Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Transkrypt

1 Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach rzeczywistych; analogicznie możemy mówić o ciągu o wyrazach naturalnych, całkowitych, wymiernych,...) Zazwyczaj ciąg zapisujemy w postaci: lub Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: (tu są pewnymi liczbami rzeczywistymi) oraz ciąg geometryczny: (tu liczby rzeczywiste). Najczęściej definiujemy ciąg przez jawnie, wzorem dla pewnej funkcji (w ten sposób jest zdefiniowane są ciągi powyżej, np. ciąg (1): tu ). Drugim często spotykanym sposobem jest definicja rekurencyjna, w której zadaje się pierwszy wyraz ciągu oraz formułę:, gdzie jest pewną funkcją. Np. ciąg (2) można równoważnie zadać jako:. Tutaj łatwo jest przejść od postaci rekurencyjnej do postaci jawnej; na ogół jest to jednak znacznie trudniejsze (p. zadanie o ciągu Fibonacciego). Dla wielu ciągów nie potrafimy podać jawnego wzoru na ty wyraz; np. jest tak z ciągiem liczb pierwszych (wiemy, że jest ich nieskończenie wiele; stanowią podzbiór, więc można je ustawić w ciąg. Ale jawnej postaci takiego ciągu nie potrafimy podać). Ciąg rosnący Ciąg nazywamy rosnącym (odpowiednio: niemalejącym, jeśli (odpowiednio, jeśli ). Analogicznie Ciąg malejący Ciąg nazywamy malejącym (odpowiednio: nierosnącym, jeśli (odpowiednio, jeśli ). Ciągi rosnące i malejące obejmujemy wspólną nazwą ciągów monotonicznych.

2 Przykład Ciąg liczb nieparzystych jest rosnący; ciąg nie jest rosnący, ale jest niemalejący; ciąg nie jest ani niemalejący ani nierosnący. Granica ciągu Liczbę nazywamy granicą ciągu nieskończonego, jeśli Jeżeli jest granicą ciągu, to oznaczamy to:. Uwaga Ostatni warunek można też tak wypowiedzieć, że począwszy od liczby wyrazy ciągu mieszczą się między a., wszystkie następnie Przykłady 1. Pokażemy, że granicą ciągu jest. Niech będzie dana jakaś liczba. Musimy tak dobrać, aby dla zachodziła nierówność Za weźmy liczbę naturalną większą niż. Mamy więc:, a to znaczy, że dla dowolnego zachodzi nierówność 2. co należało pokazać. Granicą ciągu stałego: jest liczba : bo dla każdego mamy i nierówność (1) zachodzi dla każdego wskaźnika oraz dla każdego. 3. Ciąg posiadający granicę nazywany jest zbieżnym. Ciąg rozbieżny to taki, który granicy nie posiada. 4. Ciąg nie posiada granicy, tzn. jest rozbieżny. Załóżmy bowiem, że posiada granicę. Weżmy. (W definicji zbieżności ciągu jest warunek, że dla każdego ; jeśli pokażemy,że warunek ten nie jest spełniony dla jakiegokolwiek, to tym samym pokażemy, że ciąg jest rozbieżny). Dla dostatecznie dużych musi więc być spełniony warunek:, co jest niemożliwe, bo warunek ten może być spełniony co najwyżej dla

3 trzech wartości (dla liczby naturalnej, najbliższej, oraz. Doszliśmy do sprzeczności tzn. pokazaliśmy, że ciąg nie posiada granicy, jest więc rozbieżny. 5. Ciąg oscylujący: jest rozbieżny. Wystarczy wziąć i warunek (1) nie będzie spełniony dla żadnego. Twierdzenie Można zadać pytanie, czy jeśli ciąg jest zbieżny, to czy posiada tylko jedną granicę, czy może posiadać ich wiele? Okazuje się, że zachodzi ta pierwsza możliwość: Tw. Ciąg zbieżny posiada tylko jedną granicę. Przypuśćmy, że jest przeciwnie i że ciąg posiada dwie granice i, przy czym, czyli. Weźmy. Z definicji granicy istnieją takie dwie liczby, że dla zachodzi nierówność a dla zachodzi nierówność Oznaczmy przez większą z liczb (zapisujemy to jako: ). Wtedy dla każdego będą spełnione jednocześnie obie nierówności (3) i (4). Dodajmy je stronami, wykorzystując "dodawanie pod znakiem wartości bezwzględnej", zmieniając uprzednio znak w nierówności (3). Otrzymujemy: ; ale uprzednio wzięliśmy, czyli doszliśmy więc do sprzeczności. Uwaga W definicji granicy można zastąpić przez, a przez ; ani istnienie granicy, ani jej wartość (jeśli istnieje) się nie zmienią przy takiej zamianie. Ciągi ograniczone Definicja 1. Ciąg nazywamy ograniczonym z góry, jeśli istnieje taka liczba, że. 2. Ciąg nazywamy ograniczonym z dołu, jeśli istnieje taka liczba, że. 3. Ciąg nazywamy ograniczonym, jeśli jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu. Równoważnie można powiedzieć, że dla ciągu ograniczonego zachodzi:

4 Sytuacje te można zilustrować graficznie: W pierwszym przypadku, wszystkie wyrazy ciągu leżą poniżej prostej ; w drugim powyżej prostej ; i w trzecim wszystkie wyrazy ciągu leżą pomiędzy prostymi a. Przykłady Ciąg jest ograniczony. Ciąg liczb naturalnych jest ograniczony z dołu. Ciąg nie jest ograniczony z góry ani z dołu. Twierdzenie Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Ciąg z założenia jest zbieżny (jego granicę nazwijmy ), więc warunek (1) definiujący zbieżność ciągu zachodzi dla każdego, w szczególności dla. Istnieje więc taka liczba, że dla mamy:. Korzystając z pierwszej z nierówności (\ref{bezwz4}) mamy:, z czego wynika. Oznaczmy przez największą spośród liczb:. Pamiętając, że jest większe od, mamy: :. Ciąg jest więc ograniczony. Działania algebraiczne na ciągach i ich granicach Twierdzenie Zakładamy, że ciągi, są zbieżne. Zachodzą wtedy następujące wzory: (ta ostatnia równość ma miejsce przy założeniu, że ). (5). Oznaczmy: oraz. Weźmy jakieś. Istnieje więc taka liczba, że

5 oraz Dodając do siebie te dwie nierówności pod znakiem wartości bezwzględnej, otrzymamy A to znaczy, że ciąg jest zbieżny do granicy. Wniosek. W szczególności, jeśli jest ciągiem stałym: dla każdego, to mamy, z wzorów (2) i (5) Dow. (\ref{lx})}. Oszacujmy najsampierw różnicę. Mamy: Ponieważ ciąg jest ograniczony jako ciąg zbieżny, to istnieje taka liczba, że dla każdego. Stosując wzory na wartość bezwzględną sumy i iloczynu, mamy Teraz: weźmy drugą liczbę (pełniącą analogiczną rolę jak ), że dla mamy: oraz. Mamy więc. Dla niej dobieramy takie Na razie nic nie zakładaliśmy o liczbie. Uczynimy to teraz, biorąc: sposób mamy:. W ten Tak więc!!! Udowodniliśmy wzór (\ref{lx}). W szczególności, biorąc, otrzymujemy oraz, biorąc, Stąd wynika wzór (6): (8) Najsampierw udowodnimy następujący szczególny przypadek wzoru (8): (9). Najpierw zauważmy, że dla dostatecznie dużych zachodzi nierówność, a nawet mocniejsza: Dla dostatecznie dużych mamy:. Weźmy bowiem za w definicji

6 granicy ciągu. Wtedy istnieje takie, że mamy. Stąd Aby udowodnić (1), oszacujmy teraz różnicę Zauważmy, że dla dostatecznie dużych mamy tzn. Stąd Biorąc teraz, otrzymamy, że dla dostatecznie dużych skąd wynika już wzór (8). Wzór (8) wynika z (1): Uwagi W założeniach przy wyprowadzaniu powyższych wzorów zakładaliśmy, że ciągi i są zbieżne. Założenie to jest istotne; może się zdarzyć, że ciąg oddzielnie i są rozbieżne (weźmy np. ciągi:, ). jest zbieżny, mimo że ciągi W definicji ciągu zakładaliśmy, że numeracja elementów zaczyna się od. Definicję tę można bezkarnie zmienić, zakładając, że ciąg zaczyna się od dowolnej liczby naturalnej. Stąd wynika prosta do zobaczenia właściwość ciągów: Odrzucenie skończonej ilości początkowych wyrazów ciągu nie ma wpływu na zbieżność ciągu ani na wartość jego granicy. Analogicznie, można do ciągu dołączyć dowolną skończoną ilość wyrazów. Przykłady Ciąg

7 Ciąg Ciąg Kolejne własności rachunkowe granicy Stwierdzenie Niech ciąg { } będzie zbieżny. Wówczas zbieżny jest ciąg i zachodzi Niech { }. Mamy wtedy dla dostatecznie dużych. Zatem oraz skąd wynika (p. wz....): Czyli zachodzi (10). Stwierdzenie Załóżmy, że ciągi { } i { } są zbieżne oraz. Zgodnie z uwagą poczynioną niedawno, teza jest prawdziwa, jeśli warunek "dla każdego " zastąpić przez "dla każdego ",.} Zachodzi wtedy: W szczególności, jeśli ciąg jest zbieżny, to Pokażemy najsampierw ostatni wzór. Niech. Przypuśćmy, że, tzn.. Wtedy, dla dostatecznie dużych mamy:, a stąd, a stąd wbrew założeniu. Teraz pokażemy, że z (2) wynika (3). Weźmy mianowicie. Ponieważ, to, a więc, po przejściu do granicy:. A na mocy (6):

8 zatem Uwaga W nierówności (3) nie można zastąpić nierówności przez, i analogicznie w (4) nie można zastąpić przez. Np. ciąg spełnia nierówność:, a mamy. Można tę sytuację obrazowo wyrazić mówiąc, że nierówności i "zachowują się przy przejściu do granicy", natomiast nierówności i nie mają tej własności. Twierdzenie o trzech ciągach Jeśli i, to ciąg jest zbieżny i zachodzi:. Niech i niech. Dla dostatecznie dużych mamy więc Na mocy założenia to skąd. Przykłady dla i stąd też dla. Przykład na wykorzystanie jw.:.. Wniosek Jeśli, to ciąg { } jest zbieżny i.

9 Mamy: Podciągi Definicja Niech będzie dany ciąg oraz ciąg rosnący liczb naturalnych. Ciąg nazywamy podciągiem ciągu { }. Przykład Ciąg jest podciągiem ciągu. Natomiast ciąg nie jest podciągiem { }, ponieważ wskaźniki nie tworzą tu ciągu rosnącego. O podciągach c.d. W myśl powyższej definicji, każdy ciąg jest swoim własnym podciągiem. Ponadto podciąg podciągu jest podciągiem ciągu { }. Obrazowo można powiedzieć, że podciąg ciągu { } otrzymuje się przez skreślenie w ciągu { } pewnej ilości wyrazów, (skończonej lub nieskończonej), których wskaźniki są różne od. Stwierdzenie Zachodzi ogólny wzór dotyczący wskaźników dowolnego podciągu Jest tak dla, tzn. (bo jest liczbą naturalną). Stosując indukcję załóżmy, że dla jakiegoś zachodzi wzór (13) Mamy wtedy:, a zatem, więc teza zachodzi też dla. W ten sposób mamy prawdziwość tezy dla dowolnego. Twierdzenie Podciąg ciągu zbieżnego { } jest zbieżny do tej samej granicy co { }. Tzn.

10 jeśli to rowniez Weźmy. Istnieje wtedy takie, że dla spełniona jest nierówność. Ponieważ, na mocy (13) jest, to również, a to znaczy, że. Twierdzenie "Bolzano Weierstrassa" Z każdego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny. Niech ciąg { } będzie ograniczony. Istnieje więc taka liczba, ż. Oznaczmy teraz przez zbiór liczb takich, że nierówność: jest spełniona dla nieskończenie wielu. Zbiór jest niepusty, ponieważ liczba (jako że nierówność jest spełniona dla każdego ). Zbiór jest też ogranicznony z góry: Nie należy bowiem do żadna liczba większa od (nierówność nie jest spełniona dla żadnego i tym bardziej dla dowolnego ). Zbiór jest niepusty i ograniczony z góry, więc istnieje kres górny tego zbioru. Oznaczmy go przez. Z definicji kresu górnego wynika, że dla każdego istnieje nieskończenie wiele takich, że ponieważ: liczba,. Wykażemy teraz, że jest granicą pewnego podciągu ciągu { }. Musimy więc znaleźć ciąg liczb naturalnych : w taki sposób, aby. W tym celu, weźmy najpierw. Istnieje wtedy nieskończenie wiele takich, że Oznaczmy przez sposób którąkolwiek z tych liczb (niech to będzie np. pierwsza z tych liczb). Mamy w ten Weźmy teraz. Tu znów istnieje nieskończenie wiele liczb takich, że Skoro jest ich nieskończenie wiele, to są wśród nich liczby większe od spośród nich i oznaczmy przez. Mamy więc. Weźmy którąkolwiek

11 Trzeci krok jest analogiczny: Znajdujemy takie, że i dalej postępujemy rekurencyjnie: Mając, znajdujemy w opisany wyżej sposób takie, że Z twierdzenia o trzech ciągach wynika teraz, że Ciąg z konstrukcji jest rosnący, więc ciąg jest podciągiem ciągu { }. Ze wzoru (6) widać, że. Poniższe twierdzenie jest wnioskiem z tw. BW. Twierdzenie Każdy ciąg ograniczony: nierosnący lub niemalejący, jest zbieżny. Przy tym: Dla ciągu niemalejącego: mamy: ; Dla ciągu nierosnącego: mamy:. Dla ustalenia uwagi rozpatrzmy { } ciąg niemalejący. Oznaczmy przez zbiór wartosći tego ciągu, a przez kres górny tego zbioru:. Mamy więc jednocześnie (ponieważ nierówność, będąca zaprzeczeniem:, nie może być spełniona na podstawie definicji kresu górnego). Ponieważ ciąg { } jest niemalejący, to nierówność: pociąga za sobą:, a stąd. A więc zachodzi ta ostatnia nierówność oznacza, że. To był dowód dla ciągów niemalejących. Dla nierosnących jest analogiczny.

12 Przykłady (zastosowań powyższego twierdzenia) 1. Weźmy i określmy ciąg następującym wzorem rekurencyjnym: tzn. 2. Nie jest łatwo podać wzór ogólny na -ty wyraz ciągu, ale proste jest policzenie jego granicy. Aby to zrobić, żauważmy najsampierw, że ciąg jest rosnący. Jest on również ograniczony z góry. Pokażemy indukcyjnie, że takim ograniczeniem górnym jest liczba. Istotnie, i) dla, mamy. Załóżmy, że nierówność jest spełniona dla jakiegoś i sprawdźmy, czy jest spełniona dla. Mamy: 3. zatem nierówność jest spełniona dla dowolnego. Pokazaliśmy, że ciąg jest monotoniczny (rosnący) i ograniczony, zatem zgodnie z Tw. powyżej jest zbieżny do (skończonej) granicy. Aby ją określić, napiszmy równość: w postaci i przejdźmy w niej do granicy. Mamy: nie może być ujemne (jako granica ciągu o wyrazach dodatnich), więc Czytelnik (Czytelniczka) spróbuje pokazać, że w ogólniejszej sytacji:. Niech ciąg jest również zbieżny i jego granica jest równa jak poprzednio: niezależnie od tego, jak wybierzemy "punkt startowy". Przykład ciągu, który łatwo zdefiniować, ale niełatwo policzyć granicę Weźmy dwie liczby dodatnie, przy czym. Utwórzmy średnią arytmetyczną i geometryczną tych liczb:

13 Zachodzi nierówność: [1] Dla liczb znowu tworzymy obie średnie: Mamy itd. Tak więc tworzymy dwa ciągi { }, { } określone rekurencyjnie: Analogicznie jak poprzednio, mamy czyli ciąg { } jest malejący, zaś ciąg { } rosnący. Jednocześnie oba są ograniczone: Ciąg { } jest ograniczony z dołu przez, a ciąg { } z góry przez. Oba ciągi są więc zbieżne i oba mają granice (skończone) Przejdźmy teraz w równości do granicy ; otrzymamy Ile wynosi ta (wspólna) granica? (granicę tę nazywa się też średnią arytmetyczno-geometryczną liczb i ). Okazuje się, że granica ta wyraża się przez tzw. całkę eliptyczną. Warunek i twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Ciąg { } jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

14 Uwaga Warunek (14) nazywa się warunkiem Cauchy'ego; niedługo poznamy równoważną jego postać. Ciąg { } jest zbieżny; oznaczmy:. Niech dane będzie. Istnieje więc takie, że dla zachodzi. Nierówność ta zachodzi w szczególności dla, tzn.. Dodając obie te nierówności pod znakiem wartości bezwzględnej, otrzymujemy (14). Załóżmy teraz, że warunek Cauchy'ego (14) jest spełniony. Należy stąd dowieść, że ciąg jest zbieżny. Najsampierw udowodnimy, że jest ograniczony. Będziemy to robić analogicznie jak kilka stron temu (przy dowodzie, że ciąg zbieżny jest ograniczony). Weźmy mianowicie. Istnieje więc takie, że dla mamy. Stąd a więc. Oznaczmy przez liczbę większą od każdej spośród następujących liczb:. Mamy więc. To dowodzi, że ciąg { } jest ograniczony. Skoro tak, to na mocy tw. Bolzano-Weierstrassa wynika, że ciąg ten zawiera podciąg zbieżny. Oznaczmy ten podciąg \ciag{a_m} i niech jego granica wynosi:. Udowodnimy, że. Niech będzie dane. Ponieważ jest spełniony warunek Cauchy'ego, to istnieje takie, że dla spełniona jest nierówność Ponieważ, to istnieje takie, że dla mamy Można tu dobrać tak, by. W ten sposób, dla obie nierówności (15)i (16) będą spełnione jednocześnie. Ponadto, ponieważ, to można w (16) zastąpić przez. W ten sposób mamy Dodając do siebie nierówności (15),(16) i (17), i zmieniwszy uprzednio znak pod modułem w lewej części (17), otrzymujemy nierówność, która jest spełniona dla każdego. A to oznacza, że.

15 Uwagi W tw. Cauchy'ego można zastąpić znak ">" w nierówności Cauchy'ego (14), przez i odpowiednio. Warunek Cauchy'ego (14) można sformułować równoważnie:, oraz "<" w warunku Dow. Z warunku Cauchy'ego (14) wynika bowiem, że istnieje takie, że dla i dla zachodzą nierówności i. Dodając je pod znakiem wartości bezwzględnej otrzymamy (18). 1. Mamy bowiem, dla : czyli mamy nierówności: