Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Transkrypt

1 Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu n.p.m. jako funkcja długości i szerokości geograficznej. Przykł. Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Odległość Początkiem do badania i funkcji na niej jest zdefiniowanie odległości. Przypomnijmy sobie, jak definiowaliśmy odległość w. Jest ona wyznaczana z tw. Pitagorasa: RYS.: Dla dwóch punktów i odległość pomiędzy nii jest Analogicznie postępujemy w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów: Jeśli odległość między nimi definiujemy jako, to Definicja Inne oznaczenie w to, tzn.

2 Definicja Jeśli mamy punkt, to na możemy patrzeć jako na odległość punktu od zera: Tak zdefiniowana norma ma ważne własności, które teraz wypiszemy. Własności normy i ogólniej,, gdzie. ta nierówność nazywana jest nierównością trójkąta. p.2 Nierówność trójkąta wynika z nierówności Schwarza: Dla dowolnych zachodzi Rozpatrzmy następującą funkcję zmiennej rzeczywistej : jest trójmianem kwadratowym w. Ponadto, ponieważ jest pełnym kwadratem. Skoro trójmian jest nieujemny, to jego wyróżnik musi być niedodatni. Policzmy ten wyróżnik: co możemy przepisać jako

3 Po wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego z obu stron nierówności i skorzystaniu z definicji normy (%i 2) otrzymujemy nierówność (%i 4). Dow. nierówności trójkąta (%i 3). Policzmy: z czego trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek, aby otrzymać (%i 3). Uwaga Czy w nierówności Schwarza może wystąpić równość? TAK jeśli jest proporcjonalne do (tzn. dla pewnego ; wtedy, a to znaczy (p. równ (%i 5)) że w nier. Schwarza ma miejsce równość. Podsumujmy własności odległości, definiowanej przez (%i 1): Dla dowolnych punktów zachodzi: , przy czym.. (jest to tzw. nierówność trójkąta). RYS. Okazuje się, że odległość euklidesowa nie jest jedyną funkcją od dwu argumentów, spełniającą powyższe warunki. Na przestrzeni można wprowadzić wiele innych funkcji, zależnych od dwu argumentów, które spełniają powyższe warunki i które w związku z tym można też nazwać odległościami. Prowadzi to do pojęcia przestrzeni metrycznej: Przestrzeń metryczna Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór punktów z funkcją dwóch zmiennych lub odległością), których odległość spełnia powyższe własności 1., 2. i 3. (zwaną metryką Przykł. Wprowadźmy na następującą metrykę:

4 łatwo sprawdzić, że spełnia powyższe własności 1., 2. i 3.; pierwsze dwie są oczywiste, a trzecia wynika z nierówności dla wartości bezwzględnej:. Ciągi punktów z Oznaczmy przez ciąg punktów z :, tzn.. Zbieżność Mówimy, że ciąg punktów z jest zbieżny do, jeśli Uwaga (%i 7) oznacza, że ciąg (o wartościach rzeczywistych!): dąży do zera dla dążącego do : Jeśli warunek (%i 7) jest spełniony, to piszemy też: Podobnie jak w przypadku ciągów o wartościach rzeczywistych, mamy twierdzenie o jednoznaczności granicy. Twierdzenie Jeśli i, to. Mamy:

5 co znaczy, że, a więc. Badanie zbieżności ciągów o wartościach w w. Mówi o tym nast/epujące jest równoważne badaniu zbieżności ciągów Stwierdzenie Niech będzie ciągiem punktów przestrzeni ; niech. Wtedy dla wszystkich i ponieważ każde z wyraże/n pod pierwiastkiem dąży do zera: do zera, a to znaczy, że., to ich suma też dąży Mamy:. Wybierzmy którąś tą składową i mamy z nierówności trójkąta: co daje:

6 i z tw. o 3 ciągach, jeżeli, to także, a to znaczy, że dla. Ograniczoność Def. Niech. Mówimy, że jest ograniczony, jeśli istnieje taka liczba, że (tzn. odległości wszystkich punktów zbioru od zera są nie większe od liczby ). Niech i. Kula otwarta Kulą (otwartą) o środku w i promieniu nazywamy zbiór tych punktów, że ich odległość od jest nie większa od : RYS. Uwaga Własność ograniczoności zbioru można równoważnie tak wypowiedzieć: Zbiór jeśli zawiera się w pewnej kuli (o pewnym środku i pewnym promieniu). jest ograniczony, Twierzednie Bolzano-Weierstrassa Każdy ograniczony ciąg punktów posiada podciąg zbieżny. Niech. Jeśli ciąg ograniczony, to wszystkie ciągi ( numer składowej, tzn. ; numer elementu ciągu, tzn. ) są ograniczone. Wynika to z nierówności pokazywanej wyżej: dla dowolnego. Po zastosowaniu tw. Bolzano-Weierstrassa do ciągu otrzymamy podciąg ciągu taki, że ciąg pierwszych współrzędnych jest zbieżny. Stosujemy teraz tw. Bolzano-Weierstrassa do ciągu i otrzymujemy podciąg ciągu, którego pierwsza i druga składowa są zbieżne. Itd., operację powtarzamy razy, aż otrzymamy zbieżność we wszystkich składowych.

7 Ciąg Cauchy'ego Niech ciąg punktów z. Mówimy, że ciąg jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli Twiedzenie W przestrzeni ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągiem Cauchy'ego. : Załóżmy, że. Z definicji ciągu zbieżnego (powtórzonej tu 2 razy): Z nierówności trójkąta (Equation 3) mamy: czyli otrzymujemy (%i 10), a więc jest ciągiem Cauchy'ego. : Załóżmy teraz, że jest ciągiem Cauchy'ego. Wtedy a że dla

8 to każdy z ciągów jest ciągiem Cauchy'ego. A jak wiemy, jeżeli ciąg rzeczywisty jest ciągiem Cauchy'ego, to jest zbieżny. Zatem każdy z ciągów jest zbieżny; a to znaczy, że też i ciąg jest zbieżny. Zbiory otwarte i domknięte Przestrze/n, którą rozpatrujemy, ma naturalną strukturę przestrzeni wektorowej. Ich własności były/będą omawiane na części 'algebraicznej' wykładu; tu przypomnijmy najważniejsze fakty: Przestrzeń wektorowa Przestrzeni nadajemy strukturę przestrzeni wektorowej nad ciałem liczb rzeczywistych (i oznaczamy ( )), jeśli zdefiniujemy w niej działania dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę: Dla dowolnych, zachodzi: ; Zbiory domknięte Zbiór domknięty definicja Def. Niech. Zbiór nazywamy domkniętym, jeśli dla dowolnego zbieżnego ciągu elementów z jego granica też należy do ; tzn.: domknięty Przykł. zbiorów domkniętych Zbiór jednoelementowy. 3. Zbiór sko/nczony. 4. W szczególności zbiór pusty.

9 5. Niech ciąg o wyrazach z,. Wtedy zbiór jest zbiorem domkniętym. Przykł. Odcinek nie jest domknięty, bo wszystkie elementy ciągu należą do, a granica nie należy do. Domknięcie zbioru Niech. Domknięciem zbioru (ozn. ) nazywamy zbiór: Istnieje ciąg o wyrazach z t. że Przykł. Domykanie z lewej strony odcinka. Stwierdzenia Jeśli domknięty to. jest zbiorem domkniętym oraz. Jeśli ciąg dąży do granicy : i każdy jego wyraz jest granicą ciągu elementów zbioru, to też jest granicą ciągu elementów ze zbioru. Punkt jest granicą ciągu elementów ze zbioru ; nazwijmy ten ciąg. Mamy a więc Weźmy teraz i odpowiednio do tego tak, by zachodziło. Zachodzi:

10 prawa strona dąży do zera gdy ( wiadomo, zaś z założenia). Zatem również, a to znaczy, że. Mamy następującą charakteryzację domknięcia. Stw. (tzn. do domknięcia należą te punkty, że przecięcie kuli o środku w ze zbiorem jest niepuste). (RYS.) i dowolnie małym promieniu Oznaczmy prawą stronę równości przez. Jeżeli, to biorąc znajdziemy Pokazaliśmy w ten sposób, że.. To znaczy, że oraz że, czyli. Z drugiej strony, jeśli, to w dowolnie małej kuli o środku w zawarte są prawie wszystkie elementy ciągu o wyrazach z i granicy. Spełniony jest więc warunek, że przecięcie tej kuli z jest zbiorem niepustym, czyli że. Tak więc, czyli. Oba te warunki znaczą, że. Zbiory otwarte Pukt wewnętrzny i otoczenie Def. Niech oraz. Mówimy, że jest punktem wewnętrznym zbioru (lub, że jest otoczeniem punktu ) jeśli istnieje takie, że.

11 Zbiór otwarty Zbiór nazywamy zbiorem otwartym, jeśli każdy element tego zbioru jest jego punktem wewnętrznym. Przykł. zbiorów otwartych: są zbiorami otwartymi. ( ) jest zbiorem otwartym. Dow. Chcemy pokazać, że (RYS.) Bierzemy. Dla dowolnego mamy: co znaczy, że. Stwierdzenie Jeśli jest punktem wewnętrznym i jest granicą ciągu :, to prawie wszystkie wyrazy ciągu należą do O. I na odwrót: Stwierdzenie Niech i. Przypuśćmy, że dla dowolnego ciągu elementów zachodzi: prawie wszystkie wyrazy Wtedy jest punktem wewnętrznym zbioru.

12 (nie wprost). Załóżmy, że nie jest punktem wewnętrznym zbioru, tzn. Bierzemy. Mamy:. Zatem istnieje taki ciąg, że oraz kuli:.. Skoro należy do kuli, to odległość między a jest mniejsza niż promie/n a to znaczy, że ciąg jest zbieżny do :. W ten sposób otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem (znaleźliśmy bowiem ciąg dążący do, którego wyrazy nie należą do ), więc nieprawdziwe jest zaprzeczenie tezy, czyli prawdziwa jest teza mówiąca, iż jest punktem wewnętrznym. Uwaga Otwartość i domkniętość nie są pojęciami przeciwstawnymi! Np. zbiór domknięty. jest zarówno otwarty jak i Uwaga Otwartość/domkniętość zbioru zależy też od tego, podzbiorem jakiego zbioru on jest. Np. jeśli rozpatrujemy jako podzbiór, to kulami otwartymi w są odcinki (otwarte) i jest otwarty. Jeśli natomiast rozpatrujemy jako podzbiór, to kulami otwartymi w są koła (bez brzegu) i nie jest już otwarty, bo żadne koło o niezerowym promieniu nie mieści się w. Twierdzenie Niech i. Wtedy ma miejsce równoważność

13 jest otwarty jest domknięty Weźmy zbieżny o wyrazach należących do :,. Chcemy pokazać, że. Przypuśćmy, że przeciwnie:. Wobec tego (bo i są rozłączne, a ich suma to całe ). Z założenia jest zbiorem otwartym, więc jest punktem wewnętrznym i (p. poprzednie Stw.) prawie wszystkie wyrazy ciągu należą do, więc nie należą do. Otrzymaliśmy sprzeczność. Niech. Skoro tak to, a więc istnieje kula taka, że, a to znaczy, że, więc jest punktem wewnętrznym, czyli jest otwarty. Wniosek Niech, i. Wtedy zachodzi jeden i tylko jeden z wykluczających się warunków: jest punktem wewnętrznym zbioru.. Trzeba pokazać, że nieprawdą jest równoważność obydwu powyższych warunków, tzn: Nieprawda, że Pokażemy najsampierw że z zaprzeczenia 1. wynika 2. Zaprzeczenie zdania: " jest punktem wewnętrznym " to jest to samo, co zaprzeczenie zdania: " ", czyli: " ". To zaś jest równoważne zdaniu: " ", a to znaczy, że jest punktem domknięcia zbioru, tzn. To teraz że z zaprzeczenia 2. wynika 1. Skoro nie należy do domknięcia, to oraz że, a to znaczy, że, tzn. jest punktem wewnętrznym. Twierdzenie 1. i są zbiorami otwartymi.

14 Dow 2. Jeśli ( dowolny zbiór wskaźników) jest rodziną zbiorów otwartych, to też jest zbiorem otwartym. 3. Jeżeli są otwarte, to jest otwarty Było Niech. Istnieje więc takie, że. Ponieważ otwarty, więc istnieje kula o niezerowym promieniu, zawarta w : 3. czyli jest zbiorem otwartym. Niech, tzn. i. Tak więc Bierzemy i wtedy mamy zatem, czyli jest zbiorem otwartym. Uwaga. Przez indukcję dowodzi się, że powyższa własność zachodzi dla dowolnej sko/nczonej ilości zbiorów: Dla dowolnego, jeśli są otwarte, to również jest otwarty. Własność ta nie jest prawdziwa dla rodzin niesko/nczonych: Weźmy np. rodzinę zbiorów otwartych ; mamy:, co nie jest zbiorem otwartym.

15 Stwierdzenie uwaga Każdy zbiór otwarty jest sumą pewnej rodziny zbiorów otwartych. Niech ; wobec tego, gdzie jest pewną kulą o środku w punkcie, taką,że. Mamy następujące zawierania: skąd wynika, że. Niektóre dalsze własności zbiorów domkniętych. Dopełnienie zbioru, przypomnienie własności dopełnienia Zbiory domknięte mają własności, powiązane z powyższymi własnościami zbiorów otwartych: 1. są zbiorami domkniętymi. 2. Jeśli zbiory domknięte, to też jest zbiorem domkniętym. Z indukcji, zachodzi to też dla dowolnej sko/nczonej sumy mnogościowej: Jeśli są zbiorami domkniętymi, to też jest zbiorem domkniętym dla dowolnego. 3. Natomiast przecięcie dowolnej rodziny (sko/nczonej czy niesko/nczonej) zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym: Jeśli, jest rodziną zbiorów domkniętych, to również też jest zbiorem domkniętym. 1. jest domknięty, bo jest otwarty. jest domknięty, bo jest otwarty. 2. Jeśli, domknięte, to, otwarte; zatem (było) otwarty, a że, więc otwarty, a to znaczy że domknięty. Uwaga: Własność ta nie jest słuszna dla sum niesko/nczonych: Jako przykład weźmy. Każdy zbiór jest domknięty, a ich suma nie jest zbiorem domkniętym. 3. Jeśli jest domknięty to jest otwarty. Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest

16 otwarta (własność 3. zb. otwartych), wobec tego: jest otwarty. Ale mamy: dla dowolnych zbiorów i, ( dopełnienie, tzn. ) i również:. A mamy jeszcze dla dowolnych zbiorów :, zatem. Tak więc jest otwarty, zatem jest domknięty. Zbiory zwarte Zbiór zwarty Def. Niech. Mówimy, że jest zwarty, jeśli z dowolnego ciągu elementów zbioru można wybrać podciąg zbieżny do elementu zbioru. Twierdzenie Niech. Wtedy: jest zwarty jest domknięty i ograniczony Na mocy twierdzenia Bolzano-Weierstrassa, z dowolnego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny. Granica tego ciągu musi być w, bo domknięty. Załóżmy, że jest zwarty. Bierzemy ciąg elementów z zbieżny do. Granicą dowolnego podciągu jest ten sam punkt. Zatem (z zał. i z definicji zb. zwartego). To pokazuje, że jest domknięty. Przypuśćmy teraz, że zbiór nie jest ograniczony. Wtedy istnieje ciąg elementów zbioru taki, że. Tak też jest dla dowolnego podciągu ciągu. Ale taki podciąg nie może być zbieżny.

17