbowa), która występuje ajczęściej. Przykład. Zbadao marki komputerów, które używa 10 osób. Są oe astępujące: HP, Del, Cm, HP, IBM, Cm, Cm, No, Cm, IBM. Wyzaczyć wartość modalą. Wyiki pomiarów powiy być wcześiej pogrupowae w odpowiedie szeregi. Wyzaczaie domiaty jest dopuszczale, gdy rozkład zmieej jest jedomodaly a jego asymetria jest umiarkowaa. Jeśli zbiorowość jest iejedoroda, a rozkład zmieej ma 2,3 lub więcej szczytów to mówimy o rozkładach biomialych, trimodalych, itd.

14 Wyzaczeie domiaty z szeregu rozdzielczego: 0 1 mod = 0 + h0 ( 0 1) + ( 0 + 1) gdzie: 0 dola graica przedziału klasowego z ajwiększą częstością. h 0 rozpiętość przedziału klasowego zawierającego domiatę 0 częstość odpowiadająca przedziałowi klasowemu z ajwiększą częstością. -1 częstość odpowiadająca przedziałowi poprzedzającemu. +1 częstość odpowiadająca przedziałowi astępemu. Przykład:

15 Miary rozproszeia Nazywae także miarami zmieości lub dyspersji. Służą do ocey czy wartości cechy są bardzo rozproszoe lub skocetrowae wokół wartości przeciętej.

16 Miary rozproszei są zależe od skali pomiarowej. Skala przedziałowa Rozstęp (różica między pomiarem ajwyższym i ajiższym). Odchyleie średie R = ma mi D m = i = 1 i Wariacja i odchyleie stadardowe: wariacja w próbie ( ) 2 1 = = s i i 1 odchyleie stadardowe s pierwiastek z wariacji 2 ( ) Różice w obliczaiu dla próby i populacji i s = i= 1 1 2

17 Przykład: W dwóch grupach chorych zmierzoo ciśieie skurczowe krwi. Otrzymao astępujące wyiki: (Grupa-1 145, 125, 130, 155, 140, 150, 135) (Grupa-2 115, 150, 100, 180, 140, 165, 130). Oblicz podstawowe miary tedecji cetralej i rozproszeia. Własości odchyleia stadardowego: jest tym większe, im większy jest rozrzut wokół średiej, gdyby wszystkie pomiary były sobie rówe, odchyleie stadardowe rówież byłoby rówe zero, w przypadku rozkładu ormalego obowiązuje tzw. reguła trzech sigm. Ie kometarze: żade wskaźik rozproszeia ie powiie zmieiać swej wartości, gdy do wszystkich elemetów próby zostaie dodaa ta sama liczba (dodatią lub ujemą), pomożeie każdego elemetu próby przez tę samą liczbę powio prowadzić do pomożeia wskaźika przez wartość bezwzględą tej liczby, wskaźiki rozproszeia ie są odpore a wartości odstające w próbie.

18 Wyzaczeie wariacji z szeregu rozdzielczego: s 2 k ( ) 1 = = i & i i 1 2 Przykład:

19 Ie miary rozproszeia Skala omiala miary iformacji (p. etropia rozkładu daych). Skala porządkowa rozstęp międzykwartylowy - ćwiartkowy (przedział między kwartylem pierwszym a trzecim). IQR = Q 3 Q 1 Skala ilorazowa tzw. względe miary zróżicowaia Współczyik zmieości: s V s = Stosoway w porówywaia siły dyspersji: kilku zbiorowości pod względem tej samej zmieej, jedej zbiorowości, ale ze względu a kilka różych zmieych. Przykład:

20 Miary asymetrii Po co są potrzebe? Przykład ilustracyjy Badao czas reakcji (w miutach) a lek w trzech grupach 100- osobowych. Dae przedstawioo w poiższej tabeli Czas reakcji Grupa 1 Grupa 2 Grupa 3 10, , , , , Średia arytmetycza i wariacja są jedakowe dla wszystkich grup i wyoszą =35 oraz s 2 =120. Ale czy grupy są idetycze? A co z wizualizacją rozkładów? Wykoajmy histogramy!

21 Grupa1 liczba osób ,20 20,30 30,40 40,50 50,60 Czas reakcji a lek (mi) Grupa2 Liczba osób ,20 20,30 30,40 40,50 50,60 Czas reakcji a lek (mi) Grupa3 liczba osób ,20 20,30 30,40 40,50 50,60 Czas reakcji a lek (mi) Dokoaj iterpretacji!

22 Miary kocetracji

23 Podsumowaie Omówioo: Więcej o daych: późiejsze wykłady + literatura. Warto rozszerzyć wiedzę, p. zapozać się z zagadieiami,,