B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ."

Transkrypt

1 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą tej przestrzeni, gdy (B1) (B2) B jest liniowo niezależny V = lin (B) Przykład Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. 2. Jeżeli v θ, to układ (v) jest bazą przestrzeni lin (v). 3. ( Jeżeli )(v i ) i I jest bazą przestrzeni V, zaś σ : I I bijekcją, to układ vσ(i) jest bazą przestrzeni V. i I 4. Układ (e 1,..., e n ) jest bazą przestrzeni F n. Nazywamy ją bazą kanoniczną przestrzeni F n. 5. Układ (1, x, x 2, x 3,...) jest bazą przestrzeni F [x], a układ (1, x, x 2,..., x n ) jest bazą przestrzeni F [x] n. 6. Układ (1, i) jest bazą przestrzeni C R. Stwierdzenie 8.3. Układ B wektorów przestrzeni liniowej V jest jej bazą wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wektor przestrzeni V można jednoznacznie przedstawić jako kombinację liniową układu B. Dowód: ) Założmy, że układ B = (v i ) i I jest bazą przestrzeni liniowej V F. Wówczas na mocy (B2) każdy wektor v V jest kombinacją liniową wektorów z B. Dla dowodu jednoznaczności przypuśćmy, że v = i I a i v i = i I b i v i, przy czym a i, b i F dla i I oraz zbiory J = {i I ; a i 0}, K = {i I ; b i 0} są skończone. Dla i I \ (J K) mamy a i = b i = 0, a z równości skończonych kombinacji liniowych po zbiorze J K wynika, że (a i b i ) v i = θ. i J K Układ (v i ) i I jest na zgodnie z warunkiem (B1) liniowo niezależny, a jego podukład (v i ) i J K na mocy stwierdzenia 7.5(1) jest liniowo niezależny. Zatem także a i = b i dla i J K, co kończy dowód jednoznaczności. ) Jeżeli układ każdy wektor można jednoznacznie przedstawić w postaci kombinacji liniowej układu B = (v i ) i I, to spełniony jest warunek (B2). Jeżeli a i v i = θ, i I 1

2 to z jednoznaczności przedstawienia wektora zerowego i oczywistej równości 0 v i = θ i I wynika zerowanie się wszystkich współczynników, czyli warunek (B1). Wniosek 8.4. Układ (v 1,..., v n ) jest bazą przestrzeni liniowej V wtedy i tylko wtedy, gdy V = lin (v 1 )... lin (v n ). Definicja 8.5. Niech B = (v i ) i I będzie bazą przestrzeni liniowej V nad ciałem F. Funkcję przypisującą każdemu wektorowi v V układ (a i ) i I skalarów z ciała F takich, że v = i I a i v i, nazywamy układem współrzędnych w przestrzeni V względem bazy B, zaś układ C B (v) = (a i ) i I współrzędnymi wektora v w bazie B. Przykład Wektor (x 1,..., x n ) F n ma w bazie kanonicznej (e 1,..., e n ) współrzędne (x 1,..., x n ). 2. Wielomian a 0 + a 1 x + a 2 x 2... a n x n F [x] n ma w bazie (1, x, x 2,..., x n ) współrzędne (a 0, a 1, a 2,..., a n ). Stwierdzenie 8.7. Układ B w przestrzeni liniowej jest jej bazą wtedy i tylko wtedy, gdy B jest maksymalnym układem liniowo niezależnym (to znaczy takim układem liniowo niezależnym, którego dowolny właściwy nadukład jest liniowo zależny). Dowód: ) Jeżeli układ B jest bazą przestrzeni liniowej V, to zgodnie z (B1) jest liniowo niezależny. Warunek (B2) gwarantuje, że dowolny wektor v V jest kombinacją liniową układu B, czyli układ B uzupełniony wektorem v (a tym bardziej stw. 7.5(2) każdy nadukład układu B) jest liniowo zależny. ) Jeżeli układ B jest maksymalnym układem liniowo niezależnym, to spełnia warunek (B1). Gdyby pewien wektor v V nie był kombinacją liniową układu B, to układ B uzupełniony wektorem v byłby liniowo niezależny, co przeczyłoby maksymalności układu B. Zatem układ B spełnia także warunek (B2). Twierdzenie 8.8. Każda przestrzeń liniowa posiada bazę. Dowód: Ustalmy przestrzeń liniową V. Opieramy się na książce K. Kuratowskiego Wstęp do teorii mnogości i topologii, gdzie lemat Kuratowskiego Zorna jest wnioskiem 2 w VIII.8, a definicje porządków podane są w VII.1. Niech X będzie zbiorem, którego każdy element jest zbiorem wektorów pewnego układu liniowo niezależnego w przestrzeni V. Zbiór X porządkujemy relacją inkluzji. Niech Y będzie liniowo uporządkowanym podzbiorem zbioru X. Połóżmy h(y ) = A. A Y 2

3 Pokażemy, że zbiór h(y ) składa się z elementów układu liniowo niezależnego. Z definicji kombinacji liniowej wystarczy pokazać, że każdy skończony podzbiór zbioru h(y ) jest liniowo niezależny. Niech {v 1,..., v k } h(y ). Istnieją wówczas zbiory A i Y takie, że v i A i dla i = 1,..., k. Zbiór {A 1,..., A k } jest uporządkowany liniowo jako podzbiór zbioru Y, więc z przechodniości i ekstensjonalności otrzymujemy, że istnieje j = 1,..., k takie, że zbiór A j zawiera wszystkie pozostałe ze zbiorów A 1,..., A k. To oznacza zaś, że układ (v 1,..., v k ) jest liniowo niezależny jako podukład układu liniowo niezależneo złożonego z elementów zbioru A j. Zatem h(y ) X oraz dla A Y spełniony jest warunek A h(y ). Z lematu Kuratowskiego Zorna wynika, że w zbiorze X istnieje element maksymalny B. Wektory zbioru B tworzą maksymalny układ liniowo niezależny w przestrzeni V, a ten na mocy stw. 8.7 jest bazą przestrzeni V. Przykład Każdą bazę przestrzeni R Q nazywamy bazą Hamela. 2. Można wskazać różne układy liniowo niezależne, ale nie sposób jawnie wypisać bazę przestrzeni C(I), a tym bardziej F(I; R). Definicja Mówimy, że przestrzeń liniowa jest skończonego wymiaru, jeżeli posiada bazę będącą układem skończonym. Twierdzenie Każde dwie bazy przestrzeni liniowej skończonego wymiaru mają tę samą liczbę elementów (to znaczy zbiory ich indeksów są równoliczne). Dowód: Załóżmy, że przestrzeń V ma wymiar skończony i tym samym posiada pewną bazę B złożoną z n wektorów, gdzie n N {0}. Jeżeli n = 0, to V = {θ} i każdy inny układ generujący przestrzeń też musi być pusty, czyli zawierać 0 elementów. Niech B = (v 1,..., v n ). Przypuśćmy że inny układ skończony C = (w 1,..., w m ) jest także bazą przestrzeni V oraz że n > m 1. Wektor v 1 lin (C), bo C spełnia warunek (B2). Ponadto z faktu, że B spełnia warunek (B1) wynika, że v 1 θ, jest więc kombinacją liniową układu C o przynajmniej jednym współczynniku różnym od zera. Permutacja bazy jest bazą (przykł. 8.2(2)), więc możemy założyć, że ten niezerowy współczynnik występuje przy wektorze w 1 : Stąd v 1 = a 1 w 1 + a 2 w a m w m oraz a 1 0. w 1 = 1 v 1 + a 2 w a m w m, a 1 a 1 a 1 czyli układ C 1 = (v 1, w 2,..., w m ) generuje przestrzeń V, bo zawiera wszystkie kombinacje liniowe układu C. Prowadząc rozumowanie indukcyjne załóżmy, że dla pewnego k 1 układ C k = (v 1,..., v k, w k+1,..., w m ) generuje przestrzeń V. Wówczas θ v k+1 = b 1 v b k v k + w k c m w w. Z liniowej niezależności układu B wynika, że v k+1 nie może być kombinacją liniową wektorów v 1,..., v k, więc pewien współczynnik spośród,..., c m jest różny od zera. Permutując układ C k możemy założyć, że 0. Wówczas w k+1 = 1 v k+1 + b 1 v b k v k + c k+2 3 w k c m w m,

4 czyli układ C k+1 = (v 1,..., v k, v k+1, w k+2,..., w m ) generuje przestrzeń V. Na mocy zasady indukcji matematycznej otrzymujemy V = lin (v 1,..., v m ), czyli także v m+1 jest kombinacją liniową układu (v 1,..., v m ), co przeczy liniowej niezależności układu B. Sprzeczność dowodzi nierówności n m, a analogiczne rozumowanie daje nierówność m n, co razem wskazuje na równoliczność układów B i C. Gdyby baza C była układem nieskończonym, to stosując wymianę elementów bazy B na elementy bazy C wykazalibyśmy liniową zależność układu C, więc taka ewentualność nie zachodzi. Definicja Wymiarem przestrzeni liniowej nazywamy liczbę elementów jej bazy, o ile przestrzeń jest wymiaru skończonego. Wymiar przestrzeni V oznaczamy przez dim V. Mówimy, że przestrzeń V jest nieskończenie wymiarowa, gdy nie jest wymiaru skończonego i piszemy wówczas dim V =. Przykład dim{θ} = 0 2. dim F n = n, dim F [x] n = n dim F [x] = dim F = dim C(I) = Stwierdzenie Każdy układ liniowo niezależny w przestrzeni liniowej można rozszerzyć do bazy tej przestrzeni, to znaczy dla każdego układu liniowo niezależnego istnieje jego nadukład będący bazą. Dowód: Zauważmy, że jeżeli C = (w j ) j J jest bazą przestrzeni V oraz θ v V, przy czym v = j J a j w j oraz a k 0dla pewnego k J, to układ C zawierający wektory w j, j J \ {k} oraz wektor v jest bazą przestrzeni V. Istotnie, przy tych założeniach w k lin C, skąd V = lin C. Gdyby układ C miał być liniowo zależny, to na mocy liniowej niezależności układu (w j ) j J\{k} mielibyśmy istnienie liniowej kombinacji układu C równej θ o współczynniku różnym od zera przy v. To jednak przeczyłoby jednoznaczności przedstawienia wektora v w bazie C. Dowód przeprowadzimy dla układu skończonego. Niech B = (v 1,..., v n ) będzie układem liniowo niezależnycm w przestrzeni V. Wektor v 1 jest niezerowy więc istnieje takie k 1 J, że układ D 1 złożony z wektorów v j, j J \ {k 1 } oraz wektora v 1 jest bazą przestrzeni V. Załóżmy, że dla pewnego l 1 istnieją takie indeksy k 1,..., k l, że układ D l złożony z wektorów v j, j J \ {k 1,..., k l } oraz wektorów v 1,..., v l jest bazą przestrzeni V. Wektor v l+1 jest kombinacją liniową układu D l. Z liniowej niezależności układu B wynika, że istnieje takie k l+1, że w tej kombinacji współczynnik przy w kl+1 jest różny od zera. Wówczas układ D l+1 złożony z wektorów v j, j J \ {k 1,..., k l, k l+1 } oraz wektorów v 1,..., v l, v l+1 jest bazą przestrzeni V. 4

5 Na mocy zasady indukcji matematycznej stwierdzamy, że układ D n złożony z wektorów v j, j J \ {k 1,..., k n } oraz wektorów v 1,..., v n jest bazą przestrzeni V, czyli układ B można uzupełnić do bazy D n. Wniosek Wymiar podprzestrzeni liniowej danej przestrzeni liniowej nie przekracza wymiaru tej przestrzeni. Dowód: Baza podprzestrzeni jest układem liniowo niezależnym w całej przestrzeni i zgodnie ze stw można bazę podprzestrzeni rozszerzyć do bazy przestrzeni. Wniosek Jeżeli U jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V i wymiar V jest skończony, to następujące warunki są równoważne: 1. U = V 2. dim U = dim V Dowód: Jeżeli dim U = dim V = n, to baza B podprzestrzeni U ma n elementów i jest układem liniowo niezależnym w przestrzeni V. Układu tego nie można już uzupełnić do bazy przestrzeni V żadnym wektorem, bo każda baza przestrzeni V ma również n elementów (tw. 8.11). Zatem baza podprzestrzeni U jest maksymalnym układem liniowo niezależnym w V, czyli na mocy stw. 8.7 bazą przestrzeni V. Wówczas oczywiście V = lin (B) = U. Stwierdzenie Jeżeli przestrzeń liniowa V ma skończony wymiar, a V 1, V 2 są jej podprzestrzeniami liniowymi, to dim(v 1 + V 2 ) = dim V 1 + dim V 2 dim(v 1 V 2 ). Dowód: Niech k = dim(v 1 V 2 ), n = dim V 1, m = dim V 2 oraz niech A = (u 1,..., u k ) będzie bazą podprzestrzeni V 1 V 2. Uzupełnijmy tę bazę do bazy B = (u 1,..., u k, v 1,..., v n k ) podprzestrzeni V 1 oraz do bazy C = (u 1,..., u k, w 1,..., w m k ) podprzestrzeni V 2. Wystarczy pokazać, że bazą przestrzeni V 1 + V 2 jest układ D = (u 1,..., u k, v 1,..., v n k, w 1,..., w m k ) gdyż będzie to oznaczać, że dim(v 1 + V 2 ) = k + n k + m k = n + m k. Ponieważ układ D jest nadukładem zarówno dla B jak i dla C, więc każdy wektor v V 1 + V 2 = lin (B) + lin (C) należy do lin (D), bo zbiór ten zawiera zarówno lin (B) jak i lin (C). Aby pokazać liniową niezależność układu D przypuśćmy, że pewna jego kombinacja liniowa a 1 u a n k u k + b 1 v b n k v n k + c 1 w c m k w m k = θ. Wówczas wektor v = a 1 u a n k u k + b 1 v b n k v n k = c 1 w 1... c m k w m k 5

6 należy zarówno do V 1 (jako kombinacja układu B) jak również do V 2 (jako kombinacja podukładu układu C). Stąd v V 1 V 2 = lin (A). Mamy więc v = d 1 u d n k u k = c 1 w 1... c m k w m k, co wraz z liniową niezależnością układu C daje d 1 =... = d k = 0 = c 1 =... = c m k, a więc także v = θ. Teraz możemy skorzystać z liniowej niezależności układu B, która implikuje a 1 =... = a k = 0 = b 1 =... = b n k dając ostatecznie liniową niezależność układu D. Wniosek Wymiar sumy prostej jest sumą wymiarów jej składników. Dowód: Jeżeli V = V 1 V 2, to V 1 V 2 jest przestrzenią trywialną (wymiaru 0) i zgodnie ze stw mamy dim(v 1 + V 2 ) = dim V 1 + dim V 2. Dla sumy prostej większej liczby składników analogiczny wniosek otrzymujemy przez indukcję. 6

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

14. Przestrzenie liniowe

14. Przestrzenie liniowe 14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

3 Przestrzenie liniowe

3 Przestrzenie liniowe MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór. 20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0

R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0 Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

Układy liniowo niezależne

Układy liniowo niezależne Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R n (dla odpowiednich n) (a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v R} R 4, (b) {[u, v,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,

Bardziej szczegółowo

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej

Bardziej szczegółowo

1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).

1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ). B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R

Bardziej szczegółowo

1 Podobieństwo macierzy

1 Podobieństwo macierzy GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019

ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja diofantyczna

Aproksymacja diofantyczna Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

Baza i stopień rozszerzenia.

Baza i stopień rozszerzenia. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Wówczas L jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Wymiar

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy 5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i

Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,

Bardziej szczegółowo

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej 1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne: 1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe 14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V

Bardziej szczegółowo

12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.

12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. 12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j = 11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe

2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe 2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimx = m. Niech dalej e,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną tej przestrzeni

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe

Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadania z analizy i algebry. (wykład prof.prof. J. Wojtkiewicza i K. Napiórkowskiego) ALGEBRA, przestrzenie wektorowe Zadanie Zbadać czy wektor v mażna przedstawić jako kombinację liniową wektorów e i

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo