Podstawy elektrodynamiki 1

Transkrypt

1 Wstęp Podstawy eektodynamiki Zakes wykładu Podęcniki Waunki aicenia D hab. inż. Włodimie Zieniutyc, pof. nadw. PG, pok. 74, e-mai: w@eti.pg.gda.p Zakes wykładu Zakes wykładu cd. Wstęp Matematycne naędia opisu jawisk poowych Koncepcja mateii ciągłej ównania Mawea w póżni intepetacja fiycna Ośodki mateiane w obecności pó eektycnego i magnetycnego Waunki na ganicy ośodków da pó: eektycnego i magnetycnego Zaeżności enegetycne twiedenie Poyntinga Eektostatyka i magnetostatyka jako scegóne pypadki ównań Mawea Faa płaska jako owiąanie ównań Mawea w układie współędnych postokątnych Kookwium aicające 3 4 Podstawy eektodynamiki

2 Waunki aicenia Podęcniki etena wieda!!! W sumie do dobycia: pkt.: katkówki w amach ćwiceń: 5 pkt. test (wykład-ostatni tydień ajęć): 5 pkt. Waunek aicenia: co najmniej 5 pkt. Notatki wykładów (dostępne na stonie Katedy T. Moawski, W. Gwaek, Teoia Poa Eektomagnetycnego (Poa i Fae Eektomagnetycne), WNT, Wasawa, 998 David J. Giffiths, Podstawy eektodynamiki, PWN, Wasawa, Podęcniki akademickie akesu eektomagnetymu i teoii poa eektomagnetycnego Uwaga: dobycie 5 pkt. dowonej cęści wania e dawania tej cęści w każdym następnym teminie aicenia 5 6 Motto wykładu Kótka histoia eektomagnetymu oumienie i mądość są owocem oka kontempującego świat, nie bioą się aś cystego nagomadenia faktów, nieaeżnie jak inteesujących pof. K. Wojtyła (Jan Paweł II) taożytna Gecja eekton Wieki śednie - Miasto Magnesia (disiaj Tucja) Złote ata badań na jawiskami eektycnymi i magnetycnymi (XVIII XIX wiek) 873 James Mawe pubikuje swoje ównania (wane ównaniami Mawea), Heidich Het wykonuje seię ekspeymentów potwiedających teoię Mawea Pace Poyntinga nad agadnieniami biansu mocy 7 8 Podstawy eektodynamiki

3 Kótka histoia eektomagnetymu Eektodynamika kasycna owiąanie. Mawea: Może istnieć faa eektomagnetycna cyi ochodące się jednoceśnie, mienne w casie, poa: eektycne i magnetycne! W póżni faa ochodi się pędkością 3 8 m/s Hipotea: światło jest faą eektomagnetycną!!! Eektodynamika opisuje achowanie się i oddiaływanie obiektów mateianych obdaonych ładunkami eektycnymi oa anaią jawisk poowych (?) temu towaysących. Podstawowe ałożenie: niekwantowe pybiżenie paw eektomagnetymu, enegia ochodi się w postaci fa, aeżność wsystkich wiekości od casu jest deteminowana. 9 Dacego eektodynamika jest ważna? Układy bwc Obecnie eektonika i teekomunikacja powsechnie wykoystuje bwc, gdie tadycyjny opis obwodowy jest niepydatny. Be najomości podstaw eektodynamiki nie oumiemy techniki bwc. To odbiocy wmacniaca antenowego da systemów WLAN na pasmo 5 GH 6 cm da f.5 GH E 5 cm da f MH U Ed λ Wymagana dokładność:.mm Podstawy eektodynamiki 3

4 Dacego eektodynamika jest ważna? Technika antenowa jest opata na anaiie jawisk pomieniowania. Be najomości podstaw teoii fai płaskiej (co będie pedmiotem wykładu) nie jest możiwe dogłębne oumienie asady pacy i własności anten. Użytecny apaat matematycny Aby iościowo opisać jawiska eektomagnetycne teba odpowiednio dobać naędia matematycne. Jeśi opisujemy jawiska w punktach pewnego obsau (D, D, 3D) to stosujemy apis óżnickowy. Jeśi jawiska dotycą całego obsau (D, D, 3D) stosujemy apis całkowy. Jest on dogodny do intepetacji fiycnej jawisk. W aeżności od geometii oważanego obsau i/ub obiektów stosujemy odpowiedni układ współędnych. Wsystkie te abiegi są stosowane, aby maksymanie upościć opis matematycny jawisk i ułatwić ich intepetację!!! 3 4 Nowe pojęcia Nowe pojęcia Wpowadimy użytecne pojęcia całki skieowanej iniowej (w tym cykuacji) i powiechniowej (stumienia) A d A d C A ds A ds eeg jawisk nie da się opisać inacej niż py pomocy takich całek (gdy istotna jest oientacja poa wektoowego wgędem dogi/powiechni). Pykładowo, pacę obica się aeżności L F d Gdy siła do dogi L W ogóności kontu otwaty Kontu amknięty W ogóności powiechnia otwata Dacego icymy takie całki??? Powiechnia amknięta 5 Pykładowo, iość światła penikająca pe powiechnię E ds Jeśi okno jest do kieunku padania światła, to pe okno nic nie penika 6 Podstawy eektodynamiki 4

5 + Użytecne naędia - dywegencja Ładunek eektycny jest źódłem poa. Obaują je inii sił. Definiujemy stumień poa pe powiechnię amkniętą. A ds Dywegencja - intepetacja ą to wiekości makoskopowe. A jeśi chcemy opisać jawisko w punkcie? A ds s diva im V V Ten opeato opisuje własności poa e wgędu na doność twoenia stumienia. Dywegencja to skaa. Jeśi w danym obsae są źódła to dywegencja nie jest ówna eu. Jeśi w danym obsae nie ma źódeł to dywegencja jest ówna eu. 7 8 Dywegencja tw. Gaussa-Ostogadkiego diva im V s A ds To jest definicja w punkcie. A jeśi chcemy opisać jawisko w objętości? V diva dv im V Jeśi sumujemy wsystkie dywegencje w danym obsae V to otymamy ds A Zastosowanie: gdy poe jest beźódłowe (div ) 9 V diva dv A ds Użytecne naędie - otacja Poe magnetycne nie acyna się od ładunku. Jak to opisać? Wpowadamy pojęcie cykuacji, któa opisuje własności poa punktu widenia twoenia wiów A d C ą to wiekości makoskopowe. A jeśi chcemy opisać jawisko w punkcie? Wpowadamy anaogicnie wiekość mikoskopową waną otacją, któa jest wektoem. Opisuje ona awiowania poa w pesteni. ot A ot A i + ot A i + ot A i y y A d i oti A im gdie i,y, i i Podstawy eektodynamiki 5

6 otacja twiedenie tokesa ot A ot A i + ot A i + ot A i y y A d ot i i A im gdie i,y, i i Da pojedyncej składowej: oti A ii dsi im A d Jeśi sumujemy wsystkie otacje da obsau: i i ot A ds A d To jest definicja w punkcie. A jeśi chcemy opisać jawisko w pewnym obsae? Ważna godność oientacji kywej i powiechni Użytecne naędie - gadient Mamy pewne poe skaane U(,y,). Chcemy naeźć kieunek najwięksych mian. Definiujemy opeato gadient (w układie współędnych postokątnych) U U U gad U i + iy + i y Gadient jest wektoem, skieowanym postopade do inii (powiechni) ównych watości, któego długość okeśa sybkość mian poa. Użytecne naędie - gadient Użytecne naędia apis opeatoowy Gadient jest wektoem, skieowanym postopade do inii (powiechni) ównych watości, któego długość okeśa sybkość mian poa. Linie ównej watości W apisie anaitycnym opeatoów óżnickowych (ot, div, gad) wykoystamy opeato naba ( ) cyi opeato Hamitona : i + iy + i def y Na obu bocach będą óżne sybkości mian. Poe wektoowe gadient okeśa sybkość mian poa w danym kieunku 3 Wówcas otację, dywegencję oa gadient można apisać w postaci: ot A A (wekto) div A A (skaa) gad A A (wekto) 4 Podstawy eektodynamiki 6

7 Opeato naba - własności Licby espoone Opeato Hamitona można taktować jak nomany wekto a więc np.. ot (gad A) div (ot A) bo ( A) Te dwa wektoy są ównoegłe, a więc ich iocyn wektoowy ówna się eu bo ( A ) Te dwa wektoy są postopadłe (skoystać definicji iocynu wektoowego) i + iy + i i + iy + i y y + + y apasjan 5 e Im b α b α actg a e a e a+jb e jα jβ j( α + β ) e a + α e j jα ( α β ) e j jβ b e a + jb a + j a + b a + b cosα + j sinα jα b a + b e ( jωt ) jω t e jω e 6 Użytecne naędia ampitudy espoone Najcęściej inteesują nas poa mieniające się w sposób hamonicny: Można to apisać jako ub A( t) e{ Ae ˆ A( t) A cos( ω t + ϕ) A( t) e{ A e jωt } j( ω t+ϕ) gdie Zamiast opeować pebiegami casowymi będiemy opeowai ampitudami espoonymi (dacego?)!!! 7 } ˆ A e A jϕ Ampituda espoona Ampitudy espoone Ampitudy espoone mogą dotycyć ównież składowych wektoa i mogą być funkcjami współędnych (np. A(,y,)). Jeśi po obu stonach ównania występują takie same pebiegi hamonicne to można opeować na samych ampitudach espoonych. Pochodna wgędem casu pebiegu hamonicnego odpowiada pomnożeniu ampitudy espoonej pe cynnik jω. ( A( t)) jω Â Łatwe jest obicanie watości śedniej a okes iocynu skaanego dwóch pebiegów hamonicnych. A( t) B( t) ˆ ˆ * e{ A B } 8 Podstawy eektodynamiki 7

8 Użytecne naędia ampitudy espoone Układ współędnych sfeycnych Łatwe jest obicanie watości śedniej a okes iocynu wektoowego dwóch pebiegów hamonicnych. A( t) B( t) ˆ ˆ * e{ A B } Pamiętajmy: Jeśi w aeżnościach występują wiekości espoone to aeżności te musą dotycyć ampitud espoonych (nie musi występować symbo dasku )!!! Położenie okeśają ty współędne: Pomień kui Kąt θ (icony od osi ) Kąt ϕ (icony od płascyny ) Układ otogonany, pawoskętny Układ cęsto stosowany w agadnieniach antenowych 9 Dygesja:. kui w układie wsp. katejańskich + y + a a 3 P(ρ,ϕ,) Układ współędnych cyindycnych i i i ϕ ρ y Położenie okeśają ty współędne: Pomień waca ρ Kąt ϕ (icony od płascyny ) Wysokość (jak w układie wsp. postokątnych) Układ otogonany, pawoskętny Układ stosowany w agadnieniach antenowych i powadnicach (np. inia współosiowa). 3 Układ współędnych otogonanych Wpowadone powyżej układy współędnych naeżą do tw. układów otogonanych. Onaca to, że możemy obicać eementane wiekości (powiechnie, objętości) tak jak w układie współędnych postokątnych. ds d d dv d d d 3 Naeży oóżnić pyosty miennych i pyosty dogi ρ dϕ d dρ dϕ 3 ρ d ρ dρ ρdϕ ρ dρ ρ ρ ϕ ϕ 3 dϕ Podstawy eektodynamiki 8

9 Użytecne naędia: punkty źódeł i poa Użytecne naędia: punkty źódeł i poa W pobemach eektodynamiki cęsto występuje pobem typu: jest źódło poa (w punkcie ub obsae) i sukamy watości tego poa (w punkcie ub obsae). Pyjmiemy ogónie aakceptowana notację: Punkty, gdie umiescone są źódła onacamy pimami:, y, Punkty, gdie obicamy poa onacamy be pimów:, y, (,y, ) (,y,) ' y 33 Punkty źódła i poa mogą być tymi samymi punktami pesteni! ' (,y, ) y Definiujemy wekto : gdie ' (,y,) Definiujemy wektoy źódła i poa ( ') + ( y y') + ( ') Definiujemy weso tego wektoa: 34 i Podsumowanie Poe eektycne Naędia matematycne służą do ułatwienia opisu jawisk. Więksości tych naędi można pypisać intepetację fiycną (sukajmy jej). Wypowadone aeżności i woy mają więc intepetację fiycną ae ównież umożiwiają opis iościowy (niebędny da inżynieii). Jeśi chcemy skoystać tych wykładów teba opanować tą cęść naędiową. Koncepcja poa eektycnego obsa, w któym na ładunek diała siła. Źódłem poa eektycnego jest ładunek eektycny E - wekto natężenia poa eektycnego: jednostki [V/m] (wot na met). - - Uwaga: w wektoe ważne są: Badiej pecyyjna definicja: F E im q q kieunek, wot i długość Podstawy eektodynamiki 9

10 Wekto indukcji eektycnej Pawo Couomba Definiujemy wekto indukcji eektycnej w póżni C D ε E m Pypomnijmy pawo Couomba: qq' F 4πε i gdie q i q to ładunki punktowe (notacja!) gdie współcynnik penikaności eektycnej póżni: tąd poe wytwoone pe ładunek punktowy q (pamiętamy o konwencji: punkty źódła i poa): 9 ε 36π F m F q' i E q 4πε ' y Poe eektycne od układu ładunków q q ' i ' q i i E Obowiąuje asada supepoycji q i q i q i ' ' ' i i πε 4πε 4πε i Pykład Znaeźć poe eektycne na nomanej do odcinka łącącego dwa ładunki punktowe +q i -q, odegłe od siebie o odegłość d. (pokażemy, po co wpowadono notację) Pykład Pyjmujemy układ współędnych. Współędne ładunku : (-d,, ) Współędne ładunku : (d,, ) Współędne punktu obsewacji: (,, p) +q p Da każdego ładunku najdujemy wekto i p i; ' d i; ' d i -q ' p i ( d) i ' p i ( + d) i p + d i i d p i + i d p i + i 39 4 Podstawy eektodynamiki

11 +q p Pykład -q d p i i + i d p i i + i q d E c E + E i 4πε q i q i E 4πε 4πε q i q i E 4πε 4πε Układ dwóch ładunków naywamy dipoem jest to piewowó anteny dipoowej 4 Poe magnetycne twiedono ekspeymentanie, że istnieją siły diałające na pousający się ładunek. iły te są postopadłe do kieunku wektoa pędkości i wpost popocjonane do wiekości ładunku. Źódła tych sił (pó) to magnesy ub pewody pądem. Wpowadono definicję wektoa indukcji magnetycnej: Fma V s B im [ T ] q v q v m Uwaga:. siła F aeży od kąta pomiędy pędkością v a kieunkiem poa magnetycnego.. pędkość v musi być nieeowa. 3. wymia wektoa Vs/m. (tesa) 4 Wekto natężenia poa magnetycnego w póżni Definiujemy wekto natężenia poa magnetycnego w póżni: H B µ µ 4π 7 A m gdie współcynnik penikaności magnetycnej póżni: H m Poe magnetycne Najepsa definicja: F q( v B) Wato auważyć, że kieunek wektoa siły F jest postopadły do wektoa v. To istotna uwaga, bo paca jest iocynem skaanym siły i dogi (a ta jest popocjonana do wektoa v). Obicmy pacę: dw F d ( qv B) v Wato apamiętać, że µ ε 8 c 3 [ m / s] Poe magnetycne nie może dostacyć ładunkowi żadnej enegii (nie mienia jego enegii, ae może mienić jego to) Podstawy eektodynamiki

12 Pawo sił Loenta Jeśi na ładunek diałają siły wiąane obu poami: F q( E + v B) Jest to ównanie (pawo) sił Loenta (da ładunku punktowego q). Jest to bado ważne pawo, nieaeżne od ównań Mawea!!! Pykład Jaka siła diała na eekton, będący na skyde samootu samootu ecącego nad biegunem pędkością v9 km/god. w pou magnetycnym iemskim. Pyjąć, że indukcja nad biegunem wynosi B 6 mikotesi. Podać watość tej siły nomaiowaną wgędem ładunku eektonu (podać wymia tej nomaiowanej siły). Pykład v ( v F q B) F v B e km m v 9 i 5 i god. s 6 y B 6 T i B F m V s 6 V v B 5 i 6 i.5i y e s m m Podsumowanie Koncepcja mateii ciągłej Wpowadiiśmy koncepcję pó, jako pesteni, w któej na ładunki diałają siły. Wpowadiiśmy wektoy natężeń oa indukcji eektycnej, opisujące iościowo poe eektycne w póżni (oddiaływanie ładunków nieuchomych). Wpowadiiśmy wektoy natężeń oa indukcji magnetycnej opisujące iościowo poe magnetycne w póżni (oddiaływanie na ładunki pousające się). Opeowaiśmy ładunkami eementanymi, aś wokół nas są wyke układy ładunków Odegłości na poiomie atomów są na tye małe ( - m) w stosunku do długości fai (da f3 GH λ cm), że możemy mateię taktować jako ośodek ciągły. Wpowadamy pojęcia gęstości ładunków Q( ' ) ρ ( ' ) im dq ρ( ' ) d' Q( ' ) ρ ( ') im dq ρs ( ') d' s Q( ' ) ρv( ' ) im dq ρv ( ') dv ' V Całkowity ładunek możemy obicyć obicając całkę gęstości ładunku po danym obsae gdie i,,v Podstawy eektodynamiki

13 Poe eektycne od ciągłego okładu ładunków Koncepcja mateii ciągłej ρ (') V y ' ' y Q Q ' i ' V Q i i E Q i i i Q i Q i + Q i i i 4πε 4πε 4πε i ρ ( ') dv ' v dv' E( ) V V ' ρ ( ') dv ' i 4πε Wpowadamy pojęcie natężenia pądu dq I dt [A] Zwyke pąd płynie pewodnikiem. Pewodnik może być płaski ub mieć pewną powiechnie pekoju popecnego. Możemy wpowadić pojęcia gęstości pądu (iniową i powiechniową). J I A m A J I A m 49 ównanie ciągłości ównanie ciągłości postać óżnickowa V ównanie ciągłości jest ogónym apisem asady achowania ładunków. oważmy obsa V oganicony powiechnią. V Q Jds V ρdv I I i I N I Q Jds V ρdv Piewse pawo Kichoffa (845) jest apisem ównania ciągłości da scegónego pypadku ogałęień pewodników pądem. Ii i 5 Uyskujemy: Koystając tw. Gaussa- Ostogadkiego V JdV tąd postać óżnickowa ównania ciągłości V ρdv 5 AdV V ρ J A d Podstawy eektodynamiki 3

14 eacje pądowe W opisie makoskopowym będiemy posługiwać się wpowadonymi pojęciami gęstości pądów, któe wiążą się pousającymi się ładunkami. A d v Objętość eementu: dva d Ładunek wewnąt eementu: dqρ v dv Koystamy definicji gęstości powiechniowej pądu: J s I A dq dt dq A A dt Cy wono tak napisać? 53 J s eacje pądowe I A dq dt dq A A dt Jako, że pąd płynie w kieunku pousających się ładunków apisemy to wektoowo: J ρ v s v Ae możemy powiąać eement casu dt pędkością pousających się ładunków dt d / v. dq dq dq J s v v ρv v d A A d dv v Będiemy chciei wykoystać te wiąki w pawie Loenta, ae da pądów. 54 Pawo sił Loenta da pądów J ρ v s v Zapisemy ównanie definicyjne wektoa indukcji da eementanego ładunku ciągłego dq: df dq v B ρ dv v B (ρ v) B dv Ostatecnie uyskujemy: V df J s B dv Jeśi występują poa: eektycne i magnetycne to siły sumujemy i najbadiej ogóny apis pyjmuje postać df ( ρ E + J B dv v s ) 55 V A d Pawo sił Loenta da pądów Ten apis jest ogóny, ae cęsto pąd płynie pewodnikiem o stałym pekoju popecnym - wówcas epiej posługiwać się natężeniem pądu. J df J B dv J B A d ( J A) B d ae s df ( J A) B d Id B s 56 s J s A I Zauważmy, że pąd płynie wdłuż pewodnika s Podstawy eektodynamiki 4

15 Pykład Podsumowanie Pykład Znaeźć siłę diałającą na jednostkowy odcinek pewodu pądem o natężeniu I 5mA, najdującego się w pou magnetycnym o indukcji B mt (oientacja odcinka pewodu pądem wgędem poa magnetycnego podana jest poniżej) B. d y df Id B 5 3 I d 5 d i[ A m] 3 B i [ T] 5 d i i d i [ N] y y Ze wgędu na niewiekie odegłości pomiędy naładowanymi cąstkami (w stosunku do długości fa em, któe oważamy) można taktować mateię jako ciągłą, a ładunki jako ołożone w sposób ciągły. Z tego samego powodu można wpowadić pojęcie gęstości pądu (D, D) jako uchu ładunków. Z asady achowania ładunku (ównania ciągłości) wynika wpost piewse pawo Kichoffa. Zastosowanie : np. gawanomet Podstawowe pawa poa eektomagnetycnego Pawa poa eektomagnetycnego Niegdyś jawiska eektycne i magnetycne taktowano oddienie (bo były to poa statycne). Dopieo pace Faaday a pokaały, że w pypadku pó miennych poa te musą występować jednoceśnie. oważmy na wstępie ładunek punktowy Q umiescony w pocątku układu współędnych Układ ównań wany ównaniami Mawea jest w istocie podsumowaniem wyników badań m.in. Faaday a, Ampee a. Zasługą Mawea było estawienie wyników pac dwóch ww. badacy i auważenie ich specności asadą achowania ładunku. Koekta tej specności umożiwiła owiąanie układu ównań i stwiedenie możiwości istnienia fa eektomagnetycnych i Obicamy stumień wektoa E po powiechni hipotetycnej kui o pomieniu d E d Q' i Φ E 4 πε 59 6 Podstawy eektodynamiki 5

16 Pawo Gaussa postać całkowa Ed Dd Q Q i d i Q d 4πε 4πε ε Q Można wykaać, że taki sam wynik uyska się da dowonego kstałtu powiechni amkniętej i jeśi amiast ładunku punktowego omieścimy dowone ładunki (punktowe, ciągłe: D, D, 3D). Jeśi skoystamy definicji wektoa indukcji eektycnej w póżni to możemy apisać: gdie Q Q i + ρ( Ω) dω i j D ε E Ed Q ε Pykład Poe od cienkiej wastwy ładunków Znaeźć natężenie poa eektycnego wytwoone pe ładunek eektycny, ołożony ównomienie gęstością powiechniową ρ s na powiechni (ociągającej się do nieskońconości w kieunkach ± i ±y) Bak składowej innej niż E Poe E nie aeży od miennych i y E E ) E E ) ( i da > ( i da < 6 6 Poe od cienkiej wastwy ładunków Poe od cienkiej wastwy ładunków b n Ed Q ε b n Ed E d + E d n n b Ed E d + E d Ponieważ poe ma tyko składową E więc całka po powiechni b będie ówna eo bo: E d b + b E d b n n b Ed Ae poa E na powiechniach i nie aeżą od i y, a my całkujemy wgędem i y. Onaca to, że możemy te poa wypowadić spod naku całki d E d + E, d E + E d dy Podstawy eektodynamiki 6

17 b n tąd Poe od cienkiej wastwy ładunków n b n Ed ε Q Ed E + E E E ( ) n i E i i ; Q ρ i da > E ( ) i da < n i ; ρs E ρs / ε E ε s 65 Pawo Gaussa postać óżnickowa i Dd Q Gdy mamy ciągły okład ładunków ρ, to dążąc do ea pomieniem kui uyskujemy: Dd ( D) dv Q ρ() dv Ostatecnie uyskujemy postać óżnickową pawa Gaussa E ρ ε ub D ρ 66 Pawo Gaussa - podsumowanie Pawo Gaussa mówi, że źódłem stumienia wektoa indukcji eektycnej pe powiechnię amkniętą są wsystkie ładunki awate wewnąt tej powiechni (nieaeżnie od ich chaakteu: ciągłego cy też dysketnego). Pawo Gaussa obowiąuje aówno da pó statycnych jak i miennych. Pawo Gaussa jest wygodne w stosowaniu, gdy anaiowane stuktuy wykaują duży stopień symetii 67 Pawo źódeł magnetycnych Anaogicnie do pawa Gaussa sukamy stumienia pe powiechnię amkniętą wektoa indukcji magnetycnej B: B??? d Dotychcasowe ekspeymenty pokaały, że nie ma ładunków magnetycnych donych do wytwoenia stumienia wektoa indukcji magnetycnej cyi: B d Jeśi powiechnią będiemy dążyć do ea to otymamy pawo w postaci óżnickowej: B 68 Podstawy eektodynamiki 7

18 Pawo źódeł magnetycnych stumień wektoa indukcji B d Jeśi wekto indukcji może penikać tyko pe i oa jest stały na tych powiechniach to uyskujemy: B B Jeśi wektoy B są postopadłe do powiechni B B ówność stumieni indukcji: wpływających i wypływających jest jedną podstawowych asad teoii obwodów magnetycnych (odpowiednik I pawa Kichoffa) B Pawo indukcji Faaday a Ed Φ gdie EM Φ B s ds Zmiany stumienia wektoa indukcji mogą achodić, gdy BB(t) ub (t) ub gdy obie miany występują jednoceśnie To odkycie miało asadnicy wpływ na owój techniki geneacja pądu eektycnego Pawo indukcji Faaday a Obacająca się amka B oważmy pypadek statycny (bak mian stumienia indukcji ( Φ/) oważmy pypadek dynamicny, gdy EMU. Ed Ed + Ed U pew Ed + Ed pew sce. sce. 7 sce. Koystając tego pawa można geneować napięcie (i pąd), pyśpiesać cąstecki w betatonie (do eektonu pousającego się po obicie dostacana jest enegia). B y Pykład amka w kstałcie okęgu o pomieniu a obaca się cęstotiwością f w stałym jednoodnym pou magnetycnym. Jaka EM pojawi się na aciskach amki? Zakładamy, że w t amka jest w płascyźnie B B i y EM Ed Φ B d Ponieważ B f(,y,) możemy je wypowadić spod naku całki. Powiechnia jest stałą mienia się w casie jej oientacja EM Ed Φ B d B (t) 7 Podstawy eektodynamiki 8

19 B Obacająca się amka B B i y Patymy góy na amkę w momencie opocęcia jej uchu. y n( t) cos(πf t) i sin(πf t) y i EM Obacająca się amka B d B ( t) B ( πa n( t)) B B i y n( t) cos(πf t) i sin(πf t) y i y t> EM B ( t) B ( πa n( t)) Uyskujemy EM B ( πa n( t)) Biy πa πf ( sin(πf t) iy B π a f sin(πf t) Pawo indukcji Faaday a - sfomułowanie óżnickowe Na wstępie pekstałcimy ewą stonę do nieco innej postaci wykoystując tw. tokesa (wynika wpost definicji otacji): Ed Bd Wówcas pawo indukcji Faaday a: Ad Ad Ed możemy apisać (edukując całki do nieskońcenie małych powiechni) jako: B E Bd Pawo indukcji Faaday a - podsumowania Pawo indukcji Faday a mówi, że źódłem cykuacji wektoa natężenia poa eektycnego (cyi źódłem EM) są miany w casie stumienia wektoa indukcji magnetycnej. Zmiany stumienia mogą być spowodowane mianą w casie samego wektoa indukcji, mianami poa powiechni, pe któe penika wekto indukcji bądź jednocesnymi mianami wektoa indukcji i poa powiechni. Pawo indukcji Faaday a można unać a podstawę owoju cywiiacji XX wieku (eektyfikacja osiedi udkich, potem gobana sieć asiania, itp.) Podstawy eektodynamiki 9

20 Obwodowe pawo Ampee a (pawo Ampee a Oesteda) tumień indukcji magnetycnej Badania ekspeymentane Oesteda pokaały, że pąd stały jest źódłem wektoa indukcji magnetycnej. Na tej podstawie (w opaciu o ekspeymenty) A. M. Ampee sfomułował pawo: I B Bd µ I µ 77 Jd To samo pawo można apisać w postaci óżnickowej koystając tw. tokesa i dokonując pejścia ganicnego (wymiay dążą do ea) B µ J Obicyć stumień indukcji magnetycnej penikający pe powietny deń tooidany o śedniej długości i pekoju popecnym (ysunek) akładając, że wekto indukcji jest stały na powiechni. A Całkowity stumień jest sumą stumieni powstałych od każdego woju. Ψ n Φ Bd gdie µ Jds A Φ B ds Aby obicyć wekto B astosujemy pawo Ampee a - Oesteda 78 tumień indukcji magnetycnej tumień indukcji magnetycnej A tąd Pe powiechnię A penika n pądów i Bd µ Jd n i µ A Dodatkowo, B na całej długości nie mienia się, więc B d B µ n i ϕ B ϕ n i µ 79 Ostatecnie Pypomnijmy Ψ n Φ gdie Φ B ds Założyiśmy, że wekto B jest stały na powiechni Φ B ds B ds B n i n i Ψ n Φ n Bϕ n µ µ ϕ 8 Podstawy eektodynamiki

21 Indukcyjność cewki tooidanej Po co te obicenia? W teoii obwodów definiuje się pojęcie indukcyjności własnej: L Ψ gdie Ψ to stumień indukcji magnetycnej i a i to pąd ten stumień wytwaający Możemy więc obicyć indukcyjność powietnej cewki tooidanej Ψ n i n L µ µ i i A jak więksyć indukcyjność? Pąd I Uogónione obwodowe pawo Ampee a Mawe auważył specność w obwodowym pawie Ampee a da pypadku dynamicnego B B Pomiędy okładkami kondensatoa, gdy płynie pąd mienny, występuje mienny stumień wektoa indukcji eektycnej: Bd d I + dt µ Dugi składnik w nawiasie pyjęto naywać pądem pesunięcia (w peciwieństwie do pądu I, któe jest pądem pewodenia) Dds 8 8 Dygesja pojemność kondensatoa Obicyć natężenie poa eektycnego pomiędy dwiema oegłymi powiechniami, odegłymi od siebie o odegłość, naładowanymi ładunkami odpowiednio o gęstości powiechniowej +ρ s i -ρ s +ρ s Dygesja pojemność kondensatoa Niech okładka ma powiechnię. Pomińmy efekt begowy (?) + - +ρ s -ρ s Poe eektycne pomiędy powiechniami będie ówne podwójnej watości poa od pojedyncej płyty +ρ s -ρ s E ρ E s ε ρ s ε 83 -ρ s Ładunek na powiechni okładki Q ρ Definiujemy óżnicę potencjałów (napięcie) pomiędy okładkami (do pobemu tej definicji jesce wócimy py okaji eektostatyki) U ρs E d E ε s 84 Podstawy eektodynamiki

22 C Dygesja pojemność kondensatoa Definiujemy pojęcie pojemności Q U C def Q U ρs ε ρs ε Ładunek na powiechni okładki Napięcie, będące efektem obecności ładunków W jaki sposób możemy więksyć pojemność kondensatoa? Podsumowanie: pojemność i indukcyjność Wpowadiiśmy pojęcie indukcyjności, któe jest wiąane e donością geneacji stumienia indukcji magnetycnej. Wpowadiiśmy pojęcie pojemności, któe jest wiąane e donością gomadenia ładunków. Wiekości te mają podstawowe nacenie w teoii obwodów ub Uogónione pawo Ampee a postać óżnickowa d Bd µ I + Dds dt d Bd µ J d + D d dt Możemy uyskać to pawo w postaci óżnickowej stosując tw. tokesa i dokonując odpowiedniego pejścia ganicnego (pat pawo indukcji Faaday a): Pąd pesunięcia D B µ J + 87 Uogónione obwodowe pawo Ampee a - podsumowanie Uogónione pawo indukcji Ampee a mówi, że źódłem cykuacji wektoa natężenia poa magnetycnego może być nie tyko pąd eektycny (pąd pewodenia), ae ównież miany w casie wektoa indukcji eektycnej (tw. pąd pesunięcia). Pąd pesunięcia musiał być wpowadony do pawa Ampee a, gdyż inacej byłoby ono specne asadą achowania ładunku (ównaniem ciągłości). 88 Podstawy eektodynamiki

23 ównania Mawea w póżni postać całkowa ównania Mawea w póżni postać óżnickowa Bd d I + dt Dds µ Uogónione obwodowe pawo Ampee a Ed Bd t Dd Q B d Pawo Gaussa Pawo indukcji Faadaya Pawo źódeł magnetycnych + ównania mateiałowe D ε E B µ H 89 W póżni, ównania Mawea można apisać np. w postaci óżnickowej D B µ J + B E D ρ B D ε E B µ H 9 9 F ε 36π m 7 H µ 4π m ównania Mawea ampitudy espoone Podsumowanie tej cęści wykładu Opeacje óżnickowania astępujemy cynnikiem jω ˆ ˆ B J + ˆ µ jωd ˆ ˆ E jωb Dˆ ρˆ ˆ B ównania mateiałowe ˆ ˆ D ε E ˆ ˆ B µ H Badaiśmy doność pó: eektycnego i magnetycnego do wytwoenia stumienia (pe powiechnię amkniętą). Poe eektycne może wytwoyć nieeowy stumień, gdyż istnieją ładunki go wytwaające. Linie sił poa eektycnego opocynają się od ładunków. Tego typu ładunków (źódeł poa magnetycnego) nie naeiono. Linie sił poa magnetycnego twoą więc kywe amknięte. O pou magnetycnym mówimy więc, że jest beźódłowe. 9 9 Podstawy eektodynamiki 3

24 Podsumowanie tej cęści wykładu cd. Zjawiska poowe w ośodkach mateianych Badaiśmy doność pó: eektycnego i magnetycnego do wytwoenia cykuacji. Cykuację poa eektycnego (EM) może wytwoyć mienny (w casie) stumień indukcji poa magnetycnego. Cykuację poa magnetycnego może wytwoyć nie tyko pąd pewodenia ae ównież pąd pesunięcia cyi miana stumienia wektoa indukcji eektycnej W póżni są słusne wiąki D ε E B µ H 9 F ε 36π m 7 H µ 4π m W ośodkach mateianych mamy do cynienia e skompikowaną stuktuą mateii - tudno jest naeźć dokładne owiąania (cy potebujemy?). Pyjmujemy mode uposcony: siatka nieuchomych jonów i uchomych eektonów. Iość ładunków uchomych okeśa chaakte mateiału (meta, półpewodnik, dieektyk) Uposcony mode pewodnika Obsa ładunków E i swobodnych E Zakładamy, że ładunki mogą się pousać. Pod wpływem poa nastąpi poayacja ładunków (?) i w efekcie pojawi się poe aindukowane E i. Wypadkowe poe to óżnica poa pyłożonego i indukowanego pe gomadone ładunki. Efekt uch ładunków w pewodniku tak długo, aż wypadkowe poe będie ówne eu. Wewnąt ideanego pewodnika poe eektycne jest ówne eu Dygesja: jeśi uiemimy wastwę ideanego pewodnika to mamy ekan Uposcony mode pewodnika Obsa ładunków swobodnych E A co będie w ecywistym pewodniku tj. w mateiae, w któym ładunki pousają się, ae deają? owiąuje się ównanie uchu da ładunków swobodnych q (py okeśonych ałożeniach). Uyskuje się owiąanie (da pobudenia hamonicnego) w postaci: q E v m( jω + γ c) gdie γ c to śednia cęstość deeń Pypadek ganicny: gdy ω oa γ c to pędkość dąży do Podstawy eektodynamiki 4

25 Uposcony mode pewodnika Obsa ładunków swobodnych E W ogónym pypadku mamy: q E gdie γ v c to śednia m( jω + γ cęstość deeń c) Ae gęstość powiechniowa pądu jest popocjonana do pędkości pousających się ładunków: J ρ v Uwgędniając powyżse wiąki możemy apisać J E σe 97 v To jest pawo Ohma Pawo Ohma J σe σ - pewodność właściwa [/Ω m] Zakładamy ównomieny okład pądu i natężenia poa eektycnego. Wówcas uyskujemy: Zdefiniowaiśmy I J σ E już napięcie U Obicamy stosunek U/I (nawiemy go oponością ): U I E ρ σ E σ ρ /σ - oponość właściwa 98 def U E def Poayacja ładunków wiąanych Poayacja ładunków wiąanych W pou eektycnym, w mateii, achodą jawiska: Poayacja eektonowa (sepaacja ładunków na poiomie atomu) Poayacja jonowa (sepaacja jonów wewnąt moekuły) Poayacja dipoowa (miana oientacji istniejących dipoi) Poayacja jonowa Bak poa ewnętnego Pyłożone ewnętne poe E E Poayacja eektonowa Bak poa ewnętnego Pyłożone ewnętne poe E Poayacja dipoowa E Bak poa ewnętnego Pyłożone ewnętne poe E 99 Podstawy eektodynamiki 5

26 Poayacja ładunków wiąanych Ten opis dotycył modeu mikoskopowego. My wykoystamy mode makoskopowy, w któym uśednia się mikoskopowe momenty dipoowe (po objętości) wpowadając wiekości makoskopowe. Taką wiekością makoskopową jest wekto poayacji: P ε χ ( ) E T ω E pyłożone poe Podatność χ uwgędnia wsystkie jawiska poayacyjnie i aeży od cęstotiwości Poayacja ładunków wiąanych Obecność efektu poayacji powoduje powstanie dodatkowych ładunków i pądów poayacyjnych. Ładunki i pądy wpowada się do ównań Mawea. Okauje się, że konsekwentne wpowadenie tych ładunków i pądów powaa nie mienić kstałtu tych ównań, ae teba mienić definicję wektoa indukcji eektycnej D ε E + P ε ( + χt ) E Można więc wpowadić pojęcie penikaności eektycnej ośodka ε ε ( + χ ) d T Konsekwencje Penikaność eektycna Penikaność eektycna w funkcji cęstotiwośći Penikaność eektycna mateiału ε ε ( + χ ) d T [F/m] W akesie óżnych pasm cęstotiwości dominują óżne typy poayacji, objawiając się w achowaniu się penikaności eektycnej Niekiedy wato jest wpowadić pojęcie wgędnej penikaności eektycnej ε ε + χ T ε wiekość bewymiaowa óżne mateiały posiadają óżne penikaności wgędne np. popuane podłoże F4 4.4, woda 8 itp. Obecnie każdy mateiał budowany musi mieć pełną specyfikację własności eektycnych (da ceów komunikacji bepewodowej) Do tego tematu jesce wócimy 3 Mateiały dydaktycne: Andej Zastawny 4 Podstawy eektodynamiki 6

27 Zespoona penikaność eektycna Jak posto opisać ośodek, gdy są pądy pewodenia nie do pominięcia? koystamy notacji ampitud espoonych w obwodowym pawie Ampee a D E H J + σe + ε W diedinie ampitud espoonych pochodne casowe amieniamy na cynnik jω ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H J + jωd σe + jωεe σ ˆ jω ε + E jω Wiekość występującą w nawiasie naywamy espooną penikanością eektycną i onacmy jako ε c 5 Zespoona penikaność eektycna Zespoona penikaność eektycna wyaża się więc aeżnością: ε σ ε ε j ω c Uogónione obwodowe pawo Ampee a można więc apisać w postaci: ˆ ˆ H jωε E Istotny wniosek: uogónione obwodowe pawo Ampee a da pypadku istnienia pądów pewodenia można apisać tak jak w ośodku dieektycnym. W konsekwencji można je owiąać tak, jak w pypadku ośodka be pądów. 6 c Cas eaksacji: dieektyki i pewodniki Jak ocenić, cy dany mateiał jest pewodnikiem cy dieektykiem? ρ (,y,,t) W chwii t dany jest okład ładunków. Co się stanie po pewnym casie, jeśi w tym obsae definiowaiśmy paamety mateiałowe ε oa σ ρ J + Wstawiamy pawo Ohma do ównania ciągłości i koystamy pawa Gaussa 7 ae D J σe σ ε D ρ Po postych pekstałceniach uyskujemy Cas eaksacji: dieektyki i pewodniki σ dρ dt ε ρ σ t n ρ + C ε Ostatecnie uyskujemy aeżność : ρ( t) σ t t ε τ ρe ρe Waunek pocątkowy ρ t ρ Wiekość τ ε/σ naywamy casem eaksacji. Jeśi cas eaksacji jest mały ( - -8 sekundy to mamy do cynienia dobymi pewodnikami. Jeśi ten cas jest ędu 6 sekundy to jest to doby dieektyk. Zauważmy, że kasyfikacja ośodka aeży ównież od pediału casu, w któym obsewujemy jawisko (cyi od cęstotiwości) 8 Podstawy eektodynamiki 7

28 Magnetyacja ośodka W mateiałach, pod wpływem pyłożonego poa magnetycnego, powstają magnetycne momenty dipoowe, któe są źódłem poa magnetycnego. Wpowada się pojęcie gęstości pądu magnetycnego. Uwgędniając ten pąd można nie mienić ównań Mawea, o ie wpowadi się nową definicję penikaności magnetycnej ośodka. W wieu mateiałach M H χm gdie χ M jest podatnością magnetycną, H pyłożone poe magnetycne Wpowadamy definicję wektoa indukcji magnetycnej w mateiae B µ ( H + ) M 9 Magnetyacja ośodka Wpowadamy nową definicję natężenia poa magnetycnego B H M µ tąd nowa definicja penikaności magnetycnej w mateiae B µ ( + χ M ) H µ H Penikaność µ wiąże się podatnością magnetycną woem: µ µ ( + χ ) M [H/m] Wgędna penikaność magnetycna Kasyfikacja własności mateiałów Tak jak w pypadku penikaności eektycnej wpowadamy pojęcie wgędnej penikaności magnetycnej µ µ + χ M µ wiekość bewymiaowa óżne mateiały mają óżne penikaności magnetycne. Najbadiej nane jest jawisko tw. pęti histeey Pyjęiśmy makoskopowy opis własności mateiałów i wpowadiiśmy pojęcia penikaności eektycnej i magnetycnej. Pewne jawiska w mateiałach są na tye skompikowane, że musimy wpowadić do opisu nowe pojęcia. Mateiał (ośodek) jednoodny to mateiał, któego paamety są w nim wsędie stałe (niemienne). Jednoodność dotycy konketnego paametu. µ, ε,σ f() Petekst do ogóniejsych oważań Dacego to może być ważne? Podstawy eektodynamiki 8

29 Kasyfikacja własności mateiałów Kasyfikacja własności mateiałów Ośodek iniowy to taki ośodek, któego dany paamet (penikaność, pewodność) nie aeży od ampitudy poa pobudającego, np. µ f (H ) Innymi słowy ównania definiujące paamety mateiału są iniowe: Kasycny pykład ośodka nieiniowego to mateiał feomagnetycny opisany pętą histeey B µ H, D εe, J σe B H Ośodek iotopowy to taki ośodek, da któego paamety mateiałowe nie aeżą od kieunku pyłożonego natężenia poa. Iotopowość dotycy danego paametu. W apisie: B µ H, D εe, J σe Paamety mateiałowe ośodków iotopowych są icbami Pykład dieektyk dieektyk 3 4 Kasyfikacja własności mateiałów Podsumowanie Ośodki aniotopowe to takie ośodki da któych paamety nie dadą się apisać jako icby ec jako tensoy. t t t B µ H, D εe, J σe Pykładowe mateiały aniotopowe to podmagnesowane feyty, jonosfea (pama). Cęsto nawet dieektyki podłożowe wykaują tw. aniotopię jednoosiową. ε t ε ε ε 5 ε W ośodkach mateianych najdujących się w pou em możemy wpowadić nowe definicje natężenia poa magnetycnego i wektoa indukcji eektycnej uwgędniające efekty poayacyjne (ładunki wiąane). ównania Mawea w tym pypadku będą miały taką samą postać jak w póżni, ae wystąpią inne współcynniki penikaności W pypadku obecności pądów pewodenia możemy wpowadić dodatkowo pojęcie espoonej penikaności eektycnej. W takim pypadku postać obwodowego ównania Ampee a nie uega mianie, cyi jest taka, jak w pypadku baku pądu. Konkuja: da owiąania. Mawea w póżni i ośodkach mateianych możemy użyć takich samych naędi matematycnych 6 Podstawy eektodynamiki 9

30 ównania Mawea w ośodku mateianym I co daej? D B µ J + B E D ρ B ównania mateiałowe D ε E B µ H J σe Jest jesce ównanie ciągłości ae nie jest to ównanie nieaeżne ównania Mawea owiąać. Mawea w ośodku nieoganiconym popagacja fai Zaeżności enegetycne tw. Poyntinga Poe na ganicy ośodków oważymy achowanie pó na ganicy ośodków co wynika wpost. Mawea 7 8 Waunki ganicne W eanym świecie wsekie nieciągłości mają skońcony wymia. My natomiast ałożymy, że ganica pomiędy ośodkami jest bewymiaowa (nieskońcenie cienka). Taka ideaiacja może być uasadniona (dacego?) µ n W pekoju ganicnym mogą istnieć tyko pądy ub ładunki powiechniowe µ, ε, ε Wekto o dowonej oientacji wgędem powiechni ganicnej można ołożyć na składową stycną i nomaną do tej powiechni. Jeśi namy achowanie się obu składowych namy owiąanie da każdej konfiguacji. 9 n b Waunki ganicne - składowe nomane wektoa B n n h tosujemy pawo źódeł da powiechni takiego waca. Wybieamy py tym składowe nomane do tej ganicy. opisujemy całkę po pow. amkniętej: Dążymy do ea h całka po powiechni bocnej dąży do ea (dacego?) Jako że jest óżne od ea więc: B d B d ( B n B n) + Bb nbd n B n B n B Podstawy eektodynamiki 3

31 Waunki ganicne - składowe nomane wektoa B kładowe nomane wektoa indukcji magnetycnej mają pejście ciągłe na ganicy ośodków cyi nając długość składowej nomanej wektoa B w jednym ośodku namy jej długość py ganicy w dugim ośodku. jeśi namy paamety ośodków możemy okeśić długość składowej nomanej wektoa natężenia poa magnetycnego Zastosowanie waunków begowych obwody magnetycne Istnieje seeg waiantów obwodów magnetycnych, np. a) b) tąd ae B n B n H n µ H n µ µ µ H H µ µ H n n n opatymy posty waiant (a) akładając dodatkowo, że. Wykoystamy obwodowe pawo Ampee a (już to obiiśmy py okaji wpowadania pojęcia indukcyjności) oa waunek ciągłości da składowych nomanych wektoa indukcji B. Zastosowanie waunków begowych obwody magnetycne Hd H d + L Zapisujemy pawo Ampee a Hd Jd N I A Całkę po ewej stonie opisemy jako sumę całek po deniu i sceinie powietnej: L H d H L + H L N I Tea skoystamy waunku ciągłości składowych nomanych wektoa indukcji B B µ µ n Bn H H Zastosowanie waunków begowych obwody magnetycne H L + H L N I µ µ H H tąd N I H µ L + L µ Jak więksyć natężenie poa H w sceinie? 3 4 Podstawy eektodynamiki 3

32 n b Waunki ganicne - składowe nomane wektoa D n n h tosujemy pawo Gaussa da powiechni takiego waca. Wybieamy py tym składowe nomane do tej ganicy. opisujemy całkę po pow. amkniętej: ( D n D n) + Db nbd Dd Q n Dd Q Dążymy do ea h całka po powiechni bocnej dąży do ea (dacego?). Jednoceśnie jedyny ładunek wewnąt waca, któy będie nieeowy, to ładunek na powiechni ganicnej 5 B Q Waunki ganicne - składowe nomane wektoa D Zakładając, że jest dostatecnie małe, ec óżne od ea : Q ( D n D n) Q ub D n D n Jeśi powiechnia dąży do ea D n D n ρs ub D n D n ρs Znając paamety mateiałowe można obicyć wiąki da składowych nomanych natężenia poa eektycnego ε ρs E + ε n E n ε 6 b h Waunki ganicne - składowe stycne wektoa E τ n n tosujemy pawo indukcji Faaday a da eementanej powiechni Uyskujemy B τ ( E E) + Ebdb h n Jeśi h dąży do ea to pawa stona też dąży do ea i mamy Ed ae Bd Waunki ganicne - składowe stycne wektoa E B τ ( E E ) + Ebdb h n h ( E E ) τ stąd τ ( E E ) τ Ae n n cyi Po pekstałceniach uyskamy: n E n E τ E n E n b h α τ To jest achowanie się pó tuż py powiechni ganicnej E τ n n 7 8 Podstawy eektodynamiki 3

33 Waunki ganicne - składowe stycne wektoa E Waunki ganicne - składowe stycne wektoa H kładowe stycne wektoa natężenia poa eektycnego mają pejście ciągłe na ganicy ośodków. E st E st Jeśi namy paamety ośodków możemy okeśić długość składowej stycnej wektoa indukcji poa eektycnego D ε ε st D st b h τ n n tosujemy uogónione pawo obwodowe Ampee a da eementanej powiechni Bd d µ I + dt któe apisemy w dogodnej postaci Hd D J d t + Dds tąd ε ε Dst D st Dokonujemy pejścia ganicnego tak jak w pypadku waunku da składowych stycnych wektoa natężenia poa eektycnego ( h dąży do ea). 9 3 Waunki ganicne - składowe stycne wektoa H Uyskujemy wówcas: D τ ( H H + H d h n ) b b J + b h Gdy h dąży do ea całka po cęści kontuu b dąży do ea. τ ( H H) v n J gdy σ gdy σ Lewa stona to składowe stycne wektoa natężenia poa eektycnego. 3 τ n n Waunki ganicne - składowe stycne wektoa H τ ( H H) v n J gdy σ gdy σ b h kładowe stycne wektoa natężenia poa magnetycnego są ciągłe na ganicy ośodków, jeśi po powiechni ganicnej nie płynie pąd powiechniowy. Mamy waunek apisany użyciem dwóch óżnych wesoów. Koystając achunku wektoowego można apisać ten wiąek wykoystując weso nomany do ganicy Uyskamy wówcas: 3 τ n n Podstawy eektodynamiki 33

34 Waunki ganicne - składowe stycne wektoa H Podsumowanie Waunek da składowych stycnych wektoa natężenia poa magnetycnego py ganicy dwóch ośodków n H n H v J gdy σ gdy σ Jeśi namy paamety mateiałowe to można sfomułować wiąek da wektoów indukcji magnetycnej Wypowadiiśmy, w ogónym pypadku, wiąki opisujące achowanie się odpowiednich składowych wektoów natężeń i indukcji na ganicy ośodków.. Da składowych nomanych do powiechni ganicnej wykoystaiśmy własności wiąane twoeniem stumienia pe odpowiednie wektoy indukcji.. Da składowych stycnych do powiechni ganicnej wykoystaiśmy własności wiąane twoeniem cykuacji pe odpowiednie wektoy natężeń. gdy n B n B v µ µ J gdy σ σ ą scegóne pypadki, któe wato opatyć. Wynikają one ocywiście wypowadonych powyżej aeżności, po pyjęciu dodatkowych ałożeń Waunki py powiechni ideanego pewodnika Waunki py powiechni ideanego pewodnika W pypadku, gdy jeden ośodków to pewodnik możemy astosować dodatkowe ałożenia. ą one jednak inne da pół stałych i miennych. Zacniemy od pó miennych. Pypomnijmy, da ideanego pewodnika:. Wewnąt tego mateiału nie ma poa eektycnego (σ, τ).. Da pypadku dynamicnego ( / ) nie może więc być poa magnetycnego (w pypadku statycnym może być). 3. Pąd może płynąć tyko po powiechni, a ładunki gomadą się na powiechni. Konsekwencje: 35 Waunki py powiechni ideanego pewodnika (ośodek to ideany pewodnik): n H D n D n ρ n E n B E n B n n H v J s gdy σ gdy σ D n ρ n H 36 n E B n s J Podstawy eektodynamiki 34

35 σ Waunki py powiechni ideanego pewodnika E H W pypadku dynamicnym Pykłady Pykładowe tłumienie mocy w funkcji cęstotiwości w komoe do badań kompatybinościowych (katka Faaday a). Gubość pewodnika ędu ułamków mm. Pykład ekan eektycny w postaci odpowiednio oientowanych scein Py powiechni ideanego pewodnika istnieje tyko składowa nomana wektoa indukcji eektycnej (natężenia poa eektycnego) wiąana istnieniem ładunku eektycnego na powiechni pewodnika Py powiechni ideanego pewodnika istnieje tyko składowa stycna wektoa natężenia poa magnetycnego wiąana pądem płynącym po powiechni pewodnika E Pykłady - ekanowanie Zasada achowania enegii ceina pobudona gose ekanowanie ceina niepobudona epse ekanowanie Obecność poa stwiedamy pope obecność siły diałającej na ładunki i/ub pądy. Ładunki te uyskują enegię w pocesie ich pyśpiesania więc pojawia się pytanie: skąd ta enegia? Musi ona pochodić od poa. Teba wpowadić koncepcję enegii poa, mocy poa, a w konsekwencji teba sfomułować asadę achowania enegii i mocy poa Jaka powinna być postać asady achowania enegii i mocy w ujęciu poowym? Gdy nie namy kieunku pepływu pądu małe otwoy V Wewnąt objętości V jest gomadona enegia Wpowadamy wekto gęstości powiechniowej mocy odpowiediany a wypływ mocy objętości 39 4 Podstawy eektodynamiki 35

36 Zasada achowania enegii Zasada achowania enegii V Moc penikająca pe powiechnię amkniętą: Moc wypływająca P c pe powiechnię jest ówna ubytkowi (w casie) enegii W w objętości V P C P C Pd W t gdie wekto P to gęstość powiechniowa mocy Z koei jeśi w objętości V jest gomadona pewna enegia to możemy wpowadić pojęcie gęstości objętościowej enegii w wdv V W Zaeżności o takiej postaci będiemy posukiwać 4 4 V ub Zasada achowania enegii pyjmie więc postać P d P d + V wdv wdv W postaci óżnickowej powyżse ównanie można apisać w P + V Zasada achowania enegii Zasada achowania enegii Pypomnijmy mechaniki kasycnej, że moc dostacona pe poe do naładowanej cąstecki wyaża się aeżnością P F v gdie F to siła diałająca na cąsteckę a v to pędkość Jako, że jawisko odbywa się w pou, mamy do cynienia siłą Loenta P q( E + v B) v q E v Dygesja: pypomnijmy a jesce, że składnik wiąany siłami magnetycnymi nie biee udiału w mechanimie tansmisji mocy do pousającego się ładunku 43 P q E v W pypadku okładu ciągłego otymujemy pv ρv E v (ρv v) E J E gdie wekto J to gęstość powiechniowa pądu Ocywiście gęstość objętościowa mocy jest wiąana gęstością objętościową enegii wv pv J E gdie w V jest gęstością obj. enegii dostaconej pe poe naładowanym cąstkom 44 Podstawy eektodynamiki 36

37 Zasada achowania enegii Na co może być użyta ta moc/enegia? wv pv J E Enegia może być użyta na pyśpiesanie cąstek Enegia może być użyta na ganie cąstek Jest anaogia do oważań mocowych w obwodach eektonicnych: Jeśi poe E jest w faie pądem J to gęstość mocy p okeśa staty na ciepło (jawisko Joue a) na oponiku pąd jest w faie napięciem. Jeśi pąd J nie jest w faie poem E to enegia jest gomadona w ośodku na pojemności /indukcyjności pąd i napięcie nie są w faie. 45 Zasada achowania enegii p V Uyskujemy D J E H J + p v D ( H ) E E Koystając tożsamości ( E H ) H ( E) E ( H ) otymujemy D p v H ( E) ( E H ) E 46 p v Zasada achowania enegii D H ( E) ( E H ) E Uyskujemy po pekstałceniach B D p v ( E H ) H E t ub p v ( E H ) ( H B + E D) B E gdyż f ( f ) f 47 Zasada achowania enegii Mamy więc: p v ( E H ) ( H B + E D) Wstawiamy p V i apisujemy w postaci wv pv 48 ae ( E H ) + ( wv + H B + E D) Pypomnijmy postać óżnickową asady achowania enegii w P + gdie P gęstość powiechniowa mocy Podstawy eektodynamiki 37

38 Zasada achowania enegii Wekto Poyntinga- oponik wacowy Postać óżnickowa asady achowania enegii ( E H ) + ( wv + H B + E D) Po scałkowaniu uyskujemy postać całkową E Hd + V ( wv + H B + E D) dv Możemy tea nadać intepetację fiycną występującym tu wiekościom E H on Wekto naywa się wektoem Poyntinga. Ma on sens gęstości powiechniowej mocy [W/m ] Znaeźć wekto Poyntinga na powiechni pewodnika o pomieniu a i pewodności σ, w któym płynie pąd I I a Zagadnienie owiążemy w układie współędnych cyindycnych. Teba naeźć wektoy E i H. H d I P(ρ,ϕ,) Ae wekto H na powiechni bocnej jest stały (?) H H i ϕ ϕ i i i ϕ ρ y 49 5 I a Wekto Poyntinga- oponik wacowy H d I H ϕ I πa H i ϕ ϕ πa i ϕ I P(ρ,ϕ,) Tea obicymy natężenie poa eektycnego (koystając pawa Ohma) J I J σ E E i σ πa σ i i i ϕ 5 ρ y I a Wekto Poyntinga- oponik wacowy E I i πa σ Obicamy wekto Poyntinga I πa σ I Hϕ πa H H i ϕ ϕ I πa P(ρ,ϕ,) E H i i ϕ ae i i ϕ iρ tąd I I v i πa σ πa ρ i i i ϕ ρ 5 y Podstawy eektodynamiki 38

39 Wekto Poyntinga- oponik wacowy Moc wnika do oponika (i amienia się w ciepło)! I I i πa σ πa ρ P(ρ,ϕ,) Ie mocy wydiei się w oponiku na długości (ie wniknie mocy)? P A A ( i ) ρ A i i i ϕ 53 ρ y Ie mocy wydiei się na długości? I a Wekto Poyntinga - oponik wacowy P Wstawiamy I I πa σ πa P A A i ) A I I πa σ πa πa σ ( ρ πa I ρ Powiechnia bocna waca I I A 54 Zasada achowania enegii E Hd + V ( wv + H B + E D) dv Definiujemy poostałe składniki występujące pod całką E D w Gęstość objętościowa enegii gomadonej w pou e on eektycnym [J/m 3 ] H B Gęstość objętościowa enegii gomadonej w pou wm on magnetycnym [J/m 3 ] Pypomnijmy: w V jest gęstością obj. enegii dostaconej pe poe naładowanym cąstkom [J/m 3 ] 55 Zasada achowania enegii E Hd + V ( wv + H B + E D) dv Całkowita moc poa em wychodąca objętości V ówna jest ubytkowi w casie wypadkowej enegii naładowanych cąstecek oa enegii magaynowanej w pou eektycnym i magnetycnym. Uwaga: wekto Poyntinga jest nieeowy jeśi ównoceśnie E, H Geneanie obica się ( t) E( t) H ( t) Jeśi chcemy obicyć watości śednie wektoa Poyntinga wato użyć ampitud espoonych 56 Podstawy eektodynamiki 39

40 Zasada achowania enegii espoony wekto Poyntinga Watość śednia a okes jest definiowana jako T ś E( t) H ( t) dt T Jeśi ałożymy, że poa mieniają się hamonicnie ( cos(ωt+ϕ)) to można wykaać, że obowiąuje aeżność ˆ ˆ e{ E H * ś } Podobna aeżność obowiąuje da iocynu skaanego dwóch wektoów ˆ ˆ * A( t), B( t) e( A B ) 57 Zasada achowania enegii espoony wekto Poyntinga Będiemy posukiwać wiąku awieającego składnik Mnożymy odpowiednio ównania Mawea ˆ ˆ E jωb Ĥ ˆ ˆ * * ˆ * H J jωd * Ê Uyskujemy po pekstałceniach ˆ ˆ e{ E H * } Odejmujemy stonami i koystamy tożsamości ˆ ˆ * ( E H ) ˆ * ˆ ˆ ˆ * H ( E) E ( H ) 58 Zasada achowania enegii espoony wekto Poyntinga ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ * * * ˆ ˆ * ( E H ) + E J + jωb H jωe D Jest to asada achowania enegii w postaci óżnickowej. Jeśi scałkujemy obustonnie to ównanie, to uyskamy po pekstałceniach ww. asadę w postaci całkowej. * * *) * ( H ) d + jω ( H B ED dv + EJ dv ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E V Zaeżność powyżsa dotycy wiekości espoonych, więc aówno cęść ecywista jak i uojona ewej stony musi być ówna eu. Jednoceśnie występujące w tej aeżności wiekości podcałkowe można powiąać watościami śednimi. 59 V Zasada achowania enegii espoony wekto Poyntinga ˆ ˆ * ś e{ E H } ˆ ˆ 4 w e, ś e{ * ED } E ˆ ˆ 4 ˆ ˆ ˆ p V, ś e{ * EJ } σ E Wiekości uśednione a okes ˆ ε 4 sˆ µ 4 w m, ś e{ * HB } H Watość śednia wektoa Poyntinga (gęstości powiechniowej mocy) Watość śednia gęstości objętościowej enegii gomadonej w pou eektycnym Watość śednia gęstości objętościowej enegii gomadonej w pou magnetycnym Watość śednia gęstości objętościowej mocy pekaywanej pe poe naładowanym cąsteckom 6 Podstawy eektodynamiki 4

41 Zasada achowania enegii espoony wekto Poyntinga Wekto Poyntinga a teoia obwodów * * *) ( H ) d + jω ( H B ED dv + EJ dv ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E V V * Tea wpowadimy wiekości fiycne * ( H ) d + jω (4wm, ś 4we, ś ) dv + EJ dv ˆ ˆ ˆ ˆ E V V * ub po scałkowaniu ˆ ˆ ( E H ) d + jω( W * W ) + P 6 m e L U C L Śedni espoony stumień mocy pepływający pe obwód wynosi I I I P U I Z I I j L I I I I C + ω ω Jeśi powiążemy te wiekości watościami śednimi enegii P Z I I jω W W + P bienej i cynnej ( m e ) L Uyskaiśmy dokładnie taki sam wó 6 V ˆ ˆ * ( E H ) d + jω V (w Wekto Poyntinga a teoia obwodów mś, w e, ś ) dv + Cy to pypadek? ˆ ˆ * EJ dv V Nie!!! Twiedenie Poyntinga to podstawowe naędie do okeśenia schematów astępcych układów bwc. w postaci układów o stałych skupionych. Umożiwia to anaię układów bwc py pomocy nacnie postsej teoii obwodów. U C I L ( Wm We ) PL P jω + Zasada achowania enegii espoony wekto Poyntinga Tea pyównujemy do ea cęść ecywistą aeżności opisującej asadę achowania mocy/enegii cyi ˆ ˆ * e E H d + d ś V + V ˆ ˆ * e E J dv pv, śdv Watość śednia mocy pesyłanej pe powiechnię amkniętą ówna jest mocy pekaywanej pe poe naładowanym cąsteckom najdującym się wewnąt powiechni Podstawy eektodynamiki 4

42 Zasada achowania enegii espoony wekto Poyntinga Tea pyównujemy do ea cęść uojoną aeżności opisującej asadę achowania mocy/enegii cyi ˆ ˆ * Im E H d + ω V ˆ ˆ * ˆ ˆ * H B E D e dv Im{ } d ω ( wmś, we, ś ) dv + V Watość uojona śedniej mocy pesyłanej pe powiechnię amkniętą poostaje w okeśonym wiąku do óżnicy watości śednich enegii magaynowanych w pou eektycnym i magnetycnym 65 Zasada achowania enegii pykładowe astosowania eystancja pomieniowania anteny Antena Pykładowy schemat * J E, H Ŝ e{ Ê Ĥ } Ŝd Jeśi cała antena jest wykonana dobego pewodnika to jak obicyć eystancję wejściową (aby dopasować antenę do tou)? PI Kuchenka mikofaowa 66 ównania Mawea da pó stacjonanych Jeśi wiekości poowe nie mieniają się w casie, to. Mawea pyjmą postać: D B µ J + B E D ρ B ównania mateiałowe be mian B µ J E ub H J D ρ B Zjawiska eektycne i magnetycne są od siebie nieaeżne 67 E D ρ Eektostatyka Ed C Dd Q ot (gad U) Poe eektostatycne jest bewiowe Źódłem stumienia wektoa indukcji eektycnej jest ładunek eektycny Pokaaiśmy na wstępie wykładu, że obowiąuje tożsamość bo ( U ) Wniosek: poe eektycne jest gadientem jakiejś funkcji skaanej E ± U 68 Podstawy eektodynamiki 4