Wyznaczanie temperatury i ciśnienia gazu z oddziaływaniem Lennarda Jonesa metodami dynamiki molekularnej

Transkrypt

1 Pojekt n C.4. Wyznazanie tempeatuy i iśnienia gazu z oddziaływaniem Lennada Jonesa metodami dynamiki molekulanej Wpowadzenie Fizyka Rozważamy model gazu zezywistego zyli zbió atomów oddziaływująyh z sobą siłami dwuząstkowymi wynikająymi z potenjału Lennada-Jonesa, któy ma postać: ϕ () A = + B 6. () gdzie A i B są stałymi dodatnimi, zaś jest odległośią pomiędzy atomami. Potenjał () zapisujemy zęsto w innej, wygodniejszej postai: ϕ () σ σ = 6 4 A 6, σ =, = B A 4B. () Potenjał ten nazywany jest też potenjałem 6-. Wykładnik potęgi ówny 6 wynika z pzyiągająego oddziaływania Van de Waalsa pomiędzy wyindukowanymi dipolami elektyznymi neutalnyh atomów. Natomiast wybó wykładnika potęgi ównego w potenjale odpyhająym nie posiada spejalnego fizyznego uzasadnienia, poza wymogiem analityznej postoty i żądaniem, aby był większy od 6. Okazuje się, że dla tak wybanego potenjału udaje się zadowalająo opisać własnośi temodynamizne, np. gazów szlahetnyh o niewielkih gęstośiah, odpowiednio dobieają paamety oaz σ dla każdego odzaju gazu. Watośi lizbowe tyh paametów podane są w Tabeli.

2 Tabela A atom /k B [K] σ [nm] H He C N O F Ne S Cl A B K Potenjał Lennada-Jonesa posiada następująe własnośi (Rys. ):. haakte pzyiągająy i spadek jak / 6 dla dużyh odległośi między atomami;. dla małyh odległośi pojawia się silnie odpyhająy dzeń o pomieniu = σ [ϕ(σ)=0];. paamet jest miaą enegii pzyiągania (inazej jest to głębokość minimum potenjału, któe występuje dla = /6 σ) 4. haakte kótkozasięgowy, tzn. potenjał 6- jest zaniedbywalnie mały dla >.5 σ. φ/,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, /σ 0-0,4-0,6-0,8 -,0 Rys.. Potenjał Lennada-Jonesa (odległość jest miezona w jednostkah σ, natomiast potenjał ϕ w jednostkah ).

3 Numeyka Zgodnie z dynamiką molekulaną wyznazamy podstawowe własnośi temodynamizne gazu kozystają z ozwiązań ównań uhu Newtona dla układu wielu atomów. Równanie Newtona dla pojedynzego atomu ma postać ma = Φ i j ij, () gdzie Φ = ϕ( ). ij ij Równanie uhu dla każdego atomu możemy ozwiązać za pomoą algoytmu Veleta w fomie pędkośiowej. Odpowiednie ozwiązania mają postać: ( ) n n v n t a n t + = + + v v n n a n a t + = + ( + ) n + (4) W elu wygodnego zobazowania uhu atomów na ekanie monitoa wystazy ozważyć składowe x oaz y wektoów położenia i pędkośi. Siły działająe pomiędzy paami ząstek uwzględniane są dla odległośi mniejszej niż o (pomień obięia oddziaływań). Dla odległośi większej od o zakładamy, że siły i potenjały dwuząstkowe pzyjmują watość ówną zeo. W elu zahowania ałkowitej enegii układu atomów należy wpowadzić tzw. potenjał pzesunięty, któy zapobiega nieiągłośi enegii potenjalnej dla =. Jeśli oznazymy ϕ = ϕ( o ), to potenjał użyty do oblizania ałkowitej enegii będzie wyażony wzoem: ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ = 0 (5) > s Pomimo zastosowania pomienia obięia oddziaływań istnieje jednak wpływ atomów będąyh w odległośi większej niż o. Wpływ ten uwzględniamy za pomoą dalekozasięgowyh popawek do potenjału i iśnienia E P LRC LRC = N ρ π N ρ π (6) πρ πρ (7) 9 = Wielkośi z gwiazdką są to tzw. wielkośi zedukowane, wyażone w jednostkah utwozonyh za pomoą paametów σ oaz, zyli:

4 4 k T E Pσ B T =, E =, P =, f =, ρ = ρσ (8) Żądamy, aby układ atomów spełniał tzw. peiodyzne waunki bzegowe. W tym elu zakładamy, że ozważana komóka entalna otozona jest identyznymi eplikami tej samej komóki (Rys. ). Oznaza to, że ozważana ząstka i oddziaływuje jedynie z najbliżej położoną epliką ząstki j. Jest to tzw. zasada najbliższego obazu, któa jest zgodna z pzyjętym obięiem oddziaływań pod waunkiem, że pomień obięia jest mniejszy niż L/. Wtedy dla danej ząstki i istnieje dokładnie jeden obaz ząstki j (może być to ząstka j w komóe entalnej lub w jej eplie), któego odległość od ząstki i jest mniejsza niż L/. fσ Rys.. Pzykład peiodyznyh waunków bzegowyh w dwu wymiaah. Oddziaływanie między ząstkami i zgodne z zasadą najbliższego obazu jest pokazane pogubioną linią. Zasada najbliższego obazu wymaga dokonania następująej tansfomaji odległośi ząstek: pzez () i oznazymy położenie ząstki i, a pzez = ( i) ( j) wekto wzajemnego położenia ząstek i oaz j. Jeżeli > L/, to sgn( ) L, jeżeli s < L/, to + sgn( ) L.

5 5 Zadania do wykonania. Pzyjąć lizbę atomów N (od kilkunastu do kilkudziesięiu) oaz ozmiay komóki entalnej L (od 0 do 40σ ).. Zadać waunki pozątkowe dla położeń i pędkośi atomów, np. położenia pozątkowe w węzłah postokątnej siatki, a pędkośi pozątkowe ówne zeo.. Dla koku zasowego t = ozwiązać ównania uhu za pomoą algoytmu Veleta. Stosować pzy tym zasadę najbliższego obazu. 4. Dla każdego koku zasowego wyznazać hwilowe watośi enegii ałkowitej, enegii kinetyznej, tempeatuy i iśnienia oaz ih śednie temodynamizne po wielu kokah zasowyh. 5. Tajektoie atomów pzedstawiać gafiznie. Liteatua [] N.W. Ashoft, N.D. Memin, Fizyka iała stałego [] H. Gould, J. Tobohnik, An Intodution to Compute Simulation Methods [] M. P. Allen, D. J. Tildesley, Compute Simulation of Liquids