W. Guzicki Zadanie 30 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

Transkrypt

1 W. uzicki Zadanie 0 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzon Zadanie 0. an jest sześcian (zobacz rsunek), którego krawędź ma długość 5. unkt i dzielą krawędzie i w stosunku :, to znacz, że 0. łaszczzna przecina krawędzie i odpowiednio w punktach i. Oblicz długości odcinków i. ozwiązanie podobnch zadań przestrzennch będzie się sprowadzało do rozwiązania kilku zadań dotczącch poszczególnch płaszczzn. W rozwiązaniu będziem korzstać z podobieństwa trójkątów prostokątnch. rzpomnijm najpierw, że dwa trójkąt i nazwam podobnmi (prz odpowiedniości wierzchołków: wierzchołek pierwszego trójkąta odpowiada wierzchołkowi drugiego trójkąta, wierzchołek odpowiada wierzchołkowi i wierzchołek odpowiada wierzchołkowi ), jeśli zachodzą następujące dwa warunki: () odpowiadające sobie kąt obu trójkątów są równe, tzn., oraz, () odpowiadające sobie boki obu trójkątów są proporcjonalne, tzn.. odobnie jak to miało miejsce w przpadku przstawania trójkątów, nie musim sprawdzać wszstkich warunków, b przekonać się, że dwa trójkąt są podobne. Istnieją bowiem trz cech podobieństwa trójkątów; w każdej z nich wstarcz sprawdzić tlko niektóre z powższch równości. W rozwiązaniu naszego zadania nie będziem jednak korzstać z tch cech podobieństwa (i dlatego nie będę ich tu formułował). korzstam

2 W. uzicki Zadanie 0 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzon z twierdzenia ukazującego dwie stuacje, w którch istnieją trójkąt podobne. Oto to twierdzenie. Twierdzenie. rzpuśćm, że mam dane dwie proste przecinające się w punkcie, przecięte dwiema prostmi równoległmi. Możliwe są dwie stuacje, zilustrowane na poniższm rsunku: W pierwszej z nich mam dwie półproste i oraz punkt i leżące odpowiednio na półprostch i. Zakładam prz tm, że proste i są równoległe (zobacz rsunek po lewej stronie). W drugiej z nich proste i przecinają się w punkcie leżącm wewnątrz odcinków i. Znów zakładam, że proste i są równoległe (zobacz rsunek po prawej stronie). W obu stuacjach trójkąt i są podobne. W rozwiązaniu zadania 0 skorzstam z tego, że w obu powższch stuacjach zachodzą równości. o tm wstępie przejdziem do rozwiązania zadania 0. ozwiążem je jednak od razu w postaci ogólnej. Zadanie 0a. an jest sześcian (zobacz rsunek), którego krawędź ma długość. unkt i leżą odpowiednio na krawędziach i, prz czm p oraz q. łaszczzna przecina krawędzie i odpowiednio w punktach i. Oblicz długości odcinków i. q p

3 W. uzicki Zadanie 0 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzon ozwiązanie. Niech punkt V będzie punktem przecięcia prostej z prostą i niech punkt W będzie punktem przecięcia prostej z prostą. Te punkt przecięcia naprawdę istnieją, gdż proste, i leżą w jednej płaszczźnie (jest to płaszczzna górnej ścian sześcianu) i nie są równoległe. Niech następnie punkt będzie punktem przecięcia prostej W z prostą (obie proste leżą w płaszczźnie lewej ścian sześcianu, tzn. ścian ). Niech wreszcie punkt będzie punktem przecięcia prostej V z prostą (obie proste leżą w płaszczźnie prawej ścian sześcianu, tzn. ścian ). W q p V opatrzm na płaszczznę górnej ścian sześcianu. Zauważam, że trójkąt i V są podobne. Zatem V, V p( q) p. Teraz popatrzm na płaszczznę przedniej ścian sześcianu. Zauważam, że trójkąt V i są podobne. Zatem V. rzjmijm, że x. Wted x. Zatem x x p( q) p, p( q) x p.

4 W. uzicki Zadanie 0 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzon 4 tąd wnika, że Zatem x p( q) p + p pq + p p x p pq. pq p. Jeszcze raz popatrzm na płaszczznę górnej ścian sześcianu. Tm razem zauważam, że trójkąt i W są podobne. Zatem W W, q( p) q. Teraz popatrzm na płaszczznę lewej ścian sześcianu. Zauważam, że trójkąt W i są podobne. Zatem W. rzjmijm. Wted. Zatem q( p) q, tąd wnika, że Zatem q( p) q To kończ rozwiązanie zadania. q( p) q. + q pq + q q q pq. pq q. opatrzm teraz na kilka szczególnch przpadków tego zadania. Jeśli p q, to Jeśli p q, to 4.

5 W. uzicki Zadanie 0 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzon 5 Jeśli p q, to 9 4. Jeśli p oraz q, to 4 oraz. Jeśli p oraz q, to 6 5 oraz Jeśli p oraz q, to oraz 9 7.