Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego

Transkrypt

1 Szeregi o wyrazach dodatnich. Kryteria zbieżności d'alemberta i Cauchy'ego Przy założeniu, że wszystkie składniki szeregu jest rosnący. Wynika stąd natychmiast stwierdzenie: są dodatnie, ciąg jego sum częściowych Stwierdzenie Szereg o wyrazach dodatnich jest albo zbieżny, albo rozbieżny do. Twierdzenie (kryterium porównawcze) Można je wyrażać w różnych wersjach; tu jest jedna z nich Jeśli dla wszystkich zachodzi i jeśli szereg jest zbieżny, to zbieżny jest również szereg. Przy tym zachodzi Oznaczmy sumy częściowe szeregów i jako i : Mamy oczywiście ciągów monotonicznych). Mamy też: (przypomnijmy sobie odpowiednie twierdzenia o granicach Z nierówności tej wnioskujemy, że ciąg sum częściowych szeregu jest ograniczony, a więc szereg jest zbieżny. Z drugiej strony, wynika stąd nierówność. Bo jak pamiętamy, dla ciągów było: Jeżeli dla ciągu { } każdego zachodzi:, to.

2 Kryterium powyższe jest ogólne i sukces w jego stosowaniu do jakiegoś szeregu zależy od tego, czy znajdziemy taki szereg zbieżny, który szacuje od góry. Pokażemy zbieżność szeregu Uczynimy to przez porównanie go z szeregiem: mamy: czyli granica sum częściowych szeregu (2) jest:. Na mocy kryterium porównawczego, szereg jest zbieżny [1]. Biorąc do porównywania w kryterium porównawczym szereg geometryczny, otrzymujemy następujące dwa kryteria. Twierdzenie (kryterium d'alemberta) Szereg o wyrazach dodatnich, spełniający warunek jest zbieżny. Weźmy takie, aby były spełniona nierówności:. Istnieje więc takie, że dla mamy, czyli. Tak więc szereg ma składniki odpowiednio nie większe od składników szeregu geometrycznego. Ten szereg geometryczny jest zbieżny, bo. Z kryterium porównawczego jest więc zbieżny

3 szereg, a co za tym idzie i szereg. Twierdzenie (kryterium Cauchy'ego) Szereg o wyrazach dodatnich, spełniający warunek jest zbieżny. Podobnie jak w kryterium d'alemberta, istnieje takie i takie, że dla zachodzi, a to jest równoważne nierówności. Porównując teraz szereg z szeregiem geometrycznym, widzimy, że jeżeli szereg geometryczny jest zbieżny (tzn. ), to zbieżny jest również szereg. Ustaliliśmy więc pewne kryteria zbieżności. Daje się też znaleźć kryteria rozbieżności. Twierdzenie (Kryteria rozbieżności) Jeśli dla szeregu o składnikach dodatnich zachodzi jedna z nierówności to szereg jest rozbieżny. Jeśli ma miejsce pierwsza z nierówności (5), to dla dostatecznie dużych mamy a to znaczy, że ciąg { } nie jest zbieżny do 0, czyli nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu tak więc szereg jest rozbieżny. Jeśli natomiast spełniona jest druga z nierówności (5), to dla dostatecznie dużych mamy i znowu ciąg { } nie jest zbieżny do 0.

4 Szereg: dla jest zbieżny. Mamy: Z kryterium d'alemberta wynika, że szereg (6) jest zbieżny. Kryterium d'alemberta nie rozstrzyga o zbieżności szeregu harmonicznego ani szeregu (2), bo w obu przypadkach. Szeregi bezwzględnie zbieżne Def. Szereg nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli szereg jest zbieżny. Szereg, który jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny, nazywamy warunkowo zbieżnym. Twierdzenie Jeśli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jest też zbieżny w zwykłym sensie. Ponadto Zgodnie z warunkiem Cauchy'ego zbieżności szeregów, musimy oszacować sumę: i pokazać, że dla dostatecznie dużych i dowolnych dowolnie mała. Mamy: suma ta jest Ostatnia suma powyżej, jako reszta szeregu zbieżnego, dąży do 0, gdy dąży do. Innymi

5 słowy, dla dowolnego istnieje takie, że, skąd dla każdego. W ten sposób pokazaliśmy zbieżność szeregu granicy, wynika. Ponadto, oznaczając: oraz mamy:, skąd, po przejściu do a to jest dokładnie wzór (7). y 1. Szereg geometryczny, gdzie, jest zbieżny bezwzględnie, ponieważ jest zbieżny szereg Szereg jest zbieżny bezwzględnie dla każdego. Jak się niedługo okaże, jego suma jest równa. Szereg anharmoniczny jest zbieżny warunkowo, ponieważ szereg wartości bezwzględnych jego składników to szereg harmoniczny, który jest rozbieżny. (Pozorne) paradoksy z szeregami nieskończonymi Przyjrzymy się teraz zagadnieniu przemienności szeregów nieskończonych. Wiemy, że dodawanie jest przemienne, tzn., co implikuje, że suma skończonej ilości składników jest przemienna, tzn. nie zależy od kolejności składników. Okazuje się, że analogiczna własność ma też miejsce dla szeregów bezwzględnie zbieżnych, natomiast na ogół nie zachodzi dla szeregów zbieżnych warunkowo. Będziemy to pokazywać, ale najsampierw sprecyzujemy, co rozumiemy przez zmianę kolejności składników, gdy ilość tych składników jest nieskończona. Permutacja Przez permutację ciągu liczb naturalnych rozumiemy ciąg liczb naturalnych { } taki, że każda liczba naturalna występuje w ciągu { } dokładnie raz. Jeśli jest permutacją ciągu liczb naturalnych, to mówimy, że szereg powstał z szeregu przez zmianę porządku jego składników. Twierdzenie Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest przemienny. Inaczej mówiąc, jeśli szereg bezwzględnie zbieżny i jeśli jest permutacją ciągu liczb naturalnych, to jest

6 Niech. Ze zbieżności szeregu wynika, że istnieje takie, że Ponieważ ciąg { } zawiera wszystkie liczby naturalne, więc istnieje takie, że wśród liczb występują liczby aż do. Ponieważ zaś każda liczba naturalna występuje dokładnie raz w ciągu { }, to dla każdego mamy. Jeśli więc przy danym ze zbioru skreślimy liczby, to pozostaną w nim wyłącznie liczby większe od (przy tym wszystkie różne). Tak więc, oznaczając i skreślając w różnicy składniki o równych wskaźnikach, otrzymamy w różnicy jedynie składniki o wskaźnikach większych od. Wynika stąd, że skąd mamy: na mocy (9). Ponieważ ta ostatnia nierówność zachodzi dla każdego Uwaga, to zachodzi:, a to oznacza, że spełniona jest teza twierdzenia, tzn. (8). Powyższe twierdzenie nie jest prawdziwe dla dowolnego szeregu zbieżnego. Jako przykład, weźmy szereg anharmoniczny i oznaczymy jego sumę przez (niedługo okaże się, że ), policzmy : w czym rozpoznajemy sumę szeregu anharmonicznego po przestawieniu składników. Tak więc przez

7 przestawienie składników uzyskaliśmy szereg zbieżny do innej wartości. Okazuje się, że ma miejsce nawet bardziej (pozornie) paradoksalna sytuacja: Twierdzenie (Riemanna) Mając dany szereg zbieżny warunkowo, można przez zmianę porządku jego składników uzyskać szereg rozbieżny lub zbieżny do dowolnej, z góry zadanej granicy (skończonej lub nieskończonej). Bez dowodu. (Dla ciekawych, jest np. w skrypcie P. Urbańskiego, "Analiza", t. 1). Zagadka Widzieliśmy, że energia elektrostatyczna kryształu jednowymiarowego jest równa sumie szeregu anharmonicznego. Czy to znaczy, że ta energia może być dowolna, jeśli przez zmianę kolejności sumowania można uzyskać dowolną wartość? Może więc energia elektrostatyczna jest źle określoną wielkością? Mnożenie szeregów Wiemy, że jeśli pomnożymy dwie skończone sumy, to znów otrzymamy jakąś sumę. Przy szeregach nieskończonych pojawiają się pytania o zbieżność. Poniższe twierdzenie pokazuje, że dla szeregów bezwzględnie zbieżnych szeregi dadzą się pomnożyć, i szereg w wyniku powstały ma taką postać, jakiej oczekujemy. Twierdzenie (Cauchy'ego) Jeżeli szeregi: i są bezwzględnie zbieżne, to również szereg jest bezwzględnie zbieżny. Oznaczmy czyli

8 Będziemy szacować różnicę Ponieważ szeregi: i są zbieżne, a więc ograniczone, to istnieje taka liczba, że dla każdego zachodzi: Warunek zbieżności szeregu oznacza dokładnie tyle, co warunek zbieżności ciągu { }; zapiszmy warunek Cauchy'ego zbieżności ciągu { }: Dla każdego istnieje takie, że jeśli, to zachodzi Podobnie dla szeregu mamy W dalszym ciągu weźmy. Na mocy (q11) mamy Oszacujmy teraz pierwszy nawias wykorzystując (13), a drugi wykorzystując (12),pamiętając zarazem, że oraz : Tym samym pokazaliśmy, że nierówność: zachodzi dla każdego. Znaczy to, że. Ponieważ zaś ciągi: { } i { } są zbieżne, więc zachodzi wzór (10)., a to znaczy, że, czyli Pokażemy, że Mamy bowiem:

9 (przy ostatniej równości wykorzystaliśmy wzór dwumienny Newtona). Uwaga Twierdzenie o mnożeniu szeregów jest prawdziwe też przy słabszym założeniu, a mianowicie, że jeden z szeregów (tu: ) jest bezwzględnie zbieżny, a drugi(tu: ) jest zbieżny, ale niekoniecznie bezwzględnie. W dowodzie wykorzystywaliśmy bowiem tylko bezwzględną zbieżność szeregu. Jeśli natomiast oba szeregi są warunkowo zbieżne, to szereg może być rozbieżny. Weźmy szeregi i są wówczas zbieżne (z jakiego kryterium?), zaś szereg jest rozbieżny. 1. Zobaczymy później, że suma szeregu (1) jest równa