LINIOWA MECHANIKA PĘKANIA

Transkrypt

1 odstawowe infomacje nt. LNOWA MECHANA ĘANA Wytzymałość mateiałów J. Geman

2 OLE NARĘŻEŃ W LNOWO SRĘŻYSTYM OŚRODU ZE SZCZELNĄ oe napężeń w dwuwymiaowym ośodku iniowo-spężystym ze szczeiną zostało wyznaczone w ogóny sposó dzięki zastosowaniu teoii funkcji zespoonych Westegaada oaz Muskeiszwiego i ołosowa, któe azowały na kasycznej metodzie ozwiązywania zadań 2-D, znanej powszechnie jako metoda funkcji napężeń Aiy ego. Szczegóły można znaeźć w wieu pacach, także autoa niniejszego opacowania W tym opacowaniu zostaną podane jedynie ozwiązania szczegółowe, odnoszące się do konketnych konfiguacji ciało-szczeina-ociążenie. Szczeina w typie ociążenia w paśmie nieskończonym. Rozpatywane płaskie ciała o nieoganiczonych wymiaach zawieającego szczeinę o długości 2, poddane działaniu ównomienego dwuosiowego ozciągania ociążeniem o stałej watości, pzyłożonym w nieskończoności i eżącym w płaszczyźnie ciała. Rozpatywany jest więc typ ociążenia szczeiny, zwany "odewaniem", ądź "ozwaciem". Geometia zadania pokazana jest na ys x Rys. 1. Szczeina w nieoganiczonym paśmie, ozciąganym w nieskończoności. Funkcje napężeń opisane są wzoami: 3 cos 1 sin sin = 3 cos 1 sin sin = + (1.1) 12 = 3 sin cos cos da SN 33 = ν ν ( ) = 2 oe napężeń (1.1) można wspónie zapisać w postaci: 2 cos da SO ( ) ij = fij (1.2)

3 win wykazał, że stan napężenia opisany ównaniem (1.1) odnosi się do dowonej konfiguacji szczeiny w typie ociążenia i do dowonego ociążenia. Tym co uwzgędnia geometię ciała ze szczeiną, długość szczeiny oaz odzaj i sposó pzyłożenia ociążenia jest współczynnik, noszący nazwę współczynnika intensywności napężeń (WN). Tak więc znajomość tego współczynnika jest wystaczająca do pełnego opisu stanu napężenia w poiżu wiezchołka szczeiny. Ważną wiekością z punktu widzenia stosowanych w mechanice pękania kyteiów zniszczeniowych jest ozwacie zegów szczeiny, któe wyaża się wzoem: u = c x (1.3) gdzie: c - stała mateiałowa zaeżna od tego czy anaizowany jest SN, czy SO. Stała ta wynosi: 2 ( ) 2 1 ν c = da SO E (1.4) 2E da SN Maksymane ozwacie szczeiny COD występuje w połowie długości szczeiny (x 1 =0) i wynosi: COD = 2 c (1.5) u 2 x 1 COD Rys. 2. Rozwacie zegów szczeiny. Szczeina w typie ociążenia w paśmie nieskończonym. Rozwiązanie da szczeiny w typie ociążenia - ys. 3 - w taczy o nieskończonych wymiaach można uzyskać w anaogiczny sposó jak da typu x Rys. 3. Szczeina typu w paśmie nieskończonym. Stan napężenia w poiżu wiezchołka szczeiny opisują związki:

4 3 sin 2 cos cos = + 3 sin cos cos = (1.6) 3 cos 1 sin sin = 0 da SN 33 = 2ν ν ( ) = sin da SO 2 Współczynnik intensywności napężeń ma postać: = π (1.7) Szczeina w typie ociążenia w paśmie nieskończonym. Szczeinę w typie ociążenia w nieskończonym paśmie spężystym pzedstawiono na ys. 4. Szczegóły ozwiązania tego zadania można znaeźć w iteatuze (np. E. Gdoutos). Tutaj oganiczymy się jedynie do zacytowania ozwiązania. x 1 Rys. 4. Szczeina typu w paśmie nieskończonym. Niezeowe składowe stanu napężenia w poiżu wiezchołka szczeiny oaz współczynnik intensywności napężeń opisują związki: 13 = sin 2 π 2 23 = cos 2 π 2 (1.8) = π (1.9)

5 Funkcje napężeń i współczynniki intensywności napężeń da óżnych pzypadków szczein w i typie ociążenia Uwzgędniając, że ozkłady napężeń w poiżu wiezchołka szczeiny opisane są w każdym pzypadku tą samą zaeżnością: ij = f() ij (1.10) oaz to, że óżnią się w zaeżności od zadania tyko postacią współczynnika intensywności napężeń, naeży wysnuć wniosek, że zasadnicze znaczenie ma znajomość współczynnika intensywności napężeń. oniżej podano je da wyanych konfiguacji ociążenia i geometii szczein. Nieskończone pasmo z nieskończonym szeegiem szczein koineanych, ociążone ównomienym ociążeniem o watości x 1 2 π = π tan π 2 (1.11) Nieskończone pasmo ze szczeiną, któej powiezchnia jest ociążona siłami skupionymi pzyłożonymi w odegłości od wiezchołka B A x 1 A B = = + π π + (1.12) (1.13) W pzypadku gdy siła pzyłożona jest w połowie długości szczeiny tzn. = 0, otzymujemy:

6 = (1.14) π Zauważmy, że w tym ostatnim pzypadku współczynnik intensywności napężeń maeje waz ze wzostem długości szczeiny. Zakładając, że da danej długości k współczynnik osiąga watość c, pzy któej następuje popagacja szczeiny, a więc i wzost jej długości, dochodzimy do wniosku, że watość musi wówczas zmaeć. Gdy osiągnie watość mniejszą od c - popagacja szczeiny musi ustać; następuje zatem samoistne zahamowanie uchu szczeiny. Szczeina (u szczeiny) wychodzące z zegu otwou kołowego w paśmie nieskończonym, ozciąganym ównomienie (jednoosiowo u dwuosiowo) x 1 2 R = π F Watości funkcji F otzymane pzez Bowie'go zestawiono w taei 1. (1.15) F(/) da jednej szczeiny F(/) da dwóch szczein / ozc. w kieunku ozc. w kie. x 1 i ozc. w kieunku ozc. w kie. x 1 i Taea 1. Współczynniki Bowi ego

7 Wpływ skończonych wymiaów ciała na watości współczynników intensywności napężeń Zagadnienie ciała o skończonych wymiaach o óżnych konfiguacjach układu ciało-szczeinaociążenie - z punktu widzenia zastosowań paktycznych - jest oczywiście ważniejsze od zadania ciała nieoganiczonego ze szczeiną. Uzyskanie ozwiązań w fomie zamkniętej jest jednak niemożiwe, toteż wszystkie istniejące ozwiązania zawieają pewne mnożniki iczowe uwzgędniające skończone wymiay ciała, najczęściej pzedstawiane w fomie tae u wykesów, zadziej podawane jako zaeżności funkcyjne. oniżej zestawiono watości współczynników intensywności napężeń da najczęściej spotykanych konfiguacji szczein i ociążenia. W kiku pzypadkach podano dwie zaeżności, z któych jedna stosowana jest w adaniach powadzonych na pókach nomowych. Szczeina centana w paśmie ozciąganym 2 π = (1.16) π sec π = (1.17) Szczeina kawędziowa w paśmie ozciąganym π = (1.18) = 1.12 π da małych / (1.19)

8 Dwie szczeiny kawędziowe w paśmie ozciąganym π = (1.20) = 1.12 π da małych / (1.21) Beka tójpunktowo zginana siłą skupioną [N] ze szczeiną kawędziową W S B S = BW W W W W W (1.22) Beka zginana o skończonej szeokości ze szczeiną kawędziową M M W B S M π = BW W W W W (1.23)

9 Tacza o skończonej szeokości ze szczeiną oczną, ozciągana siłami skupionymi [N] B = BW W W W W W (1.24) Wykozystanie zasady supepozycji do wyznaczania współczynników intensywności napężeń. Rozkłady napężeń da danego typu szczeiny mają identyczną fomę - są niezaeżne od konfiguacji układu ciało-szczeina-ociążenie, a tym co je óżnicuje jest jedynie postać współczynnika intensywności napężeń. Dzięki temu, w pzypadku gdy mamy do czynienia z kominacją óżnych ociążeń, ae w oęie tego samego typu szczeiny, współczynnik ten może yć wyznaczony z zasady supepozycji. awdziwa jest zatem zaeżność: T = Tp + Tq+ T +... T =,, (1.25) gdzie: p, q i oznaczają óżne ociążenia zewnętzne działające na ciało ze szczeiną. Zasada supepozycji jest adzo użytecznym nazędziem pzy wyznaczaniu współczynników intensywności napężeń. Szczeina wychodząca z zegu małego otwou kołowego. Rozważmy typowe zagadnienie paktyczne, a mianowicie połączenie śuowe u nitowane, wymagające wykonania otwoów kołowych w łączonych eementach ys.5. Dowony otwó jest zawsze koncentatoem napężeń, spzyja zatem powstawaniu szczein wychodzących z jego zegu. Załóżmy, że pomień otwou jest mały w stosunku do długości szczeiny, tak, że można go pominąć. zyjmujemy ponadto, że długość szczeiny jest mała w stosunku do szeokości 2 łączonego eementu - można więc pzyjąć, że oowiązują ozwiązania jak da pasma nieoganiczonego. Schemat wykozystania zasady supepozycji pokazano na ys Rys. 5. ołączenie dwóch eementów ozciąganych.

10 =2 a 2 = + - c d Z ys. 6 wynika, że zachodzi następujący związek: Rys. 6. ustacja zastosowania zasady supepozycji a = + c d (1.26) Z oczywistych powodów konfiguacje "a" i "d" są identyczne, czyi a = d. ozystając z postaci współczynników intensywności napężeń da konfiguacji '" i "c" - otzymuje poszukiwany współczynnik da konfiguacji "a" w postaci: 1 1 a = ( + c ) = π + (1.27) 2 2 π