1 4πε. Fizyka elementarna materiały dla studentów. Części 18 i 19. Prawo Gaussa

Transkrypt

1 Fika lmntana matiał dla studntów. Cęści 18 i 19. Pawo Gaussa Cęściowo pgotowan na podstawi matiałów oku akadmickigo 007/8. Agniska Kogul Litatua: J. Blinowski, J. Tlski Fika dla kanddatów na wżs uclni J. Blinowska,J.Gaj,A.Smacha,W. Zilic Fika i astonomia. Cęść II Rodiał 1 Engia potncjalna oddiałującch ładunków waża się alżnością: Qq E pot k, Qq <0 pol sił pciągania, Qq>0 pol sił odpchania Watość stuminia wktoa natężnia pola lktcngo E pchodącgo p dowolną amkniętą powichnię S jst ówna watości ładunku całkowitgo awatgo wwnąt tj powichni. Co apisujm q dla pola lktcngo Φ dla pola gawitacjngo Φ 4πGM ε Widim tu analogi, ż G odpowiada 0 1 4πε. Analogia pomięd polm lktostatcnm a gawitacjnm Pol gawitacjn Pol lktostatcn Źódło Masa M Ładunk Q Natężni pola F F γ E m q Natężni pola cntalngo GM kq γ E Siła oddiałwania dwóch Mm Qq obiktów F G F k 0 Engia potncjalna GMm E pg pol sił pciągania Qq E p k, gd Qq <0 pol sił pciągania, Qq>0 pol sił odpchania

2 Wpowadni óżn układ współędnch. Matiał do samodilngo opacowania p studntów. 1. Współędn bigunow Na płascźni wbiam układ katjański X,Y. Współędn bigunow punktu ( ρ, ) to odpowidnio długość jgo wktoa wodącgo ρ oa kąt międ dodatnia półosią X a wktom wodącm, tw. kąt amutaln ( 0 dla punktu na tj półosi). Zwiąk pomięd współędnmi bigunowmi a katjańskimi: ρ cos ρ sin Na poniżsm sunku anacono now współędn oa mian położnia p nialżnch postach minnch bigunowch. Uwaga! Smbol ρmoż onacać gęstość, współędną w układi bigunowm oa walcowm.. Współędn clindcn (walcow) W pstni 3-wmiaowj wbiam katjański układ X,Y,Z. Współędn clindcn punktu ( ρ,,) to odpowidnio: ρ odlgłość od osi Z, kąt międ dodatnia półosią X a utm wktoa wodącgo na płascźni 0,, tw. kąt amutaln ( 0 dla punktu na dodatnij półosi X), wkła współędna katjańska. Zwiąk pomięd współędnmi clindcnmi a katjańskimi: ρ cos ρ sin Uwaga! Dla ustalongo układ clindcn jst układm bigunowm. Wso jdnostkow w układi clindcnm

3 Każdj współędnj można ppisać wso. Gomtcni, wso ) ρ w punkci A jst postopadł do biou punktów tak samo odlgłch od pocątku układu współędnch co punkt A i ma wot od mnijsch do więksch watości ρ. Podobni wso ) w punkci A jst postopadł do biou punktów o takim samm kaci amutalnm co punkt A i ma wot od mnijsch do więksch watości. Analogicni stuacja wgląda któa jst podobna jak współędna katjańska. Pkład : Waź wkto wodąc punktu a pomocą wsoów w układi clindcnm. W małm psunięciu + Waźm atm i w układi clindcnm. cli + w układi katiańskim. ( ρ cos) + ( ρ sin ) + ( ρ cos + ρ cos) + ( ρ sin + ρ sin ) ( ρ cos ρ sin sin ) + ( ρ sin + ρ cos ) ( cos + sin ) + ρ( sin + cos ) ρ ρ wkto wodąc ρ + + ρ + + ρ + ρ cos + sin sin + cos ρ Współędn sfcn (kulist) W pstni 3-wmiaowj wbiam katjański układ X,Y,Z. Współędn sfcn punktu (,θ,) to odpowidnio: odlgłość od pocątku układu współędnch, θ kąt międ wktom wodącm punktu a dodatnią półosią Z. θ 0 dla punktów lżącch na tj półosi, tw. kąt bigunow (polan). idntcni jak w układi clindcnm, kąt międ dodatnia półosią X a utm wktoa wodącgo na płascźni 0, tw. kąt amutaln. Zwiąk pomięd współędnmi clindcnmi a katjańskimi: sin θ cos sin θ sin cosθ

4 Na poniżsm sunku anacono now współędn oa mian położnia p nialżnch postach minnch sfcnch. Pkład : Waź wkto wodąc punktu a pomocą wsoów w układi sfcnm. W małm psunięciu + Waźm atm i w układi sfcnm. cli + w układi katiańskim. ( sin θ cos) + ( sin θ sin ) + ( cosθ) θ wkto wodąc + + ( sin θ cos + sin θ sin + cosθ ) + ( cosθ cos + cosθ sin sin θ ) + sin θ( sin + cos ) + θ θ + sin θ θ sin θ cos + sin θ sin + cosθ cosθ cos + cosθ sin sin θ sin + cos + +

5 Zadania do owiąania na ćwicniach Zadani 1 Udowodnij, ż na punkt matialn o masi m umiscon wwnąt jdnoodnj powłoki sfcnj o dowolnch omiaach ni diała żadna siła. Zadani (wpowadni pojęcia stuminia) kg P cas T10 h padał pionowo dsc o natężniu j 0,1. Oblic, il wod bała m h stojąca pionowo bcka, któj poiom otwó ma powichnię S 1m. Il wod błob w bcc po tm samm dscu, gdb bcka bła pchlona tak, ż jj oś twołab kąt α pionm? Wpowadni do adania 3 (układ sfcn) Zadani 3 Oblic stumiń natężnia pola gawitacjngo pchodąc p sfę o pominiu R (ointacja na wnąt ), w śodku któj najduj się punkt matialn o masi M. Jak wnacć natężni pola gawitacjngo lub lktcngo, w ppadku, gd okład ładunków wtwaającch to pol jst smtcn oa gd ładunki najdują się na powichniach? 1. Daną powichnię, na któj najduj się masa lub ładunk nalż otocć powichnią o smtii kulistj, clindcnj lub wględm płascn. Moż nią bć powichnia kuli, walca lub postopadłościanu.. Otocnia naładowanj powichni dokonujm tak, ab pwidwan wkto pola bł w każdm punkci postopadł do powichni punktu 1. P takim wbo kąt pomięd S a E będi ówn o. 3. Stosujm pawo Gaussa q dla pola gawitacjngo Φ 4πGM dla pola lktcngo Φ ε0ε 4. Oblicam watość stuminia a pomocą watości natężnia pola i powichni Φ E S 5. Poównujm 4 oa 5 Wjaśnijm dokładnij punkt 1 owiąując poniżs adani. Zadani 4 W pustj pstni najduj się punktow źódło o natężniu E( ) a, gdi a jst 3 pwna stałą, a wktom położnia o pocątku w źódl pola. Pokaż, ż stumiń natężnia pola p amkniętą, otacającą źódło powichnię ni alż od jj kstałtu. Wskaówka: Podil pstń na ostosłup o wichołkach w źódl pola.

6 Zadani 5 (gęstość objętościowa ładunku) Pdstaw alżność natężnia pola lktcngo od odlgłości od śodka kuli o pominiu R, ównomini naładowanj dodatnim ładunkim Q o gęstości objętościowj ρ. Zadani 6 (gęstość powichniowa ładunku) Pdstaw alżność natężnia pola lktcngo od odlgłości od śodka kuli ównomini naładowanj powichniowo, ładunkim dodatnim o gęstości σ. Zadani 7 Dwi duż płascn umiscono ównolgl do sibi. Na jdnj nich najduj się ładunk dodatni, a na dugij ujmn o gęstości powichniowj σ. Oblic natężni pola lktcngo wwnąt i na wnąt płascn. Wpowadni do adania 7 (układ clindcn) Zadani 8 Znajdź natężni pola E w walcowm wdążniu w jdnoodni naładowanm walcu. Gęstość ładunkowa wnosi ρ. Pomini walców to odpowidnio 1 (duż- pat sunk) > R + oa.(mał) Odlgłość międ śodkami R ( ) 1 R 1