Równoważne układy sił

Transkrypt

1 Równoważne układ sił Równoważnmi układami sił nawam takie układ, którch skutki diałania na ten sam obiekt są jednakowe. Jeżeli układ sił da się astąpić jedną siłą, to siłę tą nawam siłą wpadkową. Wpadkowa bieżnego układu sił W = + 2 Jeżeli:,, ] [ [ 2, 2, 2 2 ] W = + 2 to W W, W, W ] [ gdie: W = + 2 W = + 2 W = + 2

2 Wpadkowa dwóch sił równoległch rpadek W = + 2 YTNIE: gdie siłę wpadkową umieścić? jaka jest linia diałania sił? 2 2 k k 2 W k k W = + 2 = + ( ) 2 2 ( ) k W W 2 k 2 W = W + W2 = + 2

3 rpadek k k 2 W 2 ( ) W = W k W = + ( ) k 2 k k 2 W = W + W2 = + 2

4 rpadek 3 Układ ten nie daje się sprowadić do wpadkowej. Nawam go parą sił.

5 arę sił charakteruje moment par sił, któr oblicam ( ) ( ) 2 ( ) ( 2 ) M M M r r r r r = + = + = =, (.9) M r 2 α h r = r gdie: r =, r 2 =, r =. Wektor momentu M par sił ma kierunek prostopadł do płascn diałania par sił, a jego wartość jest równa M = sinα = sinα = h. (.20) W roważaniach praktcnch, gd wsstkie sił diałają w jednej płascźnie, a tlko wektor momentu prostopadle do tej płascn, będiem cęsto stosować pojęcie par sił, nawając ją potocnie momentem M onacanm na rsunku w płascźnie diałania sił łukiem akońconm strałką, godnie kierunkiem diałania momentu. M M Jeżeli moment kręci preciwnie do ruchu wskaówek egara, to uważam go a dodatni, jeżeli godnie a ujemn.

6 Własności par sił (S): ) rut S na dowolną oś jest równ ero W = + ( ) = 0 wpadkowa par sił jest erowa ( ) 0 + = = 2) moment S nie ależ od punktu, wględem którego go licm i równ jest ilocnowi sił pre odległość międ siłami. Istotnie, podstawiając r 2 = r + do (.9) mam M = ( r + ) r = r + r = - wektor prostopadł do płascn diałania sił h - wektor swobodn skąd na podstawie (.20) otrmujem M = h. (.2)

7 3) jedną S możem astąpić inną, pod warunkiem, że ich moment będą równe co do wartości i naku. r r 2 2 r = r Zatem, parę sił można astąpić inną parą sił o momencie M=r. 2 r 2 2 r 2 = r 2 r r r = r

8 4) S można dowolnie presuwać w płascźnie jej diałania i równolegle wględem tej płascn (moment par sił jest wektorem swobodnm). Własność ta wnika własności 2. 5) dowolną licbę S, diałającch w jednej płascźnie, możem astąpić jedną S, pr cm moment par wpadkowej musi bć równ sumie momentów poscególnch S. rkładowo, jeżeli na ciało diała n par sił, którch sił są równe, 2,..., n, a ich ramiona r, r 2,..., r n, to możem dobrać wpadkową parę sił, której siła ma wartość W, a ramię r. r r 2 n r n n W r W Kolejne par sił astępujem: 2 2 r = r r 2 2 = 2 r.. r = r, n n a po sumowaniu otrmujem: n n n r = ( i ) r = Wr, gdie i i i= i= n r = i W = i r. n i i= i=

9 resuwanie sił w kierunku prostopadłm do linii jej diałania Układ łożon sił prłożonej w punkcie astępujem układem równoważnm, łożonm takiej samej sił prłożonej w punkcie i jedną S o momencie M = c. c M = c resuwanie sił prostopadle do linii jej diałania jest możliwe, ale... wmaga dodania dodatkowego momentu!!!

10 Redukcja dowolnego układu sił do jednej sił i jednej par sił Dowoln układ sił możem astąpić równoważnm układem sił. Warunkiem jest, ab siła i moment wpadkow (sumarcn) układu równoważnego i wjściowego bł sobie równe. Każd układ sił można redukować do układu łożonego jednej tlko sił, wanej siłą główną, i jednego momentu, wanego momentem głównm. Siłę główną dowolnego układu sił oblicam ależności W = n i= i, aś moment główn i M i M = n r + 0 i i j. i= j= m M i gdie: n licba sił, m licba momentów (par sił) M r i W Sił i ora moment M i diałające na brłę i odpowiadająca im siła główna W i moment główn M 0

11 Dla bieżnego układu sił słusne jest następujące twierdenie, wane twierdeniem Varignona. Twierdenie Moment bieżnego układu sił, wględem dowolnego punktu jest równ sumie momentów poscególnch składowch wględem tego punktu. 2 W r n Dowód: cli M = r + r r n, n M = r ( i ) = r W. (.8) i=

12 Stopnie swobod, wię i ich reakcje Licbą stopni swobod punktu (brł, układu punktów lub brł) nawam licbę nieależnch współrędnch, opisującch jednonacnie położenie punktu (brł, układu punktów lub brł) w prestreni. Weźm pod uwagę punkt muson do poostawania na pewnm tore. Jego położenie będie określone jednonacnie pre jedną współrędną, np. długość łuku tego toru od położenia pocątkowego do ropatrwanego (por. rs.). 0 takim punkcie mówim, że ma jeden stopień swobod. ołożenie w chwili t s ołożenie pocątkowe ołożenie punktu porusającego się po adanm tore

13 Z kolei punkt muson do poostawania na płascźnie π (lub ) ma dwa stopnie swobod. Wrescie punkt mogąc się porusać swobodnie w prestreni ma tr stopnie swobod. π ołożenie punktu w płascźnie ołożenie punktu w prestreni dbierając punktowi stopieni swobod musam go do poostawania na płascźnie, a odbierając mu 2 stopnie swobod musam go do poostawania na linii. unkt, któremu odbierem 3 stopnie swobod, będie punktem nieswobodnm i nie będie mógł wkonwać żadnch ruchów.

14 odobnie możem mówić o stopniach swobod układu punktów. Gd układ składa się n punktów, aś w jest licbą nieależnch równań opisującch ogranicenia swobod układu (równań więów), to licbę stopni swobod układu oblicam s = 3n w. (.22) rkładowo: a) jeden punkt swobodn (n =, w = 0) ma s = 3 0 = 3 stopnie swobod b) l punktów swobodnch (n = l, w = 0) ma s = 3l 0 = 3l stopni swobod c) jeden punkt poostając na płascźnie (n =, w = ; = (, )) ma s = 3 = 2 stopnie swobod d) jeden punkt poostając na linii (n =, w= 2; = (), = ()) ma s = 3 2 = stopień swobod e) dwa punkt poostające w stałej odległości od siebie (n = 2, w = ; ( b a ) 2 + ( b a ) 2 + ( b a ) 2 = r 2 ) ma s = 3 2 = 5 stopni swobod. r ϕ ψ ołożenie dwóch punktów poostającch w stałej odległości r

15 ołożenie brł w prestreni określają jej tr punkt nie leżące na jednej prostej. więc n = 3, w = 3 (stałe odległości międ tmi punktami), skąd s = = 6. rła w prestreni ma 6 stopni swobod. ϕ ϕ ϕ ołożenie brł w prestreni rła musona do poostawania na płascźnie (n = 3, w = 4; stałe 3 odległości międ punktami ora jeden punkt nie może się oderwać od płascn) ma s = = 5 stopni swobod. ϕ ϕ ϕ ołożenie brł punktem poostającm w stku płascną

16 rła, której jeden punkt ostał unieruchomion (n = 3, w = 6; stałe tr odległości międ punktami ora 3 odebrane stopnie swobod jednemu punktowi), ma s = = 3 stopnie swobod. ϕ ϕ ϕ ołożenie brł punktem nieruchomm granicając swobodę ciała (nakładając na to ciało wię), możem spowodować pojawienie się dodatkowch sił, tw. sił reakcji, które uniemożliwiają ruch ciała w określonm kierunku. Kierunki reakcji są godne kierunkami odebranch stopni swobod.

17 Zmusając punkt do poostawania na linii, uniemożliwiam mu ruch w kierunku osi i, leżącch w płascźnie prostopadłej do toru. Mogą się atem pojawić dwie sił reakcji (lub dwie składowe jednej sił reakcji), diałające w kierunku osi i. R R Sił reakcji diałające na punkt porusając się po adanm tore Zmusając punkt do poostawania na płascźnie, uniemożliwiam mu ruch w kierunku osi. ojawi się atem siła o kierunku godnm kierunkiem osi. R Siła reakcji diałająca na punkt poostając na płascźnie Na punkt swobodn nie diałają żadne dodatkowe sił, gdż nie odbieram mu żadnch stopni swobod.

18 Jeżeli jeden punkt brł musam do poostawania na płascźnie, a więc gd ma ona 5 stopni swobod, odbieram jej jeden stopień swobod (możliwość ruchu w kierunku prostopadłm do płascn). W tm też punkcie pojawi się dodatkowa siła reakcji. R Siła reakcji diałająca na brłę, której punkt poostaje na płascźnie Natomiast, jeżeli jeden punkt brł unieruchomim, odbieram jej 3 stopnie swobod. onieważ unieruchomion punkt nie może się porusać w kierunku osi,,, pojawią się w tm punkcie 3 dodatkowe sił reakcji R, R, R. R R R Siła reakcji diałająca na brłę, której jeden punkt jest unieruchomion Na brłę swobodną, mającą 6 stopni swobod, nie diałają żadne dodatkowe sił.

19 Klasfikacja więów i ich reakcji postać I postać II postać III debrano stopień swobod nacenia: Kierunki reakcji Kierunki możliwego ruchu debrano 2 stopnie swobod debrano 3 stopnie swobobod

20 debrano 5 stopni swobod debrano 4 stopnie swobod

21 onieważ w dalsm ciągu ajmować się będiem głównie agadnieniami płaskimi, będiem mieli wkle do cnienia wbranmi, możliwmi dla agadnień płaskich, więami. Wię te dielim na tr grup:. Wię o jednej niewiadomej a) b) c) d) powierchnia gładka pregub prma cięgno. łożsko śligowe (be tarcia) powierchnia gładka rkład więów o jednej niewiadomej: a) podparcie na idealnie gładkiej powierchni, b) podparcie w łożsku ruchomm, c) podparcie na ostru lub ostrej krawędi, d) awiesenie na wiotkim cięgnie 2. Wię o dwóch niewiadomch a) b) powierchnia chropowata pregub rkład więów o dwóch niewiadomch: a) podparcie na powierchni chropowatej, b) podparcie w łożsku stałm

22 3. Wię o trech niewiadomch (utwierdenie stwne, podpora wspornikowa) rkład więów o trech niewiadomch Wię ponadto dielim na: ) idealne 2) recwiste. Więami idealnmi są takie wię, w którch praca sił reakcji jest równa eru. W praktce onaca to, że pomijam w nich sił tarcia.

23 Układ statcnie wnacalne i inne Układ, w którm ogólna licba nałożonch więi w (niewiadomch sił reakcji) jest równa licbie możliwch do napisania równań r nawam układem statcnie wnacalnm (iostatcnm, stwn). W układie takim licba stopni swobod s=r-w jest erowa (s=0). nacono: s licba stopni swobod r licba równań do dspocji w licba nienanch sił reakcji więi Licbę równań do dspocji oblicam: r = 3 n - układ płaski r = 6 n - układ prestrenn gdie: n - licba brł (ciał) R 2 R 3 R Układ statcnie wnacaln w = r, tj. s = 0

24 Jeżeli ropatrwan układ ma więcej niewiadomch niż równań, to niewiadomch tch nie da się wnacć metodami mechaniki ogólnej. Układ taki nawać będiem układem statcnie niewnacalnm (hiperstatcnm, prestwnion). Niewiadome w takich układach mogą bć wnacone tlko pr ałożeniu odkstałcalności. Zagadnieniami tmi ajmuje się wtrmałość materiałów. R 2 R 4 R 3 Układ statcnie niewnacaln R w > r, tj. s < 0 Jeżeli licba niewiadomch w układie jest mniejsa niż licba równań, to układ taki nawam układem chwiejnm (hipostatcnm, niedostwnion). Układami chwiejnmi są wselkiego rodaju mechanim. Takimi układami ajmuje się teoria masn i mechanimów. R 2 R w < r, tj. s > 0 W mechanice ogólnej ajmować się będiem układami statcnie wnacalnmi.

25 kreślanie statcnej wnacalności układu c = 4 licba ciał ciało ciało 2 ciało 3 p = 6 licba w i licba odebranch stopni swobod (reakcji więów) w i-tm podparciu ciało 4 r c licba stopni swobod ciała swobodnego dla układu płaskiego (r c =6 dla układu prestrennego) podparcie w =3 podparcie 2 w 2 =2 podparcie 3 w 3 = podparcie 4 w 4 =2 podparcie 5 w 5 =2 podparcie 6 w 6 = r = c r c = 4 3 = 2 r > w układ chwiejn s= r - w = 2 = w układie poostaje woln jeden stopień swobod w 6 = w i i= = = onieważ s > 0, to układ jest chwiejn (mechanim).

26 Sił i ich źródła Sił diałające na układ możem podielić w ależności od prjętego krterium. rkładowo e wględu na naturę ficną możem wróżnić sił: grawitacjne (prawo powsechnego ciążenia, prciąganie mas) magnetcne, i inne. Ze wględu na ich położenie wględem ropatrwanego układu: wewnętrne ewnętrne. Ze wględu na sposób ich oddiałwania na układ: cnne bierne (reakcje podpór) opor ruchu (tarcie, opór tocenia, tarcie cięgien). Ze wględu na ich rołożenie w prestreni: prestrenne [N/m 3 ] powierchniowe [N/m 2 ] liniowe [N/m] punktowe [N].

27 Sił wewnętrne i ewnętrne Roważm kilka ciał poostającch pod diałaniem sił. Taki układ ciał nawam układem mechanicnm. Sił, które diałają na układ mechanicn dielim na sił wewnętrne i sił ewnętrne. Sił wewnętrne są to sił pochodące od ciał należącch do roważanego układu. Sił ewnętrne są to sił pochodące od ciał nie należącch do roważanego układu. cnne (starające się ciało wprawić w ruch) bierne lub inacej reakcje (preciwdiałające ewentualnemu ruchowi).

28 Q Z Q Z Q 2 W roważan układ Q 3 Z Q 3 roważan układ Q 2 30 Z 2 2 W Q 2 32 Sił wewnętrne wstępują awse jako dwójki erowe. onieważ skutek diałania takich sił jest erow można je pominąć w dalsch roważaniach.