OPTYMALIZACJA WYTRZYMAŁOŚCIOWA KŁADKI DLA PIESZYCH JAKO ZADANIE OPTYMALNEGO STEROWANIA

Transkrypt

1 LESZEK MIKULSKI, HENRYK LASKOWSKI OPTYMALIZACJA WYTRZYMAŁOŚCIOWA KŁADKI DLA PIESZYCH JAKO ZADANIE OPTYMALNEGO STEROWANIA STRENGTH OPTIMIZATION FOR FOOTBRIDGE AS AN OPTIMAL CONTROL PROBLEM Streszczenie Abstract Przedmiotem artkułu jest optmalne kształtowanie przekroju poprzecznego łuku kołowego wkonanego z rur o stałej średnic zewnętrznej i zmiennej grubości, któr jest elementem nośnm stalowej kładki pieszo-jezdnej. Dla pięciu stanów obciążenia minimalizowana jest objętość stali, prz ograniczeniach wtrzmałościowch i geometrcznch. Zadanie optmalnego kształtowania jest sformułowane w kategoriach teorii sterowania, warunki konieczne optmalizacji tworzą WPPB, któr rozwiązano numercznie za pomocą programu Dircol-.1. Słowa kluczowe: sterowanie optmalne, zasada maksimum The paper presents optimal modelling of the cross-section of a semi-circular arch made of tubes having fixed external diameter and variable thickness which is a carring member of a steel foot bridge. The steel volume is minimized for five states of load, taking into account the strength and geometrical constraints. The optimal design problem is formulated in terms of the control theor, the necessar optimization conditions form the multi-point boundar value problems, which is solved numericall b means of the Dircol-.1 software. Kewords: optimal control, maximum principle Dr hab. inż. Leszek Mikulski, prof. PK, dr inż. Henrk Laskowski, Insttut Mechaniki Budowli, Wdział Inżnierii Lądowej, Politechnika Krakowska.

2 98 1. Wstęp Artkuł dotcz optmalnego kształtowania przekroju poprzecznego łuku kołowego wkonanego z rur o stałej średnic zewnętrznej i zmiennej grubości. Dwa łuki kołowe stanowią ustrój nośn kładki pieszo-jezdnej. Kładka przeznaczona jest dla ruchu pieszego (szerokość pomostu 4 m) oraz dla ograniczonego ruchu pojazdów kołowch przewidzianego jako obciążenie wjątkowe. Na łukach oparta jest konstrukcja pomostu, któr pracuje jako belka ciągła trójprzęsłowa. Obciążenie z płt pomostu jest przekazwane na łuk przez podpor płt; są to obciążenia skupione. Łuk kołow jednoprzęsłow o rozpiętości 18,64 m i strzałce 3,30 m opart jest na dwóch łożskach stałch. Promień osi łuku wnosi 14,87 m. W artkule pominięto wpłw stanów montażowch na optmalizację.. Sformułowanie zadań optmalizacji Łuk kołow jest optmalizowan dla wbranej funkcji celu, którą jest objętość stali z uwzględnieniem ograniczeń. Zadanie optmalizacji sformułowane będzie następująco: dla łuku poddanego różnm stanom obciążenia należ wznaczć optmaln rozkład grubości rur, która minimalizuje przjętą funkcję celu i spełnia przjęte ograniczenia. W artkule rozważono następujące stan obciążenia: 1. Stan 0 obciążenie ciężarem własnm łuku. W tm stanie uwzględnia się tlko obciążenie ciężarem własnm optmalizowanego łuku w postaci obciążenia rozłożonego w odniesieniu do osi łuku.. Stan 1 obciążenie ciężarem własnm nadłucza. 3. Stan obciążenie tłumem pieszch. 4. Stan 3 obciążenie pojazdem na lewm słupku. 5. Stan 4 obciążenie pojazdem na prawm słupku. W stanach 1 4 obciążenie jest przekazwane na łuk przez podpor płt pomostu i są to sił skupione. Wartości tch sił wznaczono w programie Robot jako reakcje podpór belki ciągłej (płt pomostu). Wróżnionm stanom obciążenia odpowiadają zmienne stanu zestawione w tabeli 1. Tabela 1 Zmienne stanu Stan 0 Stan 1 Stan Stan 3 Stan 4 u: w: φ: M: Q: N: V: 31 gdzie: u przemieszczenie stczne do osi łuku, w przemieszczenie prostopadłe do osi łuku,

3 φ przemieszczenie kątowe, M moment zginając, Q siła poprzeczna, N siła podłużna, V objętość. 99 Stan 0 Stan 1 Stan Stan 3 Stan 4 Rs. 1. Stan obciążenia: stan 0 obciążenie ciężarem własnm łuku, stan 1 obciążenie ciężarem własnm nadłucza, stan obciążenie tłumem pieszch, stan 3 obciążenie samochodem S na lewm słupku, stan 4 obciążenie samochodem S na prawm słupku Fig. 1. States of loads: state 0 dead weight of the arch, state 1 dead weight of the superstructure, state crowd load, state 3 car S load on the left pillar, state 4 car S load on the right pillar

4 Równania stanu Równania różniczkowe stanu mają obecnie następującą postać kanoniczną ' ' ' 4 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 6 κ 17 + ' EAcos α cos α cos α 1κ 3 18κ + ' cos α EI cos α EI cos α 4 17κ ' EI cos α cos α 5 4 0κ ' + cos α EAcos α cos α 6κ qt0 19κ 1 ' + EI cos α cos α cos α EI cos α 5κ q n0 ' cos α cos α EI cos α 1 8κ 3 + ' EAcos α cos α cos α 7κ 9 4κ + ' cos α EI cos α EI cos α 10 3κ ' EI cos α (1) (.1) cos α () (.) κ ' + cos α EAcos α cos α 1κ 5κ 7 ' + EI cosα cos α EI cos α 11κ 8 ' cos α EI cos α 18 14κ 9 + ' EAcos α cos α cos α 13κ 15 30κ + ' cos α EI cos α EI cos α 16 9κ ' EI cos α cos α A ' 31 cos α ( ( ) ) π d d U ( x 0 x) 1 A π ( d ( d U) ), I, α arctan, κ 64 R ( x x 0 ) R q γ γ U cos α, q γ γ U sin α, γ ciężar w. stali, γ 1,1, U grubosc grubość rur t0 S 0 n0 S 0 S 0

5 101 Optmalizowan łuk opart jest na dwóch podporach stałch, a więzom tm odpowiadają następujące warunki brzegowe 1( 0) 0, ( 0) 0, 4( 0) 0, 7( 0) 0, 8( 0) 0, 10( 0) 0 13 ( 0) 0, 14 ( 0) 0, 16 ( 0) 0, 19 ( 0) 0, 0 ( 0) 0, ( 0) 0 5 ( 0) 0, 6 ( 0) 0, 8 ( 0) 0 (3) 1() l 0, () l 0, 4() l 0, 7() l 0, 8() l 0, 10() l 0 13 () l 0, 14 () l 0, 16 () l 0, 19 () l 0, 0 () l 0, () l 0 l 0, l 0, l 0 () () () Ponadto w punktach ((x a 5,44), (x b 13,44)) przekazwania obciążeń z płt pomostu przłożone są sił skupione P ij, które wwołują skoki zmiennch stanu. W punkcie x 5,44 skoki są następujące P11 cos α P11 sin α P1 cos α P1 sin α (4) 3 3 P31 cos α P31 sin α 9 9 P41 cos α + P sin α W punkcie x 13,44 nieciągłe pozostają zmienne stanu P11 cos α P11 sin α P1 cos α P1 sin α 3 3 P31 cos α P31 sin α 9 9 P41 cos α + P sin α Pozostałe zmienne stanu i pozostają ciągłe w punktach A i B. Ostatecznie łuk opisan jest układem 31 równań różniczkowch stanu (1), () z warunkami brzegowmi (3) i wewnętrznmi warunkami punktowmi (4), (5). (5)

6 10.. Funkcja celu Jako funkcję celu przjęto objętość zużtej stali, która jest całkowm wskaźnikiem jakości l π( d ( d U ) ) J ( U ) dx (6) cos α 0.3. Niezbędne ograniczenia W zadaniu optmalizacji uwzględnione został następujące kombinacje obciążeń: Kombinacje obciążeń Tabela Obciążenia Kombinacja 1 Kombinacja Kombinacja 3 Ciężar własn łuku x x x Ciężar własn nadłucza x x x Tłum pieszch x Pojazd na lewm słupku x Pojazd na prawm słupku x Dla każdego stanu obciążenia wznaczono naprężenia normalne we włóknach dolnch i górnch 4d 6 10d 1 16d 18 σ0d +, σ1 d +, σd + I A I A I A (7) d 4 8d 30 σ3d +, σ4d + I A I A d d d σ +, σ +, σ + I A I A I A d 4 8d 30 σ 3g +, σ 4g + I A I A g 1g g Uwzględniając kombinacje obciążeń, sumarcznie naprężenia możem zapisać następująco σ Id σ 0d + σ 1d + σ d, σ IId σ 0d + σ 1d + σ 3d, σ IIId σ 0d + σ 1d + σ 4d (9) σ σ + σ + σ, σ σ + σ + σ, σ σ + σ + σ Ig 0g 1g g IIg 0g 1g 3g IIIg 0g 1g 4g Maksmalne i minimalne naprężenia we włóknach górnch i dolnch zapiszem w postaci σ max, d max( σ Id,σ IId,σ IIId ), σ min, d min( σ Id,σ IId,σ IIId ) (10) σ max σ,σ,σ, σ min σ,σ,σ ( ) min, ( ) max, g Ig IIg IIIg g Ig IIg IIIg Ostatecznie naprężenie normalne uwzględniane w zadaniu optmalizacji zdefiniujem jako ( max, d min, d max, g min, g) σ max σ,σ,σ,σ (8) (11)

7 103 Dla przjętch kombinacji obciążeń naprężenia stczne wnoszą 5S S 17S τ IU IU IU 5S S 3S τ IU IU IU (1) 5S S 11 9S τ IU IU IU πd 4d π( d U) 4( d U) S 8 6π 8 6π Ekstremalne naprężenie stczne wznaczm z zależności τ max( τ1, τ, τ3) (13) Podobnie jak naprężenia stczne (1) zapiszem przemieszczenia, które odpowiadają założonm kombinacjom obciążeń Y1 1sin α + cos α + 7sin α + 8cos α + 13sin α + 14cos α Y 1sin α + cos α + 7sin α + 8cos α + 19sin α + 0cos α (14) Y sin α + cos α + sin α + cos α + sin α + cos α Ekstremalne przemieszczenie wnosi Y max ( Y (15) 1, Y, Y3 ) Zdefiniowane maksmalne naprężenia normalne (11), naprężenia stczne (13) oraz maksmalne przemieszczenia (15) umożliwiają zapisanie warunków ograniczającch zgodnch z przepisami normowmi g1 fd σ 0 g 0,58 fd τ 0 (16) g3 Yd Y 0 gdzie: f d wtrzmałość obliczeniowa stali, l Y d graniczne przemieszczenie pionowe Warunki konieczne optmalności Dla przjętch funkcji celu (6) i ograniczeń (16) zdefiniujem funkcję Hamiltona w postaci 31 gdzie λ i, μ i to mnożniki Lagrange'a. ( ) ( ) 3 3( ) H λ f x,, U + μ g, U + μ g i i i i i i 1 (17)

8 104 Do sformułowania warunków koniecznch optmalizacji służ zasada maksimum w wersji rozszerzonej, uwzględniająca ograniczenia zmiennch stanu i ich nieciągłości (4), (5) w skończonej liczbie punktów. Sterownie optmalne możem wznaczć, rozwiązując układ równań ' i H H H λ ', λ i, 0 i i U prz warunkach brzegowch (3) dla zmiennch stanu i warunkach transwersalności dla funkcji sprzężnch (19). Poniżej szczegółowo zestawiono warunki transwersalności 3 ( ) 5 ( ) 6 ( ) 9 ( ) 11 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ 7 ( 0) 0,λ 9 ( 0) 0,λ 30 ( 0) 0 λ 3 () l 0, λ 5 () l 0, λ 6 () l 0, λ 9 () l 0, λ 11 () l, λ 1 () l 0 () l () l () l () l () l () l λ () l 0, λ () l 0, λ () l 0 λ 0 0,λ 0 0,λ 0 0,λ 0 0,λ 0,λ 0 0 λ 0 0,λ 0 0,λ 0 0,λ 0 0,λ 0 λ λ 0, λ 0, λ 0, λ 0, λ λ Ponadto w punktach przłożenia sił skupionch obowiązują warunki ciągłości λ i ( x a) λ i ( x a), λ i ( x b) λ i ( x b) (0) H Z warunku 0 wznaczam optmalne sterowanie U (x), jeśli ograniczenie g i nie jest U aktwne, tzn. g i > 0. Funkcja Hamiltona (18) nie jest stała, ponieważ problem nie jest autonomiczn, ponadto funkcja Hamiltona jest nieciągła, w punktach x a, x b doznaje skoku + + (,λ,, a) (,λ,, b) + + (,λ,, b) (,λ,, b) H U x x H U x x + D H U x x H U x x + D 1 (18) (19) (1) 4. Rozwiązanie numerczne Po zestawieniu warunków koniecznch optmalizacji zadanie optmalnego kształtowania przekroju poprzecznego rur stalowej zostało sprowadzone do rozwiązania Wielopunktowego Problemu Brzegowego (WPPB) dla układu równań różniczkowch (1), (), (18) z warunkami brzegowmi i wewnętrznmi warunkami punktowmi (3), (4), (19), (0). Wielkościami, które należ wznaczć są: 31 zmiennch stanu i, 31 zmiennch sprzężonch, i λ 1 zmienna deczjna U, 3 mnożniki Lagrange a µ i, dwie stałe odpowiedzialne za skoki funkcji Hamiltona w punktach x a, x b. Ogółem do wznaczenia pozostaje 67 wielkości. Rozwiązanie sformułowanego problemu optmalnego kształtowania możliwe jest na drodze numercznej. Rezultat numerczne uzskano, wkorzstując do optmalizacji pogram numerczn Dircol-.1. Po rozwiązaniu WPPB otrzmano następującą strukturę rozwiązania optmalnego z 8 punktami zmian sterowania

9 105 U1 gd x (0, 000; 3,19) Uopt gd x (3,19; 3, 74) g1 0 gd x (3, 74; 6, 90) U1 gd x (6, 90; 11, 70) U( x) Uopt gd x (11,70;1,50) g1 0 gd x (1, 50; 14, 384) Uopt gd x (14, 384; 15, 448) g1 0 gd x (15, 448; 16, 51) U1 gd x (16,51;18,640) () dla której wartość funkcji celu (7) wnosi J 0, W wniku optmalizacji uzskano optmaln rozkład zmiennej deczjnej U. Strukturę rozwiązania podaje zależność (). W analizowanm przkładzie aktwne są ograniczenia geometrczne oaz ograniczenia naprężeń normalnch (SGN). Warunek na SGU g 3 > 0 pozostaje zawsze spełnion, tzn. że przemieszczenia dopuszczalne nie są przekroczone. Uzskane rozwiązanie spełnia warunki konieczne optmalności. Na podstawie uzskanego w ten sposób rozwiązania teoretcznego można bło dobrać grubości rur dostępnch w handlu oraz ich kolejności wstępowania wzdłuż optmalnego łuku. W odpowiednich procedurach sformułowano zadanie optmalizacji, wprowadzając dodatkowe przedział charakterstczne, w którch możliwa jest realizacja założonch zmian grubości rur. I tak, przedział pierwsz (0, x a ) podzielono na trz przedział, przedział drugi (x a, x b ) na pięć, a trzeci na trz (x b, l). Dopuszczono dowolne zmian położenia granic dodatkowch przedziałów charakterstcznch, jednak w ramach pierwszego podziału. W dodatkowch punktach charakterstcznch wprowadzono warunki zmiennch stanu wnikające z ich ciągłości. Uzskane rozwiązanie optmalne odcinkowo stałe przedstawiono na rsunku 7c), także i w tm przpadku aktwne są tlko (punktowo) ograniczenia na naprężenia normalne. Wkres zmiennch stanu, funkcji sprzężonch, funkcji Hamiltona i ograniczeń zamieszczono na rs. 7. Wartość funkcji celu wnosi obecnie J 0,60567, potwierdza to znaną prawidłowość, że uwzględnienie w zadaniu optmalizacji dodatkowch ograniczeń powoduje zawsze wzrost funkcji celu. 5. Podsumowanie Stosując konsekwentnie zasadę maksimum, uzskano rozwiązania sformułowanego zadania optmalnego kształtowania. Warunki konieczne rozwiązania optmalnego zestawiono jako WPPB, któr następnie rozwiązano numercznie za pomocą programu Dircol W niniejszm artkule prezentujem wniki numercznego ścisłego rozwiązania optmalnego.

10 106 Rs.. Zmienne stanu i zmienne sprzężone w stanie 0 Fig.. State variables and adjoint variables in the state 0

11 Rs. 3. Zmienne stanu i zmienne sprzężone w stanie 1 Fig. 3. State variables and adjoint variables in the state 1 107

12 108 Rs. 4. Zmienne stanu i zmienne sprzężone w stanie Fig. 4. State variables and adjoint variables in the state

13 Rs. 5. Zmienne stanu i zmienne sprzężone w stanie 3 Fig. 5. State variables and adjoint variables in the state 3 109

14 110 Rs. 6. Zmienne stanu i zmienne sprzężone w stanie 4 Fig. 6. State variables and adjoint variables in the state 4

15 111 [m] Rs. 7. a) Objętość i zmienna sprzężona, b) funkcja Hamiltona, c) rozwiązanie optmalne, d) ograniczenie G 1, e) ograniczenie G, f) ograniczenie G 3 Fig. 7. a) Volume and adjoint variable, b) Hamilton function, c) optimal solution, d) rectriction G 1, e) rectriction G, f) rectriction G 3

16 11 Uzskane rozwiązanie optmalne dla wielorakich stanów obciążeń pozwala wznaczć także rozwiązania optmalne odcinkowo stałe akceptowane w praktce inżnierskiej. Otrzmane rozwiązanie optmalne jest możliwe w praktcznej realizacji, a ograniczenia nośności i użtkowania nie są przekroczone w każdm stanie obciążenia. Prezentowan przkład optmalnego kształtowania łuku pozwala stwierdzić, że metod sterowania optmalnego mogą bć stosowane w praktce lub bć miarą praktcznego projektowania. Wielce Szanownemu Panu Profesorowi zw. dr. hab. inż. Antoniemu Ostoji-Gajewskiemu, wieloletniemu Drektorowi Insttutu Fizki Politechniki Krakowskiej, absolwentowi Wdziału Budownictwa Lądowego PK dedkujem ten artkuł, w którm nawiązujem do problematki badawczej Jubilata i wrażam podziękowanie za wieloletnią współpracę. Literatura [1] Bulirsch R., Montrone F., Pesch H.J., Abort Landing in the Presence of a Windshear as a Minimax Optimal Control Problem, Part:1 Necessar Conditions, Journal of Optimization. Theor and Applications 70, 1991 A, 1-3. [] Gajewski A., Ż czkowski M., Optimal structural design under constraints, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Boston London [3] Gajewski A., Ż czkowski M., Optmalne kształtowanie ustrojów prętowch prz warunkach stateczności, Wbrane zagadnienia stateczności konstrukcji, [4] Laskowski H., Mikulski L., Ostaficzuk J., Rozwiązania teoretczne i ich praktczne zastosowania w optmalizacji konstrukcji, Pomiar, Automatka, Kontrola 8, 007, [5] Mikulski L., Teoria sterowania w problemach optmalizacji konstrukcji i sstemów, Wdawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 007, [6] Strk O. von, User's Guide DIRCOL A Direct Collocation Method For The Numerical Solution of Optimal Control Problems, Technische Universität Darmstadt, Fachgebiet Simulation und Sstemoptimierung (SIM), Version.1, April 00.