Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a

Transkrypt

1 Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi. W przypadku nierówność (a właściwie równość) w treści zadania spełniona jest w sposób oczywisty, więc tego przypadku nie musimy rozpatrywać. Bez zmniejszania ogólności możemy też przyjąć. Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że istnieje spełniające: Jednakże funkcja cosinus przyjmuje wartości z przedziału. Otrzymujemy więc nierówność: Zadanie 2 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi. Dla nierówność (a właściwie równość) w treści zadania spełniona jest w sposób oczywisty. Ze względu na symetrię nierówności przy zamianie, możemy też przyjąć. Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że istnieje spełniające:

2 Jednakże zachodzi, więc można napisać: Dopisując znak wartości bezwzględnej wykorzystaliśmy fakt, że ułamek jest dodatni. Mnożąc teraz obie strony przez Zmieniliśmy tutaj znak nierówności z na aby w końcowej formule uwzględnić także przypadek. Zadanie 3 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi i znaleźć na tej podstawie oszacowanie dla wartości. Na mocy twierdzenia Lagrange'a otrzymaliśmy w poprzednim zadaniu równanie: Ponieważ dla : więc zachodzi:

3 Ułamek wewnątrz symbolu wartości bezwzględnej jest dodatni, więc można było ten symbol "bezkarnie" dopisać. Mnożąc teraz obie strony przez Zmieniliśmy tutaj znak nierówności z na aby uwzględnić także przypadek. Otrzymaliśmy w ten sposób (6), a teraz znajdziemy oszacowanie dla. Wykorzystamy otrzymaną nierówność podstawiając i. Uzyskujemy: skąd wynika oszacowanie: Zadanie 4 Wykazać, że dla oraz zachodzi: Należy wykorzystać twierdzenie Lagrange'a dla funkcji, gdzie jest parametrem. Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że istnieje ): spełniające (prim oznacza różniczkowanie po Wykładnik, więc funkcja jest rosnąca w zmiennej. Wynika stąd, że i w konsekwencji

4 Mnożąc tę nierówność przez Zadanie 5 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi nierówność: Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że istnieje spełniające: Funkcja jest rosnąca w zmiennej, więc mamy: skąd Mnożąc tę nierówność przez Zadanie 6 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi nierówność:

5 Dla nierówność (23) spełniona jest w sposób oczywisty. W dalszym toku rozwiązania możemy, bez zmniejszenia ogólności, przyjąć, że. Z twierdzenia Lagrange'a wynika, że istnieje spełniające: Funkcja: jest rosnąca, bo jej pochodna jest dodatnia (jest sumą samych dodatnich wyrazów): W takim razie zachodzi, czyli skąd otrzymujemy: Wyrażenie ułamkowe w (28) jest dodatnie, więc można dopisać znak wartości bezwzględnej. Mnożąc tę nierówność przez Zmieniliśmy tutaj znak nierówności z na aby uwzględnić także przypadek. Zadanie 7 Wykazać nierówność: dla

6 Rozważmy funkcję i weźmy na początek. Na przedziale funkcja ta spełnia założenia twierdzenia Lagrange'a. Możemy więc napisać: gdzie. Oczywiście zachodzi: i w konsekwencji: skąd wynika: Z kolei dla funkcja spełnia założenia twierdzenia Lagrange'a na przedziale. Otrzymujemy więc: gdzie. Tym razem zachodzi: i w efekcie: Wynika stąd ponownie układ nierówności: Jeśli uwzględnić jeszcze przypadek, dla którego realizowane są równości, to otrzymujemy (30). Zadanie 8 Wykazać, że wielomian:

7 gdzie jest dowolną stałą, nie może mieć dwóch różnych pierwiastków w przedziale czterech różnych pierwiastków w przedziale., ani Należy wykorzystać twierdzenie Rolle'a w odniesieniu do wielomianu. Załóżmy, że istnieją dwa pierwiastki wielomianu spełniające. Ponieważ z definicji, więc na przedziale spełnione są założenia twierdzenia Rolle'a. Z twierdzenia tego wynika, że musi istnieć liczba, taka że. Obliczmy zatem pochodną wielomianu : Widać, że jedynymi pierwiastkami równania są liczby:, a żadna z nich nie leży wewnątrz przedziału. Doszliśmy do sprzeczności. Teraz załóżmy, że istnieją cztery pierwiastki wielomianu spełniające. W takim przypadku spełnione są założenia twierdzenia Rolle'a na przedziałach:, oraz. Wewnątrz każdego z tych przedziałów musi się więc zerować pochodna. Jednakże z (38) wynika, że w przedziale leżą jedynie dwa miejsca zerowe pochodnej:. Ponownie doszliśmy zatem do sprzeczności, co kończy dowód.