Rama płaska metoda elementów skończonych.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rama płaska metoda elementów skończonych."

Daniel Tomaszewski
7 lat temu
Przeglądów:

1 Pzyład. Rama płasa metoda elementów sończonych. M p l A, EJ P p l A, EJ l A, EJ l l,5 l. Dysetyzacja Podział na elementy i węzły x st. sw. M 5 P Z X, M, V, H 7, M, H Y, V Element amy płasiej węzły, x stopni swobody M, N,u e EJ, A, l M, N,u x T, v T, u y

2 Uład ównań K R Budowa globalnego wetoa pzemieszczeń węzłowych oaz globalnego wetoa sił węzłowych R u H v w V M u 5 v w 7 u R M P v w u H v w V M Loalne ułady współzędnych x x y Y y x

3 . Maciez sztywności elementu amy płasiej e M, N,u e EJ, A, l M, N,u x T, v T, u y.. Maciez sztywności elementu amy płasiej w uładzie loalnym e,l EA l EA l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EA l EA l EJ EJ l l EJ EJ l l e,l l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l l l l l l l l l l l l ; Al J. Tanspozycja maciezy sztywności elementu do uładu globalnego M, N, u y e T, v M, T, v N, u x X N, u M, Y T, v e M, T, v N, u X uład loalny siły węzłowe uład globalny pzemieszczenia węzłowe

4 Węzeł N X N N cos T sin T T N sin T cos y Y N T x M M c s N N Q,l C Q gdzie C s c Q,l T Q T M M c cos s sin N c s N T s c T M M C maciez tansfomacji jest otogonalna, tzn. T C C. Podobnie tansponują się siły w węźle. Zatem: N N T C T M N M N T C T M M Q e,l C e W analogiczny sposób następuje tansfomacja paametów geometycznych: Q e q e, l C Wyozystując właściwość C e C T e możemy oeślić tansfomację maciezy sztywności elementu z uładu loalnego do globalnego: T T T Qe Ce Qe,l Ce e,l qe,l Ce e,l Ce qe e q e e T C e e, l C e

5 .. Tanspozycja do uładu globalnego maciezy sztywności elementu γπ/ c s T C,l Ce C ZERA ZERA EJ l l l l l,l EJ l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l ZERA l l EJ l T C l l l l l l ZERA l l l l 5

6 .. Maciez sztywności sztywności elementu n w globalnym uładzie γ s c C nie wymaga tansfomacji, l 5 7 l l 5 EJ l l l l l 7 l l l l l l.5. Maciez sztywności sztywności elementu n w uładzie globalnym

7 7 7,,7,57,5,,7,57,5,57,5,7,,57,5,7,, l,,7,57,5,57,5, l,7,7 l,7 l,, l,7 l, l, l,7 l, l, l,,7,57,5, l,57,7,7 l,7 l,5,, l,7 l, l, l,7 l, l EJ l Tansfomacja maciezy sztywności elementu n do uładu globalnego γ5, o c, s, 7

8 ,,,, A l I C,,,,,,,7,,7,,, l,, l,,, l,,, l EJ,l l, l, l, l, l,,, l,7 l, l, l,7 l, l,7,,7, EJ l,l,, l,, l,,, l,,, l, l, l, l, l, l,7 l, l, l,7 l, l 7 T c,,,,,,,, 7,,7,57,5,,7,57,5,57,5,7,,57,5,7,, l,,7,57,5,57,5, l,7,7 l,7 l,, l,7 l, l, l,7 l, l, l,,7,57,5, l,57,7,7 l,7 l,5, EJ l, l,7 l, l, l,7 l, l

9 Agegacja maciezy sztywności onstucji 5 7 ZERA K EJ l ZERA

10 . Globalna maciez sztywności onstucji 5 7 l l l l l l ZERA l l l l 5 K EJ l l l l l l l,,7,57,5 l l,57,5,7,, l,7 l,,7,57,5,57,5,7,, l,7 l 7 l l, l,7 l, l, l,7 l, l ZERA,,7,57,5,57,5,7,, l,,7,57,5, l,57,7,7 l,7 l,5,, l,7 l, l, l,7 l, l

11 Globalna maciez sztywności onstucji Pzyjęto: E5 GPa, A,5 m, J5, 7 m, l, m, λal /J 5 7 ZERA 5 K EJ l 75 7,7, 75,7,7, 7 7,7,,7 7,77,,7,,7,,,7, ZERA 75,7,7, 75, 7,7, 7,77,,7 7,7 7,,7,,7,,,7,

12 .. Intepetacja fizyczna ównań M v 5 v v 5 v P Y X i i i u a v a a u b v b b { 5 } { 5 7 } { 7 } Z wetoów aloacji wynia zgodność pzemieszczeń węzłów wspólnych element np. u u, v v, b a b a 5 b a R nie : M N M T N T M M M M 5 M 5 5 l l l l l 5 l l l M 7 5 Rnie : l l l l l l l M 5

13 .. Rozwiązanie uładu ównań K Rozwiązanie uładu ównań R gdzie globalny weto sił węzłowych R został ozdzielony na weto sił bezpośednio pzyłożonych do węzłów R oaz weto sił węzłowych wyniających z educji obciążenia międzywęzłowego Q ( w zadaniu Q ) jest możliwe po uwzględnieniu waunów bzegowych ( ). Wyeślając w uładzie ównań wiesze i olumny odpowiadające znanym stopniom swobody, otzymujemy: Q 75, 7 7,, 7,,, 7,, 7, 5 7 M Nm P N sąd po ozwiązaniu otzymujemy: 5 7,,77,7555 l, EI,7,5. Obliczenie elementowych sił węzłowych (w uładzie globalnym).. Utwozenie elementowych wetoów pzemieszczeń q e Na podstawie globalnej numeacji elementowych stopni swobody (wetoów aloacji) z wetoa (x) wybieamy odpowiednie wiesze twoząc elementowe wetoy q e (x): l E J,,7* l E J,,7 l E J q, q,7555, q,5,7*,7,7555,5

14 .. Obliczenie elementowych sił węzłowych q Q e e e q Element n Q l E J,,7*,7555 E J l,75 N, N,,75 Nm N Q, N, Nm podobnie dla pozostałych elementów element n element n,75 N,5 N, N, N Q,,75 Nm N Q,,5 Nm N, N, N, Nm, Nm

15 5. Wyesy sił pzeojowych 5.. Tansfomacja sił węzłowych do uładu elementowego (loalnego) X,, Y,75,75,,,,,75,,,5,,75,,, element n Q, l Q C,5 N, N Q,,5,, Nm N N Nm,,,,,,,,,,,,,, Q 5

16 5.. Wyesy sił pzeojowych,,,, M [Nm], 5,77,,75 T [N],,75, N [N],

17 5.. Obliczenie eacji podpó Opuszczając ównania odpowiadające znanym (zeowym) pzemieszczeniom (tj. seślamy w globalnej maciezy sztywności wiesze i olumny o numeach,,,,, ) oaz odpowiednio pzebudowując weto pawej stony, można na podstawie obliczonych pzemieszczeń obliczyć eacje podpó: 5 7 E J l, l E J H 5 7,7* V ,7555, M H 5 7,7 V 5 7,5 M. Uwzględnienie obciążenia międzywęzłowego Rozpatujemy tą samą amę z dugim zestawem obciążeń w postaci pionowego obciążenia ciągłego o stałym natężeniu pn/m od węzła n do. Pzy zachowaniu tej samej numeacji ja popzednio możemy wyozystać tą samą globalną maciez sztywności onstucji K. Zmianie ulega sposób budowy globalnego wetoa sił węzłowych R. Globalny weto sił węzłowych R ozdzielamy na dwa wetoy gdzie: R R Q, R weto sił węzłowych bezpośednio pzyłożonych do węzłów Q weto sił węzłowych wyniający z educji obciążenia międzywęzłowego 7

18 R Q H Q H V Q V M Q M Q Q 5 5 R Q Q 7, 7 Q 7,5 Q,5 H Q H V Q V 7,5 M Q M,75 Weto Q twozony jest na podstawie elementowych wetoów sił węzłowych Q (x) e Elementowe wetoy sił węzłowych wyniające z educji obciążenia ciągłego do węzłów (siły podłużne N i są ówne zeu dla wszystich elementów) są następujące: Element pl pl pl pl pl T a Q e R pl pl M a T b pl M b pl pl pl pl

19 Weto Q p (l) p l pl pl p (,5 l),75 pl p,5 l,75 pl,75 pl,75 pl R Q H V M, 7,5,5 5 7 H V 7,5 M,75

20 Rozwiązanie uładu ównań Ja popzednio jest możliwe po uwzględnieniu waunów bzegowych (wyeślamy wiesze i olumny odpowiadające znanym stopniom swobody, tj.,,,, i ). Rozwiązanie jest następujące: 5,75,57 l EJ x 7,,75,5, Twozenie elementowych wetoów pzemieszczeń węzłowych l E J,75,57,75,5 q,75 q,,75 q,,57*,5,,

21 Obliczenie sił węzłowych,, N,, N,, N, p l, N, Q,,, Nm N Q,75, p l, 5,, Nm N,, N, p l 7,7 N 5, 5, Nm,7 p l,, Nm,, N 5,,75pl7,5 7,7 N,,7pl,7 Q,,, Nm N 5,,75pl7,5,7 N,,7pl, Nm N/m Y X, 5,,,, 7,7 7,7 N/m,,,, 5,,,,,,,7

22 Wyesy sił pzeojowych 5, 5,,,,7,7 M [Nm],,,,, 7,7 T [N] 5,77,, N [N],,

23 7. Uwzględnienie waunów bzegowych w pzypadu, gdy ieune eacji podpoy nie poywa się z ieuniem uładu globalnego Y X u n 7 K [ ] Stosowana wcześniej modyfiacja uładu ównań jest niemożliwa z uwagi na zeowanie się pzemieszczeń w ieunu n: u cosα sinα, wpowadzamy wtedy inny weto pzemieszczeń

24 Waune bzegowy pzyjmuje postać :, a między współzędnymi, a i istnieje zależność: u cosα sinα x y sinα cosα n t

25 c s s c C Kozystając z zależności C można zmodyfiować uład ównań K R do postaci: gdzie: K R K C T KC jest maciezą sztywności powstałą pzez modyfiację maciezy K R C T R jest zmodyfiowanym wetoem sił węzłowych Po ozwiązaniu można obliczyć pzemieszczenia w uładzie globalnym C 5

Podobne dokumenty

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA (1980/1981). Stopień I, zadanie teoretyczne T4 1

XXX OLIMPIADA FIZYCZNA (1980/1981). Stopień I, zadanie teoretyczne T4 1 XXX OLMPADA FZYCZNA (1980/1981). Stopień, zadanie teoetyczne T4 1 Źódło: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej; Waldema Gozowsi; Andzej Kotlici: Fizya w Szole, n 3, 1981.; Andzej Nadolny, Kystyna Pniewsa: