Przykładowe zadania z teorii liczb

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Przykładowe zadania z teorii liczb"

Transkrypt

1 Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę r. a = 346 = 85 b + r, 0 < r < b. Stąd 36 r b = 8 +, 85 Liczba b musi być liczbą całkowitą dodatnią, zaś reszta r musi być dodatnia mniejsza od 85. Wynika stąd, że 36 r = 0. Otrzymujemy zatem b = 8, r = 36.. Pokazać, że n 5 n, gdzie n jest liczb naturalną, jest podzielne przez 30. n 5 n = (n ) n (n + ) (n + ) = (n ) n (n + ) [(n 4) + 5] = = (n ) (n ) n (n + ) (n + ) + 5 (n ) n (n + ). Każdy ze składników otrzymanej sumy jest podzielny przez 30, gdyż iloczyn k następujących po sobie liczb naturalnych jest podzielny przez k!. Istotnie, n n n n n k + C k n k ( )( )...( ) = = 3... k jest liczbą całkowitą i dlatego rozważana wcześniej suma jest podzielna przez 30, a to oznacza, że 30 dzieli n 5 n. 3. Pokazać, że mn (m 4 n 4 ), gdzie m i n są liczbami naturalnymi, dzieli się przez 30. Zauważmy, że mn (m 4 n 4 ) = n (m 5 - m) m(n 5 n), a jak było pokazane w przykładzie, m 5 m dzieli się przez 30.

2 4. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nowa liczbę, cztery razy większą od poprzedniej. Znaleźć liczbę a. Niech szukaną liczbą będzie 0 x + 5. Przestawiając cyfrę 5 na miejsce pierwsze, otrzymujemy liczbę x. Z warunków zadania wynika, że x = 4 (0 x + 5). Stąd x = 80. Zatem szukaną liczbą jest Znaleźć sumę n wyrazów ciągu S n = (S n jest sumą n składników). S n = = n 0 n+ n+ = n 9 = + + n = + n Znaleźć wszystkie liczby całkowite x 3 takie, że x 3 dzieli x 3. n = n ( n) Połóżmy x 3 = t. Wtedy x = t + 3, x 3 3 = (t +3) 3 3. Jeśli x -3 dzieli x 3-3 wtedy i tylko wtedy gdy t dzieli (t + 3) 3 3. Ale (t + 3) 3 3 = t 3 9 t + 7 t 4. Zatem t dzieli (t + 3) 3 3 wtedy i tylko wtedy gdy t dzieli 4, a więc t jest jedną z liczb ±, ±, ±3, ±4, ±6, ±8, ±, ±4. Stąd dla x = t + 3 otrzymujemy: -, -9, -5, -3, -, 0,,, 4, 5, 6, 7, 9,, 5, 7. 9 ( ) ( ) 7. Pokazać, że dla liczby naturalnej n, liczby n 5 oraz n mają takie same cyfry jedności. W przykładzie zostało pokazane, że liczba n 5 n jest podzielna przez 30. Skoro jest podzielna przez 30, to jest też podzielna przez 0. Zatem liczby n 5 oraz n muszą mieć takie same cyfry jedności.

3 8. Wykazać, że kwadrat każdej liczby całkowitej nieparzystej jest postaci 8 k +, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Dowolną liczbę całkowitą można zapisać w postaci: 4q + 0, 4q +, 4 q +, 4 q + 3, gdzie q jest liczba całkowitą. Liczby nieparzyste mają postać 4q + lub 4q + 3. Policzmy kwadraty liczb nieparzystych: (4q + ) = 8 (q + q) + = 8 k + (4q + 3) = 8 (q + 3q + ) + = 8 k +, gdzie k = q + q, a k = q + 3q Dowieść, że dla naturalnych n, n dzieli (n + ) n. n n n n n n ( + n) = + n + n n Dla n = twierdzenie jest oczywiście prawdziwe. Załóżmy, że n > i policzmy n-tą potęgę liczby n +. Zauważmy, że wszystkie składniki w powyższej sumie, poczynając od trzeciego, zawierają n w potędze większej lub równej, a drugim składnikiem jest n. Zatem jeśli od rozważanej sumy odejmiemy, to różnica będzie podzielna przez n. Algorytm Euklidesa. Równania diofantyczne. Największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Stosując algorytm Euklidesa znaleźć największy wspólny dzielnik liczb 483 i Zastosujmy algorytm Euklidesa 483 = (483, 6409) = 6409 = = (6409, 4369) = 4369 = = (4369, 040)= 040 = = (040, 89) = 89 = 7 7 = ( 89, 7) = 7.

4 . Znaleźć parę liczb całkowitych (x o, y o ) spełniających związek 483 x o y o = 7. W przykładzie 0, przy pomocy algorytmu Euklidesa został policzony największy wspólny dzielnik liczb 483 oraz Dzielnik ten jest równy 7 i jest podzielnikiem wyrazu wolnego, który tu jest również równy 7. Zatem poszukiwane liczby x o i y o istnieją. Wykorzystajmy algorytm Euklidesa do znalezienia liczb x o, y o. Liczmy kolejno 7 = = = ( ) = = = = ( ) = = = = - ( ) = Zatem x o = -, y o =47. = Rozwiązać w liczbach całkowitych następujące równanie (* ) 483 x y = 68. Jeśli równanie a x + b y = c, gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi, jest rozwiązalne w liczbach całkowitych, to posiada ono nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli jednym z nich jest para liczb całkowitych (x o, y o ), to wszystkie rozwiązania dane są wzorami x = x o + b t, y = y o - a t, gdzie a = a ( a, b), b = b ( a, b). a t jest dowolną liczbą całkowitą. Rozważane równanie posiada rozwiązanie w liczbach całkowitych, gdyż największy wspólny dzielnik (483, 6409) jest równy 7, a więc jest podzielnikiem liczby 68. W przykładzie zostało pokazane, że

5 483 ( -) = 7. Pomnóżmy obie strony tej równości przez 4. Otrzymujemy wówczas 483 (- 4) (47 4) = 68. Stąd x o = -88, y o = 588. Zatem wszystkie rozwiązania równania (*) dane są wzorami gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą. x = t, y = t, Równania nieoznaczone możemy rozwiązywać również innymi metodami. Niekoniecznie musimy się posługiwać przy ich rozwiązywaniu algorytmem Euklidesa. 4. Rozwiązać w liczbach całkowitych następujące równanie nieoznaczone 7 x 8 y = 44. Równanie posiada rozwiązanie, gdyż liczby 7 i 8 są względnie pierwsze. Ich największy wspólny dzielnik jest równy, a więc jest podzielnikiem liczby 44. Wyznaczmy x: x = y 7 Podstawmy za y kolejno y = 0,,,..., 5. Dla y = 5 otrzymujemy x =, a zatem x = + 8 t, y = t, gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą. 5. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie 4 x + 8 y = 39. Równanie nie posiada rozwiązania w liczbach całkowitych, gdyż największy wspólny dzielnik (4, 8) = 4, a liczba 4 nie jest podzielnikiem liczby 39.

6 6. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie 7 x + 39 y = 83. Liczby 7 oraz 39 są względnie pierwsze, zatem nasze równanie posiada rozwiązanie w liczbach całkowitych. Wyliczmy x: x = ( 3 ) y 5 5y 5 y = 4 y + = 4 y Liczba x jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy y = 3 7 t, gdzie t jest liczbą całkowitą. Rozwiązania równania mają zatem postać: gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą x = t, y = 3 7 t, 7. Rozwiązać w liczbach naturalnych następujące równanie 7 x 3 y = 44. Liczby 7 i 3 są względnie pierwsze, zatem poszukiwanie rozwiązań w liczbach naturalnych ma sens. Wyliczmy x y y x = = 6 + y Skoro x ma być liczbą naturalną, to y = t, 7 gdzie t jest liczbą całkowitą. Stąd musi być x = 0 3 t, y = 7 t, x > 0 i y > 0. Rozwiązując układ nierówności otrzymujemy rozwiązania: 0 3 t > 0, 7 t > 0, x = 0 3 t, y = 7 t, gdzie t jest liczbą całkowitą niedodatnią. 8. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

7 x - y = 4. Rozwiązanie Równanie można zapisać w postaci równoważnej (x - y) (x + y) = 4. Iloczyn dwóch liczb całkowitych jest równy 4: gdy obie są równe lub obie są równe - lub jedna z nich jest równa 4, a druga lub jedna jest równa -4, a druga -. Zatem mamy 6 przypadków ) x y = i x + y =, skąd x = 4, zatem x =, a y = 0, ) x y = - i x + y = -, skąd x = -4, zatem x = -, a y = 0, 3) x y = 4 i x + y =, skąd x = 5, zatem x nie jest liczba całkowitą i takie rozwiązanie nas nie interesuje, Pozostałe przypadki również nie dają rozwiązań. W rezultacie rozwiązania wyglądają następująco: x =, y = 0 oraz x = -, y = Korzystając ze wzoru a b [ a, b] = ( a, b). Znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 79 i 37. Zastosujmy algorytm Euklidesa w celu znalezienia największego wspólnego dzielnika liczb 37 i 79. Zatem 37 = = = = = 93 [, 79] ( 37, 79) Największy wspólny dzielnik liczb a i b jest równy 4, a ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa 496. Znaleźć liczby a i b. Istnieją liczby całkowite m i n Takie, że a = 4 m, b = 4 n, (m, n) =. Możemy przyjąć, że m < n. ponieważ 496 jest najmniejszą wspólna wielokrotnością liczb a i b, to 496 = 4m 4n. 4

8 Stąd m n = 04 = 8 3. Ponieważ (m, n) =, to m n = 04 lub m n = 8 3. a) Jeśli m =, n = 04, to a = 4 = 4, b = 4 04 = 496, b) Jeśli m = 8, n = 3, to a = 4 3 = 9, b = 4 3 = 3.. Pokazać, że (a, b) (a, c) (b, c) [a, b] [a, c] [b, c] = a b c, a, b, c są dowolnymi liczbami całkowitymi. Wystarczy skorzystać ze wzoru podanego w przykładzie 7 oraz z faktu, że mnożenie liczb całkowitych jest działaniem przemiennym i łącznym.. Znaleźć wszystkie liczby całkowite, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 3, a przy dzieleniu przez 6 dają resztę 5. Jakie reszty dają te liczby przy dzieleniu przez 60. Rozwiązanie Oznaczmy szukane liczby symbolem x. Zgodnie z warunkami zadania x = 5s+3 i x = 6t+5, gdzie s,t są dowolnymi liczbami całkowitymi. Z powyższych zależności wynika, że 5s 6t =. Otrzymaliśmy równanie nieoznaczone, którego rozwiązanie ma postać: s = 4 + 6k, t = 3+6t, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. W takim razie x = 5(4 + 6k) + 3 = k. Jeśli k = u, to x = u. Jeśli k = u +, to x = u = u, gdzie u jest dowolną liczbą całkowitą. Zatem poszukiwane liczby całkowite przydzieleniu przez 60 dają reszty 3 albo 53. II. Liczby pierwsze, liczby złożone, liczby względnie pierwsze. Pokazać, że liczbę nie można przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych. Rozwiązanie W przypadku, gdy = , liczba jest liczbą podzielną przez 9, a więc nie jest liczbą pierwszą. Wszystkie liczby pierwsze oprócz są liczbami nieparzystymi, a suma liczb nieparzystych jest liczba parzystą. Zatem nie można liczby przedstawić w postaci sumy dwóch liczb pierwszych.

9 . Niech c = a + 4b 4, gdzie a,b są liczbami naturalnymi różnymi od. Pokazać, że wtedy c jest liczbą złożoną. Rozwiązanie Zauważmy, że c = a 4 + 4a b + 4b - 4a b = (a + b ) - 4a b = (a + b ab) (a + b + ab). Jeśli a = b =, to c = 5, a więc nie jest liczbą pierwszą 3. Podać przykład takich czterech liczb naturalnych a, b, c, d dla których nie ma żadnej liczby naturalnej n, przy której liczby a + n, b + n, c + n, d + n byłyby parami względnie pierwsze. Takimi liczbami są na przykład a =, b =, c = 3, d = 4, bo jeśli n jest dowolną liczbą całkowitą, to a + n, c + n - dla n nieparzystego są parzyste, a więc nie są względnie pierwsze. b + n, d + n - dla n parzystych są parzyste, a więc nie są względnie pierwsze. 4. Pokazać, że dla liczb naturalnych n, liczba n jest liczba złożoną. Ponieważ n = n = (n + ) (n - n + 4), więc n , jako iloczyn dwóch liczb naturalnych jest liczbą złożoną. 5. Znaleźć liczbę pierwszą p, jeśli wiadomo, że 4p + i 6p + są liczbami pierwszymi. Wszystkie liczby naturalne większe od można przedstawić w postaci 5 n, 5 n ±, 5 n ±, gdzie n jest dowolna liczba naturalną. Liczby postaci 5 n są pierwsze tylko dla n =. Jeśli p = 5, to 4 p + = 0, 6 p + = 5. Jak widać, znaleźliśmy liczbę pierwszą spełniającą warunki zadania. Wykażemy teraz, że nie istnieją inne liczby pierwsze te warunki spełniające. Rzeczywiście, jeśli p = 5 n ±, to 4 p + = 5 (0 n ± 8 n + ), a więc jest liczbą złożoną, jeśli p = 5 n ±, to

10 6 p + = 5 (30 n ± 4 n +) i też jest liczba złożoną. 6. Niech a i b będą liczbami naturalnymi. Udowodnić, że jeżeli 40 a = 5 b, to a + b jest liczba złożoną. Rozwiązanie Zauważmy, że a + b = 3 (4b 3a). III. Kongruencje. Czy ( mod 5) Liczba nie przystaje do liczby 983 modulo 5, gdyż liczba 5 nie dzieli liczby Wykazać, że + 4 5n+ 5n+ 6 0 (mod3). Zauważmy, że 5 5n+ ( mod3 ), ( ) mod3, 4 5 5n+ ( mod3 ), 4 4 ( mod3). Zatem + 4 5n+ 5n+ 6 ( mod3). Co jest równoważne temu, że + 4 5n+ 5n+ 6 0 ( mod3). 3. Jaka jest cyfra jedności liczby 000?

11 Zauważmy, że 5 mod0, Z przechodniości kongruencji dostajemy ( ) ( mod0), ( mod0). Otrzymaną kongruencję podnieśmy stronami do potęgi 5. Wówczas 50 ( mod0) ( mod0). Powtórnie korzystając z przechodniości rozważanej relacji, otrzymujemy 50 ( mod0). Podnosząc powyższą kongruencję stronami do potęgi 4, dostajemy ( mod0). Z kolei 56 6 (mod 0). Zatem ( mod0). Z otrzymanej równości wynika, że cyfra jedności liczby 000 jest równa Niech p będzie liczbą pierwszą. Liczby a i b niech będą liczbami całkowitymi takimi, że a b (mod p). Wtedy p dzieli a + b lub p dzieli a b. Jeśli a b (mod p), a b (mod p). ze wzorów uproszczonego mnożenia i definicji relacji przystawania modulo p wynika, że liczba pierwsza p dzieli iloczyn (a b) (a + b). Zatem liczba pierwsza p dzieli a b lub a + b. 5. Wykazać, że liczba naturalna A dzieli się przez wtedy i tylko wtedy gdy różnica pomiędzy sumą jej cyfr znajdujących się na miejscach parzystych i suma jej cyfr znajdujących się na miejscach nieparzystych dzieli się przez. Niech kolejnymi cyframi liczby A w układzie dziesiętnym będą a, a,..., a n. Wówczas A = a 0 n + a 0 n a n 0 + a n.

12 Rozważmy wielomian f(x) = a x n + a x n a n x + a n. Oczywiście, A = f(0). Stąd wobec kongruencji 0 - (mod ), otrzymujemy f(0) - (mod ). Stąd a + a a A (mod ). 6. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki kongruencji x 3 x + (mod 5). Nasza kongruencja może mieć co najwyżej 5 pierwiastków. Aby je wszystkie znaleźć wystarczy sprawdzić które spośród liczb zbioru { 0,,, 3, 4 } są pierwiastkami naszej kongruencji. Liczby 0, 3, 4 pierwiastkami naszej kongruencji nie są. Natomiast liczby, spełniają kongruencję. Wszystkie rozwiązania naszej kongruencji w liczbach całkowitych mają postać gdzie t jest dowolna liczbą całkowitą. 7. Rozwiązać kongruencję x = + 5t, x = + 5t, x - x + 0 (mod ). Kongruencja nie jest spełniona, gdyż x (x ) + jest liczba nieparzystą, a więc niepodzielną przez. 8. Rozwiązać kongruencję x (x + ) (x + ) (x + 3) (mod 4). Kongruencja jest tożsamościowa, gdyż x, x +, x +, x + 3 są to kolejne cztery liczby naturalne. 9. Wyznaczyć resztę z dzielenia liczby przez 7.

13 Zauważmy, że 995 = Dalej 997 (mod 7), a więc 997 4(mod 7). Z powyższego wynika, że reszta przy dzieleniu naszej liczby przez 7 wynosi Pokazać, że 3 (mod 33). Rozwiązanie 3 = 34, 33 = 340 = 5 68, 5 - (mod ), stąd Z kolei 5 (mod 3). Zatem 3- (mod ) (a). 3- (mod 3) (b). Z równości (a) i (b) oraz z własności kongruencji wynika, że. Policzyć 6 43 (mod 5). 3- (mod 3). Z twierdzenia Eulera wynika, że 6 0 (mod5). Z własności kongruencji mamy 6 40 (mod5). Ponieważ 6 3 (mod5), to 6 43 (mod5).. Czy istnieje liczba całkowita x spełniająca układ równań x 3(mod5), x 6(mod8), x (mod7), x 3(mod)? Liczby 5, 8, 7, są parami względnie pierwsze. Zatem na mocy chińskiego twierdzenia resztach taka liczba x istnieje. o Funkcja Eulera φ(x). Policzyć: φ(55), φ(5), φ(375). Policzmy φ(55). 55 = 5. Ponieważ i 5 i są różnymi liczbami pierwszymi, zatem na mocy własności funkcji Eulera, otrzymujemy φ(55) = 4 0 = 40. Policzmy φ(5). 5 = 5 3. Zatem φ(5) = 5 4 = 00. Policzmy φ(375).

14 375 = Zatem φ(375) = ( - 3 ) ( - 5 ) = 00.. Znaleźć liczbę naturalną a, jeśli φ(a )= 3600 oraz a = 3 α 5 β 7 γ. a = 3 α 5 β 7 γ, zatem φ(a) = 3 α - 5 β γ - 6 = 4 3 α 5 β - 7 γ -. Ale 3600 = , więc 4 3 α 5 β - 7 γ - = Stąd α =, β = 3, γ = i w konsekwencji a = = Znaleźć liczbę naturalną a jeśli, φ(a) = 40, a = p q, gdzie p, q są różnymi liczbami pierwszymi, oraz p q = 6. Z warunków zadania wynika, że φ(a) = φ(p q) = (p - ) (q ) = 40. Otrzymujemy zatem układ równań (p - ) (q ) = 40, p q = 6. Rozwiązując ten układ otrzymujemy p =, q = 5. Szukaną liczbą jest więc Rozwiązać równanie φ(x) = 3 - x, gdzie x jest liczba naturalną. Funkcja Eulera przyjmuje wartości w zbiorze liczb naturalnych, x jest liczbą podzielną przez 3. Zatem x ma postać x = 3 a k, gdzie liczby a i k są liczbami naturalnymi oraz (3, k) =. Z własności funkcji Eulera wynika, że φ(3 a k) = 3 a- φ(k). Więc z warunku zadania mamy 3 a- φ(k) = 3-3 a k. Skąd wynika, że φ(k) = k. Ponieważ tylko liczba spełnia równość φ(k) = k, więc x = 3 a, gdzie a jest dowolną liczbą naturalną.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową

Bardziej szczegółowo

Kongruencje twierdzenie Wilsona

Kongruencje twierdzenie Wilsona Kongruencje Wykład 5 Twierdzenie Wilsona... pojawia się po raz pierwszy bez dowodu w Meditationes Algebraicae Edwarda Waringa (1770), profesora (Lucasian Professor) matematyki w Cambridge, znanego głównie

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

I) Reszta z dzielenia

I) Reszta z dzielenia Michał Kremzer tekst zawiera 9 stron na moim komputerze Tajemnice liczb I) Reszta z dzielenia 1) Liczby naturalne dodatnie a, b, c dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 3. Czy liczba A) a + b + c B)

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji Matematyka w klasie IE Zadania do zajęć w Marynce Jesień 2012 Liczby całkowite prof. W. Gajda Zagadka Pomyśl sobie jakąś dużą liczbę całkowitą. Dodaj do niej tę samą liczbę. Do uzyskanej sumy dodaj jeszcze

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska, Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16 Na ćwiczeniach 6.0.205 omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Sformułować uogólnione cechy podzielności

Bardziej szczegółowo

Kongruencje i ich zastosowania

Kongruencje i ich zastosowania Kongruencje i ich zastosowania Andrzej Sładek sladek@ux2.math.us.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Poznamy nowe fakty matematyczne, które pozwolą nam w łatwy sposób rozwiązać

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 2012/2013 Seria X (kwiecień 2013) rozwiązania zadań 46. Na szachownicy 75 75 umieszczono 120 kwadratów 3 3 tak, że każdy pokrywa 9 pól.

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne

Pierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne Kongruencje wykład 7 Definicja Jeżeli rząd elementu a modulo n (dla n będącego liczba naturalną i całkowitego a, a n) wynosi φ(n) to a nazywamy pierwiastkiem pierwotnym modulo n. Przykład Czy 7 jest pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4 Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

LICZBY POWTÓRKA I (0, 2) 10 II (2, 5) 5 III 25 IV Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E) III i IV

LICZBY POWTÓRKA I (0, 2) 10 II (2, 5) 5 III 25 IV Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E) III i IV LICZBY POWTÓRKA ZADANIE (3 PKT) W tabeli zapisano cztery liczby. I (0, 2) 0 II (2, 5) 5 ( III 25 ) 2 ( 25 ) 3 IV 2 5 5 Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E)

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY System ten oznaczmy skrótem RNS (residue number system czyli po prostu resztowy system liczbowy). Wartość liczby w tym systemie reprezentuje wektor (zbiór) reszt z dzielenia

Bardziej szczegółowo

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności. KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia teorii liczb

Wybrane zagadnienia teorii liczb Wybrane zagadnienia teorii liczb Podzielność liczb NWW, NWD, Algorytm Euklidesa Arytmetyka modularna Potęgowanie modularne Małe twierdzenie Fermata Liczby pierwsze Kryptosystem RSA Podzielność liczb Relacja

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

0.1 Pierścienie wielomianów

0.1 Pierścienie wielomianów 0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13 Poniedziałek 12 listopada 2012 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Wtorek 13 listopada 2012 - odbywają się zajęcia czwartkowe. 79. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Kongruencje. Sławomir Cynk. 24 września Nowy Sącz. Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego

Kongruencje. Sławomir Cynk. 24 września Nowy Sącz. Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 24 września 2008 Nowy Sącz Przykłady W. Sierpiński, 250 zadań z elementarnej teorii liczb, Biblioteczka Matematyczna 17. Zadanie 3. Pokazać, że jeżeli 7

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby

Bardziej szczegółowo

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Jacek Dymel 17.10.008 Bardzo często uczniowie wyrażają taką opinię, że do rozwiązywania zadań olimpijskich niezbędna jest znajomość wielu skomplikowanych

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. Czwartek 28 marca 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1. 122. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 123. Dla ilu trójek liczb rzeczywistych dodatnich a,

Bardziej szczegółowo

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 25 lutego 2014 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest

Bardziej szczegółowo

Dzień pierwszy- grupa młodsza

Dzień pierwszy- grupa młodsza Dzień pierwszy- grupa młodsza 1.TomekmaTlat.Tylesamolatliczysobiewsumietrójkajegodzieci.NlattemuwiekTomkarówny był dwukrotności sumy lat swoich dzieci. Wyznacz T/N. 2.Niechk=2012 2 +2 2012.Ilewynosicyfrajednościliczbyk

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15 Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. W dniu 21 lutego 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie. 1. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas

Bardziej szczegółowo

Algorytmy w teorii liczb

Algorytmy w teorii liczb Łukasz Kowalik, ASD 2004: Algorytmy w teorii liczb 1 Algorytmy w teorii liczb Teoria liczb jest działem matemtyki dotyczącym własności liczb naturalnych. Rozważa się zagadnienia związane z liczbami pierwszymi,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH.

DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. DZIAŁANIA NA UŁAMKACH DZIESIĘTNYCH. Dodawanie,8 zwracamy uwagę aby podpisywać przecinek +, pod przecinkiem, nie musimy uzupełniać zerami z prawej strony w liczbie,8. Pamiętamy,że liczba to samo co,0, (

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Kongruencje. Beata Łojan. Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach.

Kongruencje. Beata Łojan. Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach. Kongruencje Beata Łojan b.lojan@knm.katowice.pl Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach www.knm.katowice.pl III Liceum Ogólnokształcące im. Lucjana Szenwalda w Dąbrowie Górniczej Spis

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24

LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24 LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24 x=6 ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

KURS MATURA ROZSZERZONA część 1

KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 KURS MATURA ROZSZERZONA część 1 LEKCJA Wyrażenia algebraiczne ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Wyrażenie 3 a 8 a +

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Algebra abstrakcyjna

Algebra abstrakcyjna Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą

Bardziej szczegółowo

Joanna Kluczenko 1. Spotkania z matematyka

Joanna Kluczenko 1. Spotkania z matematyka Do czego moga się przydać reszty z dzielenia? Joanna Kluczenko 1 Spotkania z matematyka Outline 1 Co to sa 2 3 moje urodziny? 4 5 Jak tworzona jest liczba kontrolna w kodach towarów w sklepie? 6 7 TWIERDZENIE

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy. Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR

I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy. Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR Opiekun Mariusz Adamczak wojtekkretowicz@gmail.com Bydgoszcz 2017 Spis treści Wstęp...

Bardziej szczegółowo

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.) XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

Pierścień wielomianów jednej zmiennej Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z teoria liczb, ciąg dalszy (pt 15 maja) Matematyka Dyskretna

Ćwiczenia z teoria liczb, ciąg dalszy (pt 15 maja) Matematyka Dyskretna Ćwiczenia z teoria licz, ciąg dalszy (pt 15 maja) Matematyka Dyskretna Przypomnienie: Mówimy a (a jest względnie pierwsze z ) jeśli NW D(a, ) = 1. (Zero jest podzielne przez każdą liczę naturalną, więc

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1

Wielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie

Bardziej szczegółowo

0 --> 5, 1 --> 7, 2 --> 9, 3 -->1, 4 --> 3, 5 --> 5, 6 --> 7, 7 --> 9, 8 --> 1, 9 --> 3.

0 --> 5, 1 --> 7, 2 --> 9, 3 -->1, 4 --> 3, 5 --> 5, 6 --> 7, 7 --> 9, 8 --> 1, 9 --> 3. (Aktualizacja z dnia 3 kwietnia 2013) MATEMATYKA DYSKRETNA - informatyka semestr 2 (lato 2012/2013) Zadania do omówienia na zajęciach w dniach 21 i 28 kwietnia 2013 ZESTAW NR 3/7 (przykłady zadań z rozwiązaniami)

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2010/11

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2010/11 Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie jest liczbą naturalną, tzn. liczby naturalne są to liczby całkowite dodatnie.. Dane są liczby naturalne m, n. Wówczas dla dowolnej liczby naturalnej k, liczba k jest podzielna

Bardziej szczegółowo

LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów)

LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów) LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów) 1. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym AB < AC. Dwusieczna kąta

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm

Arytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Zegar ten przedstawia reszty z dzielenia przez 6. Obrazuje on jak kolejne liczby można przyporządkować do odpowiednich pokazanych na zegarze grup.

Zegar ten przedstawia reszty z dzielenia przez 6. Obrazuje on jak kolejne liczby można przyporządkować do odpowiednich pokazanych na zegarze grup. Rozgrzewka (Ci, którzy znają pojęcie kongruencji niech przejdą do zadania 3 bc i 4, jeśli i te zadania są za proste to proponuje zadanie 5): Zad.1 a) Marek wyjechał pociągiem do Warszawy o godzinie 21

Bardziej szczegółowo

Sumy kolejnych bikwadratów

Sumy kolejnych bikwadratów Sumy kolejnych bikwadratów Znane są następujące dwie równości Andrzej Nowicki 18 maja 2015, wersja bi-12 3 2 + 4 2 = 5 2 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3. Czy istnieją podobnego typu równości dla czwartych potęg?

Bardziej szczegółowo

Odwrotne twierdzenie Fermata. Odwrotne twierdzenie Fermata

Odwrotne twierdzenie Fermata. Odwrotne twierdzenie Fermata Przypomnijmy... a p, a p 1 1 (mod p). Zachodzi naturalne pytanie...... czy z faktu a m 1 1 (mod m) wynika, że m = p? Niekoniecznie. Wprawdzie, jeszcze przed 25 wiekami chińscy matematycy uważali, że podzielność

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2014/15 Ćwiczenia 0.10.014 Powtórka przed sprawdzianem nr 1. Wzory skróconego mnożenia dwumian Newtona procenty. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Ćwiczenia 138.10.014 Sprawdzian nr 1: 1.10.014 godz. 8:15-8:40

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum

Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum 1 Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum Zagadnienia, które uczeń powinien znać przy rozwiązywaniu opisanych zadań: zastosowanie równań w zadaniach tekstowych, funkcje i ich monotoniczność,

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Zadania z arytmetyki i teorii liczb

Zadania z arytmetyki i teorii liczb Zadania z arytmetyki i teorii liczb Andrzej Nowicki 1. Znaleźć największą wartość iloczynu liczb naturalnych, których suma równa się 2010. 2. Z cyfr 1, 2,..., 9 utworzono trzy trzycyfrowe liczby o największym

Bardziej szczegółowo

Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami

Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami 1. Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych. Równaniami z jedną niewiadomą są, np. równania: 2 x+3=5 x 2 =4 2x=4 9=17 x 3 2t +3=5t 7 Równaniami

Bardziej szczegółowo

Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie

Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy oziom: szkoły ponadgimnazjalne, 0 punktów za każde zadanie Zadanie Znajdź dwa dzielniki pierwsze liczby - Można skorzystać z artykułu

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:

Bardziej szczegółowo

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów XIII Olimpiada atematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2017 r. 16 października 2017 r.) 1. iczby a, b, c spełniają zależności Wykaż, że a 2 +b 2 = c 2. Szkice

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)

Bardziej szczegółowo

Równania wielomianowe

Równania wielomianowe Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej

RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL. Podstawy matematyki szkolnej RÓWNANIA KWADRATOWE ZBIGNIEW STEBEL Podstawy matematyki szkolnej WAŁBRZYCH 01 Spis treści 1 Wstęp Równania stopnia drugiego.1 Teoria i przykłady............................. Podstawowe wzory skróconego

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo